文档内容
2025 年中考押题预测卷（南通卷）
数学·参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A C B B A D A
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过
程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（a+2b）（a﹣2b）．
12．18 ．
13．3.6π．
14．9.3．
15．4或1．
16．1．
17．﹣1．
128
18． ．
25
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
{ x+ y=5 ①
19．（10分）【详解】解：（1） ，
2x+3 y=8 ②
①×3﹣②，得
x＝7，
将x＝7代入①，得
y＝﹣2，
{ x=7
故原方程组的解是 ；（5分）
y=−2
3 a2−4a+4
（2）（ −a+1）÷
a+1 a+13−(a−1)(a+1) a+1
= ⋅
a+1 (a−2) 2
3−a2+1
=
(a−2) 2
(2+a)(2−a)
=
(a−2) 2
2+a
= ．（10分）
2−a
20．（10分）【详解】解：（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中甲选择“微信”支付的结果
有1种，
1
∴甲选择“微信”支付的概率为 ．
2
1
故答案为： ．（5分）
2
（2）画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中三人选择同一种支付方式的结果有2种，（8分）
2 1
∴三人选择同一种支付方式的概率为 = ．（10分）
8 4
4+3 7
21．（12分）【详解】解：（1）七年级10名学生的成绩中不低于80分的所占比例为： = ，
10 10
7+2 9
八年级10名学生的成绩中不低于80分的所占比例为： = ，
10 10
7
∴七年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：200× =140（人），（3分）
109
∴八年级测试成绩达到“优秀“的学生人数为：200× =180（人），（6分）
10
140+180＝320（人）．
答：估计这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数一共约320名；（8分）
（2）∵七、八年级测试成绩的平均数相等，七年级测试成绩的中位数和众数大于八年级，
∴七年级的学生掌握交通法规知识的水平较好（答案不唯一）．（12分）
22．（10分）【详解】解：小明的作图方法正确，（2分）
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AF∥CE，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
{∠AFO=∠CEO
∠AOF=∠COE，
AO=CO
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴OE＝OF，
又∵OA＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形．（10分）
23．（12分）
（1）（1）证明：∵PA与 O相切于点A，
∴PA⊥OA， ⊙
∴∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°，
∵AE⊥PB，垂足为E，
∴∠AEP＝90°，
∴∠P+∠PAE＝90°，
∴∠OAD＝∠P，
∵∠COD＝2∠OAD，
∴∠COD＝2∠P．（6分）
（2）解：作OF⊥AD于点F，则∠OFA＝90°，
∵PB是 O的切线，
∴PB⊥O⊙B，∴∠OBE＝∠BEF＝∠OFE＝90°，
∴四边形OBEF是矩形，
∵AC是 O的直径，且AC＝8，
∴OA＝O⊙D＝OB＝FE＝4，
∵∠OAD＝∠P＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，AD＝OA＝4，
1
∴AF＝DF= AD＝2，
2
∴AE＝AF+FE＝2+4＝6，OF 2 ，
=√OA2−AF2=√42−22= √3
AE 6
∵ = =tan60°=√3，
PE PE
∴PE＝2√3，
1 1 60π×42 8π
∴S阴影 ＝S△PAE +△
OAD
﹣S扇形OAD =
2
×6×2√3+
2
×4×2√3−
360
=10√3−
3
，
8π
∴阴影部分的面积为10√3− ．（12分）
3
24．（12分）【详解】解：（1）当1≤x≤30时，
w＝（0.5x+35﹣30）（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620；
当31≤x≤60时，
w＝（50﹣30）（﹣2x+124）＝﹣40x+2480．
∴w与x的函数关系式为w
{−x2+52x+620(1≤x≤30)．（6分）
=
−40x+2480(31≤x≤60)
（2）当1≤x≤30时，
w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296．
∵﹣1＜0，
∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；（8分）
当31≤x≤60时，
w＝﹣40x+2480．
∵﹣40＜0，
∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240．（10分）∵1296＞1240，
∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．（12分）
25．（13分）（1）解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBW，
∵△PBQ由△APB折叠得到，
∴△ABP≌△QBP，
∴∠APB＝∠OPB，∠PQB＝∠A＝90°，
∴∠PBW＝∠QPB，
∴BW＝PW，
由题意可知，AD∥EF∥BC，AE＝BE，
PQ AE
∴ = =1，
QW BE
PQ＝QW，
∵PB＝BW＝PW，
∴△PBW是等边三角形；（5分）
（2）设BP交GH于点R，
AB＝4a，则BG＝a，
∵△PBQ由△PBA折叠得到，
∴△ABP≌△QBP，
∴AP＝PQ，∠APB＝∠QPB，BQ＝AB＝4a，
∵BG＝a，
∴GQ a，
=√BQ2−BG2=√15
∵GQ∥AP，
∴∠APB＝∠PRQ，
∴△ABP∽△GBR，GR BG 1
∴PQ＝RQ， = = ，
AP AB 4
∴RQ＝AP，
GR 1
∴ = ，
RQ 4
4√15
∴AP＝RQ= a，
5
4√15
a
∴tan∠ABR AP 5 √15，
= = =
AB 4a 5
√15
∴tan∠ABP的值为 ；（9分）
5
（3）记直线PK交边 BC于点T，
由BC∥AD，可得△TKC∽△PKD，
TC CK 1
∴ = = ，
PD DK 5
设TC＝x，则PD＝5x，PQ＝AP＝4﹣5x，
同（1）可得BT＝PT＝4﹣x，
TQ＝（4﹣x）﹣（4﹣5x）＝4x，
在Rt△BQT中，BQ2+TO2＝BT2，
∴32+（4x）2＝（4﹣x）2，
7
解得x ＝﹣1（舍去），x = ，
1 2
15
7
∴PD＝5x= ，
3
7
∴线段PD的长为 ．（13分）
3
26．【详解】解：（1）∵直线y＝kx+1﹣4k＝k（x﹣4）+1，
∴x＝4时，y＝1，故定点D坐标为（4，1），
故答案为：（4，1）．（4分）
（2）如图：过A作AD⊥x轴，过B作BF⊥x轴．
联立y＝a（x﹣4）2和y＝kx+1﹣4k得ax2﹣（8a+k）x+16a+4k﹣1＝0，
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
8a+k 16a+4k−1
∴x +x = ，x x = ，
1 2 1 2
a a
∵∠DAC+∠ACD＝∠ACD+∠BCF＝90°，
∴∠DAC＝∠BCF，
∵∠ADC＝∠BFC＝90°，
∴△ADC～△CFB，
AD DC
∴ = ，
CF BF
∵C（4，0），
∴ y 4−x ，
1 = 1
x −4 y
2 2
∴y y ＝（4﹣x ）（x ﹣4），
1 2 1 2
∴y y ＝4（x +x ）﹣x x ﹣16，
1 2 1 2 1 2
∴（kx +1﹣4k）（kx +1﹣4k）＝4（x +x ）﹣x x ﹣16，
1 2 1 2 1 2
∴[kx +（1﹣4k）][kx +（1﹣4k）]＝4（x +x ）﹣x x ﹣16，
1 2 1 2 1 2
∴（k2+1）x x +（k﹣4k2﹣4）（x +x ）+（1﹣4k）2+16＝0，
1 2 1 2
16a+4k−1 8a+k
∴（k2+1）• +（k﹣4k2﹣4）• +（1﹣4k）2+16＝0，
a a
∴（k2+1）（16a+4k﹣1）+（k﹣4k2﹣4）（8a+k）+a（1﹣4k）2+16a＝0，
∴16ak2+4k3﹣k2+16a+4k﹣1+8ak﹣32ak2﹣32a+k2﹣4k3﹣4k+a﹣8ak+16ak2+16a＝0，∴a＝1．（8分）
（3）过E作EM⊥FB，过C作CN⊥FB．如图：
由S△ABE ＝3S△ABC ，得EM＝3CN．
4k−1
由y＝kx+1﹣4k得F（1﹣4k，0），P（ ，0），
k
由y＝a（x﹣4）2得E（0，16a），C（4，0），
由（1）得D（4，1）．
∵EO∥CD，
∴∠EFM＝∠CDN，
∠EMF＝∠CND＝90°，
∴△EMF～△CND，
EF EM
∴ = =3．
CD CN
∴EF＝3CD，
∴16a﹣（1﹣4k）＝3×1，
∴k＝1﹣4a．
由（2）知A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
8a+k 16a+4k−1
∴x +x = ，x x = ，
1 2 1 2
a a
∴S△ABC
＝S△PCB ﹣S△PCA
1 4k−1
= （4− ）（y ﹣y ）
2 1
2 k1
= （kx +1﹣4k﹣kx ﹣1+4k）
2 1
2k
1
= （x ﹣x ）
2 1
2
1
= √(x +x ) 2−4x x
2 1 2 1 2
1√ 8a+k 16a+4k−1
= ( ) 2−4×
2 a a
1√ 8a+1−4a 16a+4(1−4a)−1
= ( ) 2−4×
2 a a
1√ 1 4
= − +16
2 a2 a
1√ 1
= ( −2) 2+12，
2 a
1 1√ 1
∴a=
2
时，S△ABC ==
2
(
a
−2) 2+12=√3，
故S△ABC 最小值=√3．（13分）
