文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（南通卷）
数学·参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B C A A D D A
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过
程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．2（a﹣2）2．
12．3（答案不唯一）．
13．9.3
14．√2：1．
15．27．
16．2020．
2
17． ．
5
4
18． √5．
5
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
{x+4＞−2x+1①
19．（10分）【详解】（1） x x−1 ，
− ≤1②
2 3
解①得：x＞﹣1，（2分）
解②得：x≤4，（4分）
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤4．（5分）
x−1 4
（2） − =1，
x+1 x2−1
方程两边同乘（x+1）（x﹣1）得：（x﹣1）2﹣4＝x2﹣1，
整理得：x＝﹣1，（4分）
检验：将x＝﹣1代入x2﹣1＝0，x＝﹣1是增根，∴原分式方程无解．（5分）
1
20．（10分）【详解】（1）由题意得，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是 ．
4
1
故答案为： ．（4分）
4
（2）列表如下：
龙 蛇 马 羊
龙 （龙， （龙， （龙，
蛇） 马） 羊）
蛇 （蛇， （蛇， （蛇，
龙） 马） 羊）
马 （马， （马， （马，
龙） 蛇） 羊）
羊 （羊， （羊， （羊，
龙） 蛇） 马）
共有12种等可能的结果，其中丽丽抽到“龙”和“马”的结果有2种，
2 1
∴丽丽获得奖品的概率为 = ．（6分）
12 6
21．（10分）【详解】小明的作图方法正确，（2分）
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AF∥CE，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
{∠AFO=∠CEO
∠AOF=∠COE，
AO=CO
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形．（10分）
92+87+95+83+93
22．（12分）【详解】（1）由题意得，m= =90，
5
n＝86，
故答案为：90，86；（4分）
（2）由折线统计图可知，乙组数据的波动比甲组的小，所以五位评委评价更“一致”的是乙组．故答案为：乙；（8分）
（3）应该推荐丙组，理由如下：
由题意可知，乙组和丙组的平均数均为90分，比甲组的平均数88分高，所以从乙组和丙组推荐一个小
组的作品到区里参加比赛，又因为丙组的最低分比乙组的最低分高，所以应该推荐丙组．（12分）
23．（10分）
【解答】（1）证明：∵PA与 O相切于点A，
∴PA⊥OA， ⊙
∴∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°，
∵AE⊥PB，垂足为E，
∴∠AEP＝90°，
∴∠P+∠PAE＝90°，
∴∠OAD＝∠P，
∵∠COD＝2∠OAD，
∴∠COD＝2∠P．（5分）
（2）解：作OF⊥AD于点F，则∠OFA＝90°，
∵PB是 O的切线，
∴PB⊥O⊙B，
∴∠OBE＝∠BEF＝∠OFE＝90°，
∴四边形OBEF是矩形，
∵AC是 O的直径，且AC＝8，
∴OA＝O⊙D＝OB＝FE＝4，
∵∠OAD＝∠P＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，AD＝OA＝4，
1
∴AF＝DF= AD＝2，
2
∴AE＝AF+FE＝2+4＝6，OF 2 ，
=√OA2−AF2=√42−22= √3
AE 6
∵ = =tan60°=√3，
PE PE
∴PE＝2√3，1 1 60π×42 8π
∴S阴影 ＝S△PAE +△
OAD
﹣S扇形OAD =
2
×6×2√3+
2
×4×2√3−
360
=10√3−
3
，
8π
∴阴影部分的面积为10√3− ．（10分）
3
24．（12分）【详解】（1）当1≤x≤30时，
w＝（0.5x+35﹣30）（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620；
当31≤x≤60时，
w＝（50﹣30）（﹣2x+124）＝﹣40x+2480．
∴w与x的函数关系式为w
{−x2+52x+620(1≤x≤30)．（4分）
=
−40x+2480(31≤x≤60)
（2）当1≤x≤30时，
w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296．（6分）
∵﹣1＜0，
∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；
当31≤x≤60时，
w＝﹣40x+2480．
∵﹣40＜0，
∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240．
∵1296＞1240，（10分）
∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．（12分）
25．（13分）【详解】（1）甲小组的猜想正确，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD，
∵折叠，
∴∠BMN＝∠NME，
又∵∠NME＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BMN，
∴MN∥AC；（4分）
（2）在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴ ，
AC=√AB2+BC2=5
∵折叠，
∴ME＝MB，∠BMN＝∠NME，
由（1）可知MN∥AC，
∴∠EMN＝∠MEC，∠BMN＝∠BCA，
∴∠MEC＝∠BCA，
∴ME＝MC，
∴MC＝MB，
同理NA＝NB，
1 5
∴MN= AC= ；（8分）
2 2
（3）当点E在AC下方时，如图，延长ME交AC于点H，
同（2）可得∠MHC＝∠MCH，
∴MH＝MC，
∵EF∥BC，
∴∠EFH＝∠MCH，
∴∠MHC＝∠EFH，
∴EH＝EF，
由（1）可得∠NME＝∠BCA，
∴tan∠NME＝tan∠BCA．
∵∠NEM＝∠B＝90°，NE AB 3
∴ = = ，
EM BC 4
设NE＝3a，则EM＝4a，
∴EH＝EF＝EN＝3a，BM＝EM＝4a，
∴MH＝EH+EM＝7a，
∴MC＝MH＝7a，
∴4a+7a＝4，
4
∴a= ，
11
12
∴BN=NE=3a= ；
11
②当点E在AC下方时，设ME交AC于点H，如图，
同①可得BM＝EM＝4a，EH＝EF＝EN＝3a，
∴MH＝EM﹣EH＝a，
∴MC＝MH＝a，
∴a+4a＝4，
4
∴a= ，
5
12
∴BN=NE=3a= ；
5
12 12
综上，NB= 或 ．（13分）
11 5
26．【详解】（1）∵y＝kx+b（b＞0），
b
∴当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x=− ，
k
b
∴C（0，b），D(− ，0)，
k1 b b2
∴S= b⋅(− )=− ，
2 k 2k
∵kS+2＝0，
b2
∴− +2=0，
2
∵b＞0，
∴b＝2；（4分）
1
（2）设A(x
1
，
4
x
1
2 )，点B的横坐标为x
2
，则点E的横坐标为x
2
，
1
设直线OA为y＝tx，则 x2=x t，
4 1 1
1
解得t= x ，
4 1
1
∴直线OA的解析式为y= x x，
4 1
由（1）可知y＝kx+2，
1
令kx+2= x2，
4
整理得x2﹣4kx﹣8＝0，
则x ，x 是方程的两个实数根，
1 2
∴x x ＝﹣8，
1 2
1
将x＝x 代入y= x x，
2 4 1
1
得y= ×(−8)=−2，
4
∴点E的纵坐标为﹣2；（8分）
（3）是定值，理由如下：
设直线l 的解析式为y＝mx+n，
3
1
令mx+n= x2，
4
整理得x2﹣4mx﹣4n＝0，
∵直线y＝mx+n与抛物线只有一个交点，
∴（4m）2﹣4×（﹣4n）＝0，
∴n＝﹣m2，∴y＝mx﹣m2，
由（1）（2）可知C（0，2），E点的纵坐标为﹣2，
m2+2 m2−2
∴当y＝2时，x= ，当y＝﹣2时，x= ，
m m
m2+2 m2−2
∴P( ，2)，Q( ，−2)，
m m
m2+2 m2−2 m2−2
∴CP2=(
)
2，CQ2=(
)
2+(2+2) 2=(
)
2+16，
m m m
m2+2 m2−2 m2+2 m2−2 m2+2 m2−2 4
∴CP2−CQ2=( ) 2−( ) 2−16=( + )( − )−16=2m⋅ −16=8
m m m m m m m
﹣16＝﹣8，
∴CP2﹣CQ2的值为定值﹣8．（13分）
