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2025 年中考第二次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（本题3分）四个数 中一定为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】正负数的定义、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算
【分析】本题考查正数和负数，求绝对值，有理数乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
先将各项数化简，再根据负数一定小于0，进行判断即可．
【详解】解：A、|－3.14|=3.14，为正数，故此选项不符合题意；
B、当 为负数时， 是正数，故此选项不符合题意；
C、 为负数，故此选项符合题意；；
D、 为正数，故此选项不符合题意；．
故选：C．
2．（本题3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】同底数幂相乘、积的乘方运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，幂的运算，积的乘方，平方差公式，掌握运算法则是解题的关键．
根据完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方，平方差公式逐项分析判断即可求解．【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；
B． ，故该选项正确，符合题意；
C． ，故该选项不正确，不符合题意；
D． ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
3．（本题3分）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类
非物质文化遗产代表作名录．剪纸艺术起源于人民的社会生活蕴含了丰富的文化历史信息，表达了广大民
众的社会认识、生活理想和审美情趣．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对
各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，
那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个
图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；故选C．
4．（本题3分）如图所示的几何图形的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握主视图的定义：从正面看得到的视图是主视图是解题
的关键．根据主视图是从正面看到的图形判定则可．
【详解】解：从正面看，从左起第一列有 个小正方形，第二列有 个小正方形，第三列有 个小正方形，
第四列有 个小正方形，如图：
故选：B．
5．（本题3分）如图， 是 的切线，A为切点， 的延长线交 于点B，连接 ．若 ，
则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、切线的性质定理
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识，先根据切线的性质得出 ，然后根据三角形内角和定理求出 ，最后根据圆周角定理求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
6．（本题3分）方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，解方程后进行检验即可．
【详解】解：原式去分母，方程两边乘以 ，得： ，
去括号，得： ，
移项，得： ，
合并同类项，得： ，
系数化为 ，得： ，
经检验， 是原分式方程的解，
，
故选： ．
7．（本题3分）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为 ，宽为 ．停车场内车道的宽都
相等，若停车位的占地面积为 ．求车道的宽度（单位： ）．设停车场内车道的宽度为 ，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题
的关键．
由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为 ，宽为
的矩形，结合停车位的占地面积为 ，即可列出关于 的一元二次方程，即可求解．
【详解】解：若设停车场内车道的宽度为 ，则停车位（图中阴影部分）可合成长为 ，宽为
的矩形，
根据题意得： ，
故选：C．
8．（本题3分）李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的 个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车
票座位刚好都靠近窗户”的概率是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了利用列表法求事件的概率．根据列表的情况可知，李佳购买车票的位置共有 种等可
能的情况出现，其中两张票都靠近窗户的情况只有 种，从而可得“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗
户”的概率是 ．
【详解】解：列表如下，
从表中可以看出共有 种等可能的情况出现，
其中两张票都靠近窗户的情况只有 种，
“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是 ．
故选：C ．
9．（本题3分）如图，已知 、 ， 与 相交于点 ，作 于点 ，点
是 的中点， 于点 ，交 于点 ，若 ， ，则 值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
根据平行线的判定方法得到 ，根据相似三角形的性质得到 ，根据三角形中位线定
理得到 ，于是得到结论．
【详解】解： 、 ， ，
，
， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
点 是 的中点，
，
，
，
， ，
，
，
故选：A．
10．（本题3分）如图，货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发 后
休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为 （单位： ），货车、轿车与甲地的
距离分别为 （单位： ）、 （单位： ），图中的线段 、折线 分别表示 、 与 之间
的函数关系．有下列四个结论：①轿车行驶的速度为 ；②货车行驶的速度为 ；③线段
所在直线的函数表达式为 ；④两车出发2小时或4小时后相距 ．其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．③④
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键．
根据图象可得轿车 行驶 千米，用路程除以时间可得轿车的速度可以判断①，
根据图象可得 小时的路程为600千米，根据路程除以时间求得货车的速度，可以判断②；
设直线 的解析式为： ，待定系数法求解析式，继而得到点 的坐标为 ，根据题意得出点
坐标为： ，然后待定系数法求解析式即可判断③；
待定系数法求得 解析式 ，根据：Ⅰ当轿车休息前与货车相距 时，Ⅱ当轿车休息
后与货车相距 时，分别列出一元一次方程，解方程即可求解判断④．
【详解】解：由图象可得，轿车 行驶 千米，则车的速度为： ，故
①正确；
由图象可得，货车行驶的速度为： ，故②错误；
由题意可得 所在直线为关于x的正比例函数，
设直线 的解析式为： ，
将 代入得： ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
在 中，当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
∵轿车在休息前 行驶 ，休息后按原速度行驶，∴轿车行驶后 需 ．
∴点 坐标为： ．
设线段 所在直线的函数表达式为 ，
将点 代入得： ，
解得 ，
∴线段 所在直线的函数表达式为 ，故③正确；
在 中，当 ， ，
∴相遇前二者在前 内存在某个时间段相距 ，
设 段的函数解析式为 ，
将 代入得： ，
解得 ，
∴ 段的函数解析式为 ，
当轿车休息前与货车相距 时，有 ，
解得 ；
当轿车休息后与货车相距 时，有 ，
解得 ．
即两车出发 小时或 小时后相距 ． 故④错误．
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
11．（本题3分）常温下 的溶度积约为0.0000000478，将数据0.0000000478用科学记数法表示为．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为 ，其中
， 为正整数，即为原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．
【详解】解： ．
故答案为： ．
12．（本题3分）在函数 中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】 且
【难度】0.65
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求不等式组的解集、求自变量的取值范围
【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，进行求
解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ 且 ；
故答案为： 且 ．
13．（本题3分）计算： ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】二次根式的乘法
【分析】本题考查二次根式的乘法，根据 计算，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
故答案为： ．14．（本题3分）分解因式： ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法和平方差公式因式分解的运用；根据提
取公因式法和平方差公式因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
15．（本题3分）二次函数 的图象向上平移3个单位后得到新的二次函数图象的顶点坐标是
．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式
【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握平移规则是解答的关键．先将原二次函数解析式化为顶
点式，再根据函数图象的平移规则“上加下减”求得平移后的函数解析式，进而可得顶点坐标．
【详解】解：将二次函数 的图象向上平移3个单位后得到新的二次函数的解析式
为 ，即 ，
∴顶点坐标为 ，
故答案为： ．
16．（本题3分）不等式组 的解集为 ．
【答案】
【难度】0.85【知识点】求不等式组的解集
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．先分别求出
每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组
的解集即可．
【详解】解：
由①得， ，
由②得， ，
不等式组的解集为： ．
故答案为： ．
17．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点B在x轴负半轴上，顶点O在反比例函数
的图象上，若点A的坐标为 ， 的面积为6，则k的值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查反比例图像上点的性质，涉及两点之间距离、平行四边形的性质和平行四边形面积
公式，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
过点 作 于点 ，结合题意可得 ，通过平行四边形的面积可得 ，因为点A的坐标为
，进而得出点 的坐标，代入反比例图像即可得解．
【详解】解：过点 作 于点 ，，
则 ，
的面积为6，
，即 ，
，
，
点A的坐标为 ，
点 的坐标为 即 ，
把 代入反比例函数 的图象，
可得， ，
．
故答案为： ．
18．（本题3分）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 ，圆心角为 的扇形，则该圆锥的底面半
径为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求圆锥底面半径
【分析】本题考查圆锥的计算，解题关键是理解扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．
根据扇形弧长公式求出弧长，即圆锥底面圆的周长，再根据圆的周长公式求出圆锥底面半径．
【详解】解：扇形弧长为： ，
则圆锥的底面半径 ．故答案为： ．
19．（本题3分）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，
连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为 ．
【答案】3或 ．
【难度】0.4
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质
【分析】分两种情况，先证明 ，再根据全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图， 点在 的右边，
与 都是等边三角形，
， ， ，
，
即 ．
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
等边三角形 的边长为3，
如图， 点在 的左边，同上， ，
， ，
，
过点 作 交 的延长线于点 ，则 ，
， ，
，
在 中， ，
，
，
或 （舍去），
，
等边三角形 的边长为 ，
故答案为：3或 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明 是解题
的关键．
20．（本题3分）如图，在正方形 中，点 分别在边 上．连接 ，若
，则 的正切值为 ．【答案】
【难度】0.85
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求角的正切值
【分析】根据正方形的性质得到 ， ，运用勾股定理得到
，如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，可证明 得到
，则 是 的中线，得到 ， ，在 中由正切值
的计算方法即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
如图所示，连接 ，过点 作 于点 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的中线，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ 的正切值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定和性质，正弦、正切值的计算，掌
握正切值的计算方法是关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（本题7分）先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，
【难度】0.85
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查三角函数以及分式的化简求值，解题的关键是掌握相关运算法则和运算顺序．
先对分式括号内进行化简，再将除法转化为乘法进行约分化简，最后代入 的值计算．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
22．（本题7分）如图是由边长为1的小正方形构成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，
的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．
(1)在图1中，作 的高线 ；
(2)在图2中，①在 上画一点E，使 平分 的面积；
②点M是边 上任意一点，在①的条件下，在 上画一点N，使 ；
(3)在图3中，在 上画一点F，使 ．【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
(3)见解析
【难度】0.65
【知识点】全等三角形综合问题、矩形性质理解、画轴对称图形、无刻度直尺作图
【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
（1）取格点P，连接 ，延长 交 于点D，线段 即为所求；
（2）①取 的中点E，连接 即可；
②作线段 关于 的对称线段 ，取 的中点 ，连接 交 于点N，连接 即可；
（3）取格点R，构造等腰直角三角形 ，取格点T，Q，连接 交 于点J，连接 ，延长 交
于点F，点F即为所求，
【详解】（1）解：如图1中，线段 即为所求；
（2）解：①如图2中，线段 即为所求；
②如图2中，点N即为所求；
（3）解：如图3中，点F即为所求．23．（本题8分）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防
教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛的抽样与数据分析过程．
【收集数据】现随机将全校学生以20人为一组进行分组，再随机抽取3个小组，并收集这3个小组的学生
成绩．
【整理数据】将抽取的成绩进行整理，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“ 60”记为1
分，“ ”记为2分，“ ”记为3分，“ ”记为4分，“ ”记为5
分．
【描述数据】根据抽取的3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如表所示：
【分析数据】
平均数 中位数 众数
（分） （分） （分）
第1小
4 5
组
第2小
5
组
第3小
3
组
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)①请直接补全第1小组得分条形统计图；②在第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角为___________度；
(2)直接写出 ___________， ___________；
(3)若该校共有3000名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不
低于90分？
【答案】(1)①图见解析，② ；
(2) ；
(3)该校3000名学生中大约有 名学生竞赛成绩不低于90分．
【难度】0.65
【知识点】折线统计图、由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、求中位数
【分析】本题考查了统计图表，中位数和众数，用样本估计总体，掌握相关知识是解题的关键．
（1） 求出第一小组中得分记为 分的学生人数，补全条形统计图即可；
②用 第2小组“得分为4分”所占的百分比；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）用学生意人数乘以三个小组中成绩不低于 分的学生所占的百分比即可．
【详解】（1）解：①第一小组中得分记为 分的学生人数有： （人），
补全条形统计图如下：
②在第2小组得分扇形统计图中，“得分为4分”这一项所对应的圆心角为：
，
故答案为： ；
（2）解：第 小组得分为 分所占的百分比为：
，
∴将第 小组 名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数为 和 ，∴第 小组 名学生成绩的中位数为： ，
第 小组学生成绩得分出现次数最多的是 分，
∴第 小组学生成绩的众数为： ，
故答案为 ；
（3）解：第 组学生成绩不低于 分的人数为：
（人），
∴ （人）
∴该校3000名学生中大约有 名学生竞赛成绩不低于90分．
24．（本题8分）如图，在四边形 中， 于点F，交BC于点G，交
的延长线于点E，且 ．
(1)求证： ；
(2)如图2，连接AG，若 ，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是
面积的2倍．
【答案】(1)见详解
(2)
【难度】0.65
【知识点】全等三角形综合问题、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握基本知识是
解题的关键；
（1）用 即可证明 ；
（2）先证明 ，则 ，再证明 ，则 ，由 与同底等高，得 ，再证明 ，则 ，最后 与
同底等高，
得 ，所以 ．
【详解】（1）证明：∵
∴
∴在 和 中，
，
∴ ；
（2）
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ， ,
∴ ，
∴
∵
∴ 与 同底等高，
∴ ,
∴
∵ ，∴ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ 与 同底等高，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 面积的2倍．
25．（本题10分）学校图书馆每年都会购买一批新的图书，去年购买的图书中，每套科技书的单价比每套
文学书的单价多20元，用3600元购买的科技书与2400元购买的文学书的套数相等．
(1)求去年购买的每套文学书和科技书的单价各是多少元？
(2)若今年每套科技书的单价提高到80元，每套文学书的单价与去年相同，该校今年计划再购买文学书和科技书共180套，每种书籍至少买50套，且购买科技书和文学书的总费用不超过12000元，该校今年至多
可购买多少套科技书？
【答案】(1)学校去年购买文学书的单价为每套40元，科技书的单价为每套60元
(2)120套
【难度】0.65
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、分式方程的经济问题
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设去年购买文学书的单价为每套x元，根据用3600元购买的科技书与2400元购买的文学书的套数相
等，列出方程进行求解即可；
（2）设今年学校购买科技书m本，根据题意，列出不等式组进行求解即可．
【详解】（1）解：设去年购买文学书的单价为每套x元，则每套科技书的单价为 元．
由题意得： 解得： ，
检验：当 时， ，且符合题意，
则每套科技书的单价为： （元），
答：学校去年购买文学书的单价为每套40元，科技书的单价为每套60元．
（2）解：设今年学校购买科技书m本．
由题意得： ，
∴ ，m为整数，
答：学校今年至多可购买120套科技书．
26．（本题10分）已知： 为圆O的直径，点C、D在圆上，连接 、 ，且 ；(1)如图①，求证： ；
(2)如图②，连接 交 于点M，点E、G在 上，点F在 上，连接 、 交于点H，若H为
的中点，且 ，求 的值；
(3)如图③，在（2）的条件下，连接 ，且 ，连接 并延长交 于点P，若 ，
，求线段 的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
(3)
【难度】0.15
【知识点】根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、圆与三角
形的综合(圆的综合问题)
【分析】（1）连接 、 ，由圆周角定理推出 ，进而得到 ，从而证明
，即可证明结论；
（2）过点G作 ，交 于点K，证明 ，得出 ，证明
，推出 ，从而得到 ，再结合平行线的性质，得到
，即可求解；
（3）证明 ，进而证明 为等腰三角形，设 ， ，则， ， ，设 ，根据三角形内角和定理和外角的
性质，得到 ，延长 交 于点T，连接 、 、 、 ， ，根据全等三角形的
判定性质，以及等腰三角形的判定和性质，证明四边形 为正方形，从而推出 ，
得到 ，
，证明 ，得到 ，再结合勾股定理，求出 ，
过点P作 于K点，设 ，利用正切值，求出 ，即可得解．
【详解】（1）证明：如图，连接 、 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，；
（2）解：如图，过点G作 ，交 于点K，
，
， ，
，
，
，
，
，
由（1）知 ， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：由（2）知， 为等腰三角形， ， ， ，
，， ，
，
， ，
，
，
为等腰三角形，
设 ， ，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形， ，
，
， ，
设 ，
，
，
，
，
，
，
延长 交 于点T，连接 、 、 、 ， ，
直径 ，，
，
，
为等腰直角三角形，
为 的中线，
，
， 为等腰直角三角形，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
在等腰 中， ，
，
，
四边形 为正方形，
，
在 和 中， ， ， ，
，
，
，
，
， ，，
，
， ，
，
，
，
，
，
在 中，勾股得 ，
，
或 （舍去），
， ，
如抽图，过点P作 于K点，
，
设 ，则 ，
，
．在 中，勾股得 ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，
正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，正确作辅助线，掌握圆的相关性质以及三角形的
相关性是解题关键．
27．（本题10分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 交x轴于点
A、B（A左B右），交y轴于点C，抛物线顶点T的坐标为 ．
(1)求a的值；
(2)如图1，点P在第一象限的抛物线上，横坐标为t，连接 ，交y轴于点D，设 ．若 ．求d
与t之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；
(3)如图2，在（2）的条件下， 轴，交线段 于点E，F为 的中点，点G在 的延长线上，
，点H在线段 上，线段 、 交于点K，线段 、 交于点L，连接 ，若
．求t的值及 面积．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【难度】0.15
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）根据抛物线顶点T的坐标为 ，得出 ， ，求出a的值
即可；
（2）根据 ，得出 ，根据 ， ，得出 ，得出 ，求出函数解析式为：
，得出 ， ， ，求出 ，得出 ，过点P作 轴于点
E，得出 ， ，证明 ，得出 ，即 ，整理得
出答案即可；
（3）过点F作 轴，交 于点M，延长 交 轴于点Q，过点M作 轴于点N，求出直线
的解析式为 ，得出点 ，求出点F的坐标为 ，设点H的坐标为
，则 ， ，求出 ，根据勾股定理得出 ，再根
据 ，得出 ，求出 ，根据点P在第一象限的抛物线上，
横坐标为t，得出 ，求出直线 的解析式为： ，联立 ，求出点L的坐标为
，最后根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】（1）解：∵抛物线顶点T的坐标为 ，
∴ ， ，
∴ ，
把 代入 得：
，解得： ；
（2）解：根据解析（1）可得：抛物线解析式为： ，
令 ，
设 ， 是 的两个根，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴函数解析式为： ，
令 ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点P在第一象限的抛物线上，横坐标为t，
∴点P的坐标为： ，且 ，
把 代入 得： ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
过点P作 轴于点E，如图所示：
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过点F作 轴，交 于点M，延长 交 轴于点Q，过点M作 轴于点N，如图
所示：∵ 轴，
∴ 轴，
∴ ，
根据解析（2）可知： ，抛物线解析式为： ， ， ，
， ，
∴顶点T的坐标为 ， ，
∴点G的坐标为： ，
设直线 的解析式为 ，把 代入得：
，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∴点 ，
∵点F为 的中点，
∴点F的坐标为 ，
∴ ，
设点H的坐标为 ，则 ， ，
∵ 轴，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 轴，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
，
∴
，，
在 中，根据勾股定理得：
，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵点P在第一象限，横坐标为t，
∴ ，
∴ ，
∴
，
设直线 的解析式为： ，把 ， 代入得：，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
联立 ，
解得： ，
∴点L的坐标为 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边
形的判定和性质，勾股定理，求一次函数解析式，三角形面积计算，一元二次方程根与系数的关系，解题
的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．
