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5．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，则
2025 年中考第二次模拟考试（南通卷）
∠FDC的度数为（ ）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 A．60° B．65° C．75° D．80°
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 6．若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2024＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n+1的值是（ ）
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 7．《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目
问折者高几何？”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈＝10尺），因虫害有病，一阵风吹来将
要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺？设折断处离
1．下列式子中，计算正确的是（ ）
地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．（x+2）2＝x2+4 B．2xy﹣2y＝x
A．x2+32＝（10﹣x）2 B．x2+32＝102
C．（x2y3）2＝x4y6 D．a10÷a5＝a2
C．x2+（10﹣x）2＝32 D．（10﹣x）2+32＝x2
2．若一个数用科学记数法表示为3.96×105，则这个数是（ ）
8．已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）在函数y＝﹣2x+b图象上，且x ＜0＜x ，则下列结论一定成立的是（
1 1 2 2 1 2
A．39600 B．396000
）
C．0.0000396 D．0.00000396
A．y +y ＜0 B．y +y ＞0 C．y ＜y D．y ＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
3．下列剪纸中，可看作轴对称图形的是（ ）
9．如图，矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝4cm，动点M从点A出发以1cm/s的速度沿折线AB﹣BC运动到
点C停止．连接AM，作MN⊥AM交CD于点N．设点M运动t s时，CN长为y cm，则y关于t的函数
图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体为（ ）
A． B．
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱锥C． D．
1 1
10．定义：如果两个实数m，n满足 + =1，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，
m n
16．若m是方程x2+x﹣4＝0的一个实数根，则代数式m3﹣5m+2024的值为 ．
a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（ ）
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数
15 9
A． B．6 C． D．3
2 2
k 6 1 AD 1
y= (x＞0) 与y=− （x＜0）的图象上．若tan∠OAB= ，且 = ，则k的值为 ．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程， x x 3 AB 2
请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．因式分解：2a2﹣8a+8＝ ．
12．若1＜√a＜2，则整数a的值可以是 ．（写出一个值即可）
13．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部6m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为52°．若测
角仪的高度是 1.6m，则建筑物 AB的高度约为 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：
sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）
18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线AB上一动点，
连接 OP．将线段 OP 绕点 O 顺时针旋转 90°得线段 OQ，以 OB，OQ 为一组邻边构造平行四边形
BOQH．连接OH，则线段OH的最小值为 .
14．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若弧CD与弧AB所在的圆心都为点O，则
弧CD与弧AB的长度之比为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
{x+4＞−2x+1
19．（10分）（1）解不等式组： ； （2）解方程：x−1 4 ．
x x−1 − =1
− ≤1 x+1 x2−1
1 2 3
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧分
2
别相交于M，N两点，画直线MN交AC于点E，连接BE，则∠EBC的度数为 °．20．（10分）在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级1班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、
蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张
纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品．
（1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是 ；
（2）丽丽决定参加游戏，请用树状图或列表法说明丽丽获得奖品的概率．21．（10分）【阅读材料】 （1）求证：∠COD＝2∠P；
老师的问题：如图，在 ABCD 中，点 E 在 BC小明的作法： （2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积．
上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边
（1）连接AC，BD，相交于点O；
形AECF，使得四边形AEC▱F是平行四边形．
（2）连接EO并延长，交AD于点F；
（3）连接CF．四边形AECF即为所求．
【解答问题】
请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由．
24．（12分）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相
关信息如表：
22．（12分）某校举办“绿色低碳，美丽中国”主题作品展活动，五名评委对每组同学的参赛作品进行打 时间：第x天（1≤x≤60，且x为整数）
分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给 1≤x≤30 31≤x≤60
出了部分信息． 日销售价（元/件） 0.5x+35 50
a．甲、乙两组参赛作品得分的折线图： 日销售量（件） 124﹣2x
设该商品的日销售利润为w元．
（1）求日销售利润w关于x的函数关系式；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
b．在给丙组参赛作品打分时，三位评委给出的分数分别为85，92，95，其余两位评委给出的分数均高
于85；
c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数与中位数：
甲组 乙组 丙组
平均分 88 m 90
中位数 n 92 92
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ；
（2）若某组作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组作品的评价越“一致”．据此推断：
对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是 组（填“甲”或“乙”）；
（3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由．
23．（10分）如图，AC是 O的直径，PA，PB是 O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为
E，AE交 O于点D，连⊙接OD． ⊙
⊙25．（13分）在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片 ABCD，其中AB＝3，BC＝4，要求各小 于点D，与y轴相交于点C．设△OCD的面积为S，且kS+2＝0．过点B作x轴的垂线交AO的延长线于点
1
组开展“矩形的折叠”探究活动． E，过点C，E分别作x轴的平行线l 1 ，l 2 ，直线l 3 （不平行于y轴）与抛物线y= x2有唯一公共点，分别交
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【操作猜想】 l ，l 于P，Q两点．
1 2
（1）求b的值；
（1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想：
（2）求点E的纵坐标；
甲小组的操作与猜想
操作：如图1，在AB，BC上分别取一点N，M，将△BMN沿直线MN翻折180°，得到 （3）探究CP2﹣CQ2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
△EMN．
猜想：当∠NME＝∠CAD 时，MN∥AC．
请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由；
【深入探究】
（2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当∠NME＝∠CAD 时，点E恰好落在矩形的对角线
AC上．请求出图中线段MN的长度；
【拓广延伸】
（3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当∠NME＝∠CAD 时，过点 E作
EF∥BC交射线CA于点F，若 EF＝EN，则BN的长是多少？请解答这个问题．
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26．如图，直线y＝kx+b（b＞0）与抛物线y= x2相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交
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