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折线统计图，那么这五次测试成绩的方差是 ．
2025 年中考第二次模拟考试（镇江卷）
9．如图，已知五边形 为正五边形，以点A为圆心，以 的长为半径画弧，分别交 ， 的延长
数 学 试 题
线于点F，G，连接 ， ，则 ．
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 10．关于 的方程 无解，则 的值是 ．
请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分。
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效。 11．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子 分别与空竹 相切于点 ，且
3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗。
，连接左右两个绳柄 ， 经过圆心 ，分别交 于点 ，经测量 ，则图
一、填空题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
中阴影部分的面积为 ．
1． 的相反数是 ．
2．若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
3．已知一组数据7，5， ，9，10的平均数是7，则这组数据的中位数为 ．
4．化简 的结果是 ．
第11题
5．如图，在矩形 中， 在边 上， 为 中点， ， ， ，则线段
12．已知抛物线 （ 是常数）经过点 ，其对称轴为 ，且当 时，对应
的长为 ．
的函数值 ．下列结论：
① ；
②关于x的方程 的正实数根在1和 之间；
第5题 第6题
6．已知菱形 ，点 分别为边 的中点，若四边形 的面积为 ， ③若抛物线经过点 和 ，则点 在直线 的下方；
则菱形 的面积为 ．
④ 和 在该二次函数的图象上，则仅当实数 时，
7．如图，A是函数 的图象上一点，过点A作 轴， 交函数 的图象于点
其中正确的结论是 ．（填序号）
B，点C在x轴上，若 的面积是2，则k的值是 ．
二、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
13．国际学术期刊《自然》在2024年5月30日发表了我国生物专家朱家鹏教授及其团队研究成果，团队突
破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线
粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达 米，其中 用科学
第7题 第8题 第9题
记数法表示为（ ）
8．数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的A． B． C． D． 段的函数解析式为 ，结论正确的是（ ）
14．下列运算正确的是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④
A． B．
C． D．
15．习近平总书记指出：“提高人的健康素质，青少年是黄金期，
体育锻炼是增强少年儿童体质最有效的手段”．现从某校 名
初三学生每天体育锻炼时长的问卷中，随机抽取部分问卷，将这部
第17题 第18题
分学生的锻炼时长作为一个样本进行研究，并将结果绘制成条形统
18．门环，为我国古建筑“门文化”中的一部分，现有一个门环图片和抽象示意图如图所示，以正六边形
计图，其中一部分被遮盖．已知每天锻炼时长为 小时的学生人数
的对角线 的中点 为圆心， 为半径作 ， 切 于点 ，并交 于点 ，若
占样本总人数的 ，则下列说法正确的是（ ）
A．锻炼时长为 小时是这个样本的众数B．该样本中学生平均每天锻炼时长为 小时 ，则该圆的半径为（ ） ．
C．锻炼时长为 小时是这个样本的中位数D．该校锻炼用时为 小时的学生少于 名
A． B． C． D．
16．如图①，先沿着长方体左右两边的对角线将上方部分剪去，得到如图②的几何体，再用沿着图②图形
的前后两个面的对角线将右边部分剪去，得到如图③的几何体它在我国古代数学名著《九章算术》中被称 三、解答题（本大题共有10题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
为“阳马”．图③“阳马”的俯视图是（ ）
19．（8分）计算
(1) ． (2)化简： ．
A． B． C． D．
17．如图1，四边形 为菱形，动点 ， 同时从 点出发，点 以每秒1个单位长度沿线段 向终
20．（10分）（1）解方程组 （2）解不等式组：
点 运动；点 沿线段 向终点 运动，当点 运动至终点时，另一点 也恰好到达终点．设
运动时间为 秒， 的面积为 个平方单位，图2为 关于 的函数关系图象．下面四个结论中：①
菱形 的边长为6；②点 的运动速度为每秒3个单位长度；③当 时， ；④曲线
21．（6分）如图， 中， ，垂足为D， ，垂足为E， 与 相交于点F，．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， 求 的长
24．（6分）如图， 是 的直径，点 、 在 上， ，点 在线段 的延长线上，
且 ．
(1)求证： 与 相切；
(2)若 ， ，求 的长．
22．（6分）有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案 的卡片，A哪吒、
B敖丙、C申公豹、D太乙真人，现将这4张卡片（卡 片的形状、大小、
质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出
1张卡片，求下列事件发生的概率；
(1)第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为______；
(2)求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由）
23．（6分）“父母在，人生尚有来处，父母去，人生只剩归途”，近几年涌现了很多缅怀母亲的文艺作品， 25．（6分）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， ．
其中贾玲的《你好，李焕英》和毛不易的《一荤一素》正是其中的优秀代表，为了解学生对这两部作品的
(1)求点 的坐标；
评价，某调查小组从该校九年级中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行打分（满分10分），并进行
整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
(2)在抛物线上是否存在一点 ，使 ：若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请
《你好，李焕英》得分情况：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．抽
说明理由．
取的学生对两部作品分别打分的平均数，众数和中位数如下表．
平均数 众数 中位数
《你好，李焕
8.2 9
英》
《一荤一素》 7.9 8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中a，b，c的值；
(2)你认为该校九年级学生对哪部作品评价更高？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校九年级1100名学生都对《你好，李焕英》进行打分，试估计所打分数中满分的个数？
26．（8分）研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．
周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量．
方案设计：如图，观察员在地面上的点 处观察点 的仰角为 ．观察员在点 处竖直向上升起一架无人
机，当无人机到达离地面 的点 处时，测得钟楼顶端点 的俯角为 ，
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内， 两点的水平距离 ， ．请根据上述
数据，计算太原钟楼的顶端 到地面的距离．（结果精确到 ；参考数据： ， ，
， ， ， ）
27．（11分）我们称关于x的二次函数 为一次函数 和反比例函数 的“共同
28．（11分） 小珺对下面的三角形进行探究：
体”函数．一次函数 和反比例函数 的交点称为二次函数 的“共赢点”．
(1)二次函数 是哪两个函数的“共同体”函数？并求出它的“共赢点”；
(2)已知二次函数 与x轴的交点为M，N，有A，B两个“共赢点”，且 ，求a的值；
(3)若一次函数 和反比例函数 的“共同体”函数的两个“共赢点”的横坐标为 ， ，其中
如图1所示， 中， ， 外角的正切值为2，取 中点D与线段 上一点E，满足
．
实数 ， ．令 ，求L的取值范围． (1)小珺说：“ 的正切值可以通过证明相似三角形的方法求得．”请证明她的猜想；
(2)探究完 的正切值后，小珺神奇地发现： ．小珺进一步提出问题：如何利用
与直尺（无刻度），圆规作出一个角，使得它的正切值与 角的正弦值相等呢？请在图2中用两种
方法作出小珺要求的那个角，并对其中一种方法给予证明．
