文档内容
2025 年中考押题预测卷（徐州卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：140分）
姓名： 文化考试证号
注意事项
1．本试卷共6页，满分140分，考试时间120分钟。
2．答题前，请将姓名、文化考试证号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在本卷和答题卡的指定位置。
3．答案全部涂、写在答题卡上，写在本卷上无效。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只
有一项符合题意，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）
1．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的
图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．杨辉三角 B．割圆术示意图 C．赵爽弦图 D．洛书
【答案】B
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此
题的关键．中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转 ，能够与自身重合的图形．轴对称
图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【知识点】合并同类项、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、合并同类项法则、平方差公式、完全平方公式逐项
判断即可．
【详解】解∶ A． ，故原计算错误；
B． 与 不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
C． ，故原计算正确；
D． ，原计算错误；
故选：C．
3．若 ，则 的值是______．
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】分式的求值、异分母分式加减法
【分析】本题考查的是分式的求值，分式的加减运算，掌握整体代入法求解分式的值是解本题的关键；把
化为 ，再代入计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选C
4．欹（ ）器，它是中国最早最神奇的实物座右铭，是古代一种倾斜易覆的盛水器，水少则倾，中则正，
满则覆，寓意“满招损，谦受益”．如图是一件欹器和它的主视图，其左视图为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了由几何体判断三视图，从左边看到的图形是左视图，注意能看到的线用实线画，看不
到的线用虚线画．根据左视图是从左边看到的图形解答即可．
【详解】解：由题意可得：其左视图为：
故选：C
5．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，
而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为 ，中间有边长为 的正方形小孔，随机向
铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概率
【分析】用中间正方形小孔的面积除以圆的总面积即可得．
【详解】∵铜钱的面积为4π，而中间正方形小孔的面积为1，∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ，
故选D．
【点睛】考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，
体积比等．
6．《义务教育课程标准（ 年版）》首次把学生学会烹饪纳入劳动教育课程，并作出明确规定某班有
七名同学已经学会烹饪的菜品种数依次为： ， ， ， ， ， ， ，则这组数据的众数、中位数和平均
数分别是（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】A
【知识点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数
【分析】本题主要考查众数、中位数和平均数，一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数，中
位数是指将一组数据按照由小到大或由大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称中间位置的数为
这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数．根据众数、
中位数、平均数的定义解答即可．
【详解】解： 这 个数据中出现次数最多的数据是 ，
这组数据的众数是 ，
把这组数据按从小到大顺序排为： ， ， ， ， ， ， ，位于中间的数据为 ，
这组数据的中位数为 ，
，
这组数据的平均数为 ．
故选：A．
7．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次
游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，
要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（ ）A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米
【答案】C
【知识点】相似三角形实际应用、中心投影
【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对
应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质
构建方程求解即可．
【详解】解：如图：点 为光源， 为小明的手， 表示小狗手影，则 ，作 ，延长
交 于 ，则 ，
， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 米， 米，
∴ ，
令 ，则 ，
∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图，，
即 ， ， ，
∴ ，则 ，
∴ 米，
∴光源与小明的距离应增加 米，
故选：C．
8．如图是一种轨道示意图，其中 和 均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且
．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，
其路线分别为 和 ．若移动时间为x，两个机器人之间距离为
y，则y与x关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为 ，之后同时到达点A，C，两
个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人
之间的距离是直径 ，当机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，
设圆的半径为R，
∴两个机器人最初的距离是 ，
∵两个人机器人速度相同，
∴分别同时到达点A，C，
∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；
当两个机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离是直径 ，保持不变，
当机器人分别沿 和 移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，
故选：D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请将答案
直接填写在答题卡相应位置）
9．计算 的结果等于 ．
【答案】8
【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了利用平方差公式进行计算、二次根式的混合运算，利用平方根公式去括号，再根据二
次根式的性质计算即可得出答案．
【详解】解：
，
故答案为：8．
10．2025年3月，中国科学院物理研究所团队首次实现大面积二维金属材料的普适性制备，其中，铅
（Pb）二维金属厚度约为 米．将数据 用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中
， 为正整数，即为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．【详解】解： ．
故答案为： ．
11．已知方程 的两个解分别为 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】因式分解在有理数简算中的应用、一元二次方程的根与系数的关系
【分析】先根据根与系数的关系求出 和 的值，然后再对 因式分解后代入计算即可．
【详解】解：∵方程 的两个解分别为 ，
∴ ， ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程 根与系数的关系，若 为方程的两个根，
则 与系数的关系式： ， ．
12．正六边形 和正五边形 的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则
的度数为 ．
【答案】 /48度
【知识点】正多边形的外角问题
【分析】本题考查了正多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键；
根据正五边形和正六边形性质得出各外角度数，进而可得答案．
【详解】解： 在正六边形 和正五边形 中，
，，
，
故答案为： ．
13．如图，在矩形 中， ， 为 的中点，将边 绕点 逆时针旋转，点 落在 处，
连接 ， ，若 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】如图，过 作 于 ， ，证明 ，而 ，可得
，即 ，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，过 作 于 ， ，
∴ ，
∴ ，
由旋转可得： ， ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∵矩形 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定
理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
14．关于 的方程 无解，则 的值是 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，先求出方程的解，再根据方程无解可知分式方程的分
母为 ，求出 的值，再代入方程的解计算即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键．
【详解】解：方程两边乘以 得， ，
∴ ，
∵关于 的方程 无解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15．点 既在反比例函数 的图象上，又在一次函数 的图象上，则以 为
根的一元二次方程为 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一次函数与反比例函数的交点问题【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次函数与反比例函数图象上的点的坐标特征．将P点
代入反比例函数解析式中，可得出m、n的乘积；将P点坐标代入一次函数的解析式中，可得出m、n的和；
根据韦达定理即可求出以 为根的一元二次方程．
【详解】解： 点 在反比例函数 的图象上，
，
；
点 在一次函数 的图象上，
，
，
以 为根的一元二次方程可以为： ．
故答案为： （答案不唯一）．
16．已知方程 的两根恰好是 的两条边的长，则 的第三边长为 ．
【答案】13或 /13或
【知识点】因式分解法解一元二次方程、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是分类讨论．
解一元二次方程，分类讨论，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：
解得 ，
当 为 的两直角边时，第三条边长为 ；
当 为 的一条直角边和一条斜边时，第三条边长为 ；
故答案为：13或 ．
17．已知二次函数 （a，b是常数， ）的图象经过 三个点中的两
个点．平移该函数的图象，使其顶点始终在直线 上，则平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、其他问题(二次函数综合)
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征，求二次函数的解析式
等知识点，正确求得抛物线平移前后的解析式是解题的关键．
先判断抛物线经过点A、C，然后利用待定系数法求得解析式，根据题意设出设平移后的抛物线为
，令 ，得到解得是纵坐标与平移距离之间的函数关系，根据此函数关系即可
求得m，即可求得平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式．
【详解】解： 在直线 上，
或B是抛物线的顶点，
的横坐标相同，
抛物线不会同时经过B、C点，
抛物线过点A和C两点，
把 代入 ：
得 ，解得 ，
二次函数为
顶点始终在直线 上，
抛物线向左、向下平移的距离相同，
设平移后的抛物线为 ，
令 ，则 ，
时，抛物线与y轴交点纵坐标有最大值为 ，
平移后与y轴交点纵坐标值最大的抛物线的函数表达式为 ．故答案为： ．
18．如图，在扇形 中， ，点 为 的三等分点， 为 ．上一动点，连接
．当 的值最小时，图中阴影部分的面积为 （结果保留 ）
【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、求其他不规则图
形的面积
【分析】过点 作关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，此时， ，值最
小，由点 为 三等分点， ，得到 ，根据 ，得到
，由 ， ，得到 ，进而得到 ，求出 ， ，
进面求出 ， ， ， ，即可求解．
【详解】解：如图，过点 作关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，此时，
，值最小，如图：
设 与 交于点 ，
∵点 为 三等分点， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： （负值已舍去），
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
∴
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤）
19．（本题10分）计算：
(1) (2)化简：
【答案】(1)3 (2)1
【知识点】实数的混合运算、含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题考查了实数的混合运算和分式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先根据绝对值的性质，算术方法根的定义和负整数指数幂的性质分别化简，再进行加减运算；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式分别因式分解，再约分即可．
【详解】（1）解：．
（2）解：
．
20．（本题10分）解方程或不等式组：
(1) ； (2)
【答案】（1）无解；（2）
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、求不等式组的解集
【分析】此题考查了分式方程和一元一次不等式组的求解能力，关键是能进行准确转化、计算．
（1）先将原方程化成整式方程后再求解、检验；
（2）分别求解两个不等式，再确定它们的公共部分．
【详解】解：（1）两边同时乘以 ，得
，
解得 ，
检验：当 时， ，
∴ 增根，原方程无解；
（2） ，
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴该不等式组的解集是 ．
21．（本题7分）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴
的非物质文化遗产手工艺品．以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝；B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸．
(1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是___________．
(2)小乐和小欢分别从这四幅图中任选一幅，用于宣传脊晚中的非物质文化遗产，请用画树状图或列表的方
法分析，两人恰好选中同一幅图片的概率．
【答案】(1) (2)
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了概率公式，用列表非或画树状图法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由题意知，共有 种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有 种，根据概率公式计
算即可；
（2）列表得出所有等可能的结果以及两人恰好选中同一幅图的结果数，再利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：由题意知，共有 种等可能的结果，其中恰好选中“C．背神竹编”的结果有 种，
小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．背神竹编”的概率是 ；
（2）解：列表如下，
A B C D
A
B
C
D
共有 种等可能的结果，其中两人恰好选中同一幅图的结果有 种，
两人恰好选中同一幅图的概率为 ．
22．（本题7分）随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文
创店将进价为 元/个的哪吒钥匙扣以 元/个出售，平均每天能售出 个，该文创店通过调查发现这种
钥匙扣每个的售价每上涨 元，其每天的销售量就减少 个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为 元，且售价不能超过 元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？
【答案】这种钥匙扣的售价应定为 元/个
【知识点】公式法解一元二次方程、营销问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列方程是解题关键．
设这种钥匙扣的售价应定为 元/个，由钥匙扣每个的售价每上涨 元，其每天的销售量就减少 个，列出
等式，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：设这种钥匙扣的售价应定为 元/个，
根据题意，得 ，
解得 ， ，
∵这种钥匙扣的售价不能超过 元/个，
．
答：这种钥匙扣的售价应定为 元/个．
23．（本题8分）如图1，菱形 中，点 是对角线 上一点，连接 、 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，若 ，点 在线段 上，连接 ，当 是等腰三角形时，请直接写出
的度数．
【答案】(1)见详解
(2) 或 或
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、利用
菱形的性质求线段长
【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）根据菱形的性质得 ， ，然后证明 ，即可作答．（2）根据菱形的性质得 ， ， ，然后结合等腰三角形的性质，
进行逐个作图，且根据三角形内角和性质列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ 是等腰三角形，
∴当 时，如图所示：
∴ ，
∴ ；
∴当 时，如图所示：
∴ ；
∴当 时，如图所示：∴ ；
综上：当 是等腰三角形时， 的度数为 或 或 ．
24．（本题8分）为响应“健康中国”战略号召，某中学创新推出“快乐运动·健康同行”主题健身周，真
正实现“汗水里绽放笑脸”的素质教育新实践．现随机抽取九年级 名学生，统计其每日体育活动时间，
但在统计数据时不慎将墨汁滴到统计表中，如图所示，根据以上信息，解决下列问题．
(1)补全频数分布直方图；
(2)墨汁盖住的数字共________个，若第四组学生的平均运动时间为 ，求第四组中被盖住的数字；
(3)扇形统计图中第四组的圆心角的度数是________；
(4)若该校共有学生 人，试估算该校约有多少名学生每日运动时间不少于 分钟．
【答案】(1)见解析
(2) ；
(3)
(4)该校约有 人每天运动时间不少于 分钟
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关
联、频数分布直方图
【分析】本题主要考查了统计表、统计图、利用样本估计总体．解决本题的关键是根据统计表、统计图中
的已知信息，得到未知信息．
由统计表和统计图中的信息分别求出第一、二、四组的人数，补全频数分布直方图即可；根据频数分布直方图中各组的人数和统计表中每个组显示的人数，分别求出每个组被盖住的人数，即
可得到墨汁盖住的人数；
根据第四组的人数求出第四组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第四组的圆心
角度数；
利用样本估计总体，估算该校每日本运动时间不少于 分钟的人数．
【详解】（1）解：由统计表可知第一组有 人，
由扇形统计图可知，第二组人数占总人数的 ，
第二组的人数有 人，
由频数分布直方图可知第三组有 人，
第四组的人数为 人，
补全频数分布直方图如图所示：
（2）解：由 可知第二组共有 个数字，
第二组被墨汁盖住了 个，
第三组共有 个数，
第三组被墨汁盖住了 个数，
第四组共有 个数，
第四组被墨汁盖住了 个数，
墨汁一共盖住了 个数字；
第四组中被盖住的有一个数设这个数为 ，
，
解得： ；被盖住的数字为 ；
故答案为：
（3）解： 一共调查了 名学生，第四组中有 名学生，
第四组中学生的人数占总人数的 ，
扇形统计图中第四组的圆心角的度数是 ，
故答案为： ；
（4）解：由统计表可知第二、三、四组的学生每日运动时间不少于 分钟，
利用样本估计总体，可得： ，
该校约有 人每天运动时间不少于 分钟．
25．（本题8分）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分
时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产
生日影的杆子 垂直于地面， 长8尺．在夏至时，杆子 在太阳光线 照射下产生的日影为 ；
在冬至时，杆子 在太阳光线 照射下产生的日影为 ．已知 ， ，求春
分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据： ， ， ，
， ， ）
【答案】9.2尺
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题主要考查解直角三角形和求平均数，利用正切分别求得 和 ，结合题意利用平均数即可
求得春分和秋分时日影长度．
【详解】解：∵ ，杆子 垂直于地面， 长8尺．
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．∴春分和秋分时日影长度为 ．
答：春分和秋分时日影长度9.2尺．
26．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象交于
两点，交 轴于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若 为反比例函数 图象上的一点，当 时，求点 的坐标；
(3)在 轴上存在一点 ，使 与 相似，求 点的坐标．
【答案】(1)
(2) 或 或 或
(3) 或
【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反
比例函数的交点问题
【分析】（1） 代入 得 ，得 ,代入 ，求出a值即得；
（2）可得点 ，得 ,取 中点S，连接 ,则 ， ,取点S关于点O
的对称点 ，当 时，求出 解析式 ，联立得 ，解得 （符合），得 ；取点Q关于点S的对称点 ，当 时，求出 解析式 ，
联立得 ，解得 ，得 ；即得点 的坐标为
或 或 或 ；
（3）求出 ，得 ， ，由 ，得 ，根据 与
相似， ，得 ，得 ，得 ；或 ，得 ，
得 ；即得 点的坐标 或 ．
【详解】（1）解：∵一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
取 中点S，连接 ，
则 ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴点P到 的距离是点O到 距离的2倍，
取点S关于点O的对称点 ，
当 时，
设 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
联立得 ，
∴ （符合），
∴ ；
取点Q关于点S的对称点N，
∵ ， ，
∴ ，
当 时，设 解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
联立得 ，
∴ （符合），
∴ ；∴点 的坐标为 或 或 或 ；
（3）解：∵ 中， 时， ， 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 与 相似， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
或 ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
∴ 点的坐标 或 ．
27．（本题10分）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所
对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1， 中，点D是 边上一
点，连接 ，若 ，则称点D是 中 边上的“比中项妙点”．
(1)①在 中， ， 于点D，则点D______（填“是”或“不是”） 中
边上的“比中项妙点”；
②如图2， 的顶点是 网格图的格点，请仅用直尺画出 边上的一个“比中项妙点”点M（
的中点除外）．
(2)如图3，平行四边形 中，点E为 边上一点，连接 交对角线 于点F，点F恰好是
中 边上的“比中项妙点”．
①求证：点F也是 中 边上的“比中项妙点”；
②连接 并延长交 于点G，若点F是 中 边上的“比中项妙点”，且 ，求 的值．
【答案】(1)①是；②
(2)①见解析；②
【知识点】相似三角形的判定与性质综合、格点作图题【分析】（1）①证明 ，根据相似三角形的性质可得出 ，然后根据“比中项
妙点”的定义判断即可；
②取格点D，连接 交 于M即可；
（2）①根据“比中项妙点”的定义可得出 ，证明 ，可得出 ，则
， ，然后据“比中项妙点”的定义即可得证；
②首先证明 ,再得到 即可解题．
【详解】（1）解：①∵ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点D是 中 边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格知： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴由①知：点M是 中 边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是 中 边上的“比中项妙点”
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点F也是 中 边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ,
∵ ,
∴ ,
，
，，
∵点 是 中 边上的“比中项妙点”，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
，
∴ ,
，
，
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
．
28．（本题10分）综合与探究
问题情境：
在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板 和 重合放置，
其中 ．将 绕点 顺时针旋转，旋转角为
．如图2，当 的直角顶点 刚好落在边 上时， 的延长线交 于点 ，试判
断 与 的数量关系，并说明理由．
数学思考（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究
（2）老师将 继续绕点 顺时针旋转到图3位置，作射线 交 于点 ．此时“善思小组”的同
学认为点 是 的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由．
（3）在 绕点 顺时针旋转的过程中，连接 ，是否存在某一时刻，使得 是一个以
为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时 的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ，见解析；（2）正确，见解析（3） 或
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解、解
直角三角形的相关计算
【分析】（1）解法1连接 ，证明 即可；
解法2 根据勾股定理，得 ，得到 ，利用三角函数求得 的长
度，比较解答即可．
（2）过点E作 ，交 的延长线于点G，则 ，根据旋转的性质，等腰三角形的判定
和性质，余角的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可．
（3）当 ，根据旋转的性质，得 ，取 的中点N，连接 ，交 于点P，利用等腰
三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数的应用解答即可；
当 ，根据旋转的性质，得 ，取 的中点M，连接 ，交 于点Q，则 ，
根据矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理
解答即可．
【详解】（1）解：解法1：连接 ，
∵∴ ，
∴ ．
解法2：根据题意，得 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：过点E作 ，交 的延长线于点G，
则 ，
∵ 继续绕点 顺时针旋转到如图位置，作射线 交 于点 ．
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴点 是 的中点．
（3）解：当 ，
根据旋转的性质，得 ，
取 的中点N，连接 ，交 于点P，
则 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
解得 ；
当 ，
根据旋转的性质，得 ，
取 的中点M，连接 ，交 于点Q，
则 ，
∴ ，四边形 是矩形，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长为 或 ．
