文档内容
2025 年中考第三次模拟考试
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．与 互为相反数的是（ ）
A． B． C． D．
2．剪纸是一种古老的民间艺术，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展
至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，该几何体的俯视图（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）A． B．
C． D．
6．如图， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买
了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮，
小明将它们背面朝上放在案面上（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮
票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．已知在平面直角坐标系中，反比例函数 （ 为常数，且 ）的图象在每个象限内 随 的增大
而增大，则关于 的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
9．如图，在 中， ， ，分别以点A，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，
两弧分别相交于点P、Q，作直线 交 于点D，连接 ．以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数 的图像过点 ，对称轴为直线 ．现有下列结论：①
；② ；③若 是抛物线上的两点，则当 时， ；④若方程
的两个根为 ，且 ，则 ．其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．因式分解： ．
12．如图，一个等边三角形的飞镖盘被分成了若干个小等边三角形区域，向该飞镖盘投掷飞镖，假设投中
飞镖盘上的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中飞镖盘则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖投
中①号三角形区域的概率是 ．
13．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ．
14．在 两地之间有汽车站 站，客车由 地驶往 站，货车由 地驶往 地．两车同时出发，匀速行
驶．客车、货车离 站的路程 与行驶时间 之间的函数图象如图所示．有下列说法：
两地相距为 ；②两小时后，货车离 站的路程 与行驶时间 之间的函数关系式为 ；
③客车离 站的路程 与行驶时间 之间的函数关系式为： ；④客、货两车在 小时相遇．
其中正确的有 （填序号．）
15．如图，在矩形 中， ， ，某数学小组对其进行了如下操作：①先将矩形沿 对折，
使 与 完全重合，然后展开，②再沿 折叠，使点 恰好落在折痕 上的 点．若两条折痕交于
点 ，则以下结论正确的是 ．（请填写序号）① ；② ；③ 连接 ，
则四边形 是菱形；④三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题4分）计算： ．
17．（本题6分）解不等式组： ，并写出它的所有正整数解．
18．（本题6分）如图，平行四边形ABCD中E，F是直线AC上两点，且AE＝CF．求证：BE∥DF．
19．（本题10分）为庆祝党的二十大胜利召开，培养学生的爱国情怀，某校组织七、八年级学生参加了
“学习二十大，永远跟党走”主题知识竞赛，并对学生的成绩（满分100分）进行了抽样调查，将所收集
的数据进行整理和分析，过程如下：
【方案选择】有以下三种抽样方案：
方案一：从七、八年级中指定抽取合适数量的学生的成绩；
方案二：从七、八年级的住校生中随机抽取合适数量的学生的成绩；
方案三：从七、八年级各班中随机抽取合适数量的学生的成绩．
【收集数据】从七、八年级各班中随机抽取20名学生的成绩（单位：分）如下：
七年级：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，90，90，95，95，95，100，100．
八年级：65，70，75，75，80，80，80，85，85，85，90，90，90，90，90，95，95，95，100，100．
【整理数据】整理以上数据，得到如下频数分布表：根据信息，回答下列问题；
成绩分段
七年级人数 3 7 5 5
八年级人数 2 5 8 5
【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量：
统计 平均 中位 众量 数 数 数
七年
83.5 82.5 a
级
八年
85.75 b 90
级
(1)三个方案中抽取的样本最具有代表性和广泛性的是_________（填写“方案一”“方案二”或“方案
三”）
(2)表格中， _______，b=______．
(3)成绩在 范围内属于优秀，该校八年级学生有800人，估计该校八年级成绩优秀的学生约为
______人；
(4)七年级抽取的学生，成绩在“ ”范围的3人中，有两位男生和一位女生，从中随机抽取两位
学生采访，求恰好抽到两位男生的概率．
20．（本题10分）“梨花风起正清明，游子寻春半出城”．如图，某校在公园开展了寻春活动，小巴和小
蜀同时从公园大门（A地）步行出发，约定在停车场（D地）汇合．小巴先沿北偏东 的方向走
到达和善亭（B地），然后继续向东北方向走 到达和雅亭（C地），到达C地后停留了3分钟整理沿
途采集的植物，整理完毕后再到停车场（D地），D地在C地的南偏东 方向．小蜀从A地出发后，先
沿正东方向到达和志亭（E地），再沿北偏东 方向到达D地，E地恰在C地的正南方向．
(1)请求出 的长度；（结果保留根号）
(2)若小巴步行的速度为 ，小蜀步行的速度为 ，请问小巴和小蜀谁先到达停车场（D地）？通
过计算说明．（计算结果保留到小数点后1位，参考数据： ， ， ）
21．（本题10分）如图， 是 的外接圆， 为直径，点 是 的内心，连接 并延长交
于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ．(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为3， ，求阴影部分的面积（结果用含 的式子表示）．
22．（本题10分）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的
自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下：
A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元）
第一周 10 12 36600
第二周 12 15 45000
(1)求a，b的值；
(2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数
量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？
(3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过
A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是
多少元？
23．（本题10分）已知一次函数 与反比例函数 的图象交于 、 两点，交
轴于点 ．
(1)求反比例函数的表达式和点 的坐标；
(2)若点 关于原点的对称点为 ，求 的面积；
(3)探究：在 轴上是否存在一点 ，使得 为等腰直角三角形，且直角顶点为点 ，若存在，请直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由．
24．（本题12分）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点
是抛物线上一动点（不与点 重合），过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若 ，求点 的坐标；
(3)若点 在直线 下方的抛物线上运动，是否存在点 ，使以点 ， ， 为顶点的三角形与
相似？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（本题12分）线段 绕点A逆时针旋转 到 ，正方形 绕点A逆时针旋转，旋转角为 ，
，点D、F分别在 上．
(1)如图1，当 时，连接 、 ，则 与 的数量关系是__________，位置关系是
__________．
(2)如图2，当 时，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)在正方形 绕点A旋转中，若直线 与直线 相交于点M，直接写出点M到直线 的最大距
离和最小距离．
