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2025 年中考第二次模拟考试（扬州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．-2025的绝对值是（ ）
A．2025 B．-2025 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可．
【详解】解：-2025的绝对值是 ，
故选：A．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的
关键．分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则以及同底数幂的乘法法则逐一
判断即可．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
3．在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的俯视图是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查简单几何体的三视图，掌握俯视图是从上往下看到的图形是解题的关键．注意：可见部
分的轮廓线用实线表示，被其他部分遮挡而看不见的部分用虚线表示．根据俯视图的定义（从上面观察物
体所得到的视图是俯视图），即可得到答案．
【详解】解：根据主视图可以发现，榫的顶端是一个上宽下窄的梯形，
从上往下看立体图，可以得到俯视图的形状应该是四根实线夹着两根虚线的长方形，
即榫的俯视图如下：
故选：D．
4．演讲比赛中15名评委给比赛选手成绩打分，若“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，一定不会发
生变化的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．极差
【答案】C
【分析】本题考查的是平均数，众数，中位数，极差的含义，掌握以上基本概念是解本题的关键．
根据平均数，众数，极差，中位数的概念可得：比赛中“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，不会影
响中间数排序的位置，从而可得中位数不会发生改变，而众数，平均数与极差都有可能变化，从而可得答
案．
【详解】解：比赛中“去掉一个最高分，去掉一个最低分”后，
可得总分发生变化，数据的个数也发生变化，所以平均数也可能发生变化，
众数也可能发生变化，极差也可能发生变化，
而最高分与最低分去掉后，不会影响中间数排序的位置，所以不会发生变化的是中位数，
故选：C．5．《孙子算经》中有这样一道题：今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大
意是：现有若干人和车，若3人坐一辆车，则空余两辆车；若2人坐一辆车，则有9人步行，问：人与车
各多少？设车有x辆，人有y人，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
的关键．根据“若每3人坐一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，即可得出
关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解∶根据题意，得 ，
故选∶B．
6．如图，一条光线 经平面镜的反射光线 经凹透镜折射后，其折射光线 的反向延长线过凹透镜的
一个焦点 ．已知光线 的入射角为 ，反射光线 与折射光线 的夹角 ，则光线
与光线 所夹的锐角为（ ）
A．65° B． C． D．25°
【答案】A
【分析】本题主要考查了物理知识、三角形内角和定理、三角形外角的性质、邻补角的性质等知识点，掌
握三角形的相关性质成为解题的关键．
如图：延长 相交于点E，由题意可得： ，由邻补角的定义
可得 ，再根据三角形外角的性质可得 ，再最后根据三角形内角和定理求得
即可．
【详解】解：如图：延长 相交于点E，由题意可得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选A．
7．物理学知识表明，在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大．小
文用如图1的装置探究两种液体压强与液体深度关系时，画出了如图2所示的图象．根据图象，两种液体
的密度 与 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数图象和物理知识，正确从函数图象上获取所需信息成为解题的关键．
由图1可知液体1的压强大，然后根据在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液
体压强越大解答即可．
【详解】解：由图1结合物理知识可得：液体1的压强大，
∵在液体深度一定时，液体压强与液体密度有关，液体密度越大，液体压强越大，
∴ ．故选A．
8．已知抛物线 且a，b都是常数，经点 ，且对于符合 的任
意实数 ，其对应的函数值 始终满足． 则抛物线顶点的纵坐标为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，能够理解题意，明确抛物线经过点
和 是解题的关键．抛物线经过点 和 ，则该抛物线的对称轴为直线 ．根据题意
可知 ， ， ．抛物线经过点 和 ，不妨设该抛物线的函数表达式为
，代入 求得 ，进一步即可求得顶点的纵坐标．
【详解】解：在二次函数 中，令 ，得 ，
该抛物线经过点 和 ，
该抛物线的对称轴为直线 ．
点 关于该对称轴对称的点的坐标是 ．
当 时，如图，
则 ， ，，不符合题意，舍去；
当 时，
对于符合 的任意实数 ， ，其对应的函数值 ， 始终满足 ，
∴如图，
又 ，
抛物线交 轴的负半轴，
， ．
该抛物线经过点 和 ．
不妨设该抛物线的函数表达式为 ．
代入 ，得 ，
解得 ，
，
当 时， ，
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．在函数 中，自变量 的取值范围是 ．【答案】
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等于零是解答本题的关键．
根据被开方数是非负数且分母不等于零，即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为： ．
10．若 ，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握平方差公式进行分解因式是解题的关键．
利用平方差公式和已知条件代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴
，
故答案为：4．
11． 年中央广播电视总台《 年春节联欢晚会》的收视情况非常出色，多项数据创下新高．截至
月 日 时，总台春晚全媒体累计触达 人次，将 用科学记数法表示为： ．
【答案】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12．已知扇形的圆心角为 ，面积为 ，则该扇形的半径为 ．
【答案】3【分析】本题考查了扇形的面积．根据扇形的面积公式直接进行计算．
【详解】解：设扇形的半径为 ，
则 ，
解得： （负值舍去），
故答案为：3．
13．若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实数 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式求参数，理解一元二次方程两个相等的实数根的含义，掌握
根的判别式的计算是关键．
根据 ，方程有两个相等的实数根即可求解．
【详解】解：关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得， ，
故答案为：1 ．
14．如图，在 中， ， ，分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径作弧，两
弧相交于点 和点 ，作直线 ，分别交 、 于点 和点 ．若 ，则 的长为 ．
【答案】6
【分析】连接 ，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 ，再由作法
得 垂直平分 ，所以 ，所以 ，从而得到 ，然后根据含30度
角的直角三角形三边的关系求 的长．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和
等腰三角形的性质．
【详解】解：连接 ，如图∵ ， ，
∴ ，
由作法得 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
∵ ，
∴ ．
故答案为：6．
15．如图，图1是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中
的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等．朱入与朱出的三角形全等，标上字母绘成图2所示，
若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形 的边长为b，已知 ，
则图2中的阴影部分面积为 ．
【答案】10
【分析】解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意可得 可以求出
，即可得到图2中的阴影部分面积为 ，用a，b表示后计算即可．【详解】解：∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形 的边长为b，
∴ ，
∵朱入与朱出的三角形全等，
∴ ，
∴ ，
∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分面积为
，
∵ ，
∴
∴阴影部分的面积为10．
故答案为：10．
16．如图，将 绕斜边 的中点O旋转一定角度得到 ，已知 ， ，则
．【答案】
【分析】连接 ，作 ，再说明点A，E，C，B，F共圆，进而得出 ，
，然后根据等腰三角形的性质得 ，接下来根据勾股定理求出 ，即可得
，再根据面积相等求出 ，结合题意说明四边形 是矩形求出 ，最后根据
得出答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，作 ，分别交于 点M，H，
∵ ，
∴点A，E，C，B，F共圆，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
由题意， ，
∴ ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质和判定，矩
形的判定和性质，根据各点共圆得出圆周角相等是解题的关键．
17．如图， 、 在双曲线 上， 交 轴于 点， ， 轴于 ，若 ，则
．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，连接 ，根据 ， ，可知 ，
根据 轴于 ，可得 ，根据三角形的面积公式可得 ，又因为反比例函
数的图象在第二象限，所以 ．
【详解】解：如下图所示，连接 ，
， ，
，轴于 ，
轴，
，
即 ， ，
又 点 在双曲线 上，
．
故答案为： ．
18．如图，在边长为6的等边 中，点P是 内一点，过点P作 ， ， ，
垂足分别为D，E，F，连接 ，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，先判断出当
时， 取得最小值，求出 ，利用角平分线的性质得到 ，推出
，设 ，则 ，证明 ，则 ，得到
，求解即可．【详解】解：连接 ，则： ，
∴当 三点共线时 ，最小，
∵垂线段最短，
∴当 时， 取得最小值，如图，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算 ．
（2）化简：
【答案】（1）4（2）
【分析】本题考查特殊角三角函数值的混合运算，分式的混合运算：
（1）先化简各数，再进行加减运算即可；
（2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式
．
20．（8分）解不等式组并把解集在数轴上表示：
【答案】 ，数轴表示见解析
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确求出每个不等式的解
集进而求出不等式组的解集是解题的关键．先分别求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组
的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为： ，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
21．（8分）为了解学生的安全知识掌握情况，某校七、八年级举办了安全知识竞赛．所有学生的成绩分
为优秀、良好、及格、不及格四个等级，将优秀、良好、及格、不及格分别记为 分， 分， 分和 分．
现分别从七、八年级各随机抽取 名学生的竞赛成绩进行统计，根据统计结果绘制成如下统计图：
两组样本数据的平均数、中位数、众数及优秀率如表所示：
平均数 众数
年级 中位数（分） 优秀率
（分） （分）
七年级
八年级
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 ______， ______；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩更好？并说明理由；
(3)若该校七年级共有学生 人，请估计该校七年级成绩不低于 分的学生人数．
【答案】(1) ，
(2)答案不唯一，见解析(3) 人
【分析】本题考查中位数、众数、平均数、优秀率以及样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的计算
方法和意义是正确解答的关键．
（1）根据平均数、众数的计算方法进行计算即可；
（2）比较平均数、中位数、众数、优秀率得出答案；
（3）求出七年级不低于 分的人数所占的百分比即可解答．
【详解】（1）解：由扇形统计图可得 （分 ，
由条形统计图知七年级 分出现的次数最多，
．
故答案为： ， ；
（2）解：七年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由如下：
因为两班平均数相同，而七年级的中位数和众数均高于八年级，
所以七年级学生的安全知识竞赛成绩更好；
或八年级学生的安全知识竞赛成绩更好，理由如下：
因为两班平均数相同，而八年级的优秀率高于七年级，
所以八年级学生的安全知识竞赛成绩更好；
（3）解： （人 ，
答：估计该校七年级成绩不低于 分的学生人数为 人．
22．（8分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非
物质文化遗产手工艺品．以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．
延安剪纸．
(1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是___________．
(2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传脊晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方
法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了概率公式，用列表非或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由题意知，共有 种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有 种，根据概率公式计
算即可；
（2）列表得出所有等可能的结果以及两人恰好选中同一幅图的结果数，再利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意知，共有 种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有 种，
小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是 ；
（2）解：列表如下，
A B C D
A
B
C
D
共有 种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有 种，
两人恰好选中同一幅图的概率为 ．
23．（10分）如图，在平行四边形 中，边 的垂直平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ，
连接 ．
(1)求证： ．
(2)试判断四边形 的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 是菱形，见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、垂直平分线的性质、菱形的判定等知识，理解并掌握
平行四边形的判定与性质是解题关键．（1）首先根据平行四边形的性质可得 ，进而可得 ，再结合垂直平分线
的性质证明 ，可证明 ，结合全等三角形的性质即可获得答案；
（2）首先证明四边形 是平行四边形，再结合“邻边相等的平行四边形是菱形”，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）四边形 是菱形；理由如下：
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
24．（10分）随着科技与经济的发展，机器人自动化线的市场越来越大，并且逐渐成为自动化生产线的主
要方式；某化工厂要在规定时间内搬运4800千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知A型机
器人每小时完成的工作量是B型机器人的1.5倍，A型机器人单独完成所需的时间比B型机器人少10小时．
求两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？
【答案】A型机器人每小时搬运240千克化工原料，B型机器人每小时搬运160千克化工原料
【分析】题目主要考查分式方程的应用，理解题意列出方程是解题关键．
设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运 千克化工原料．根据A型机器人
单独完成所需的时间比B型机器人少10小时建立方程求解．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运x千克化工原料，则A型机器人每小时搬运 千克化工原料．
根据题意，得：
解之得：
检验：当 时， ，且符合试题题意；所以，原分式方程的解为 ，
所以， (千克)，
答：A型机器人每小时搬运240千克化工原料，B型机器人每小时搬运160千克化工原料．
25．（10分）如图， 为 的直径， 为 的弦， 平分 ，交 于点 ， ，
交 的延长线于点 ．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)若 ， 的半径为 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，正确掌握相关
性质内容是解题的关键．
（1）先连接 ，结合角平分线的定义以及等边对等角，得出 ，再根据 ，即可作答．
（2）先作 ，垂足为 ，运用 证明 ，再运用勾股定理算出，即可作答．
【详解】（1）解：连接 ，如图1所示：
平分 ，
，
，
，
，
，，
，
点 在 上，
直线 是 的切线；
（2）解：作 ，垂足为 ，如图2所示：
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
在 中， ，
．
26．（10分）图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均
在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中，画出 中 边上的中线 ．
(2)在图②中，在 边上找到一点 ，连接 ，使 ．
(3)在图③中，在 边上找到一点 ，连接 ，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取 的中点 ，连接 即可．
（2）取格点 ， ，使 ， ， ，连接 交 于点 ，则点 即为所求．
（3）取格点 ，使 ， ，取 与网格线的交点 ，连接 交 于点 ，则点 即
为所求．
【详解】（1）解：如图①， 即为所求．
（2）解：如图②，取格点 ， ，使 ， ， ，连接 交 于点 ，连接 ，则 ，
，
，
则点 即为所求．
（3）解：如图③，取格点 ，使 ， ，取 与网格线的交点 ，
则 ，
即 ，
连接 交 于点 ，
，
则点 即为所求．
【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的中线、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知
识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
27．（12分）定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为 ，则称该点为“基准偶和
点”．例如： 、 、 都是“基准偶和点”．
(1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是_____________；（填序号）
① ② ③ ④
(2)在反比例函数 上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数 的解析式；
(3)已知抛物线 （ 、 均为常数）与直线 只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，
求抛物线的解析式；(4)抛物线 （ 、 均为常数， ）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令
，是否存在一个常数 ，使得当 时， 有最小值恰好等于 ，若存在，求出 的
值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)①④
(2)
(3)
(4) 或
【分析】（1）利用“基准偶和点”的概念作答即可；
（2）依题意得方程组 只有一组解，继而推出 有两个相等的实数根，利用根的判别
式即可得出答案；
（3）由题意得 ，得 ，由抛物线 （ 、 均为常数）
与直线 只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，列立方程组求解即可；
（4）抛物线 （ 、 均为常数， ）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，可得
，进而可得 ，再根据二次函数的性质即可求得答案．
【详解】（1）解：依据“基准偶和点”定义知： ，
①联立得： ，
解得： ，
∴直线 只有一个“基准偶和点”；
②联立得： ，∴ ，
∵ ，
∴方程 无实数根，
∴此方程组无解；
③联立得： ，
此方程组无解；
④联立得： ，
解得： ；
∴函数图象上只有一个“基准偶和点”的是①④，
故答案为：①④；
（2）依据“基准偶和点”定义知： ，
联立得： ，
∴ ，即 ，
∵在反比例函数 上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（3）依据“基准偶和点”定义知： ，
联立得： ，解得： ，
∵抛物线 （ 、 均为常数）与直线 只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
联立得： ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ；
（4）依据“基准偶和点”定义知： ，
联立得： ，
∴ ，即 ，
∵抛物线 （ 、 均为常数， ）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，
∴ ，即 ，
∴ ，
①当 时，即 时， 在 时取得最小值，∴ ，
解得： 或 （舍去）；
②当 ， 在 时取得最小值，
∴ ，即 ；
③当 时， 在 时取得最小值，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，点的坐标和二次函数的最
值，新定义“基准偶和点”的理解和运用，能够根据题干当中的定义灵活运用二次函数的相关知识是解题
的关键．
28．（12分）如图，四边形 ， ， ， E、F分别为 、
上的动点．
(1)如图1，已知： ， ；则DE的长为 （用a表示）
(2)如图2，已知： ， ；求：当 取得最小值时 的值（用b表示）
(3)如图3，已知：G为 上一点， ， ， 、 分别为 和 的角平
分线，N为线段 上的动点， ，垂足为M， ， ，求：当 取最小值时，
求 的值（用c，d表示）
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）根据四边形内角和为 可求出 ，进而求出 ，
然后根据含 角的直角三角形的性质求解即可；
（2）延长 至点H，使 ，连接 ， ，证明 ，得出 ，则
，故当 、 、 三点共线时， 取最小值为 ，然后证明
，得出 ，即可求解；
（3）根据三角形内角和定理、角平分线的定义可求出 ， ，
，作H关于 的对称点 ，连接 ， ， ，延长 、 ，相交于P，
过 作 于 ，证明 是等边三角形，得出 ， ，进而求出 ，
证明 是等边三角形，可求出 ，根据 ，可知当 、N、M三点共
线，且 ，即M和 重合时， 最小，然后求出 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）解：延长 至点H，使 ，连接 ， ，
∵ ，
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 、 、 三点共线时， 取最小值为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 、 分别为 和 的角平分线，
∴ ， ，
作H关于 的对称点 ，连接 ， ， ，延长 、 ，相交于P，过 作 于
，
则 ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴当 、N、M三点共线，且 ，即M和 重合时， 最小，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即当 取最小值时， 的值为 ．
【点睛】本题考查了含 角的直角三角形的性质，四边形的内角和为 ，全等三角形的判定与性质，
等边三角形的判定与性质，轴对称性等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形和等边三角
形是解题的关键．
