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2025 年中考数学押题预测卷（南通卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为
10870元．10870这个数用科学记数法表示正确的是（ ）
A．0.1087×105 B．1.087×104
C．1.087×103 D．10.87×103
【答案】B
【解析】解：10870＝1.087×104．
故选：B．
n
2．若|m|＝2，|n|＝3，且|m+n|＝m+n，则 =（ ）
m
3 3 3 3 2 2
A． B．− C． 或− D． 或−
2 2 2 2 3 3
【答案】C
【解析】解：∵|m|＝2，|n|＝3，
∴m＝±2，n＝±3，
∵|m+n|＝m+n，
∴m＝2，n＝3或m＝﹣2，n＝3，
n 3
当m＝2，n＝3时， = ；
m 2
n 3 3
当m＝﹣2，n＝3时， = =− ，
m −2 2
故选：C．
3．下列几何体中，三视图都是圆的是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体
【答案】C
【解析】解：A．圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B．圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；C．球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故本选项符合题意．
D．正方体的三视图都是正方形，故本选项不合题意；
故选：C．
4．下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
5．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，则
∠FDC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
【答案】C
【解析】解：∵∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝60°，∠EDF＝90°﹣∠F＝45°，
∵ED∥AB，
∴∠A＝∠ADE＝60°，∴∠FDC＝180°﹣∠ADE﹣∠EDF＝75°，
故选：C．
6．某商店原来每天可销售某种水果100kg，每千克盈利7元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果
每千克降价1元，那么每天可多售出30kg，若要每天盈利800元，则每千克应降价多少元？设每千克应
降价x元，则所列方程是（ ）
A．（100+x）（7+x）＝800 B．（100+30x）（7﹣x）＝800
C．（100+30x）（7+x）＝800 D．（100+x）（7﹣30x）＝800
【答案】B
【解析】解：当每千克降价x元时，每千克的销售利润为（7﹣x）元，每天可售出（100+30x）千克．
根据题意得：（100+30x）（7﹣x）＝800．
故选：B．
7．如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于
点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）
A．4√2 B．2√5 C．5 D．3√2
【答案】B
【解析】解：由题意可得：OB＝4，BC＝2，
则OC=√OB2+BC2=√42+22=2√5，
故点M对应的数是：2√5．
故选：B．
k
8．如图，在平面直角坐标系中，点 A是反比例函数y= (k≠0)图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点
x
B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是△ABC的中位线，△OCD的面积为3，则k的值是（ ）
A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．12
【答案】A
【解析】解：设点A的坐标为A（a，b），则AB＝﹣a，OB＝b，k＝ab，
∵OD是△ABC的中位线，
1 1
∴OC＝OB＝b，OD= AB=− a
2 2
∵△OCD的面积为3，∠COD＝90°，
1 1 1 1
∴ OD⋅OC= ⋅(− a)⋅b=− ab=3，即ab＝﹣12，
2 2 2 4
∴k＝ab＝﹣12，
故选：A．
9．如图，在菱形ABCD中，∠B＝ ，点P是AB上一点（不与端点重合），点A关于直线DP的对称点为
E，连接AE，CE，则∠AEC的度α数为（ ）
1 1 1 1
A．60°+ α B．165°− α C．45°+ α D．180°− α
3 3 2 2
【答案】D
【解析】解：连接DE，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝ ，
∴AD＝CD，∠ADC＝∠B＝ ，α
∵点A关于直线DP的对称点α为E，
∴DP垂直平分AE，∴ED＝AD，
∴ED＝CD，
∴∠DAE＝∠DEA，∠DCE＝∠DEC，
∵∠ADE+∠CDE+∠DAE+∠DEA+∠DCE+∠DEC＝360°，
∴ +2（∠DEA+∠DEC）＝360°，
∴α+2∠AEC＝360°，
α 1
∴∠AEC＝180°− ，
2
α
故选：D．
1 1
10．定义：如果两个实数 m，n满足 + =1，则称m，n为一对“互助数”．已知 a，b为实数，且
m n
a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（ ）
15 9
A． B．6 C． D．3
2 2
【答案】A
【解析】解：根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n，
因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b，
化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3；
15 9 9
A．若p= ，则a2﹣b2＝2a= ，a= ，b2＝a2﹣2a＞0，故选项A正确；
2 2 4
3
B．若p＝6，则a2﹣b2＝2a＝3，a= ，b2＝a2﹣2a＜0，故选项B错误；
2
9 3 3
C．若p= ，则a2﹣b2＝2a= ，a= ，b2＝a2﹣2a＜0，故选项C错误；
2 2 4
D．若p＝3，则a2﹣b2＝2a＝0，a＝0，明显不符合题意，故选项D错误；
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过
程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．因式分解：a2﹣4b2＝ （ a + 2 b ）（ a ﹣ 2 b ） ．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：原式＝a2﹣（2b）2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．
12．若圆锥的母线为6，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积为 1 8 ．
【答案】见试题解答内容 π
【解析】解：依题意知母线长＝6，底面半径r＝3，
则由圆锥的侧面积公式得S＝ rl＝ ×3×6＝18 ．
故答案为：18 ． π π π
13．快递运载机器π人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m
（kg）的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量 m＝60kg时，它的最快移动速度 v＝
6m/s；当其载重后总质量m＝100kg时，它的最快移动速度v＝ 3. 6 m/s．
【答案】3.6．
【解析】解：∵智能机器人的最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数，机器狗载
重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s，
k
设反比例函数解析式为v= ，代入得：
m
k＝60×6＝360，
360
∴反比例函数解析式为v= ，
m
360
当m＝100时，v= =3.6(m/s)，
100
故答案为：3.6．
14．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部6m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为52°．若
测角仪的高度是1.6m，则建筑物AB的高度约为 9.3 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：
sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）【答案】9.3
【解析】解：过点D作DE⊥AB于E，
则四边形DCBE为矩形，
∴DE＝BC＝6m，BE＝CD＝1.6m，
AE
在Rt△ADE中，∠ADE＝52°，tan∠ADE= ，
DE
则AE＝DE•tan∠ADE≈6×1.28＝7.68（m），
∴AB＝AE+BE＝7.68+1.6≈9.3（m），
故答案为：9.3．
{ a−b(a≥b)
15．对于实数a，b，定义运算“※”：a※b = ．例如4※2，因为4＞2，所以4※2＝4﹣2
2b−a(a＜b)
＝2．若x ，x 是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则x ※x ＝ 4 或 1 ．
1 2 1 2
【答案】4或1．
【解析】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x ＝2，x ＝3或x ＝3，x ＝2．
1 2 1 2
当x ＝2，x ＝3时，x ※x ＝2×3﹣2＝4；
1 2 1 2
当x ＝3，x ＝2时，x ※x ＝3﹣2＝1．
1 2 1 2
∴x ※x ＝4或1．
1 2故答案为：4或1．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边AD上，BE与AC相交于点F．若DE＝3，则AF的
长为 1 ．
【答案】1．
【解析】解：∵AD＝4，DE＝3，
∴AE＝AD﹣DE＝4﹣3＝1．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＝AD＝4．
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴AC=√AB2+BC2=√32+42=5．
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
AF AE AF 1
∴ = ，即 = ，
CF CB 5−AF 4
解得：AF＝1，
经检验，AF＝1是所列方程的解，且符合题意，
∴AF的长为1．
故答案为：1．
17．若a2﹣5a+3＝0，b2﹣5b+3＝0，a≠b，则a+b﹣2ab的值是 ﹣ 1 ．
【答案】﹣1．
【解析】解：由题意可知：a与b为方程x2﹣5x+3＝0的两根，
∴a+b＝5，ab＝3，
∴a+b﹣2ab＝5﹣2×3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
k
18．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y= (k＞0)的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣4，0）为圆
x128
心，2为半径的 C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为3，则k的值为 ．
25
⊙
【答案】见试题解答内容
【解析】解：连接BP，由对称性得：OA＝OB，
而Q是AP的中点，
1
∴OQ= BP
2
∵OQ的长的最大值为3，则BP长的最大值为2×3＝6，
如图所示：
当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴与D，
∵CP＝2，
∴BC＝4，B在直线y＝2x上，
设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣4）＝t+4，即BD＝﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，
代入数据得：42＝（t+4）2+（﹣2t）2，
整理得：5t2+8t＝0，8
解得：t ＝0（舍去），或t =− ，
1 2 5
8 16
∴B(− ，− )，
5 5
k
∵B在反比例函数y= (k＞0)的图象上，
x
8 −16 128
∴k=− × = ．
5 5 25
128
故答案为： ．
25
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
{ x+ y=5
19．（10分）（1）解方程 ；
2x+3 y=8
3 a2−4a+4
（2）计算：（ −a+1）÷ ．
a+1 a+1
{ x=7 2+a
【答案】（1） ；（2） ．
y=−2 2−a
{ x+ y=5 ①
【解析】解：（1） ，
2x+3 y=8 ②
①×3﹣②，得
x＝7，
将x＝7代入①，得
y＝﹣2，
{ x=7
故原方程组的解是 ；
y=−2
3 a2−4a+4
（2）（ −a+1）÷
a+1 a+1
3−(a−1)(a+1) a+1
= ⋅
a+1 (a−2) 2
3−a2+1
=
(a−2) 2(2+a)(2−a)
=
(a−2) 2
2+a
= ．
2−a
20．（10分）移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和
“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付．
1
（1）甲选择“微信”支付的概率为 ；
2
（2）求三人选择同一种支付方式的概率．
【答案】见试题解答内容
【解析】解：（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中甲选择“微信”支付的结果有1种，
1
∴甲选择“微信”支付的概率为 ．
2
1
故答案为： ．
2
（2）画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中三人选择同一种支付方式的结果有2种，
2 1
∴三人选择同一种支付方式的概率为 = ．
8 4
21．（12分）某校组织七、八年级各200名学生进行“交通法规知识测试”（满分100分）．现分别在七、
八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩x（单位：分）进行统计，整理与分析如下：
测试成绩频数统计表
70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100
七年级 3 4 3
八年级 1 7 2测试成绩分析统计表
平均数 中位数 众数 方差
七年级 84 85 90 61
八年级 84 84 84 18.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）规定分数不低于80分记为“优秀”，估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共是
多少？
（2）根据以上的数据分析，任选两个角度评价七、八两个年级的学生掌握交通法规知识的水平情况．
【答案】（1）320人；
（2）见解析．
4+3 7
【解析】解：（1）七年级10名学生的成绩中不低于80分的所占比例为： = ，
10 10
7+2 9
八年级10名学生的成绩中不低于80分的所占比例为： = ，
10 10
7
∴七年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：200× =140（人），
10
9
∴八年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：200× =180（人），
10
140+180＝320（人）．
答：估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共约320名；
（2）∵七、八年级测试成绩的平均数相等，七年级测试成绩的中位数和众数大于八年级，
∴七年级的学生掌握交通法规知识的水平较好（答案不唯一）．
22．（10分）【阅读材料】
老师的问题：如图，在 ABCD 中，点 E 在 BC 小明的作法：
上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边
（1）连接AC，BD，相交于点O；
形 AECF，使得四边形▱AECF 是平行四边形．
（2）连接EO并延长，交AD于点F；
（ 3 ） 连 接 CF ． 四 边 形 AECF 即 为 所 求 ．
【解答问题】
请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由．
【答案】小明的作图方法正确，证明详见解答．【解析】解：小明的作图方法正确，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AF∥CE，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
{∠AFO=∠CEO
∠AOF=∠COE，
AO=CO
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
23．（10分）如图，AC是 O的直径，PA，PB是 O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为
E，AE交 O于点D，连⊙接OD． ⊙
（1）求证⊙：∠COD＝2∠P；
（2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解答；
8π
（2）10√3− ，
3
【解析】（1）证明：∵PA与 O相切于点A，
∴PA⊥OA， ⊙
∴∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°，
∵AE⊥PB，垂足为E，
∴∠AEP＝90°，
∴∠P+∠PAE＝90°，
∴∠OAD＝∠P，
∵∠COD＝2∠OAD，∴∠COD＝2∠P．
（2）解：作OF⊥AD于点F，则∠OFA＝90°，
∵PB是 O的切线，
∴PB⊥O⊙B，
∴∠OBE＝∠BEF＝∠OFE＝90°，
∴四边形OBEF是矩形，
∵AC是 O的直径，且AC＝8，
∴OA＝O⊙D＝OB＝FE＝4，
∵∠OAD＝∠P＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，AD＝OA＝4，
1
∴AF＝DF= AD＝2，
2
∴AE＝AF+FE＝2+4＝6，OF=√OA2−AF2=√42−22=2√3，
AE 6
∵ = = tan60°=√3，
PE PE
∴PE＝2√3，
1 1 60π×42 8π
∴S阴影 ＝S△PAE +△
OAD
﹣S扇形OAD =
2
×6×2√3+
2
×4×2√3−
360
=10√3−
3
，
8π
∴阴影部分的面积为10√3− ．
3
24．（12分）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相
关信息如表：
时间：第x天（1≤x≤60，且x为整数）
1≤x≤30 31≤x≤60
日销售价（元/件） 0.5x+35 50
日销售量（件） 124﹣2x设该商品的日销售利润为w元．
（1）求日销售利润w关于x的函数关系式；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
{−x2+52x+620(1≤x≤30)
【答案】（1）w= ；（2）该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销
−40x+2480(31≤x≤60)
售利润是1296元．
【解析】解：（1）当1≤x≤30时，
w＝（0.5x+35﹣30）（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620；
当31≤x≤60时，
w＝（50﹣30）（﹣2x+124）＝﹣40x+2480．
{−x2+52x+620(1≤x≤30)
∴w与x的函数关系式为w= ．
−40x+2480(31≤x≤60)
（2）当1≤x≤30时，
w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296．
∵﹣1＜0，
∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；
当31≤x≤60时，
w＝﹣40x+2480．
∵﹣40＜0，
∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240．
∵1296＞1240，
∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．
25．（13分）如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，折痕为EF；再一次对折纸片，使EF与BC
重合，折痕为GH；把纸片展平，MN也为折痕；点P为线段AD上一点，再次沿BP折叠矩形纸片，使
点A落在原矩形所在平面的点Q处．
问题解决：
（1）如图1，若点Q在线段EF上，延长PQ交BC于点W，求证：△BPW为等边三角形；
（2）如图2，若点Q在线段GH上，求tan∠ABP的值；
1
（3）矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，直线PQ交DC的延长线于点K．若CK= CD，求线段PD的
4长．
【答案】（1）证明详见解答；
√15
（2）tan∠ABP的值为 ；
5
7 7
（3）线段PD的长为 ．
3 3
【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBW，
∵△PBQ由△APB折叠得到，
∴△ABP≌△QBP，
∴∠APB＝∠OPB，∠PQB＝∠A＝90°，
∴∠PBW＝∠QPB，
∴BW＝PW，
由题意可知，AD∥EF∥BC，AE＝BE，
PQ AE
∴ = =1，
QW BE
PQ＝QW，
∵PB＝BW＝PW，
∴△PBW是等边三角形；
（2）设BP交GH于点R，AB＝4a，则BG＝a，
∵△PBQ由△PBA折叠得到，
∴△ABP≌△QBP，
∴AP＝PQ，∠APB＝∠QPB，BQ＝AB＝4a，
∵BG＝a，
∴GQ=√BQ2−BG2=√15a，
∵GQ∥AP，
∴∠APB＝∠PRQ，
∴△ABP∽△GBR，
GR BG 1
∴PQ＝RQ， = = ，
AP AB 4
∴RQ＝AP，
GR 1
∴ = ，
RQ 4
4√15
∴AP＝RQ= a，
5
4√15
a
∴tan∠ABR AP 5 √15，
= = =
AB 4a 5
√15
∴tan∠ABP的值为 ；
5
（3）记直线PK交边 BC于点T，由BC∥AD，可得△TKC∽△PKD，
TC CK 1
∴ = = ，
PD DK 5
设TC＝x，则PD＝5x，PQ＝AP＝4﹣5x，
同（1）可得BT＝PT＝4﹣x，
TQ＝（4﹣x）﹣（4﹣5x）＝4x，
在Rt△BQT中，BQ2+TO2＝BT2，
∴32+（4x）2＝（4﹣x）2，
7
解得x ＝﹣1（舍去），x = ，
1 2 15
7
∴PD＝5x= ，
3
7
∴线段PD的长为 ．
3
26．（13分）已知抛物线y＝a（x﹣4）2（a＞0）的顶点为C，抛物线与直线y＝kx+1﹣4k交于A、B两点，
点A在点B的左侧．
（1）直线经过定点D，点D的坐标是 （ 4 ， 1 ） ；
（2）如果直线y＝kx+1﹣4k绕点D旋转的过程中，AC与BC始终互相垂直，求a的值；
（3）抛物线与y轴交于点E，直线与y轴交于点F，如果S△ABE ＝3S△ABC ，求S△ABC 的最小值．
【答案】（1）（4，1）．
（2）a＝1．
（3）S△ABC 最小值=√3．【解析】解：（1）∵直线y＝kx+1﹣4k＝k（x﹣4）+1，
∴x＝4时，y＝1，
故定点D坐标为（4，1），
故答案为：（4，1）．
（2）如图：过A作AD⊥x轴，过B作BF⊥x轴．
联立y＝a（x﹣4）2和y＝kx+1﹣4k得ax2﹣（8a+k）x+16a+4k﹣1＝0，
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
8a+k 16a+4k−1
∴x +x = ，x x = ，
1 2 a 1 2 a
∵∠DAC+∠ACD＝∠ACD+∠BCF＝90°，
∴∠DAC＝∠BCF，
∵∠ADC＝∠BFC＝90°，
∴△ADC～△CFB，
AD DC
∴ = ，
CF BF
∵C（4，0），
y 4−x
∴ 1 = 1 ，
x −4 y
2 2
∴y y ＝（4﹣x ）（x ﹣4），
1 2 1 2
∴y y ＝4（x +x ）﹣x x ﹣16，
1 2 1 2 1 2
∴（kx +1﹣4k）（kx +1﹣4k）＝4（x +x ）﹣x x ﹣16，
1 2 1 2 1 2
∴[kx +（1﹣4k）][kx +（1﹣4k）]＝4（x +x ）﹣x x ﹣16，
1 2 1 2 1 2
∴（k2+1）x x +（k﹣4k2﹣4）（x +x ）+（1﹣4k）2+16＝0，
1 2 1 2
16a+4k−1 8a+k
∴（k2+1）• +（k﹣4k2﹣4）• +（1﹣4k）2+16＝0，
a a∴（k2+1）（16a+4k﹣1）+（k﹣4k2﹣4）（8a+k）+a（1﹣4k）2+16a＝0，
∴16ak2+4k3﹣k2+16a+4k﹣1+8ak﹣32ak2﹣32a+k2﹣4k3﹣4k+a﹣8ak+16ak2+16a＝0，
∴a＝1．
（3）过E作EM⊥FB，过C作CN⊥FB．如图：
由S△ABE ＝3S△ABC ，得EM＝3CN．
4k−1
由y＝kx+1﹣4k得F（1﹣4k，0），P（ ，0），
k
由y＝a（x﹣4）2得E（0，16a），C（4，0），
由（1）得D（4，1）．
∵EO∥CD，
∴∠EFM＝∠CDN，
∠EMF＝∠CND＝90°，
∴△EMF～△CND，
EF EM
∴ = = 3．
CD CN
∴EF＝3CD，
∴16a﹣（1﹣4k）＝3×1，
∴k＝1﹣4a．
由（2）知A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
8a+k 16a+4k−1
∴x +x = ，x x = ，
1 2 a 1 2 a
∴S△ABC
＝S△PCB ﹣S△PCA1 4k−1
= （4− ）（y ﹣y ）
2 k 2 1
1
= （kx +1﹣4k﹣kx ﹣1+4k）
2k 2 1
1
= （x ﹣x ）
2 2 1
1
= √(x +x ) 2−4x x
2 1 2 1 2
1√ 8a+k 16a+4k−1
= ( ) 2−4×
2 a a
1√ 8a+1−4a 16a+4(1−4a)−1
= ( ) 2−4×
2 a a
1√ 1 4
= − +16
2 a2 a
1√ 1
= ( −2) 2+12，
2 a
1 1√ 1
∴a =
2
时，S△ABC ==
2
(
a
−2) 2+12=√3，
故S△ABC 最小值=√3．
