文档内容
2025 年中考押题预测卷（河北卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
在数轴上表示为：
，
故选：B．
2．如图，甲、乙均从 处去往 处．甲选择图中的路线①，即依次途径 ， ， ，最终到达 ；乙选
择图中的路线②，即途径 ，最终到达 ．图中的 ， ， ， ， ， 均在格点上，且从一处到下一
处均按直线行走，则两条路线中较长的是（ ）A．① B．② C．一样长 D．无法确定
【答案】A
【详解】解：连接
有图可知：
在 中，
即 ，
在 中， ，
即 ，
，
则路线①的距离 路线②的距离，
故选：A．
3．设方程 的两实数根为 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】A
【详解】解： 、 是一元二次方程 的两实数根，
， ，
；
故选：A．4． 年春《哪吒之魔童闹海》横空出世，我们共同见证了中国影视首部百亿影片登顶全球动画电影榜，
大量传统的中国色彩，唤醒了刻在我们骨子里的极致审美，《哪吒2》在部分关键镜头中甚至达到了每秒
帧，每帧画面仅用时大约 ，使得画面效果更加震撼，数据 可用科学记数法表示为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵ ，
故选：C．
5．为了考查甲、乙两块地中小麦的长势，分别从中随机抽出10株麦苗，测得麦苗高如图所示，若 和
分别表示甲、乙两块地麦苗高数据的方差，则（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【详解】解：观察统计图可知，甲的麦苗高的波动情况比乙的麦苗高的波动情况小，故 ，
故选：B．
6．如图是由10个大小相同的正方体积木组合而成的几何体，拿走其中的一个积木后，下列说法错误的是
（ ）A．拿走积木甲后，此几何体的主视图不变
B．拿走积木乙后，此几何体的左视图不变
C．拿走积木丙后，此几何体的俯视图不变
D．拿走积木丁后，此几何体的俯视图面积小于左视图面积
【答案】A
【详解】解：A、拿走积木甲后，此几何体的主视图有变化，故此选项说法错误，符合题意；
B、拿走积木乙后，此几何体的左视图不变，故此选项说法正确，不符合题意；
C、拿走积木丙后，此几何体的俯视图不变，故此选项说法正确，不符合题意；
D、拿走积木丁后，此几何体的俯视图面积小于左视图面积，正确，不符合题意．
故选：A．
7．在一般情况下，酚酞在酸性和中性溶液中保持无色，而在碱性溶液中则会呈现红色．在一次化学实验
课上，学生们使用酚酞试液来检测四瓶标签模糊、无法辨认的无色溶液的酸碱性．已知这四瓶溶液分别是：
小明随机选取两瓶溶液并滴入酚酞试液，两瓶溶液都变红的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：将 、 、 、 分别标记为 、 、 、 ，
列表如下：
第二瓶第一瓶
共有 种等可能的结果，其中两瓶溶液恰好都变红色的结果有： ， ，共 种，
∴两瓶溶液恰好都变红色的概率为 ．
故选：D．
8．如图，正六边形 中，直线 ， 分别经过边 ， 上一点；且 ．则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如下图所示，延长 交直线 于点 ，
，
，
六边形 是正六边形，
，
在 中， ，
，
．故选：B．
9．如图，在 中， ， ，点 ， 分别在 ， 上将 沿 折叠得到 ，
当 时， 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如下图所示，
在 中， ， ，
，
根据折叠的性质可得： ，
，
，
，
根据折叠的性质可得： ，
．故选：C．
10．细胞的相对表面积 是一个关键概念，指细胞的表面积与其体积的比率．它与细胞的大小和生理
功能紧密相关．生物学中，细胞的相对表面积 与细胞的半径 成反比例函数关系，如图所示．下
列说法错误的是（ ）
A．细胞的相对表面积 与细胞的半径 之间的函数关系式为
B．若细胞的相对表面积为 ，则细胞的半径为
C．细胞的半径每增大 ，相对表面积的减少量相同
D．细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小
【答案】C
【详解】解： 、设细胞的相对表面积 与细胞的半径 之间的函数关系式为 ，
当 ， ，
∴ ，
∴函数关系式为 ，原选项正确，不符合题意；
、若细胞的相对表面积为 ，则细胞的半径为 ，原选项正确，不符合题意；
、细胞的半径每增大 ，相对表面积的减少量不相同，原选项错误，符合题意；
、细胞的相对表面积随着细胞半径的增大而减小，原选项正确，不符合题意；
故选： ．
11．关于抛物线 ，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；
②当 时，y随x的增大而减小；
③当 时， ；
④若 ， 是该抛物线上两点，则 ．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解： ， ，
抛物线的对称轴是 轴，顶点是 ，抛物线开口向下，
①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确；
②抛物线的对称轴为 轴，当 时， 随 的增大而减小，故②正确；
③当 时， ， 取最大值为0， 时， 取值最小值为 ，所以 ，故③错误；
④若 ， 是该抛物线上的两点，则 ， 关于 轴对称，横坐标互为相反数，所以
，故④正确；
正确的说法共有3个，
故选C．
12．如图1，E为矩形 的边 上一点，点P从点B出发沿折线 运动到点C停止，点
Q从点B出发沿 运动到点C停止，它们运动的速度都是 ．若点P、点Q同时开始运动，设运动时
间为 ， 的面积为 ，已知y与t之间的函数图象如图2所示．给出下列结论：①当
时， 是等腰三角形；② ；③当 时， ；④在运动过程中，
使得 是等腰三角形的P点一共有3个；⑤ 与 相似时， ．对以上结论判断正确的
是（ ）A．①③⑤ B．①②③ C．①③④⑤ D．②③⑤
【答案】A
【详解】解：由图可知， ， ，
四边形 是矩形，
， ．
，
，
．
对于①，当 时，点 在 上，点 在 上，且 ，
是等腰三角形，①正确；
对于②， ，②错误；
对于③， ， ，
当 时，点 在 上，点 在 处，
，③正确；
对于④，如图，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于 ，当点 位于 处时， 是等腰三角形；
以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于 ，当点 位于 处时， 是等腰三角形；
作 的垂直平分线，交 于 ，交 于 ，当点 位于 或 处时， 是等腰三角形．
综上，运动过程中，使得 是等腰三角形的点 一共有 个，④错误；对于⑤， 是直角三角形，
当且仅当点 在 上时， 与 相似，此时 ， ，且 ，
或 ，
即 或 ，
解得 或 （舍去）．
当 与 相似时， ，⑤正确．
综上可得，正确的有：①③⑤．
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，函数图象与动点问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与
判定，一次函数的应用，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解： ．
【答案】
【详解】解： ，
故答案为： ．
14．如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算 的距离，他在点
处测得 处的俯角为 ，则 m．
【答案】100
【详解】解：由等高线可得 、 两地的实际高度差为 ，
依题意作图得： ， ， ，∴
故答案为：100．
15．若 ，则 ．
【答案】5
【详解】解：将等式两边化简，得到 ，
，
，
．
故答案为：5．
16．如图，正五边形 的边 ， 与 分别相切于点M，N，点P在 上，连接 ， ，
则 的度数为 °．
【答案】144
【详解】解：如图，连接 ， ，在优弧 上取一点Q，连接 ， ，
∵五边形 是正五边形，∴
∵正五边形 的边 ， 与 分别相切于点M，N，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是 内接四边形，
∴ ，
∴ ．
故答案为：144．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算与化简求值：
化简分式： ，并求值
（请从小宇和小丽的对话中确定 ， 的值）
【答案】 ，【详解】解：原式 …………（2分）
…………（3分）
…………（4分）
是3的相反数， 是大于1小于 的整数
， …………（6分）
原式
…………（7分）
18．（8分）P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据甲，乙，丙的排列顺序不同，可以得到
不同的算式并计算结果．
P
Q
K
(1)所给数字为“ ”时，
①按 的顺序列式并计算；
②按 的顺序列式并计算．
(2)若给出某个数，按 的顺序运算的结果为14，求符合条件的数．
例如：所给数字为“5”，按 的顺序运算，列得算
式：
．
计算：
原式＝
．
【答案】(1)①9；②6(2)【详解】（1）解：①按 的顺序，所给数字为“ ”时，
； …………（3分）
②按 的顺序，所给数字为“ ”时，
；…………（6分）
（2）解：若给出某个数，按 的顺序运算的结果为14，
则
，
即符合条件的数为 ．…………（8分）
19．（8分）数学家为解决“化圆为方”问题，将其转化为特殊的“化矩形为方”问题．化矩形为方指的
是给定任意矩形，作出和这个矩形面积相等的正方形．
如图，已知矩形 ．尺规作图完成“化矩形 为正方形 ”问题．以下为作图过程：
①以点B为圆心， 长为半径画弧，交 延长线于点E；
②分别以点A，E为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接 交 于点F，则点
F为 的中点；
③以点F为圆心， 长为半径画弧，交 延长线于点P；
④以 为边，在边 右侧作正方形 ，即“化矩形 为正方形 ”．(1)请按照作图过程中④的要求，用无刻度直尺和圆规将所给图形补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)根据已补充完整的图形解决问题：
在矩形 中，已知 ， ，
则 ______， ______，进而求得正方形 的边 ______．
由此可得 ，即达到“化矩形为方”的目的．
【答案】(1)见详解
(2)
【详解】（1）解：如图所示：
…………（3分）
（2）解：在矩形 中，已知 ， ，
∴ …………（4分）
则 ，
进而求得正方形 的边 …………（5分）
此时 ，…………（6分）∵ …………（7分）
∴ ，即达到“化矩形为方”的目的…………（8分）
20．（8分）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具．图1，图2是某环形粒
子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图， 是粒子真空室，C、D是两个加速
电极，高速飞行的粒子J在A点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次经过 时被加速，达到一定的
速度在B点引出，粒子注入和引出路径都与 相切．已知： ，粒子注入路径与 夹角
， 所对的圆心角是 ．
(1)求 的度数；
(2)通过计算，比较 与 的长度哪个更长；
(3)直接写出粒子J在环形运动过程中，粒子J到 的最远距离．（相关数据： ）
【答案】(1)
(2) 的长度更长，见解析
(3)粒子J到 的最远距离是
【详解】（1）解：如图，延长 交于G，
由题意得， 是 的切线，∴ ，
∴ ；…………（1分）
（2）解： 的长度更长，…………（2分）
∵ 所对的圆心角为 ， ，
∴ 的长度约为 ，
∵ ，
∴ 的长度更长；…………（3分）
（3）解：如图，过点O作 于点E，延长 交 于点P，连接 ，…………（4分）
∵ 是 的切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ， …………（5分）
∵ 是 的弦， 是弦心距， ，
∴ ， ，
∴ ，…………（6分）∴ ，
∴ ，…………（7分）
如图，当粒子J运动到P点时，离 的距离最远，
∴ ，
即粒子J到 的最远距离是 ．…………（8分）
21．（9分）为确保师生“吃得安全，吃得健康”，某学校切实履行监督职责，随机抽取8名教师和40名
家长做评委，对甲配餐公司提供的饭菜质量进行打分（百分制），并对他们的打分结果进行整理、描述、
分析，得到如下部分信息：
a.教师打分：82 85 88 90 90 90 91 96
b.家长打分的频数分布直方图如下（数据分5组：第1组 ，第2组 ，第3组
，第4组 ，第5组 ）：
c.评委打分的平均数、中位数、众数如下表：
平均 中位 众
数 数 数
教师评
89 90 m
委
家长评
91 n 91
委
根据以上信息，回答下列问题：
(1)①m的值为 ，n的值位于家长打分数据分组的第 组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为x，则x 89（填“ ”
“ ”或“ ”）.
(2)新学期即将开始，为了让家长对配餐公司有更多的了解，该校再组织这8名教师和40名家长考察乙配餐公司，并按教师打分（平均数）占 ，家长打分（平均数）占 ，确定配餐公司的最终得分，
通过计算，甲配餐公司的最终得分为90.2分.
①求k的值；
②若教师和家长评委对乙配餐公司打分的平均数分别为91分，89分，求乙配餐公司的最终得分，只比较
两家配餐公司的最终得分，学校下学期还会继续让甲配餐公司为师生提供服务吗？
【答案】(1)①90，3；②
(2)① ；②学校下学期还会继续让甲配餐公司为师生提供服务.
【详解】（1）解：①由题意得，教师评委打分中90出现的次数最多，故众数 ，…………（1分）
40名家长评委打分数据的中位数是第20、21个数的平均数，
故n的值位于家长评委打分数据分组的第3组；…………（2分）
故答案为：90；3；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为：
，
故答案为： ；…………（3分）
（2）解：① ，…………（6分）
解得 ；…………（7分）
② （分），…………（8分）
∵ ，
∴学校下学期还会继续让甲配餐公司为师生提供服务．…………（9分）
22．（9分）【定义1】对于给定的两个函数，任取自变量 的一个值，当 时，它们对应的函数值相
等；当 时，它们对应的函数值互为相反数．我们称这样的两个函数互为“友好函数”．
例如：一次函数 ，它的“友好函数”为 ；
【定义2】平面直角坐标系中将经过点 且垂直于 轴的直线记为直线 ．
已知一次函数 ，请回答下列问题：
(1)该一次函数的“友好函数”为 ；
(2)已知点 在该一次函数的“友好函数”的图像上，求 的值；(3)当 时，求该一次函数的“友好函数”的最大值和最小值；
(4)已知直线 与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点时，直接写出 的取值范围．
【答案】(1) (2) (3)最大值为 ，最小值为 (4)
【详解】（1）解：由题意，根据“友好函数”的定义，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为： ；…………（2分）
（2）解：由题意， 当 时，
点 在该一次函数的“友好函数”的图像上，
，
，符合题意；…………（3分）
当 时，
点 在该一次函数的“友好函数”的图像上，
，
，不符合题意；
综上， ；…………（4分）
（3）解：当 时， ， 随 的增大而减小，
当 时， 有最大值为 ，当 时， 有最大值为 ；
当 时， ， 随 的增大而增大，
当 时， 有最小值为 ，当 时， 有最大值为 ；
综上所述，该一次函数的“友好函数”的最大值为 ，最小值为 ；…………（6分）（4）解：由题意，画出一次函数 的“友好函数” 的图象如下：
…………（8分）
直线 与该一次函数的“友好函数”的图像只有一个交点，
．…………（9分）
23．（11分）如图，在 中， ， ， ，Q为 的中点．动点P从点A出
发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，连接 ，以 为边构造正方形 ，且边
与点B始终在边 同侧．设点P的运动时间为t秒 ．
(1)线段 的长为________；
(2)线段 的长为________（用含t的代数式表示）；
(3)当正方形 的顶点M落在 的边上时，求t的值；(4)当正方形 的边 的中点落在线段 上时，求t的值和正方形的面积．
【答案】(1)3(2) (3)t的值为2或 (4) ，
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ；…………（1分）
（2）解：∵动点P从点A出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，
∴ ，
∴ ；…………（2分）
（3）解：依题意，①当点M落在 上时，如图1，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ； …………（3分）
②当点M落在 上时，如图2，过点Q作 于点K，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
在 和 中．
∴
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，…………（5分）
∴当正方形 的顶点M落在 的边上，t的值为2或
（4）解：当点 的中点F落在 边上时，如图3，…………（6分）
过点Q作 于点E，
∴
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， …………（7分）
∴ ，
∴ ， …………（8分）
由（3）②可知 ， ，∴ ，
∴ ，…………（9分）
∴ ，
∴ ．…………（10分）
在 中，
，
∴ ．…………（11分）
24．（12分）为打造旅游休闲城市，某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河边打造喷水景观（如图1）．
为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图2是其截面图，已知绿道路面宽 米，河
道坝高 米，坝面 的坡比为 （其中 ），当水柱离喷水口O处水平距离为2米
时，离地平面距离的最大值为3米．
以O为原点建立平面直角坐标系，解决问题：
(1)求水柱所在抛物线的解析式；
(2)出于安全考虑，在河道的坝边A处安装护栏，若护栏高度为1.25米，判断水柱能否喷射到护栏上，说明
理由；
(3)河中常年有水，但一年中河水离地平面的距离会随着天气的变化而变化，水柱落入水中能荡起美丽的水
花，从美观角度考虑，水柱落水点要在水面上；
①河水离地平面 距离为多少时，刚好使水柱落在坝面截线 与水面截线的交点处？
②为保证水柱的落水点始终在水面上，决定安装可上下伸缩的喷水口，设坝中水面离地平面距离为h米，
喷水口离地平面的最小高度m随着h的变化而变化，直接写出m与h的关系式．【答案】(1)水柱所在抛物线的解析式为
(2)水柱不会喷射到护栏上，理由见详解
(3)①河水离地平面 距离为 米时，刚好使水柱落在坝面截线 与水面截线的交点处；②m与h的关
系式为
【详解】（1）解：当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，离地平面距离的最大值为3米，
∴抛物线的顶点坐标为 ，…………（1分）
以O为原点建立平面直角坐标系，
∴点 ，
设抛物线解析式为 ，把点 代入得， ，…………（3分）
解得， ，…………（4分）
∴水柱所在抛物线的解析式为 ；…………（5分）
（2）解：水柱不会喷射到护栏上，理由如下，…………（6分）
水柱所在抛物线的解析式为 ，对称轴直线为 ，
∴当 时的函数值与 时的函数值相等，…………（7分）
绿道路面宽 米，护栏高度为1.25米，
∴当 时， （米），…………（8分）
∵ ，
∴水柱不会喷射到护栏上；…………（9分）
（3）解：①河道坝高 米，坝面 的坡比为 （其中 ），
∴ ，
∴ （米），
∴点 到原点 的水平距离为 （米），即 ，且 ，设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得， （不符合题意，舍去）， ，
∴当 时， ，
∴河水离地平面 距离为 米时，刚好使水柱落在坝面截线 与水面截线的交点处；
②将抛物线 向上平移 米，
∴平移后的解析式为 ，
当坝中水面离地面平面距离为 米（取 米），则坝面截线 与水面截线的交点 的纵坐标为 ，
如图所示，
∵坝面 的坡比为 （其中 ），
∴ ，…………（11分）
∴ ，∴ ，…………（11分）
把点 代入平移后的抛物线解析得， ，
整理得， ，
∴m与h的关系式为 ．…………（12分）
