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2025 年中考第二次模拟考试（常州卷） 人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的 ，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的 ，则乙也有50钱．
问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为 钱，乙持钱数为 钱，列出关于 、 的二元一次方程组（ ）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分） A． B．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
C． D．
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 7．在一场篮球赛中，某队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：187，188，192，193，194．因身高
第Ⅰ卷 为 m的队员受伤，教练让身高为 的队员替补上场．与换人前相比，换人后场上队员的身高（ ）
A．平均数变小，方差变大 B．平均数变小，方差变小
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 8．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水，下列图象能大致反
1． 的倒数是（ ） 映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（ ）
A．2025 B． C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，若点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，则点M的坐
标为（ ） A． B．
A． B． C． D．
4．鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代正面建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁
的其中一个部件，其主视图是（ ）
C． D．
A． B． C． D． 第Ⅱ卷
5．如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若 ，则 的度数为（ ）
二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
9．若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ．
10．根据某网站统计数据，截止至 年 月， 的总访问量已达到 次，其中
用科学记数法表示为 ．
A． B． C． D．
11．已知 ，则 的值为 ．
6．《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱
不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两
12．我国南方一些地区的农民戴的斗笠是圆锥形．已知圆锥的母线长为 ，底面圆的半径为 ，则
圆锥的侧面积为 ．（结果用 表示）13．一元二次方程 的一个解为 ，则 ．
14．在一个不透明的盒子里装着10个大小相同且质地均匀的白球和黑球．小杰想估计其中的白球数量．做
了以下实验，从袋中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．得到如表所示的
数据．请估算盒子里白球的个数有 个．
摸球的次数 20 40 60 80 120 160 200
摸到白球的次数 15 33 49 63 97 126 160 三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
摸到白球的频率
19．（8分）（1）计算： ；
15．如图，矩形 中， ，连接 ．以点 为圆心，以任意长为半径作弧，交 ， （2）化简： ．
分别于点 ，分别以点 为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧相交于点 ，作射线 ，交
20．（6分）解不等式组： ，并将解集在数轴上表示出来
于点 ．则 的面积为 ．
21．（8分）某校为了解本校学生对小说、散文、诗歌、寓言四类书籍的喜爱情况，随机抽取了部分学生进
行问卷调查，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．
16．如图， 交 于点 切 于点 点在 上，若 ，则 为 ．
请根据图中信息，解答下列问题：
(1)请补全条形统计图；
17．如图，在矩形 中， 是边 上两点，且 ，连接 ， 与 相交于点 ，
(2)在扇形统计图中，“寓言”所对应的扇形圆心角是______°；
连接 ．若 ， ，则 的值为 ．
(3)若该校有2600名在校学生，请你估计喜爱“小说”的有多少人？
22．（8分）有三部影片在春节档上映，分别是《哪吒之魔童闹海》《射雕英雄传：侠之大者》《唐探
1900》．笑笑和淘气两名同学分别从这三部电影中随机选择一部观看，假设这两名同学选择观看哪部电影
不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．
(1)淘气选择观看《哪吒之魔童闹海》的概率是___________；
(2)求笑笑和淘气两名同学恰好选择观看同一部电影的概率．
18．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为 ， ， ，点 为线段 上的一 23．（8分）如图，在平行四边形 中，点 是边 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点
，连接 ， ．
个动点，连接 ，过点P作 交y轴于点Q，当点 在 上运动时，点Q随之运动，设点Q的坐
标为 ，则 的取值范围是 ．(1)求证： ；
(2)当四边形 是矩形时，若 ，求 的度数．
(1)如图，点 ，直线 与 交于点 ， ．
24．（8分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 两点，与
①点 的坐标为______，点 ______（填“是”或“不是”）点 关于弦 的“等边旋转点”；
轴交于点 ．
②若点 关于弦 的“等边旋转点”为点 ，则 的最小值为______，当 与 相切时，点 的坐标
为______；
(2)已知点 ， ，若对于线段 上的每一点 ，都存在 的长为 的弦 ，使得点
是点 关于弦 的“等边旋转点”，直接写出 的取值范围．
27．（10分）如图1，二次函数 与 轴相交于点 、 （点A在点 的左侧），与 轴相交于
点 ，抛物线的顶点为点 ．
(1)求一次函数的解析式；
(2)设 为线段 上的一个动点（不包括 两点），过点 作 轴交反比例函数图象于点 ，当
的面积是3时，求点 的坐标．
25．（8分）某车站的一组智能通道闸机如图1所示，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机会自动识
别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，
扇形 和 是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线
(1)直接写出点 、 、 的坐标；
上，且它们之间的距离为 ，双翼的边缘 ，且与闸机箱的夹角 ．
(2)如图1，连接 ，点 为抛物线上一点，使 ，求点 的坐标；
(3)如图2，直线 与抛物线相交于 两点（点 在 轴左侧，点 在 轴右侧），过点
与点 的直线交抛物线于 ，若直线 必与某条直线平行，求这条直线的函数解析式．
28．（10分）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图1， 为一凸透镜， 是凸透镜的焦点．在
凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛 ，透过透镜后呈的像为 ．光路图如图所示：平行于主光轴
的光线 ，通过透镜折射后经过焦点，并与经过凸透镜光心的光线 汇聚于 点．
(1)求当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度；
(2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一
个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
26．（10分）在平面直角坐标系 中， 的半径为2，对于点 ， 和 的弦 ，给出如下定义：
若弦 上存在点 ，使得点 绕点 逆时针旋转 后与点 重合，则称点 是点 关于弦 的“等边旋
转点”．(1)若像距 ，物距 ，小蜡烛的高度 ，则蜡烛的像 _____；
(2)当 时，设 ， ，求 关于 的函数关系式；
(3)如图2，在凸透镜左边的主光轴上垂直放置一小蜡烛 ，透过透镜后呈的像为 ，作正方形 、
正方形 、矩形 、矩形 ．
①在线段 上作出凸透镜的焦点 的位置；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
②若矩形 的面积为12，求 的面积．
