文档内容
2025 年中考押题预测卷（扬州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列实数中，是无理数的（ ）
π
A．﹣2 B．3.1415 C． D．√38
7
【分析】根据无理数的定义解答即可．
π
【解答】解： 是无理数．
7
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
3．下面计算正确的是（ ）A．（ab）3＝ab3 B．5a3+a3＝6a3
C．a4•a4＝a16 D．a12÷a6＝a2
【分析】由同底数幂的乘除法法则、合并同类项的方法、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：A、（ab）3＝a3b3，故该项不正确，不符合题意；
B、5a3+a3＝6a3，故该项正确，符合题意；
C、a4•a4＝a8，故该项不正确，不符合题意；
D、a12÷a6＝a6，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查同底数幂的乘除、合并同类项、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关
键．
4．用一个平面截一个几何体，得到的截面是矩形，则这个几何体不可能是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得
到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．
【解答】解：用一个平面截一个几何体，
A选项截面可能是矩形，故该选项不符合题意；
B选项截面可能是矩形，故该选项不符合题意；
C选项截面不可能是矩形，故该选项符合题意；
D选项截面可能是矩形，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了几何体的截面，掌握圆锥、圆柱、球体，三棱柱的几何特征是解题的关键．
5．我校举办了“平安校园”知识竞赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉
已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（ ）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自
己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5名的成绩是中位数，要判断是否进入前
5名，故应知道自己的成绩和中位数．
故选：C．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的
统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
6．如图，OC为∠AOB内部的一条射线，下列各式正确的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠BOC＞∠AOB C．∠AOC＞∠AOB D．∠AOB＞∠BOC
【分析】利用角的平分线的性质及角的和差关系可得结论．
【解答】解：∵OC是角内的一条射线，不是角的平分线，所以选项A错误；
∵∠AOB＝∠BOC+∠AOC，
由于部分小于整体，所以选项B、C错误；
由于整体大于部分，所以选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了角的大小比较，掌握角的和差关系及整体和部分的关系是解决本题的关键．
7．如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，BD平分∠ABC，若∠D＝20°，则∠ABD的度数为（ ）
⊙ ⊙
A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠A＝20°，根据直角三角形的性质求出∠ABC＝70°，根据
角平分线的定义求解即可．
【解答】解：如图，连接AC，∵AB为 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∵∠D＝∠A＝20°，
∴∠ABC＝70°，
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠ABD= ∠ABC＝35°，
2
故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
1
8．在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）部分图象和一次函数y=− x+2的图象如图所
2
示．已知它们有一个交点为 A，点 B（﹣1，﹣1）在该二次函数图象上，则它们的另一个交点在
（ ）
A．MN之间 B．点N C．NQ之间 D．点Q
【分析】由点B的坐标即可确定二次函数的解析式，和直线联立即可确定另一个交点的坐标．
【解答】解：把点B代入y＝ax2﹣4ax+2中，
得：a+4a+2＝﹣1，
3
解得a=− ，
5
3 12
∴抛物线的解析式为y=− x2+ x+2，
5 5
联立抛物线和直线的解析式得：3 12
{y=− x2+ x+2
5 5
，
1
y=− x+2
2
29
{ x=
{x=0 6
解得 或 ，
y=2 5
y=−
12
29 5
∴它们的另一个交点坐标为（ ，− ），
6 12
1
∵M（4，0），N（5，− ），Q（6，﹣1），
2
29
又∵4＜ ＜5，
6
∴它们的另一个交点在MN之间，
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，关键是要能根据点B的坐标确定抛物线的解析式．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.请把答案直接填写在横线上）
9．随着科学技术的不断提高，5G网络已经成为新时代的“宠儿”，预计到2025年，中国5G用户将超过
460000000人．将460000000用科学记数法表示为 4.6×1 0 8 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：460000000＝4.6×108．
故答案为：4.6×108．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．因式分解：﹣m4+8m2﹣16＝ ﹣（ m + 2 ） 2 （ m ﹣ 2 ） 2 ．
【分析】先提取负号，再利用完全平方公式和平方差公式即可得出答案．
【解答】解：﹣m4+8m2﹣16＝
＝﹣（m4﹣8m2+16）＝﹣（m2﹣4）2
＝﹣（m+2）2（m﹣2）2．
故答案为：﹣（m+2）2（m﹣2）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题
的关键．
9
11．关于x的方程x2﹣3x﹣a＝0有两个实数根，则a的取值范围是 a≥− ．
4
【分析】有两个实数根，首先二次项系数需不为0，其次△≥0，列出不等式求解即可．
【解答】解：∵x2﹣3x﹣a＝0有两个实数根，
∴△≥0，即（﹣3）2﹣4•（﹣a）≥0，
9
解得a≥− ，
4
9
故答案为：a≥− ．
4
【点评】本题考查一元二次方程有实数根的条件，容易忽视二次项系数不为0．
12．不透明的袋子中装有10个球，其中有5个红球、3个绿球、2个黑球，这些球除颜色外无其他差别．
1
从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 ．
2
【分析】用红球的个数除以球的总数即可．
【解答】解：∵共10个球，红球有5个，
5 1
∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为 = ．
10 2
1
故答案为： ．
2
【点评】此题考查概率公式，熟知如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A
m
出现m种可能，那么事件A的概率P（A）= 是解题的关键．
n
13．数学实验课上，小明同学用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液
体中的高度h（单位：cm）是液体的密度 （单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/
cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在ρ另一种液体中时，h＝25cm，则该液体的密度 ＝ 0.8
g/cm3． ρk
【分析】设h关于 的函数解析式为h= ，把 ＝1，h＝20代入求出解析式，把 h＝25 代入解析式即
ρ
ρ ρ
可得到结论．
k
【解答】解：设h关于 的函数解析式为h= ，
ρ
ρ
把 ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，
ρ 20
∴h关于 的函数解析式为h= ，
ρ
ρ
20 20
把h＝25 代入h= ，得25= ，
ρ ρ
解得： ＝0.8，
答：该ρ液体的密度 为 0.8g/cm3．
故答案为：0.8． ρ
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
14．某天早市上，何阿婆和李奶奶买了种类相同，但数量不同的蔬菜，已知何阿婆买了2千克西红柿和1.5
千克辣椒共花费9元；李奶奶买了4千克西红柿和2.5千克辣椒共花费了17元，则购买3千克西红柿和
1千克辣椒共需要花费 1 1 元．
【分析】先设西红柿和辣椒的单价分别为x元/千克和y元/千克，结合“买了2千克西红柿和1.5千克辣
{2x+1.5 y=9，
椒共花费9元；李奶奶买了4千克西红柿和2.5千克辣椒共花费了17元”得 然后解
4x+2.5 y=17，
方程组，即可作答．
【解答】解：设西红柿和辣椒的单价分别为x元/千克和y元/千克，根据题意，得：
{2x+1.5 y=9
，
4x+2.5 y=17
{x=3
解得 ，
y=2
∴西红柿的单价为3元/千克，辣椒的单价为2元/千克，
∴3×3+1×2＝11（元）．即买3千克西红柿和1千克辣椒共需要花费11元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出二元一次方程组．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，点D是AB边上的中点，以点D为圆心，
4π
BD的长为半径作弧BC．则图中阴影部分的面积为 −√3 ．
3
【分析】根据直角三角形的性质，斜边中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以
及扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：如图，连接CD，
∵Rt△ABC，点D是AB的中点，
∴DA＝DB＝DC，
∵∠A＝60°＝∠DCA，
∴∠BDC＝2∠A＝120°，
在Rt△ABC中，AC＝2，∠A＝60°，
AC
∴AB= =4，BC=√3AC＝2√3，
cos∠A
∴扇形BDC的半径为2，
∴S阴影部分 ＝S扇形DBC ﹣S△BDC
1
＝S扇形DBC −
2
S△ABC
120π×22 1 1
= − × ×2×2√3
360 2 2
4π
= −√3．
3
4π
故答案为： −√3．
3【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握直角三角形的性质，斜边中线等于斜边的一半，等腰三角形的
性质，三角形内角和定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
16．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝5，将△ACB沿斜边BA平移得到△A'B'C'，若
1
AA'= AB，则重叠部分的面积为 2√3 ．
5
【分析】设AC与B′C′相交于点D，根据已知易得：AA′＝1，再根据平移的性质可得：AA′＝
BB′＝1，BC∥B′C′，从而可得∠BCA＝∠B′DA＝90°，AB′＝4，
然后根据含30度角的直角三角形的性质可得B′D＝2，AD＝2√3，再利用三角形的面积公式进行计算，
即可解答．
【解答】解：如图：设AC与B′C′相交于点D，
1
∵AA'= AB，AB＝5，
5
∴AA′＝1，
由平移得：AA′＝BB′＝1，BC∥B′C′，
∴∠BCA＝∠B′DA＝90°，AB′＝AB﹣BB′＝5﹣1＝4，
∵∠BAC＝30°，
1
∴B′D= AB′＝2，AD=√3B′D＝2√3，
2
1 1
∴重叠部分的面积= AD•DB′= ×2√3×2＝2√3，
2 2故答案为：2√3．
【点评】本题考查了平移的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
17．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，
每次移动1个单位长度，其行走路线如图所示，则点A 的坐标为 （ 101 2 ， 1 ） ．
2025
【分析】根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为
1，1，0，0，依次出现，再由2025÷4＝506…1，可得A 的纵坐标为1，横坐标为1012．据此可得答
2025
案．
【解答】解：观察可得：每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，
依次出现，
∵2025÷4＝506…1，
∴A （1012，1），
2025
故答案为：（1012，1）．
【点评】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，得到每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐
标增加2，纵坐标为1，1，0，0是关键．
1
18．如图，矩形ABCD的边AB＝5，BC＝3，E为AB上一点，且AE= ，F为AD边上的一个动点，连接
2
√34
EF，若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG，EF＝EG，连接CG，则CG的最小值为 ．
2
【分析】过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，由“AAS”可证△GEH≌△FEA，可得GH＝AE
1
= ，可得点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动，则当F与D重合时，CG有最小值，即
2可求解．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于H，过点G作MN∥AB，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝5，BC＝3，
∴∠B＝90°，CD＝5，AD＝3，
1
∵AE= ，
2
9
∴BE= ，
2
∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，
∴∠GEH+∠EGH＝90°，∠GEH+∠FEA＝90°，
∴∠EGH＝∠FEA，
在△GEH和△FEA中，
{∠EAF=∠GHE
∠EGH=∠FEA，
¿=EF
∴△GEH≌△EFA（AAS），
1
∴GH＝AE= ，
2
1
∴点G在平行AB且到AB距离为 的直线MN上运动，
2
∴当F与D重合时，CG有最小值，此时AF＝EH＝3，
√ 1 1 √34
∴CG的最小值= (5− −3) 2+(3− ) 2= ，
2 2 2
√34
故答案为： ．
2
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，确定点G的运动轨迹是本题的
关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）计算：1 −1
（1）2cos60°+|−1|+( ) −√12；
2
（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值、绝对值、负整数指数幂、算术平方根的定义计算，再合并
即可；
（2）先根据完全平方公式、平方差公式计算，再合并同类项即可．
1 −1
【解答】解：（1）2cos60°+|−1|+( ) −√12
2
1
＝2× +1+2﹣2√3
2
＝1+1+2−2√3
＝4−2√3；
（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）
＝4（x2+2x+1）﹣（4x2﹣25）
＝4x2+8x+4﹣4x2+25
＝8x+29．
【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的
关键．
{ 1
− x＞−1
20．（8分）解不等式组 3 ，并求出它的所有整数解的和．
3x+2≥x
【分析】求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的整数解，求其和即可．
{ 1
− x＞−1①
【解答】解： 3 ，
3x+2≥x②
解不等式①得x＜3，
解不等式②得x≥﹣1，
∴原不等式组的解集是﹣1≤x＜3，
∴原不等式组的整数解是﹣1，0，1，2，
∴所有整数解的和﹣1+0+1+2＝2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同
小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．21．（8分）运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，
更能提升人的品格．某初级中学为了解学生每周在家运动时间 t（单位：h）的情况，随机抽取了部分学
生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为A，B，C，D，E五个组别，其中A组的数据分
别为0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
学生每周在家运动时间的频数分布表
组别 时间t/h 频数
A 0＜t≤0.5 5
B 0.5＜t≤1 12
C 1＜t≤1.5 a
D 1.5＜t≤2 15
E t＞2 8
请根据以上信息，解答下列问题．
（1）A组数据的中位数是 0.4 ；本次调查的样本容量是 60 ；C组所在扇形的圆心角的度数
是 72 ° ．
（2）若该校有1500名学生，估计该校学生每周在家运动时间超过1h的人数．
【分析】（1）利用中位数的概念求解，由D组的人数及其所占百分比可得样本容量，用360°乘以B组
所占百分比即可；
（2）用总人数乘以样本中学生劳动时间超过1h的人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）∵A组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.3，0.3，
∴A组数据的中位数是0.4；
本次调查的样本容量是15÷25%＝60，
12
B组所在扇形的圆心角的大小是360°× =72°．
60
（2）∵a＝60﹣5﹣12﹣15﹣8＝20，
20+15+8
∴1500× =1075（人），
60答：估计该校学生劳动时间超过lh的大约有1075人．
【点评】本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用，样本容量，中位数，用样本估计总体．读
懂统计图，从统计图表中得到必要的信息，求出本次调查的样本容量是解决问题的关键．
22．（8分）有4张分别印有电影哪吒2主要人物图案的卡片：A哪吒、B敖丙、C申公豹、D太乙真人，
现将这4张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出 1张卡
片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率：
1
（1）第一次抽取的卡片上人物图案是申公豹的概率为 ；
4
（2）求抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由）
【分析】（1）根据题意，可以直接写出第一次取出的卡片图案为申公豹的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率．
【解答】解：（1）由题意可得，
1
第一次取出的卡片图案为申公豹的概率为 ，
4
1
故答案为： ；
4
（2）由题意可得，树状图如下：
由上可得，共有12种等可能的结果，其中抽取的两次结果为哪吒和申公豹的结果有2种，
2 1
∴抽取的两次结果为哪吒和申公豹的概率为 = ．
12 6
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概
率．
23．（10分）在现代医学中，呼吸机是一种能够挽救及延长病人生命的至关重要的医疗设备．某医院准备
购进一批呼吸机，现有A，B两种品牌呼吸机可供选择．已知每台A品牌呼吸机比每台B品牌呼吸机的
进价多0.2万元，用20万元购买A品牌呼吸机的数量和用18万元购买B品牌呼吸机的数量相同．求
A，B两种品牌的呼吸机每台的进价各是多少万元？
【分析】设B品牌的呼吸机每台的进价是x万元，则A品牌的呼吸机每台的进价是（x+0.2）万元，根据数量＝总价÷单价结合用20万元购买A品牌呼吸机的数量和用18万元购买B品牌呼吸机的数量相同，
列出分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设B品牌的呼吸机每台的进价是x万元，则A品牌的呼吸机每台的进价是（x+0.2）万元，
20 18
依题意，得： = ，
x+0.2 x
解得：x＝1.8，
经检验：x＝1.8是原方程的解，且符合题意，
∴x+0.2＝2．
答：A品牌的呼吸机每台的进价是2万元，B品牌的呼吸机每台的进价是1.8万元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
24．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4．将Rt△ABC绕点B顺时针旋转 （0°＜ ＜
60°）得到Rt△DEB，直线DE，AC交于点P． α α
（1）如图1，当BD⊥BC时，连接BP，求△BDP的面积；
（2）如图2，连接AD，若F为AD中点，求证：C，E，F三点共线．
【分析】（1）过点P作PH⊥BD于H．证明四边形BCPH是矩形，推出PH＝BC＝4，利用勾股定理求
出BD＝BA＝5，可得结论．
（3）如图2中，连接BF，取BD的中点T，连接FT，ET．想办法证明∠1+∠BEC＝90°，可得结论．
【解答】（1）解：过点P作 PH⊥BD于H．如图1，∵BD⊥BC，PH⊥BD，
∴∠CBH＝∠PHB＝∠C＝90°，
∴四边形BCPH是矩形，
∴PH＝BC＝4，
在 Rt△ACB中，AB=√AC2+BC2=√32+42=5，
由旋转的性质可知，BD＝BA＝5，
1 1
∴S△PBD =
2
•BD•PH =
2
×5×4＝10；
（2）证明：如图2中，连接BF，BA＝BD，则BF⊥AD，
∵BC＝BE，BA＝BD，
∴∠BCE＝∠BEC，∠BAD＝∠BDA，
∵△BDE是由△BAC旋转得到，
∴∠BCE＝∠ABD，
∴∠BEC＝∠ADB，
∵BA＝BD，AF＝DF，
∴BF⊥AD，
∴∠BFD＝90°，
∵∠BED＝∠AFD＝90°，DT＝TB，
1 1
∴ET= BD，FT= BD，
2 2
∴ET＝FT＝DT＝TB，
∴E，F，D，B四点共圆，
∴∠1＝∠DBF，
∵∠DBF+∠BDF＝90°，
∴∠1+∠BEC＝90°，∴∠1+∠BEC+∠BED＝180°，
∴C、E、F三点共线．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，三角形的面积等知识，第二个问题
解题的关键是证明∠3+∠BEC＝90°．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作 O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足
为E，连接AD． ⊙
（1）判断DE与 O的位置关系，并说明理由；
⊙ 1
（2）若 O的半径为√5，tan∠DAE= ，求DE的长．
2
⊙
【分析】（1）由等腰三角形的性质推出∠C＝∠B，∠B＝∠ODB，得到∠C＝∠ODB，推出OD∥AC，
得到DE⊥OD，即可证明DE切 O于D；
⊙ CD 1
（2）由圆周角定理得到∠ADB＝90°，因此∠ADC＝90°，由tan∠DAE= = ，令CD＝x，AD＝
AD 2
2x，由勾股定理求出AC=√5x，得到√5x＝2√5，求出x＝2，得到CD＝2，AD＝4，由三角形面积公式
得到2√5×DE＝2×4，即可求出DE的长．
【解答】解：（1）DE与 O相切，理由如下：
∵AB＝AC， ⊙
∴∠C＝∠B，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∴∠C＝∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE切 O于D；
（2）∵A⊙B是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，
CD 1
∵tan∠DAE= = ，
AD 2
∴令CD＝x，AD＝2x，
∴AC=√AD 2+CD2=√5x，
∵ O的半径为√5，
∴⊙AC＝AB＝2√5，
∴√5x＝2√5，
∴x＝2，
∴CD＝2，AD＝2x＝4，
1 1
∵△DAC的面积= AC•DE= AD•CD，
2 2
∴2√5×DE＝2×4，
4√5
∴DE= ．
5
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，
关键是判定DE⊥AC，由三角形面积公式得到AC•DE＝AD•CD．
26．（10分）为解决学生课桌面乱堆乱放现象，班主任王老师计划从文具店购进 A，B两种不同型号的书
挂袋给学生使用，每名学生1只（班级共40名学生）．已知：购买3只A种书挂袋、2只B种书挂袋需
要110元，购买5只A种书挂袋、4只B种书挂袋需要200元．
（1）求文具店A种、B种书挂袋售价各为多少元？
（2）已知文具店A，B两种书挂袋的进货价分别为16元和18元．目前正在对B种书挂袋进行促销活动
购买B种书挂袋数量在10只以内（包括10只）时，不优惠；购买B种书挂袋数量不低于10只时，每
超过1只，购买的所有B种书挂袋单价均降低0.1元（最低不低于成本），问：王老师的班级选择A，B
两种书挂袋各几只时，文具店获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y元，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
（2）设B为m只时，文具店获利最大，则A为（40﹣m）只，分两种情况计算：①当m≤10只时，计
算文具店的利润；②当m＞10只时，计算文具店的利润，最后比较得出答案．
【解答】解：（1）设文具店A种、B种书挂袋售价各为x元、y元，根据题意得：
{3x+2y=110
，
5x+4 y=200
{x=20
解得： ．
y=25
答：文具店A种、B种书挂袋售价各为20元、25元．
（2）设B种挂书袋为m只，则A种挂书袋为（40﹣m）只，
根据题意可知：
①当m≤10只时，文具店的利润为：
（20﹣16）（40﹣m）+（25﹣18）m＝160+3m，
∴当m＝10只时，利润最大为190元；
②当m＞10只时，文具店的利润为：
（20﹣16）（40﹣m）+（25﹣18）m﹣m（m﹣10）×0.1
＝﹣0.1m2+4m+160
＝﹣0.1（m﹣20）2+200，
∵a＝﹣0.1＜0，
∴当m＝20只时，文具店的最大利润为200元，此时A为20只．
∵200＞190，
∴A、B两种书袋均取20只．
答：当A、B两种书挂袋都是20只时，文具店获利最大，最大利润是200元．
【点评】本题考查了二元一次方程组、一次函数和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系
正确列式是解题的关键．
27．（12分）设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫
做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有
m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m．n]上的“闭函数”．如函数y＝﹣x+4，当x＝1时，y＝3；当x
＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，有1≤y≤3，所以说函数y＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”．
2015
（1）反比例函数y= 是闭区间[1，2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
x
（2）若二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[1，2]上的“闭函数”，求k的值；（3）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含 m，n的
代数式表示）．
2015
【分析】（1）根据反比例函数y= 的单调区间进行判断；
x
（2）由于二次函数y＝x2﹣2x﹣k的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以二次函数y＝x2﹣2x﹣k在闭区
间[1，2]内，y随x的增大而增大．当x＝1时，y＝1，所以k＝﹣2．当x＝2时，y＝2，所以k＝﹣2．即
图象过点（1，1）和（2，2），所以当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，所以k＝﹣2．
（3）根据新定义运算法则，分两种情况：k＞0，k＜0，列出关于系数k、b的方程组，通过解该方程组
即可求得系数k、b的值，即可解答．
2015
【解答】解：（1）反比例函数y= 是闭区间[1，2015]上的“闭函数”．理由如下：
x
2015
反比例函数y= 在第一象限，y随x的增大而减小，
x
当x＝1时，y＝2015；
当x＝2015时，y＝1，
即图象过点（1，2015）和（2015，1）
∴当1≤x≤2015时，有1≤y≤2015，符合闭函数的定义，
2015
∴反比例函数y= 是闭区间[1，2015]上的“闭函数”；
x
（2）由于二次函数y＝x2﹣2x﹣k的图象开口向上，
对称轴为x＝1，
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣k在闭区间[1，2]内，y随x的增大而增大．
当x＝1时，y＝1，
∴k＝﹣2；
当x＝2时，y＝2，
∴k＝﹣2；
即图象过点（1，1）和（2，2），
∴当1≤x≤2时，有1≤y≤2，符合闭函数的定义，
∴k＝﹣2．
（3）因为一次函数y＝kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，
根据一次函数的图象与性质，有：（Ⅰ）当k＞0时，即图象过点（m，m）和（n，n），
{mk+b=m
，
nk+b=n
{k=1
解得 ，
b=0
∴y＝x；
（Ⅱ）当k＜0时，即图象过点（m，n）和（n，m），
{mk+b=n
可得： ，
nk+b=m
{ k=−1
解得 ，
b=m+n
∴y＝﹣x+m+n，
∴一次函数的解析式为y＝x或y＝﹣x+m+n．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意
“分类讨论”数学思想的应用．
4
28．（12分）如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，tanC= ，CD＝10．
3
（1）线段AB＝ 8 ；
（2）如图2，点O是CD的中点，E、F分别是AD、BC上的点，将△DEO沿着EO翻折得△GEO，将
△COF沿着FO翻折使CO与GO重合，设DE＝x，CF＝y．
①求y与x之间的函数关系；
5
②当点E从点D运动到点A时，点G走过的路径长为 π，求AD的长；
2
③△EOF面积的最小值为 1 6 ．
【分析】（1）过点D作DH⊥BC于点H，由矩形的判定和性质和三角函数的应用即可求解；
（2）①过点E作EJ⊥BC于点J，根据翻折的性质及平行线的性质，先证明 E，G，F三点共线，再在Rt△EJF中，根据勾股定理即可求解；
②点G运动的轨迹为一段弧，设弧所对的圆心角为n°，由弧长公式求出圆心角，根据点E与点A重合，
再过点A作AI⊥CD交CD的延长线于点I，再根据三角函数及勾股定理即可求解；
1 1 1 16 16
③根据S
△EOF
=
2
S
梯 形E
=
D2CF
(x+ y)×8×
2
=2(x+3+
x+3
)，当x+3=
x+3
时，S△EOF 有最小值，
再求出最小值即可．
【解答】解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，
DH 4
则tanC= = ，
CH 3
在Rt△DHC中，DH2+CH2＝CD2＝100，
∴DH＝8，CH＝6，
∵AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠A＝∠B＝∠DHB＝90°，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AB＝DH＝8，
故答案为：8．
（2）①过点E作EJ⊥BC于点J，
由（1）中结论可得，EH＝AB＝8，
由翻折可得，DE＝EG＝x，GF＝CF＝y，∠EGO＝∠D，∠FGO＝∠C，
∵AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，∠EGO+∠FGO＝180°，∴E，G，F三点共线，EF＝x+y，JF＝JC﹣FC＝x﹣y+6，
在Rt△EJF中，EJ2+JF2＝EF2，
∴（x﹣y+6）2+82＝（x+y）2，
16
化简得：y= +3．
x+3
1
②∵OG=OD= CD=5，
2
∴点G运动的轨迹为一段弧，设弧所对的圆心角为n°，
nπ×5 5
由弧长公式得： = π，
180 2
解得n＝90°，即DOG＝90°，
1
∴∠DOE= ∠DOG=45°，
2
如图，点E与点A重合，过点A作AI⊥CD交CD的延长线于点I，
∵AD∥BC，
∴∠ADI＝∠C，
AI 4
∴tan∠ADI=tanC= = ，
DI 3
设AI＝4x，DI＝3x，O1＝3x+5，
在等腰Rt△OIA中，AI＝OI＝4x＝3x+5，
解得x＝5，
∴AI＝20，DI＝15，
在Rt△DIA 中，AD=√(AI) 2+(DI) 2=√152+202=25，
③由翻折知：S△ADO ＝S△AGO ，S△CFO ＝S△GFO ，1 1 1 16 16
∴S
△EOF
=
2
S
梯 形E
=
D2CF
(x+ y)×8×
2
=2(x+3+
x+3
)，当x+3=
x+3
时，S△EOF 有最小值，
∵x+3＞0，
∴x＝1时，最小值为16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行线的性质，基本图形变换的折叠问题，勾股定理等知识，
利用函数的思想方法求最值是本题的关键．
