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2025 年中考第二次模拟考试（青海西宁卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 在 、 、 和 四个数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则、求一个数的绝对值、无理数的估算，进行运算，
再比较大小即可．本题考查了零指数幂、负整数指数幂的运算法则、求一个数的绝对值、无理数的估算及
有理数的大小比较，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
【详解】解： ， ， ， ，
，
，
四个数中，最小的是 ，
故选：B．
2. 下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项，二次根式的除法，平方差公式，积的乘方逐项分析判断即可求解．本题考查了
合并同类项，二次根式的除法，平方差公式，积的乘方，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3．如图，桌上放着一摞书和一个茶杯，从左边看到的图形是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】试题解析：从左面可看到几个上下相邻的长方形上面有一个小长方形．
故选D．
4．第一个盒子中有 个白球和 个黄球，第二个盒子中有 个白球和 个黄球，这些球除颜色外无其他差
别，分别从每个盒子中随机抽取 个球，取出的两个球都是黄球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列表法或树状图法以及概率公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
画树状图列出所有等可能的结果，从中确定取出的两个球都是黄球的结果数，根据概率公式计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有 种等可能的结果，其中取出的两个球都是黄球的情况有 种，取出的两个球都是黄球的概率是 ，
故选：A．
5．在 中， ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 计算即可．本题考查了余弦的定义，正确理解定义是解题的关键．
【详解】∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
6．如图是台州市某天 气温变化的折线统计图，根据图形所给的信息，下列描述正确的是
（ ）．
A．在这个时间段内，最低气温是 B．从8时到10时，气温上升最快
C．从14时到20时，气温呈下降趋势 D．从14时到16时，气温下降最快
【答案】C
【分析】根据折线统计图的信息逐项判断即可得．本题考查了折线统计图，读懂折线统计图，正确获取信
息是解题关键．
【详解】A. 在这个时间段内，最低气温是 ，此选项说法错误，不合题意；
B. 从10时到12时，气温上升最快，此选项说法错误，不合题意；
C. 从14时到20时，气温呈下降趋势，此选项说法正确，符合题意；
D. 从18时到20时，气温下降最快，此选项说法错误，不合题意；故选：C．
7．我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一
燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用
秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量
为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤？设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“将一只雀和一只燕交换位置，重量相等”和“5只雀和6只燕的重量为一斤”建立方程即
可．本题考查了列二元一次方程组，理解题意，正确找出等量关系是解题关键．
【详解】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤，
根据题意，得 ，
故选：A．
8．如图，已知在ΔABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P由点A出发，沿AC向点C运动，到点C停止，
速度为2cm/s，同时，点Q由AB中点D出发，沿DB→BC向点C运动，到点C停止，速度为1cm/s，连
接PQ，设运动时间为x（s），ΔAPQ的面积为y（cm），则y关于x的函数图像大致为（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
考查动点问题，涉及三角形的面积，相似三角形的判定与性质.难度较大，对学生综合能力要求较高.
【分析】应该分段进行讨论. 当 时，当 时，当 时.
【详解】解：当 时，
过点Q作QH⊥AC于点H，
∠C=90°，AC=6，BC=8，
∵BC⊥AC，
∴QH∥BC，
∴△AQH∽△ABC，
∴ ,即 解得
∴
当 时，
当 时，
故选A.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9．已知实数x、y、z满足 +（y﹣2）2+|z+3|＝0，则（x﹣y+z）2025的值是 ．
【答案】﹣1【分析】根据非负数的性质求出a、b、c的值，然后代入（x﹣y+z）2025计算即可.本题考查了非负数的性质，
①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数
也必为零.初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方.
【详解】解：∵ +（y﹣2）2+|z+3|＝0，
∴x﹣4＝0，y﹣2＝0，z+3＝0，
则x＝4，y＝2，z＝﹣3，
∴（x﹣y+z）2025＝（4﹣2﹣3）2025＝（﹣1）2025＝﹣1，
故答案为﹣1
10．分解因式：2a3b﹣2ab3＝ ．
【答案】
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．本题考查了提公因式法与公式法分解因式，一般
来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
【详解】解：原式＝2ab（a2﹣b2）
＝2ab（a+b）（a﹣b），
故答案为：2ab（a+b）（a﹣b）；
11．若代数式 有意义，则实数x的取值范围为 ．
【答案】 且
【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件．直接利用二次根式和分式有意义的条件得出答案．
【详解】解：由题意得 ， ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
12．在“百度”搜索引擎中输入“社会主义核心价值观”，找到与之相关的结果约为22600000个，将
22600000用科学记数法表示是 ．
【答案】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数．把一个大于10的数写成科学记数法 的形式时，将小数点放到左边第一个不为0的数位后作为a，把整数位数减1作为n，从而确定它的科学记数法形式．
【详解】解： ；
故答案为：
13．已知点A在反比例函数 的图象上，点A关于x轴的对称点为点P，点A关于y轴的对称点
为点Q，若 ，则k的值是 ．
【答案】
【分析】画出大概图象，设 ，根据轴对称的性质可得出 ， ， ，进而可
求出 ， ．最后根据三角形面积公式即可列出关于k的等式，解出k即可．本题考查反比
例函数图象上点的坐标特点，轴对称的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
【详解】如图，设 ，
根据轴对称的性质可得出 ， ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
解得： ．14．若一个扇形的半径为 ，圆心角为 ，现将此扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面积为
【答案】
【分析】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的有关的计算公式，难度不大．易得圆锥的侧面弧长，
那么根据圆锥侧面展开图的弧长 底面周长得到圆锥底面半径，进而可求得圆锥的底面积．
【详解】
解：圆锥的侧面展开是扇形，母线是扇形的半径，则扇形弧长 ．
那么圆锥的底面半径为： ，
这个圆锥的底面积为 ．
故答案为： ．
15．一副直角三角板，按如图方式叠放在一起，其中 ， ．若 ，则 等于
．
【答案】
【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到 ，再根据三角形的外角性质
即可得解．
【详解】解：根据题意可得， ，
， ，
，
，
故答案为： ．
16．如图，某品牌的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长
为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为 ，则这个“莱洛三角形”的周长是 ．【答案】
【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，理解弧三角形的概念、掌握正多边形的中心角的求法是解题
的关键．根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．
【详解】解：如图：
∵ 是正三角形，
∴ ，
∴ 的长为： ，
∴“莱洛三角形”的周长 ．
故答案为： ．
17．如图，正比例函数 与一次函数 的图象交于点 ，则关于 的不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．由点 在正比例函数 上可求出 ，由图象可知当 时，一次函数 的图
象在正比例函数 图象的下方，即可得到答案．
【详解】解： 点 在正比例函数 上，
当 时， ，
解得： ，
，
由图象可得，关 的不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
18．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为
60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高
度是
m.
【答案】30
【分析】先根据CD＝20米，DE＝10m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知
∠DBF＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三
角函数的定义即可得出结论.此题考查锐角三角函数的实际运用，根据已知条件求得∠DBC＝30°是解题的
关键，根据∠DCB＝90°，CD=20m，从而求得BC的长度，再求得AB的长度.
【详解】在Rt CDE中，
∵CD＝20m，△DE＝10m，
∴sin∠DCE＝ ＝ ，
∴∠DCE＝30°.
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°.
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
.
故答案为：30.
三、解答题：本题共9小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
计算：计算： ．
【答案】（1）
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，负整数指数幂和零指数幂的意义，分式的化简求值，熟练掌握
特殊角的三角函数值、分式的运算法则是解答本题的关键．
（1）先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂和零指数幂的意义化简，再算加减．
【详解】解：（1）
．
20.(本小题7分)
先化简，再求值：先化简再求值 ，再从1，2，3中选取一个适当的数代入
求值．【答案】 ，
【分析】先根据分式的运算法则化简，再选一个使分式有意义的数代入计算即可．
【详解】解：
，
当 或 时，原分式无意义，
∴ ，
当 时，
原式 ．
21.(本小题7分)
如图，一次函数 的图象经过点 ，并交反比例函数 的图象于二、四象限内的 两点．
(1)求该一次函数的解析式；
(2)若 ，求k的值．
【答案】(1) ；(2)【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数与反比例函数交点问题，相似三角形的判定与
性质．正确求出一次函数的解析式是解题的关键．
（1）将点代入求解即可得到答案；
（2）作 轴于点 ， 轴于点 ，则 ．由 ，得出 ，那么
．设 点纵坐标为 ，则 点纵坐标为 .由直线 的解析式为 ，得出 ，
，，再根据反比例函数 的图象经过 、 两点，列出方程 ，解方
程求出 的值，那 ,代入计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（2）如图，作 轴于点 ， 轴于点 ，则 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
设 点纵坐标为 ，则 点纵坐标为 ，
∵直线 的解析式为 ，
∴ ， ，∵反比例函数 的图象经过 、 两点，
∴ ，
解得 ， （不合题意舍去），
∴ ．
22.(本小题7分)
“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，本次太空授课活动继续采取天地对话方式进行，由航天员在轨演
示太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验，介绍与展示空间科学设施，传播普
及空间科学知识，小玲对航空航天非常感兴趣，她收集到了太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离
实验、太空抛物实验的实验展示图，依次制成编号为A、B、C、D的四张卡片（背面完全相同），将这四
张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小玲从中随机抽取一张卡片是“水油分离实验”的概率为______；
(2)小玲先从四张卡片中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树
状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为A（太空“冰雪”实验）和D（太空抛物实验）的概率．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据概率公式即可得到答案；
（2）先画出树状图，列出所有等可能的情况，再找出符合题意的情况，然后利用概率公式即可得到答案．
本题考查了概率公式，用列表或画树状图的方法求概率，解题关键是掌握概率 所求情况数与总情况数之
比．
【详解】（1）解：由题意可知，抽取卡片有4种等可能的情况，其中抽取卡片是“水油分离实验”的情况
有1种，
小玲从中随机抽取一张卡片是“水油分离实验”的概率为 ，
故答案为： ；
（2）解：画树状图如下：由树状图可知，一共有12种等可能的情况，其中抽到的两张卡片恰好是编号为A（太空“冰雪”实验）和
D（太空抛物实验）的情况有2种，
抽到的两张卡片恰好是编号为A（太空“冰雪”实验）和D（太空抛物实验）的概率为 ．
23.(本小题8分)
植树造林不仅可以美化家园，同时也可以调节气候、促进经济发展．在植树节前夕，某单位计划购进A、B
两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
(1)若购进的A、B两种树苗刚好1220元，求A、B两种树苗分别购买了多少棵？
(2)若购买A种树苗a棵，所需总费用为w元．求w与a的函数关系式．
(3)若购买时A种树苗不能少于5棵，w的最小值是多少？请说明理由．
【答案】(1)A种树苗购进10棵，B种树苗购进7棵；(2) ；(3) ，理由见解析
【分析】（1）设购进A种树苗x棵，购进B种树苗y棵，根据“购进A、B两种树苗共17棵，已知A种
树苗每棵80元，B种树苗每棵60元，购进的A、B两种树苗刚好1220元”列方程组解答即可；
（2）根据所需费用为w＝A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答；
（3）结合（2）利用一次函数的增减性即可得出答案．此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函
数的应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决（3）的关键．
【详解】解：（1）设A、B两种树苗分别购进x棵、y棵．根据题意得：
解这个方程组得：
答：A种树苗购进10棵，B种树苗购进7棵．
（2）
（3）
随a的增大而增大
而当 时 有最小值：
24.(本小题8分)
如图，点E为正方形 的边 上的一点， 是 的外接圆，与 交于点F，G是 上一点，
且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)①连接 ，求证：四边形 是矩形；
②若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②
【分析】本题主要考查了圆与四边形的综合，矩形的判定和性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性
质，切线的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．
（1）连接 ，根据正方形的性质得出 ，则 ，根据
，推出 ，进而得出 ，即可求证；
（2）①连接 ，由 为 直径得到 ，又由 ，即可证明四边形 为矩
形；
②设 ，则 ， ，证明 ，根据 ，求出x的值，最后根据勾
股定理即可求出 ．
【详解】（1）证明：连接 ，∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）①证明：连接 ，
∵ 为 直径，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形；
②设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
经检验， 是分式方程的解且符合题意，即 ，
根据勾股定理可得：
∴半径的长为 ．
25.(本小题10分)
某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高 为 ，连杆 长度为 ，手臂
的长度为 ，B，C是转动点，且 ， 与 始终在同一平面内．
(1)转动连杆 ，手臂 ，使 ， ，如图2，求手臂端点 离操作台 的高度 的长
（精确到 ，参考数据： ， ）．
(2)物品在操作台 上，距离底座A端 的点M处，转动连杆 ，手臂端点 能否碰到点 ？请说明
理由．
【答案】(1)手臂端点 离操作台 的高度 的长约为 ；(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数及勾股
定理是解题的关键．
（1）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先根据矩形的判定与性质可得 ，
， ，再解直角三角形可得 的长，由此即可得；
（2）当点 共线时，利用勾股定理求出 的长，由此即可得．
【详解】（1）解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，则四边形 和四边形 都是矩形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
则 ，
答：手臂端点 离操作台 的高度 的长约为 ．
（2）解：手臂端点 不能碰到点 ，理由如下：
由题意可知，如图，当点 共线时，手臂端点 能碰到的距离最远，
∴此时 ，
∵ ， ，
∴ ，
即手臂端点 不能碰到点 ．
26.(本小题10分)
如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点是格点，仅用无刻度的
直尺在给定网格中完成画图．
(1)如图1，点D在 上，且为格点：①将线段 绕点A逆时针旋转 ，得到线段 ；②在 上取点
F，使
(2)如图2，点P在 上，过点P作 交 于点M；
(3)如图3，点P是 下方网格内一点，将线段 绕点C顺时针旋转 得到线段 ；【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)见详解
【分析】（1）①取格点 ，连接 即可；
②取 中点 ，连接 交 于点 ，点 即为所求；
（2）在网格图中取两点 、 使得 且 ，连接 交 于点 ，连接 ，连接 交
于点 ，连接 并延长交 于点 ，作直线 ，则 即为所求．
（3）延长 交格点与点 ，连接 ，取 ，连接 交 于点 ，连接 交格子于点 ，
连接 ，交 于点 ，连接 交 于点 ， 即为所求；本题是三角形综合题，考查作图-应
用与设计作图，三角形中位线定理，重心，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三
角函数等知识，充分利用格点特征是解题的关键．
【详解】解：（1）①将线段 绕点A逆时针旋转 ， 如图， 即为所求．
如图，点F即为所求．
理由：
，
是等腰三角形，
是 中点，
∴ ．
（2）在网格图中取两点 、 使得 且 ，连接 交 于点 ，连接 ，
连接 交 于点 ，连接 并延长交 于点 ，作直线 ，则 即为所求．
如图， 即为所求．
理由：∵ 且
∴四边形 为平行四边形
∴点 为 的中点
延长 至点 ，使得 ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形
∴ ，∴ ，
∴
∴ ．
（3）如图，延长 交格点于点 ，连接 ，取 ，连接 交 于点 ，连接 交格子于
点 ，连接 ，交 于点 ，连接 交 于点 ，则 即为所求．
理由： ，
，
，
，
，
，
，
，
即 ；
，
，
，
．
27.(本小题12分)
如图，抛物线 经过 、 、 三点，点 为抛物线上第一象限内的一
个动点， 交 于点E．(1)求抛物线所对应的函数表达式；直接写出直线 的表达式；
(2)当 时，求点D的坐标；
(3)以 为对角线，作菱形 ，使点N在 的右边，且 ，求点N与y轴的最大距离．
【答案】(1) ；(2) ；(3)9
【分析】（1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式和直线 的解析式；
（2）由题意得 ，再由两点间距离公式可得
，根据 ，建立方程求解即可得出答案；
（3）设 与 交于点 ，由题意得 ， ，根据菱形性质可得
， ，进而可得 ， ，根据解直角三角形可得
，得出点 的横坐标为 ，再运用二次
函数的性质可得答案．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数的图象和性质，
等腰三角形的性质，菱形的性质，锐角三角函数的定义，两点间距离公式的应用等，第（3）问得出点
的横坐标为 是解题关键．
【详解】（1） 抛物线 经过 、 、 三点，，
解得： ，
该抛物线的解析式为 ；
设直线 的解析式为 ，把 、 代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ；
（2） 点 为抛物线上第一象限内的一个动点，
，
交 于点 ，
，
，
由两点间距离公式得： ，
，
，
解得： （舍去）或 ，；
（3）如图，设 与 交于点 ，
四边形 是菱形，
， ，
， ，
，
，
在 中， ，
，
点 的横坐标为 ，
，
当 时，点 的横坐标的最大值为9，
即点 与 轴的最大距离为9．
