文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（济南卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C A D A A D C D B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11． 且 ．
12． ．
13． ．
14． 3分钟．
15． ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（7分）解： ……………………………… 4 分
……………………………… 7 分
17．（7分）解： ，
解不等式①，得： ，……………………………… 2分
解不等式②，得： ，……………………………… 4 分
原不等式组的解集是 ，………………………………6 分
整数解为 ，0，1．……………………………… 7分
18．（7分）证明： 四边形 是菱形，，
，
，
即 ，……………………………… 3 分
在 和 中
，
，……………………………… 5 分
．……………………………… 7 分
19．（8分）解：任务一：过点 作 垂直地面于 ，过点 作 于 ， 的延长线于地面交
于点 ，如图所示：
可得 厘米， 厘米，……………………………… 2 分
设底座半径 厘米，则 厘米，
厘米，
在 中， 厘米， 厘米， 厘米，
由勾股定理得： ，
即： ，
解得： ，
底座半径 的长度为125厘米；……………………………… 4 分
任务二：过点 作 垂直地面于 ， 于 ，如图所示：设 ，
底座与地面相切于点 ，
垂直地面于点 ，
四边形 为矩形，
，
由任务一可知： ，
，……………………………… 6分
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
，
解得： ，
点 距离地面的高度为19.6厘米；……………………………… 8 分
20．（8分）（1）证明：连接 ，
∵ 是 的直径， 是 的切线，切点为点C，
∴ ， ，
∴ ，……………………………… 2分∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；……………………………… 4分
（2）解：同理 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，……………………………… 6分
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ．……………………………… 8 分
21．（9分）（1）解：由频数分布直方图可知： 组人数为 人，
由扇形统计图可知： 组人数占比为 ，
本次随机抽取的学生总人数为： （人），
组人数为： （人），
补全频数分布直方图如下：……………………………… 3 分
（2）解：“ ”这组的圆心角为：
，
故答案为： ；……………………………… 5 分
（3）解：抽取的样本中排在第 名和第 名的成绩分别为 和 ，
抽取的样本中学生成绩的中位数为： （分），
故答案为： ；……………………………… 7分
（4）解： （人），
答：估计全校 名学生中，优秀等次的约有 人．……………………………… 9 分
22．（10分）（1）解：设 与 之间的函数关系式为 ，
将点 和 代入得： ，
解得 ，
所以 与 之间的函数关系式为 ．……………………………… 2分
（2）解：设销售单价为 元，则每天的销售量为 件，
由题意得： ，解得 或 ，
∵该文具购进的价格是每件10元，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，
∴ ，
∴ ，
答：销售单价为18元．……………………………… 5 分
（3）解：设该超市每天销售这种文具的利润为 元，
由题意得：
，……………………………… 7分
∵该文具购进的价格是每件10元，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，
∴ ，
又∵二次函数 的对称轴为直线 ，且 ，
∴当 时， 随 的增大而增大，
∴当 时， 取得最大值，最大值为 ，……………………………… 9分
答：该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为19元，最大利润是198元．
……………………………… 10分
23．（10分）（1）解：依题意，将 点的坐标 代入 ，
得： ，
；
∵一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 两点，
∴把 代入反比例函数 ，
得： ，
∴ ，
则将 和 分别代入 ，得 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ；……………………………… 2 分
（2）解：∵ ，
∴ ，
根据图象可知：
∵一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 两点，
不等式的解集为： 或 ．……………………………… 4分
（3）解：①以 为对角线时： ，
∴ 中点 的坐标为 ．
平行四边形对角线互相平分，
，
即 为 的中点．
∵ ，
点坐标为 ．……………………………… 6分
②当 为对角线时，
∴ 中点 的坐标为 ．
平行四边形对角线互相平分，
，
即 为 的中点．
∵ ，点坐标为 ，……………………………… 8 分
③以 为对角线时，
∴ 中点 的坐标为 ．
平行四边形对角线互相平分，
，
即 为 的中点．
∵ ，
∴点 坐标分别为 ．
满足条件的点 有三个，坐标分别是 ， ， ．……………………………… 10 分
24．（12分）在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上， ．抛物线
与 轴交于 ， 两点．
(1)如图1，若抛物线经过点 ，求抛物线的表达式；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接 ， 为线段 上一点，连接 ，若 ，请判断 和
是否相等，并说明理由；
(3)若抛物线 的顶点为 ，取 的中点 ，则以 ， ， 为顶点的三角形能否
为直角三角形？若能，请直接写出 的值；若不能，请说明理由．
（1）解：∵矩形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上， ，∴ ，
∵抛物线 与 轴交于 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ；……………………………… 2 分
（2）解：如图，连接 ，
∵矩形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，设 ，
∴ ， ，……………………………… 4 分
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，∴ ，……………………………… 6分
∴ ，
∴ 和 相等；……………………………… 7分
（3）解：∵抛物线 与 轴交于 ，
∴ ，
∴ ，
∴抛物线为 ，
∴顶点为 ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，
如图，当 时，则 为直角三角形；∴ ，
解得： 或 ；………………………………9 分
当 时，则 为直角三角形；如图，
∴ ，
解得： ；……………………………… 10 分
当 时，则 为直角三角形；
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴该方程无解；……………………………… 11分
综上： 为直角三角形，则 或 或 或 ．…………………12 分
25．（12分）（1）相等，垂直．……………………………… 2分
（2）数量关系： ，位置关系： ．……………………………… 3 分
理由如下：
如图：∵四边形 和四边形 都是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．……………………………… 5 分
延长 交 于点O，交 于点H，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即 ．……………………………… 7 分
（3）∵ ， ， ，
∴ ，
分类讨论：连结 ．
①如图：当 位于 上方时，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．……………………………… 9分
②如图：
当 位于 下方时，连结 ，
同理可得，四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴
又 ，
∴B、N、P在一条直线上，
∴ ，∴ ， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ．……………………………… 11 分
综上所述，DN的长为 或 ．……………………………… 12 分
