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2025 年中考第一次模拟考试（河北卷）
数学·参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D B C D B D B A D A D
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．
14．
15．
16． 或
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（7分）
【分析】本题考查整式的加减运算、一元二次方程的根的判别式以及一元二次方程的解法，解题的关键
是熟练运用整式的加减运算法则以及一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
(1) 假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，列出方程，然后将方程整理为一般式，再根据根的判
别式即可解答；
(2)根据题意列出方程，进而解方程即可求出x的值．
【详解】（1）解：不可能，理由：
假设抽到甲、丙两张卡片计算结果的值是1，
由题意可知： ，
，
，
，···································1分
，，
该方程没有实数根，··································3分
抽到甲、丙两张卡片的计算结果的值不可能是1；
（2）解：由题意可知 ，
，
，
，··································5分
，
解得： 或 ．··································7分
18．（8分）
【分析】本题考查了数字类规律问题、分式的化简和解一元二次方程的知识，
（1）根据题意列出算式，再进一步得出一元二次方程，解方程即可；
（2）根据A区、B区的计算结果列出分式，结合完全平方公式进行化简即可．
【详解】（1）A区显示的结果为： ；
B区显示的结果为： ，
根据 区、 区的代数式的值相等可得： ，
整理得： ，··································2分
解得： ， ，
即 的值为 或者 ；··································4分
（2）设从初始状态按4次后，
A区显示的结果为： ；
B区显示的结果为： ，
根据题意有分式： ，化简结果为： ．··································8分
19．（8分）
【分析】本题考查了抽样调查法，求平均数，用列表法求概率．
（1）根据题意，本次调查采取了抽样调查的调查方式，由扇形途中第一周课外阅读时间为 的人数占
，可求出本次抽样的总人数，再根据表格即可求出a的值；
（2）由四名课外阅读为 的学生第二周阅读时间分别为 ，可知第二周课外阅读时间为
的人数分别为4人，10人，11人，再根据平均数的计算公式分别求出第一周和第二周课外阅读
时间的平均数，进而即可得出答案；
（3）将四名学生在第二周课外阅读时间为 的用A表示，课外阅读时间为 的用B表示，课外阅读时
间为 的用C表示，列表格即可求解．
【详解】（1）根据题意，本次调查采取了抽样调查的调查方式，
总人数是 人，则 ；··································2分
（2） 第一周课外阅读时间为 的人数为8人，
第一周课外阅读时间的平均数为 ，
四名课外阅读为 的学生第二周阅读时间分别为 ，
第二周课外阅读时间为 的人数分别为4人，10人，11人，
第二周课外阅读时间的平均数为 ，
，··································4分
答：第二周课外阅读时间的平均数比第一周提高了 ；
（3）将四名学生在第二周课外阅读时间为 的用A表示，课外阅读时间为 的用B表示，课外阅读时
间为 的用C表示，
列表如下：由表格可知，共有12种等可能的结果，抽取的2人恰好在第二周课外阅读时间为 的结果有2种，
．··································8分
20．（8分）
【分析】（1）根据“ 系好点”的定义列式计算即可求解，
（2）设 ，其中 ，则 ，得到 ，即可求解，
（3）点 为点 的“ 系好点”，可得到A为 ，由 得到 ，
即可求解．
【详解】（1）解：∵点P＇是点 的“－2系好点”，
∴ ，即 ；··································2分
（2）解：设 ，其中 ，则 ，
∴ 轴，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ；··································5分
（3）解：∵ 的“1系好点”A为 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 在第二象限，
∴ ．··································8分
【点睛】本题主要考查了考查坐标与图形的性质，熟练掌握新定义并列出相关的方程和方程组是解题的
关键．21．（9分）
【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了折叠的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，
弧长的计算等知识点；
（1）当 时， 平分 ，此时点 与点 重合，由勾股定理得
；
（2）①证得 为等边三角形，进而求得 的长为 ，， ，
进一步比较即可；
②首先求出 的长，然后依据 代入数据解答即可．
【详解】（1）当 时， 平分 ，此时点 与点 重合，
，
，
， ，
；··································2分
（2）①当点 恰好落在 上时，连接 ，如图2，
把 沿 翻折，点 的对称点为 ，
，
∴ 为等边三角形，
，
的长为 ，··································4分平分 ， ，
，
，
∴ ；··································6分
② ， ，
，
．······················9分
22．（9分）
【分析】（1）如图所示，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，根据切线
的性质可得 ，根据垂径定理可得 ， ，根据正切值的计算
可得 ，根据勾股定理可得 ，所以 ，当粒子 到达点 时，离 的
距离最远，最远距离为 ；
（2）根据弧长公式计算得 的长约为 ，由此即可求解；
（3）由（1）可得 ， ，可求出圆的周
长， 的长度， 的长度，所以粒子 三次经过 被加速后被引出，粒子 在加速器内飞行距离
为： 倍圆的周长与 的长度的和，由此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，连接 ，∵ 是 的切线，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 是 的弦， 是弦心距， ， ，
∴ ， ，
∴ ，··································1分
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，··································3分
当粒子 到达点 时，离 的距离最远，最远距离为 ；
（2）解： 的长度更长，
理由：∵ 所对的圆心角为 ，且 ，
∴ 的长度为： ，且 ，·································5分
∵ ，
∴ 的长度更长；··································6分
（3）解：由（1）可得 ， ，
∴圆的周长为： ，则绕行两次的周长为： ， 的长度为：
， 的长度为： ，···························9分∴粒子 三次经过 被加速后被引出，粒子 在加速器内飞行距离为： ．
【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合知识，掌握圆的基础知识，切线的性质，锐角三角函数的计算，
弧长公式，垂径定理，合理作出辅助线，图形结合思想是解题的关键．
23．（11分）
【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点 坐标代
入即可求出第一象限内的抛物线解析式；
（2）直接令 ，解方程求出 的值，再根据函数的图象和性质，求出 时 的取值范围即
可；
（3）先作辅助线，作出直线 的平行线 ，使它与抛物线相切于点 ，然后设出直线 的解析式，联
立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线 的解析式，从而得到直线与 轴交点，
最后利用锐角三角函数求出直线 与直线 之间的距离．
【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为 ， ，
设第一象限内的抛物线解析式为 ，
将点 代入物线解析式，
，
解得 ，··································2分
第一象限内的抛物线解析式为 ；··································3分
（2）解：根据题意，令 ，
即 ，
解得 ， ，
，抛物线开口向下，
当 时， ，
的取值范围为 ；··································6分
（3）解：作直线 的平行线 ，使它与抛物线相切于点 ，分别交 轴， 轴于点 ， ，过点 ，
作 ，垂足为 ，如图所示，， ，
设直线 的解析式为 ，
联立直线与抛物线解析式，得 ，
整理得 ，··································7分
直线 与抛物线相切，
方程只有一个根，
，
解得 ，
直线 的解析式为 ，··································8分
令 ，则 ，
，
，
即 ，··································9分
射灯射出的光线与地面成 角，
，
，
，
，··································11分
光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为 米．【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，
关键是求抛物线解析式．
24．（12分）
【分析】（1）取 的中点 ，根据正方形的性质，证明 ，可得 ，当
最小时， 最小，而当 时， 最小，再由三角函数求出 即可；
（2）①根据正方形的性质，证明 ，分两种情况讨论，当点E在 下方时，证明
五点共圆，即可求出答案，同理，当点E在 上方时，证明 五点共圆，即可求
出答案；
②先证明 ，得 ，再分别求出 ， ，证明 得 ，证明
得 ，进而可得 ，可得 ，再由 值代入即可求出
；
（3）过点C作 于点P， 过点E作 于点Q， 于点T，可证四边形 是矩
形，再证 ，进而可证 是等腰直角三角形，再依次求出 ， ， ，即
可求出 ．
【详解】（1）解：取 的中点 ，
G为 的中点， 是 的中点，
， ，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
在 ，
， ，， ，
， ，
当 最小时， 最小，
当 时， 最小，
在 中， ，
的最小值为 ；··································2分
（2）①解： 四边形 是正方形， ，
， ，
， ，
， ， ，
如图3，当点E在 下方时，设 交 于点K， 交 于点L，
， ， 四点共圆，
四边形 是正方形， 四点共圆，
五点共圆， ，
；··································4分
如图4， 当点E在 上方时，设 交 于点O，
， 四点共圆，
四边形 是正方形， 四点共圆，五点共圆， ，
，··································5分
综上所述，当点D在线段 上运动时， 的度数为 或 ；
② 交线段 于点H， 点E在 下方，如图5，
由①知，
， ， ，
在 中，
， ，
四边形 是正方形， ，
， ，
， ， ，
， ，
， ，
， ， ，
，
， ，
；·································9分
（3）如图6，过点C作 于点P， 过点E作 于点Q， 于点T，，
在 中， ，
，
，
， ，
，
由（2）①得， ， ，
四边形 是正方形， ，
， ， ，
，
， 四边形 是矩形，
，
，
， ，
， ， ，
，
，
，
， 是等腰直角三角形，
，
，，
．··································12分
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数，正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三
角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
