文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（江西卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其他位置无效。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．对于有理数 ，下列说法错误的是（ ）
A．表示 的相反数 B．化简的结果等于3
C．绝对值等于 D．与 相等
【答案】C
【分析】本题考查相反数的定义及化简，绝对值的意义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，绝对值
的意义可得答案．
【详解】解： ， ， ，
A，B，D正确．
故选：C．
2．某校开展“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”活动，下面是活动的部分作品，其中是中心对称图
形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对
称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的
图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，旋转前后图形上能够重合的点叫
做对称点．
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转 后与原来的图形完全重合，
所以不是中心对称图形，
选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转 后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选C．
3．下图是小张在完成劳动课作业“为家人做一餐饭”时用到的电饭煲，该电饭煲的主视图为（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【详解】解：从正面看，电饭煲的图形为：
故选：B．
4．下列等式中成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：A． ，故选项A计算错误，不符合题意；
B． ，故选项B计算错误，不符合题意；
C． ，故选项C计算正确，符合题意；
D． ，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算、分式的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本
题的关键．
5．“保护环境，人人有责！”在今年的植树节中，某校九年级(1)班学生积极响应植树活动，下表是该班各小组在今年植树节中植树的棵数：
组号 一 二 三 四 五 六 七 八
植树棵数 4 6 5 6 4 3 6 6
对于数据：4，6，5，6，4，3，6，6，下列说法中错误的是（ ）
A．平均数是5 B．众数是6
C．中位数是5 D．方差是1.25
【答案】C
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位
数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一
组数据中出现次数最多的数据叫做众数．方差是用来衡量一组数据波动大小的量．根据均数，中位数，众
数，方差的意义对各选项依次分析，即可得出正确答案．
【详解】解：A、 ，平均数是5，故本选项正确，不符合题意；
B、6出现4次，最多，众数是6，故本选项正确，不符合题意；
C、 ，中位数是 ，故本选项错误，符合题意；
D、 ，方差是 ，故本选项正确，符合题意．
故选：C．
6．为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超
限站工作模型：如图1， 是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻 绝缘并紧密接触，已知电源电压恒
定且压力表量程为 ，压力表示数 与 的函数图象如图2所示， （单位： ）与检测物的质量
m（单位： ）的函数关系式为 ．则下列说法不正确的是（ ）
A．当 时， 的阻值为
B．在一定范围内， 随 的增大而减小
C．当托盘上货物的质量为 时，
D．因为压力表量程为 ，所以该模型可测量检测物的最大质量是【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．
根据所给函数图像即可判断选项A、B，根据函数图象得 与 的函数关系，根据 与m之间的关系得
，进行计算即可判断选项C，当 时， 的阻值为 ，此时 有最大值，进行计算即可判断选项
D．
【详解】解：根据图 2 得，当 时， 的阻值为 ，故选项A说法正确；
在一定范围内， 随 的增大而减小，故选项B说法正确；
设 与 的函数关系为 ，
将 代入得 ，
故 与 的函数关系为 ，
当托盘上货物的质量为 时，令 ， ，
则 ，故选项C说法错误，符合题意；
当 时， 的阻值为 ，最小，此时 有最大值，即 ，
解得： ，
即电压表量程为 ，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 ，故选项D正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
7． ＝
【答案】
【分析】先提公因式，然后根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟练掌握完全平方公式 ，是解题的关键．
8．微米和米都是长度的单位，其中1微米等于0.000001米．在日常生活中，我们经常需要将单位微米转
换为米，以便于更好地理解和使用．30微米 米（用科学记数法表示）．
【答案】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法： 为整数，进行表示即可．【详解】解：30微米 米；
故答案为： ．
9．若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则代数式 的值为 ．
【答案】28
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，掌握并能灵活运用根与系数的关系建立关系式是解题的关键．
由 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 、 、 代入
，然后进行计算即可解答．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个实数根，
∴ 、 、 ．
∴
∴
．
故答案为：28．
10．如图，四边形 对角线 ， 交于点 ， ， ，若 ，
，点 恰好在 的中垂线上，则 的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，
解答本题的关键在于相似三角形的判定与性质的应用．
由线段垂直平分线可设设 ，由勾股定理得 ，建立方程求出 ，
导角证明 ，求出 ，再由 即可求解．
【详解】解：如图：
∵点 恰好在 的中垂线上，∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： 或 （舍），
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
即
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：5．
11．如图，在 中， ，点 ， 分别为边 ， 上的一点，当 ， 时，将
沿折痕 翻折后，点 恰好落在边 中点 处，则 的长是 ．
【答案】
【分析】连接 ，根据点 恰好落在边 中点 处， ，得到 ， ，求得，结合 解答即可．
本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
∵点 恰好落在边 中点 处， ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．如图，在 中， 是 边的中点， 是 边的中点， 是 边上一动点， ，
， ，则 的周长最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查解直角三角形，三角形的中位线，利用轴对称解决线段的和最短问题．易得 是
的中位线，得到 ，根据 的周长 ，得到当 最小时，
的周长最小，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交于 点，此时 最小，为 的长，
勾股定理求出 的长，即可得出结果．【详解】解：∵ 中， 是 边的中点， 是 边的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∵ 的周长 ， 为定值，
∴当 最小时， 的周长最小，
如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ，交于 点，此时 最小，为 的长，则 的周
长最小，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算： ；
（2）如图，在 中，延长 到点E，使得 ，连接 ， ，若 ．求证： ．【答案】（1） ；（2）见解析.
【分析】（1）本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，零指数幂的意义，先算乘方、开方、零指
数幂和除法，再算乘法，后算加减；（2）本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质，熟
知相关知识点是正确解答此题的关键．先根据四边形 是平行四边形，得到 ， ，进
而可得 ，证明 ，据此即可证明．
【详解】（1）解：
（1分）
．（3分）
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
， ，
，
，
， ，
，
在 和 中，
，
，（5分）
．（6分）
14．数学老师写了一个运算过程并盖住了运算符号和一个代数式，如图1，小颖将问题转化为图2，※为运
算符号， 为一个代数式．
(1)小颖猜测※为“ ”，求 ；
(2)数学老师告诉小颖※为“ ”，用 表示出 ，并求 时 的值．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题考查了分式混合运算，解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先理解题意得 ，再化简运算，即可作答．
（2）先整理得 ，再结合 ，故 ，最后验根，即可作答．
【详解】（1）解：由题意得
（1分）
；（3分）
（2）解：若※为“ ”
；（4分）
当 时，即 ，
∴ ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解．（6分）
15．春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明
和小亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上 哪吒、 敖丙，放入不透明的甲袋中；另
外三张相同的卡片上分别标上 太乙真人、 申公豹、 李靖，放入不透明的乙袋中．
(1)从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是______；
(2)先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．
（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】(1)
(2)【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的
关键．
（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，利用概率公式可得答案；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及卡片人物恰好哪吒和李靖的结果数，再利用概率公式可得出答
案．
【详解】（1）解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，
∴卡片人物恰好是哪吒的概率为 ．
故答案为： ；（2分）
（2）解：列表如下：
C D E
A
B
（4分）共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有： ，共1种，
∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率 ．（6分）
16． 在数学课上，李老师给出了一道作图题：
“如图1，点P为 内一点，求作一条过点P的直线 ，分别交射线 、射线 于点E、F，且
．”这道题中要作的直线 需同时满足以下三个条件：① 过点P；②E、F分别在射线
上，③ ．经过尝试，同学们都觉得有些困难．于是，李老师提示同学们采用“弱化条
件”的策略去思考问题．即先作出满足部分条件的直线 （此时点 、 已满足分别在射线
上和 这两个的条件，如图2所示），再通过观察发现要作的 与已作的 互相平行．
(1)根据李老师的提示，在图1中用尺规完成李老师给出的问题；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图3， 为 的高线，用尺规作一个圆，使该圆经过点P，并且与边 和 都相切．（保留
作图痕迹，并写出必要的文字说明）提醒：在答题卡上作图痕迹需要加粗．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】题目主要考查作图，角平分线、垂线的作法，圆的性质，平行线的性质等，理解题意，综合运用
这些知识点，熟练掌握基本作图方法是解题关键．
（1）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交 于点C， ，然后以点C为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点 ，连接 ， ，然后以点P为顶点， 为角的一边作 ，确定 ，然
后延长 交 于点F即可；
（2）先作 的角平分线 ，在 上任意取一点D，作 于点F，以点D为圆心， 为半
径作圆D，圆D交 于点G，连接 ，以点P为顶点， 为边作 交 于点M，以点
M为圆心， 为半径的圆即为所求．
【详解】（1）解：如图所示即为所求；
（3分）
（2）根据题意，先作 的角平分线 ，在 上任意取一点D，作 于点F，以点D为圆心，
为半径作圆D，圆D交 于点G，连接 ，以点P为顶点， 为边作 交 于点
M，以点M为圆心， 为半径的圆即为所求．
（6分）
17．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象分别交于点 和点 ，
且与x轴交于点 ．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)将直线 向上平移 个单位，平移后的直线与 的图象在第一象限交于点P，若 ，求平移距离d．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，熟知待定系数法求函数解析式是解题的关键．
（1）先将点 代入一次函数 ，求得一次函数解析式，再求出点 ，即可求出把比例
函数解析式；
（2）作 轴交直线 于点 ，根据 ，即可求 ．
【详解】（1）解： 点 在一次函数 的图象上，
，
，
∴一次函数 的表达式为 ；（1分）
点 在直线 上，
，
．
，（2分）
把 代入 得 ，
解得： ，
反比例函数 的表达式为 ；（3分）
（2）解：作 轴交直线 于点 ，，
，（4分）
，
，
．（6分）
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．某小区在小区内安装垃圾分类的A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱，已知购买3个A型固定垃圾箱和
2个B型移动垃圾箱共需560元，1个A型固定垃圾箱和1个B型移动垃圾箱共需200元．
(1)求A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱的单价各是多少元；
(2)如果需要购买A型固定垃圾箱和B型移动垃圾箱共90个，且费用不超过6000元，问：那该小区最多可
以购买A型固定垃圾箱多少个？
【答案】(1)A型固定垃圾箱的单价是160元，B型移动垃圾箱的单价是40元
(2)该小区最多可以购买A型固定垃圾箱20个
【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设A型固定垃圾箱的单价是 元，B型移动垃圾箱的单价是 元，再结合题意列出二元一次方程组，
即可作答．
（2）设购买A型固定垃圾箱 个，则购买B型移动垃圾箱 个．再结合题意列出一元一次不等式，
即可作答．
【详解】（1）解：设A型固定垃圾箱的单价是 元，B型移动垃圾箱的单价是 元，
根据题意，得 ，（2分）
解得 ，（3分）
答：A型固定垃圾箱的单价是160元，B型移动垃圾箱的单价是40元．（4分）
（2）解：设购买A型固定垃圾箱 个，则购买B型移动垃圾箱 个．
根据题意，得 ，（5分）解得 ．（7分）
的最大值为20．
答：该小区最多可以购买A型固定垃圾箱20个．（8分）
19．如图，某型号订书机的主要部件托板 与手柄 的长度相等，均为 ，其中托板分为弹簧 ，
长为 的推动器 和书钉 三段，连杆的一端通过销子 与手柄相连，另一端可在 段滑动，当
托板与手柄的夹角 张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端 并随着 的增大拉动推动器
向销子 方向移动．现测得销子 ， 之间的距离为 ，连杆与推动器的长度之和等于销子 到手柄
端点 的距离．
(1)如图①，当连杆勾住点 时，若 ，求此时书钉的长度（结果精确到 ，参考数据：
， ）；
(2)如图②，已知一条新书钉的长度为 ，当装好一条新书钉且连杆勾住点 时，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键：
（1）勾股定理求出 的长，再利用线段的和差关系求出 的长即可；
（2）过点 作 ，设 ，求出 的长，利用双勾股定理，列出方程求出 的长，再利用余
弦的定义，求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，（1分）
∴ ；
答：此时书钉的长度为 ；（3分）
（2）过点 作 ，由题意，得： ，
设 ，则： ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，解得： ，（6分）
∴ ，（7分）
∴ ．（8分）
20．如图，在 中， ，点 为斜边 上一点，连接 ，以 为直径作 ，分别
交 ， 于 ， 两点，连接 交 于点 ，交 于点 ，连接 ， ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径及 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的半径 ，
【分析】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质及判断，直角三角形的性质，勾股定理，三
角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，在解决切线问题时，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）先证明 ，即可证出 ，由 ， ，可证
，继而证得 即可得证．
（2）连接 、 ，过点 作 于点 ，易证 ，利用直角三角形的边角关
系，和三角形的面积公式，可求出 ，在 中，利用勾股定理求出 ，继而在 可用
求出直径 ，即可求半径；在 中，利用 ，可求出 从而可知
，通过 的面积可求出 ，由勾股定理可求出 ，通过证 ，即可求出 长．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ （2分）
∵ 是 的直径，
∴ 是 的切线．（3分）
（2）解：连接 、 ，如图
∵ ，
∴ ， ，
∵ 为直径， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．即 的半径为 ．（5分）
过点 作 于点 ，如图
∴ ，
∵
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，（7分）
解得 ．（8分）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（AI）逐渐走进人们的日常生活．AI技术已广泛应用于手机、
家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献．某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调
查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．
【数据收集与整理】
研究小组对市面上不同的AI软件进行整理，请使用者进行评价打分．从使用较好甲、乙两款AI软件的评
价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理．成绩均高于90分（成绩得分
用x表示，共分为五组：A： ；B： ；C： ；D： ；E：
）
下面给出了部分信息：甲款AI软件20名使用者打分为：92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100．
乙款AI软件20名使用者打分在B等级的数据是：97，97，98，98，98，98．
乙款AI软件抽取的使用者打扮统计图
甲、乙两款AI软件抽取的使用者打分统计表
类型 平均数 众数 中位数
甲款AI软件 a
乙款AI软件 99 b
（1）上述表中 __________； __________；
【数据分析与运用】
（2）求扇形统计图中A组所占圆心角的度数．
（3）下列结论一定正确的是__________．
①甲乙两款AI样本数据的中位数均在A组；
②得分96分以上的样本数据甲乙一样多；
③甲乙两款AI样本数据的满分一样多．
（4）根据甲、乙两款AI软件样本的特征数，试估计哪款AI软件更优，并说明理由．
【答案】（1） ， （2） （3）②（4）甲款AI软件更优，理由见解析
【分析】（1）根据众数的定义，根据中位数的定义计算判断解答即可．
（2）根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可．
（3）根据样本，计算各自的中位数，满分人数，96分以上人数，后比较判定解答即可．
（4）根据中位数，众数决策即可．
【详解】（1）解：∵100出现了7次，次数最多，
故 ；（1分）
根据题意，得中位数是第10个，第11个数据的平均数，
∵A等级的人数为 人，
B等级从小到大排序为：97，97，98，98，98，98．
第10个，第11个数为98，98，
故中位数为 ．
故答案为：100，98．（2分）（2）解：A等级所占圆心角为： ． （4分）
（3）解：根据题意，得甲的中位数是 ，在A组；乙的中位数是 ，在B组；故①错误；
样本数据甲得分96分以上的人数为14人；样本数据乙得分96分以上的人数为 人；
故②正确；
样本数据甲得满分的人数为7人；样本数据乙得满分人数无法确定；
故③错误．
故选：②．（6分）
（4）解：∵甲、乙两款AI软件的平均数相同，而甲款AI软件的众数和中位数都大于乙款AI软件的众数
和中位数，
∴甲款AI软件更优．（9分）
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，众数、中位数的计算，圆心角计算，读懂统计图，熟练掌
握圆心角，中位数的计算是解题的关键．
22．如图，二次函数 的图像经过 ， 两点，一次函数 的图像
与 轴交于点 ．
(1)填空： ______， ______；
(2)求证：二次函数 与一次函数 的图像总有交点；
(3)当点 到一次函数 的图像的距离最大时，设此时一次函数 与二次函数
的图像交于 两点（点 在点 的右侧），试判断在线段 上是否存在点 ，使得
．若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题
的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）将一次函数的解析式转化为： ，得到直线 恒过点 ，根据
抛物线 也过点 ，即可得证；（3）根据直线 恒过点 ，得到当点 与点 形成的线段垂直直线 时，点
到直线 的距离最大，过点 作 轴，推出点 ，以 为斜边，在 下方，
构造等腰直角三角形 ，求出 点坐标，圆周角定理，推出点 在以 为圆心， 为半径的圆上，根
据 到线段 的距离大于半径，得到 与线段 相离，得到线段 上不存在点 使 ．
【详解】（1）解：把 ， 代入 ，得：
，解得： ．
故答案为： ；（2分）
（2）由（1）知： ，
∵ ，
∴当 时， ，
∴直线 恒过点 ，（3分）
又∵当 时， ，
∴抛物线 也过点 ；
∴二次函数 与一次函数 的图像总有交点；（5分）
（3）不存在，理由如下：
由（2）知道，直线 恒过点 ，
∴当点 与点 形成的线段垂直直线 时，点 到直线 的距离最大，如图，
此时 ，（6分）
过点 作 轴，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，（7分）
以 为斜边，在 下方，构造等腰直角三角形 ，则： 在 的中垂线上，且 ，
∴ 点的横坐标为 ，
设 ，则： ，
∴ 或 （舍去）；
∴ ，
∵ ，
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上，（8分）
∵ 到 轴的距离为2， ，
∴圆与直线 相离，
∴线段 上不存在点 使 ．（9分）
六、解答题（本大题共12分）
23．【综合与实践】
如图，在 中，点 是斜边 上的动点（点 与点 不重合），连接 ，以 为直角边在
的右侧构造 ， ，连接 ， ．
【特例感知】
（1）如图1，当 时， 与 之间的位置关系是 ，数量关系是 ．
【类比迁移】
（2）如图2，当 时，猜想 与 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
【拓展应用】
（3）在（1）的条件下，点 与点 关于 对称，连接 ，如图3．已知 ，设 ，
四边形 的面积为 ．
①求 与 的函数表达式，并求出 的最小值；
②当 时，请直接写出 的长度．【答案】（1） ， ；（2） ， ，证明见解析；（3）①
， 的最小值为32；② 或
【分析】（1）根据三角形全等的判定证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，
，则 ，即 ，由此即可得；
（2）先证出 ，再根据相似三角形的性质可得 ， ，则
，即 ，由此即可得；
（3）①先证出四边形 是正方形，再过点 作 于点 ，则 ，分
和 两种情况，求出 的长，然后利用勾股定理可得 ，则可得 关于 的函
数表达式，利用二次函数的性质即可得 的最小值；
②连接 交 于点 ，连接 ，则正方形 是 的内接正方形，对角线 是 的两条直
径，先根据圆周角定理可得点 在 上， ，再过点 作 于点 ，过点 作
于点 ，根据垂径定理可得 ， ，根据矩形的判定与性质可得
，利用勾股定理可得 的长，然后求出正方形 的面积 的值，代入函数关系式求解即
可得．
【详解】解：（1）当 时， ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为： ， ．（2分）
（2） ， ，证明如下：（3分）
∵ ， ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．（5分）
（3）①当 时， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵点 与点 关于 对称，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
又∵ ，
∴菱形 是正方形．
如图，过点 作 于点 ，则 ，当 时， ，（7分）
∴ ；
当 时， ，
∴ ；
综上， ，
由二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值，最小值为32．（9分）
②如图，连接 交 于点 ，连接 ，则正方形 是 的内接正方形，对角线 是 的
两条直径，
由上已证： ，即 ，
∴点 在 上，
由圆周角定理得： ，
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴直径 ，
∴正方形 的面积 ，
由（3）①已得： ，
∴ ，
解得 或 ，均符合题意，
所以 的长度为 或 ．（12分）
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性
质、二次函数的应用、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的应用等知识，综合性强，难度大，通过作
辅助线，构造圆，利用到圆的性质是解题关键．
