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2025 年中考第二次模拟考试（南通卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列式子中，计算正确的是（ ）
A．（x+2）2＝x2+4 B．2xy﹣2y＝x
C．（x2y3）2＝x4y6 D．a10÷a5＝a2
1．C
【分析】利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行
运算即可．
【详解】A、（x+2）2＝x2+4x+4，故A不符合题意；
B、2xy与﹣2y不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C、（x2y3）2＝x4y6，故C符合题意；
D、a10÷a5＝a5，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应
的运算法则的掌握．
2．若一个数用科学记数法表示为3.96×105，则这个数是（ ）
A．39600 B．396000
C．0.0000396 D．0.00000396
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】3.96×105＝396000．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法，关键是掌握n的值的确定方法，当原数大于等于10时，n等于原数的整
数数位减1．
3．下列剪纸中，可看作轴对称图形的是（ ）A． B．
C． D．
3．D
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】选项A、B、C的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，所以不是轴对称图形．
选项D的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称
图形．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体为（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱锥
4．B
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【详解】由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥．
故选：B．
【点睛】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，
解题的关键是具有一定的空间概念．
5．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，则∠FDC的度数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．80°
5．C
【分析】先利用三角形内角和定理可得∠A＝60°，∠EDF＝45°，然后利用平行线的性质可得∠A＝
∠ADE＝60°，从而利用平角定义进行计算，即可解答．
【详解】∵∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，
∴∠A＝90°﹣∠C＝60°，∠EDF＝90°﹣∠F＝45°，
∵ED∥AB，
∴∠A＝∠ADE＝60°，
∴∠FDC＝180°﹣∠ADE﹣∠EDF＝75°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解
题的关键．
6．若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2024＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n+1的值是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
6．A
【分析】根据关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2024＝0（m≠0）的一个解是x＝1，可以得到m+n﹣2024
＝0，从而可以得到m+n＝2024，进而得到m+n+1＝2025．
【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2024＝0（m≠0）的一个解是x＝1，
∴m+n﹣2024＝0，
∴m+n＝2024，
∴m+n+1＝2025，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立．
7．《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三
尺，问折者高几何？”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈＝10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺？设折
断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+32＝（10﹣x）2 B．x2+32＝102
C．x2+（10﹣x）2＝32 D．（10﹣x）2+32＝x2
7．A
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用
勾股定理列出方程即可．
【详解】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题出现出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一
元二次方程是解题的关键．
8．已知点A（x ，y ）、B（x ，y ）在函数y＝﹣2x+b的图象上，且x ＜0＜x ，则下列结论一定成立的是
1 1 2 2 1 2
（ ）
A．y +y ＜0 B．y +y ＞0 C．y ＜y D．y ＞y
1 2 1 2 1 2 1 2
8．D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【详解】∵k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小，
∵x ＜0＜x ，
1 2
∴y ＞y
1 2
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．
9．如图，矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝4cm，动点M从点A出发以1cm/s的速度沿折线AB﹣BC运动到
点C停止．连接AM，作MN⊥AM交CD于点N．设点M运动t s时，CN长为y cm，则y关于t的函数
图象大致为（ ）A． B．
C． D．
9．D
【分析】分点M在AB和BC上运动两种情况，分别根据矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二
次函数的性质求出函数解析式，最后根据函数解析式判断即可．
【详解】①当点M在边AB上时，即0≤t≤5，
∵MN⊥AB，
∴四边形MBCN为矩形，
∴CN＝MB＝AB﹣AM，
即y＝5﹣t（0≤t≤5）；
②当点M在边BC上时，即5＜t≤9，则MB＝t﹣5，CM＝4﹣（t﹣5）＝9﹣t，
如图所示：
∵MN⊥AM，
∴∠NMA＝90°，
∴∠NMC+∠AMB＝90°，
∵∠AMB+∠MAB＝90°，
∴∠MAB＝∠NMC，
∵∠C＝∠B＝90°，
∴△MNC∽△MAB，CN CM
∴ = ，
BM BA
CM⋅BM
即CN= ，
BA
∵BM＝t﹣5，AB＝5，CN＝y，CM＝9﹣t，
(9−t)(t−5) 1 1 4
∴y= =− （t2﹣14t+45）=− （t﹣7）2+ ，
5 5 5 5
{ 5−t(0≤t≤5)
综上，y = 1 4 ．
− (t−7) 2+ (5＜t≤9)
5 5
故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的图
象等知识点，根据题意确定函|数解析式是解答本题的关键．
1 1
10．定义：如果两个实数 m，n满足 + =1，则称m，n为一对“互助数”．已知 a，b为实数，且
m n
a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（ ）
15 9
A． B．6 C． D．3
2 2
10．A
【分析】根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n，因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b，化简得：a2﹣
b2＝2a＝p﹣3，将每个选项的数字代入，看能否求解出符合要求的实数a、b即可．
【详解】根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n，
因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b，
化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3；
15 9 9
A．若p= ，则a2﹣b2＝2a= ，a= ，b2＝a2﹣2a＞0，故选项A正确；
2 2 4
3
B．若p＝6，则a2﹣b2＝2a＝3，a= ，b2＝a2﹣2a＜0，故选项B错误；
2
9 3 3
C．若p= ，则a2﹣b2＝2a= ，a= ，b2＝a2﹣2a＜0，故选项C错误；
2 2 4
D．若p＝3，则a2﹣b2＝2a＝0，a＝0，明显不符合题意，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，关键在于根据互助数的定义，得到a2﹣b2＝2a＝p﹣3，然后将每个选项的数字代入验证即可．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过
程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．因式分解：2a2﹣8a+8＝ 2 （ a ﹣ 2 ） 2 ．
11．见试题解答内容
【分析】首先提取公因式2，进而利用公式法分解因式即可．
【详解】2a2﹣8a+8＝2（a2﹣4a+4）＝2（a﹣2）2．
故答案为：2（a﹣2）2．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用公式法分解因式是解题关键．
12．若1＜√a＜2，则整数a的值可以是 3 （答案不唯一） ．（写出一个值即可）
12．3（答案不唯一）．
【分析】运用算术平方根知识进行估算、求解．
【详解】∵1＜√3＜2，
∴整数a的值可以是3，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用平方根知识进行求解．
13．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部6m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为52°．若
测角仪的高度是1.6m，则建筑物AB的高度约为 9.3 m．（结果保留小数点后一位，参考数据：
sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）
13．9.3
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可．
【详解】过点D作DE⊥AB于E，
则四边形DCBE为矩形，
∴DE＝BC＝6m，BE＝CD＝1.6m，AE
在Rt△ADE中，∠ADE＝52°，tan∠ADE= ，
DE
则AE＝DE•tan∠ADE≈6×1.28＝7.68（m），
∴AB＝AE+BE＝7.68+1.6≈9.3（m），
故答案为：9.3．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数
的定义是解题的关键．
14．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若弧CD与弧AB所在的圆心都为点O，
则弧CD与弧AB的长度之比为 √2 ： 1 ．
14．√2：1．
【分析】根据勾股定理分别求出OC、OD，根据勾股定理的逆定理得到∠COD＝90°，根据弧长公式计
算，得到答案．
【详解】由勾股定理得，OC＝OD=√22+22=2√2，
则OC2+OD2＝CD2，
∴∠COD＝90°，
90π×2√2 90π×2
∴C^D与^AB的长度之比= ： =√2：1，
180 180
故答案为：√2：1．
nπr
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式l= 是解题的关键．
1801
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧
2
分别相交于M，N两点，画直线MN交AC于点E，连接BE，则∠EBC的度数为 2 7 °．
15．27．
【分析】根据三角形的内角和定理、线段的垂直平分线的性质及角的和差求解．
【详解】∵AB＝AC，∠A＝42°，
1
∴∠C＝∠ABC= ×（180°﹣42°）＝69°，
2
由作图得：MN垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝42°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝27°，
故答案为：27．
【点睛】本题考查了基本作图，掌握三角形的内角和定理、线段的垂直平分线的性质及角的和差是解题
的关键．
16．若m是方程x2+x﹣4＝0的一个实数根，则代数式m3﹣5m+2024的值为 202 0 ．
16．2020．
【分析】把x＝m代入方程x2+x﹣4＝0，得出关于m的一元二次方程，再整体代入．
【详解】当x＝m时，方程x2+x﹣4＝0为m2+m﹣4＝0，
即m2+m＝4，m2＝4﹣m，
所以，m3﹣5m+2024
＝m（4﹣m）﹣5m+2024
＝4m﹣m2﹣5m+2024
＝﹣（m2+m）+2024
＝﹣4+2024
＝2020，故答案为：2020．
【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考
查了整体代入的思想．
17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数
k 6 1 AD 1 2
y= (x＞0) 与y=− （x＜0）的图象上．若tan∠OAB= ，且 = ，则k的值为 ．
x x 3 AB 2 5
2
17． ．
5
【分析】作DM⊥x轴于点M，CF⊥y轴于点F，由AD/AB＝1/2，设AD＝a，AB＝2a，证明∠ADM＝
1 DM 1 √10a
∠OAB 得 tan∠ADM＝tan∠OAB= ，则 = ，即 DM＝3AM，进而得 AM＝√ ，DM
3 AM 3 10
3√10a DM AM AD 1 3√10a √10a
= ，证明△DMA∽△AOB得 = = = ，则OA＝2DM= ，OB＝2AM=
10 OA OB AB 2 5 5
√10a √10a 3√10a 6
，OM＝OA﹣AM= ，从而得点D(− ， )，根据点D在反比例函数y=− （x＜0）
2 2 10 x
√10a 3√10a √10 3√10 2√10
的图象上得− × =−6，由此解出a＝2，则AM= ，DM= ，OB= ，证明
2 10 5 5 5
√10 3√10 √10
△ADM 和△CBF 全等得 CF＝AM= ，BF＝DM= ，则 OF＝BF﹣OB= ，从而得点 C
5 5 5
√10 √10 k
( ， )，将点C坐标代入反比例函数y= 之中即可求出k的值．
5 5 x
【详解】作DM⊥x轴于点M，CF⊥y轴于点F，如图所示：AD 1
∵ = ，
AB 2
∴设AD＝a，AB＝2a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝CB＝a，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∵∠ADM+∠DAM＝90°，∠DAM+∠OAB＝90°，
∴∠ADM＝∠OAB，
1
∴tan∠ADM＝tan∠OAB= ，
3
DM 1
即 = ，
AM 3
∴DM＝3AM，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM2+DM2＝AD2，
即AM2+（3AM）2＝a2，
√10a
∴AM= ，
10
3√10a
∴DM= ，
10
∵∠ADM＝∠OAB，∠DMA＝∠AOB＝90°，
∴△DMA∽△AOB，
DM AM AD 1
∴ = = = ，
OA OB AB 2
3√10a √10a
∴OA＝2DM= ，OB＝2AM= ，
3 5
3√10a √10a √10a
∴OM＝OA﹣AM= − = ，
5 10 2
√10a 3√10a
∴点D(− ， )，
2 106
∵点D在反比例函数y=− （x＜0）的图象上，
x
√10a 3√10a
∴− × =−6，
2 10
解得：a ＝2，a ＝﹣2（不合题意，舍去），
1 2
√10 3√10 2√10
∴AM= ，DM= ，OB= ，
5 5 5
∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBF＝90°，
∴∠OAB＝∠CBF，
又∵∠ADM＝∠OAB，
∴∠ADM＝∠CBF，
在△ADM和△CBF中，
{
∠ADM=∠CBF
∠DMA=∠BFC=90°，
AD=CB
∴△ADM≌△CBF（AAS），
√10 3√10
∴CF＝AM= ，BF＝DM= ，
5 5
3√10 2√10 √10
∴OF＝BF﹣OB= − = ，
5 5 5
√10 √10
∴点C( ， )，
5 5
k
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
x
√10 √10 2
∴k= × = ．
5 5 5
2
故答案为：
5
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相
似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质，
全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计
算是解决问题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线AB上一动点，
连接 OP．将线段 OP 绕点 O 顺时针旋转 90°得线段 OQ，以 OB，OQ 为一组邻边构造平行四边形4
BOQH．连接OH，则线段OH的最小值为 √5 .
5
4
18． √5．
5
【分析】“瓜豆模型”主要用于解决动点问题，在这个模型中，有两个动点，一个动点（母点）的运动
轨迹是确定的，另一个动点（子点）的运动轨迹与母点的运动轨迹相关，且子点的运 动轨迹是由母点
的运动轨迹所确定的．本题母点为点 P，在直线y＝2x+8上移动，OP绕点O顺时针旋转90°得线段
OQ，所以点Q运动轨迹也是一条直线，然后根据A，B两点确定 点Q运动轨迹的两点可得出该解析式
和点H坐标，最后再根据勾股定理和一元二次方程的知识点求出OH最小值即可．
【解答】解∵∠POQ 始终为90°，
当点P移动到B点的位置时，点Q坐标为（0，4），
当点P移动到A点的位置时，点Q坐标为（8，0），
设点M坐标为（0，4），设点N坐标为（8，0），
连接MN，设该直线的解析式为：y＝kx+b，
{ b=4
代入点M、点N，得： ，
8k+b=0{
b=4
解得 1，
k=−
2
1
∴y=− x+4，
2
1
设Q(a，− a+4)，
2
1
∴由平行四边形的性质可得：H（a﹣4，− a+4），
2
1
∴OH2=(a−4) 2+(− a+4) 2
2
1
=a2−8a+16+ a2−4a+16
4
5 24 16
= (a− ) 2+ ，
4 5 5
24
∴当a= 时，OH的值最小，
5
√16 4
∴OH = = √5，
min 5 5
4
故答案为： √5．
5
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解直角三角形、平行四边形的性质，掌
握“瓜豆模型”找到点Q的运动轨迹是一条直线是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
{x+4＞−2x+1
19．（10分）（1）解不等式组： x x−1 ；
− ≤1
2 3
x−1 4
（2）解方程： − =1．
x+1 x2−1
19．（1）﹣1＜x≤4．（2）原分式方程无解．
【分析】（1）分别解出不等式①②后再得到不等式组的解集即可；
（2）根据解分式方程的步骤解出方程的解，再进行检验即可得到结果．
{x+4＞−2x+1①
【详解】（1） x x−1 ，
− ≤1②
2 3解①得：x＞﹣1，
解②得：x≤4，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤4．
x−1 4
（2） − =1，
x+1 x2−1
方程两边同乘（x+1）（x﹣1）得：（x﹣1）2﹣4＝x2﹣1，
整理得：x＝﹣1，
检验：将x＝﹣1代入x2﹣1＝0，x＝﹣1是增根，
∴原分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的检验是关键．
20．（10分）在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级1班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、
蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张
纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品．
1
（1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是 ；
4
（2）丽丽决定参加游戏，请用树状图或列表法说明丽丽获得奖品的概率．
1
20．（1） ．
4
1
（2） ．
6
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及丽丽抽到“龙”和“马”的结果数，再利用概率公式可得出
答案．
1
【详解】（1）由题意得，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是 ．
4
1
故答案为： ．
4
（2）列表如下：
龙 蛇 马 羊
龙 （龙， （龙， （龙，
蛇） 马） 羊）
蛇 （蛇， （蛇， （蛇，
龙） 马） 羊）马 （马， （马， （马，
龙） 蛇） 羊）
羊 （羊， （羊， （羊，
龙） 蛇） 马）
共有12种等可能的结果，其中丽丽抽到“龙”和“马”的结果有2种，
2 1
∴丽丽获得奖品的概率为 = ．
12 6
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题
的关键．
21．（10分）【阅读材料】
老师的问题：如图，在 ABCD 中，点 E 在 BC 小明的作法：
上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边
（1）连接AC，BD，相交于点O；
形 AECF，使得四边形▱AECF 是平行四边形．
（2）连接EO并延长，交AD于点F；
（ 3 ） 连 接 CF ． 四 边 形 AECF 即 为 所 求 ．
【解答问题】
请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由．
21．小明的作图方法正确，证明详见解答．
【分析】由平行四边形的性质可得 OA＝OC，AF∥CE，得∠AFO＝∠CEO，进而证明△AOF≌△COE
（AAS），得到OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证．
【详解】小明的作图方法正确，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AF∥CE，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
{∠AFO=∠CEO
∠AOF=∠COE，
AO=CO
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，∴四边形ABCD为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边
形的判定和性质．
22．（12分）某校举办“绿色低碳，美丽中国”主题作品展活动，五名评委对每组同学的参赛作品进行打
分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给
出了部分信息．
a．甲、乙两组参赛作品得分的折线图：
b．在给丙组参赛作品打分时，三位评委给出的分数分别为85，92，95，其余两位评委给出的分数均高
于85；
c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数与中位数：
甲组 乙组 丙组
平均分 88 m 90
中位数 n 92 92
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ 9 0 ，n＝ 8 6 ；
（2）若某组作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组作品的评价越“一致”．据此推
断：对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是 乙 组（填“甲”或“乙”）；
（3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由．
22．（1）90，86；
（2）乙；
（3）应该推荐丙组，理由见解答．
【分析】（1）根据算术平均数的定义和中位数的定义列式计算即可；
（2）根据方差的定义和意义求解即可；
（3）根据平均数和中位数的定义求解即可．92+87+95+83+93
【详解】（1）由题意得，m= =90，
5
n＝86，
故答案为：90，86；
（2）由折线统计图可知，乙组数据的波动比甲组的小，所以五位评委评价更“一致”的是乙组．
故答案为：乙；
（3）应该推荐丙组，理由如下：
由题意可知，乙组和丙组的平均数均为90分，比甲组的平均数88分高，所以从乙组和丙组推荐一个小
组的作品到区里参加比赛，又因为丙组的最低分比乙组的最低分高，所以应该推荐丙组．
【点睛】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
23．（10分）如图，AC是 O的直径，PA，PB是 O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为
E，AE交 O于点D，连⊙接OD． ⊙
（1）求证⊙：∠COD＝2∠P；
（2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积．
23．（1）证明见解答；
8π
（2）10√3− ，
3
【分析】（1）由PA与 O相切于点A，得PA⊥OA，则∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°，由AE⊥PB于点
E，得∠AEP＝90°，则∠⊙P+∠PAE＝90°，所以∠OAD＝∠P，则∠COD＝2∠OAD＝2∠P；
（2）作OF⊥AD于点F，由PB是 O的切线，得PB⊥OB，可证明四边形OBEF是矩形，由 O的直
径AC＝8，得OA＝OD＝OB＝FE＝⊙4，而∠OAD＝∠P＝60°，则△AOD是等边三角形，所以∠⊙AOD＝
AE 6
60°，AD＝OA＝4，则AF＝DF＝2，求得AE＝6，OF＝2√3，由 = =tan60°=√3，求得PE＝2√3
PE PE
8π
，即可由S阴影 ＝S△PAE +△
OAD
﹣S扇形OAD 求得S阴影 ＝10√3−
3
．
【解答】（1）证明：∵PA与 O相切于点A，
∴PA⊥OA， ⊙∴∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°，
∵AE⊥PB，垂足为E，
∴∠AEP＝90°，
∴∠P+∠PAE＝90°，
∴∠OAD＝∠P，
∵∠COD＝2∠OAD，
∴∠COD＝2∠P．
（2）解：作OF⊥AD于点F，则∠OFA＝90°，
∵PB是 O的切线，
∴PB⊥O⊙B，
∴∠OBE＝∠BEF＝∠OFE＝90°，
∴四边形OBEF是矩形，
∵AC是 O的直径，且AC＝8，
∴OA＝O⊙D＝OB＝FE＝4，
∵∠OAD＝∠P＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，AD＝OA＝4，
1
∴AF＝DF= AD＝2，
2
∴AE＝AF+FE＝2+4＝6，OF=√OA2−AF2=√42−22=2√3，
AE 6
∵ = = tan60°=√3，
PE PE
∴PE＝2√3，
1 1 60π×42 8π
∴S阴影 ＝S△PAE +△
OAD
﹣S扇形OAD =
2
×6×2√3+
2
×4×2√3−
360
=10√3−
3
，
8π
∴阴影部分的面积为10√3− ．
3【点睛】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、
圆周角定理、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、
三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（12分）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相
关信息如表：
时间：第x天（1≤x≤60，且x为整数）
1≤x≤30 31≤x≤60
日销售价（元/件） 0.5x+35 50
日销售量（件） 124﹣2x
设该商品的日销售利润为w元．
（1）求日销售利润w关于x的函数关系式；
（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
{−x2+52x+620(1≤x≤30)
24．（1）w= ；（2）该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利
−40x+2480(31≤x≤60)
润是1296元．
【分析】（1）依据题意，当1≤x≤30时，w＝（0.5x+35﹣30）（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620；又当
31≤x≤60时，w＝（50﹣30）（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，进而计算可以得解；
（2）依据题意，结合（1）的解析式，根据二次函数的性质计算可以得解．
【详解】（1）当1≤x≤30时，
w＝（0.5x+35﹣30）（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620；
当31≤x≤60时，
w＝（50﹣30）（﹣2x+124）＝﹣40x+2480．
{−x2+52x+620(1≤x≤30)
∴w与x的函数关系式为w= ．
−40x+2480(31≤x≤60)
（2）当1≤x≤30时，
w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296．
∵﹣1＜0，
∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；
当31≤x≤60时，
w＝﹣40x+2480．∵﹣40＜0，
∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240．
∵1296＞1240，
∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是
关键．
25．（13分）在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，要求各
小组开展“矩形的折叠”探究活动．
【操作猜想】
（1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想：
甲小组的操作与猜想
操作：如图1，在AB，BC上分别取一点N，M，将△BMN沿直线MN翻折180°，得到
△EMN．
猜想：当∠NME＝∠CAD 时，MN∥AC．
请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由；
【深入探究】
（2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当∠NME＝∠CAD 时，点E恰好落在矩形的对角线
AC上．请求出图中线段MN的长度；
【拓广延伸】
（3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当∠NME＝∠CAD 时，过点E作
EF∥BC交射线CA于点F，若 EF＝EN，则BN的长是多少？请解答这个问题．
25．（1）正确，理由见解答；5
（2） ；
2
12 12
（3） 或 ．
11 5
【分析】（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠BCA＝∠CAD，根据折叠得出
∠BMN＝∠NME，证明∠BCA＝∠BMN，根据平行线的判定得出MN∥AC；
（2）根据勾股定理得出AC=√AB2+BC2=5，根据折叠得出ME＝MB，∠BMN＝∠NME，根据平行
线的性质得出∠EMN＝∠MEC，∠BMN＝∠BCA，证明∠MEC＝∠BCA，得出ME＝MC，证明MC＝
MB，同理证明NA＝NB，根据中位线的性质得出结果即可；
（3）分两种情况进行讨论：当点E在AC下方时，当点E在AC下方时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）甲小组的猜想正确，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA＝∠CAD，
∵折叠，
∴∠BMN＝∠NME，
又∵∠NME＝∠CAD，
∴∠BCA＝∠BMN，
∴MN∥AC；
（2）在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，
∴AC=√AB2+BC2=5，
∵折叠，
∴ME＝MB，∠BMN＝∠NME，
由（1）可知MN∥AC，
∴∠EMN＝∠MEC，∠BMN＝∠BCA，
∴∠MEC＝∠BCA，
∴ME＝MC，
∴MC＝MB，
同理NA＝NB，1 5
∴MN= AC= ；
2 2
（3）当点E在AC下方时，如图，延长ME交AC于点H，
同（2）可得∠MHC＝∠MCH，
∴MH＝MC，
∵EF∥BC，
∴∠EFH＝∠MCH，
∴∠MHC＝∠EFH，
∴EH＝EF，
由（1）可得∠NME＝∠BCA，
∴tan∠NME＝tan∠BCA．
∵∠NEM＝∠B＝90°，
NE AB 3
∴ = = ，
EM BC 4
设NE＝3a，则EM＝4a，
∴EH＝EF＝EN＝3a，BM＝EM＝4a，
∴MH＝EH+EM＝7a，
∴MC＝MH＝7a，
∴4a+7a＝4，
4
∴a= ，
11
12
∴BN=NE=3a= ；
11
②当点E在AC下方时，设ME交AC于点H，如图，同①可得BM＝EM＝4a，EH＝EF＝EN＝3a，
∴MH＝EM﹣EH＝a，
∴MC＝MH＝a，
∴a+4a＝4，
4
∴a= ，
5
12
∴BN=NE=3a= ；
5
12 12
综上，NB= 或 ．
11 5
【点睛】本题考查四边形综合应用，主要考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形
的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，数形结合，并注意分类讨论．
1
26．如图，直线y＝kx+b（b＞0）与抛物线y= x2相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交
4
于点D，与y轴相交于点C．设△OCD的面积为S，且kS+2＝0．过点B作x轴的垂线交AO的延长线于
1
点E，过点C，E分别作x轴的平行线l ，l ，直线l （不平行于y轴）与抛物线y= x2有唯一公共点，
1 2 3 4
分别交l ，l 于P，Q两点．
1 2
（1）求b的值；
（2）求点E的纵坐标；
（3）探究CP2﹣CQ2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．26．（1）2；
（2）﹣2；
（3）是，﹣8．
【分析】（1）求出一次函数与坐标轴的两个交点，根据面积公式结合kS+2＝0，求出b的值即可；
1 1
（2）设A(x ， x2 )，点B的横坐标为x ，则点E的横坐标为x ，求出OA的解析式，令kx+2= x2 ，
1 4 1 2 2 4
整理得x2﹣4kx﹣8＝0，韦达定理得到x x ＝﹣8，把x＝x 代入OA的解析式中，求出E点的纵坐标即可；
1 2 2
1
（3）设直线l 的解析式为y＝mx+n，令mx+n= x2 ，根据两个图象只有一个交点得到n＝﹣m2，得到
3 4
y＝mx﹣m2，进而求出P，Q坐标，利用两点间的距离公式，求出CP2，CQ2，进行求解即可．
【详解】（1）∵y＝kx+b（b＞0），
b
∴当x＝0时，y＝b，当y＝0时，x=− ，
k
b
∴C（0，b），D(− ，0)，
k
1 b b2
∴S= b⋅(− )=− ，
2 k 2k
∵kS+2＝0，
b2
∴− +2=0，
2
∵b＞0，
∴b＝2；
1
（2）设A(x ， x2 )，点B的横坐标为x ，则点E的横坐标为x ，
1 4 1 2 2
1
设直线OA为y＝tx，则 x2=x t，
4 1 1
1
解得t= x ，
4 11
∴直线OA的解析式为y= x x，
4 1
由（1）可知y＝kx+2，
1
令kx+2= x2 ，
4
整理得x2﹣4kx﹣8＝0，
则x ，x 是方程的两个实数根，
1 2
∴x x ＝﹣8，
1 2
1
将x＝x 代入y= x x，
2 4 1
1
得y= ×(−8)=−2，
4
∴点E的纵坐标为﹣2；
（3）是定值，理由如下：
设直线l 的解析式为y＝mx+n，
3
1
令mx+n= x2 ，
4
整理得x2﹣4mx﹣4n＝0，
∵直线y＝mx+n与抛物线只有一个交点，
∴（4m）2﹣4×（﹣4n）＝0，
∴n＝﹣m2，
∴y＝mx﹣m2，
由（1）（2）可知C（0，2），E点的纵坐标为﹣2，
m2+2 m2−2
∴当y＝2时，x= ，当y＝﹣2时，x= ，
m m
m2+2 m2−2
∴P( ，2)，Q( ，−2)，
m m
m2+2 m2−2 m2−2
∴CP2=(
)
2，CQ2=(
)
2+(2+2) 2=(
)
2+16，
m m m
m2+2 m2−2 m2+2 m2−2 m2+2 m2−2 4
∴CP2−CQ2=( ) 2−( ) 2−16=( + )( − )−16=2m⋅ −16=8
m m m m m m m
﹣16＝﹣8，
∴CP2﹣CQ2的值为定值﹣8．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，根与系数的关系，两点间的距离公式等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
