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2025 年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数中，绝对值最大的是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较
【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的性质分别计算比较即可．
【详解】解：∵ ，
∴绝对值最大的数是 ．
故选：C．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的运算法则，单项式乘法法则以及幂的乘方与
积的乘方法则．
分别对每个选项根据相应运算法则进行计算判断．
【详解】A、同底数幂相加，只有当指数和底数都相同才能合并， 与 底数相同但指数不同，不能直接
相加，所以 ，该选项错误；B、 ，该选项错误；
C、 ，该选项正确；
D、 ，该选项错误．
故选：C．
3．如果一个图形绕着一个定点旋转一定角度 后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做
旋转对称图形．例如：等边三角形绕着它的中心旋转 能够与原来的等边三角形重合，因而等边三角形
是旋转对称图形．显然，中心对称图形都是旋转对称图形，但旋转对称图形不一定是中心对称图形．下列
图形中，是旋转对称图形而不是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据旋转的性质求解、中心对称图形的识别
【分析】本题考查了旋转对称图形和中心对称图形的定义，如果一个图形绕着一个定点旋转一定角度
后能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做旋转对称图形；在平面内，把一个图形绕着
某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
根据旋转对称图形和中心对称图形的定义分析即可．
【详解】解：①绕旋转中心至少旋转 与自身重合，是旋转对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
②不是旋转对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
③绕中心旋转120度与自身重合，是旋转对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
④绕中心旋转120度与自身重合，是旋转对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
故选：B．
4．如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（
）A．左视图 B．主视图和俯视图
C．左视图和俯视图 D．主视图和左视图
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】判断简单组合体的三视图
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．根据主视图是从物体的正面看
得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．
【详解】解：图1主视图第一层三个正方形，第二层左边一个正方形；图2主视图第一层三个正方形，第
二层右边一个正方形；故主视图发生变化；
左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变；
俯视图从前往后数，都是前排左边是一个正方形，后排是三个正方形，故俯视图不变．
∴不改变的是左视图和俯视图．
故选：C．
5．如图①为北斗七星的位置图，如图②将北斗七星分别标为A，B，G，C，D，E，F，将A，B，G，C，
D，E，F顺次首尾连接．若B，G，C三点共线， 恰好经过点G，且 ， ，
，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的
关键．
过点 作 ，则 ，得到 ， ，进而得出
，计算即可得到答案．
【详解】解：如图，过点 作 ，
，
，
， ，
，
，
．
故选：A．
6．《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八
百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目大意是：现在有绫布和
罗布，布长共3丈（1丈 尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1
尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺收入 罗布出售一尺共收入 文，据
此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键．
【详解】解：设绫布有x尺，
则根据题意可列方程为： ，故选：B．
7．氧化还原反应是化学学科的核心内容之一，对推动科技进步具有重要意义．氧化还原反应分为氧化反
应和还原反应，这两种反应同时进行，通常一种物质化合价升高代表其发生了氧化反应，化合价降低代表
其发生了还原反应．从以下四个化学反应式中任意选出两个， 元素只发生了氧化反应的概率是（ ）
反应一： 反应二：
反应三： 反应四：
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了画树状图求事件发生的概率，根据化学方程式可知 反应三和反应四中的 元素只发
生的氧化反应，从树状图中可以看出共有 中等可能出现的情况，其中反应三和反应四同时出现的只有
种，所以从四个化学反应式中任意选出两个， 元素只发生了氧化反应的概率是 ．
【详解】解： 反应一中 元素的化合价降低了，
反应一中 元素发生了还原反应，
反应二中 元素的化合价有升高的也有降低的，
反应二中 元素既有氧化反应又有还原反应，
反应三中 元素的化合价升高了，
反应三中 元素发生了氧化反应，
反应四中 元素的化合价升高了，
反应四中 元素发生了氧化反应，
反应三和反应四中的 元素只发生的氧化反应，
画树状图如下：从树状图中可以看出共有 中等可能出现的情况，其中反应三和反应四同时出现的只有 种，
从四个化学反应式中任意选出两个， 元素只发生了氧化反应的概率是 ．
故选：D ．
8．如图，已知四边形 为正方形， 为对角线 上一点，连接 ，过 点 作 ，交 的
延长线于点 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三
角形、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】过点 分别作 的垂线，垂足分别为 、 ，由正方形的性质得到
，则由角平分线的性质得到 ，据此证明四边形 是正方
形，再利用勾股定理求出 ，则 ，可得 ，再证明
，即可得到 ．
【详解】解：如图所示，过点 分别作 的垂线，垂足分别为 、 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，四边形 是矩形，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，
熟练掌握正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定是解题的关键．
9．如图，点E是平行四边形 的边 上一点，射线 交 延长线于点F，则下列比例式错误的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】利用平行四边形的性质证明、由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，通过相似三角形的性质和平行线分线段成比例可得 ， ， ， 即可得出结果．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，故选项A正确，不符合题意；
，
，故选项B错误，符合题意；
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，故选项C正确，不符合题意；
，
，
，故选项D正确，不符合题意；
故选：B．
10．如图，在 中， ， ， ．动点P从点A出发，以 的速度沿
射线 匀速运动，到点B停止运动，同时动点Q从点A出发，以 的速度沿射线 匀速运动．当
点P停止运动时，点Q也随之停止运动．在 的右侧以 为边作菱形 ，点N在射线 上．设点
P的运动时间为 ，菱形 与 的重叠部分的面积为 ，则能大致反映y与x之间函数
关系的图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】动点问题的函数图象、y=ax²+bx+c的图象与性质、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的
相关计算
【分析】先证明菱形 是边长为 ，一个角为 的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．
【详解】解：作 于点 ，作 于点 ，
由题意得 ， ，
，
，
是线段 的垂直平分线，
，
， ，
， ，当点 运动到直线 上时，
此时， 是等边三角形，
， ；
当点 、 运动到与点 ， 重合时，
， ；
当点 运动到与点 重合时，
， ；
当 时， ，
当 时，如图，作 于点 ，交 于点 ，
则 ， ， ，
，
当 时，如图，作 于点 ，则 ， ，
，
综上， 与 之间函数关系的图象分为三段，当 时，是开口向上的一段抛物线，当 时，是
开口向下的一段抛物线，当 时，是开口向上的一段抛物线，
只有选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图象性质，等边三角形的性质，菱形的性质，
三角形的面积公式，解直角三角形，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
11．“白日不到处，青春怡自来；苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首《苔》，苔花的花粉
直径约为0.000048米，则数据0.000048用科学记数法表示为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【详解】解：数据0.000048用科学记数法表示为 ，
故答案为： ．
12．函数 的定义域为 ．
【答案】 且
【难度】0.85
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，注意二次根式被开方数非负，分母不为零是求函数自变量
取值范围时常常要考虑的．
根据二次根式的被开方数非负，分母不为零即可确定函数的定义域．
【详解】由题意得： 且 ，
且 ，
故答案为： 且 ．
13．抛物线 经过点 和 ，则它的对称轴为 ．
【答案】直线
【难度】0.85
【知识点】已知抛物线上对称的两点求对称轴
【分析】此题考查抛物线的对称性，根据抛物线经过的两点纵坐标相等，得对称轴为该两点横坐标和的一
半，由此得到答案．
【详解】解：∵抛物线 经过点 和 ，
∴它的对称轴为直线 ，
故答案为：直线 ．
14．如图，在 中， ．
①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与 ， 相交于点 ， ；分别以 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线 ．
②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与 ， 相交于点 ， ；分别以 ， 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线 ，与射线 相交于点P．
③连接 ．
根据以上作图，若点P到直线 的距离为1，则线段 的长为 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质与判
定求线段长
【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作 ，
， ，垂足分别是D、E、F，证明四边形 是正方形即可求出．
【详解】解：作 ， ， ，垂足分别是D、E、F，
由题意得： 平分 ， 平分 ，点P到直线 的距离为1，
，
，
四边形 为矩形，
，四边形 为正方形，
，
，
故答案为： ．
15．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸（图1）顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产
生的压强 是汽缸内气体的体积 的反比例函数，p关于V的函数图象如图2所示．若压强由
加压到 ，则气体体积压缩了 ．
【答案】90
【难度】0.65
【知识点】从函数的图象获取信息、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知函数值求自变量值等．根据题意先设解析式为
，代入 得出反比例解析式，再将压强 和 分别代入求出自变量值再做减法即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为： ，
将 代入 中得： ，
∴反比例解析式为： ，
∴当压强为 时， ，
当压强为 时， ，
∴压强由 加压到 ，则气体体积压缩了： ，
故答案为：90．16．如果一个扇形的圆心角为 ，面积是 ，那么这个扇形的弧长是 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求弧长、求扇形面积
【分析】本题主要考查扇形的面积公式、弧长的求解，掌握相关计算方法是解题的关键．
设扇形所在圆的半径为r，根据题意，得 ，解得 （舍去），根据弧长公式，得 即可求
解．
【详解】解：设扇形所在圆的半径为r，
根据题意，得 ，
解得 （舍去），
根据弧长公式，得 ．
故答案为： ．
17．在矩形 中， ， ，点 在直线 上，且 ，则点 到矩形对角线所
在直线的距离是 ．
【答案】 或 或
【难度】0.4
【知识点】根据矩形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，设 交于点 ，点 在线段 上， 在 的
延长线上，过点 作 ， 的垂线，垂足分别为 ，进而分别求得垂线段的长度，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形， ， ，
∴ ， ，
∴∴ ， ，
如图所示，设 交于点 ，点 在线段 上， 在 的延长线上，过点 作 ， 的垂
线，垂足分别为
∵
∴
当 在线段 上时，
∴
在 中，
∵
在 中， ；
当E在射线 上时，
在 中，
∴
∴
∴
∴ ，
在 中，综上所述，点 到对角线所在直线的距离为： 或 或
故答案为： 或 或 ．
18．下列图案是用长度相等的火柴按一定规律构成的图形，依此规律第 个图形中，共用火柴的根数是
；
【答案】45
【难度】0.65
【知识点】图形类规律探索、观察与实验
【分析】根据图形的规律可知，第1个图有3根火柴，第2个图形中有3+3根火柴，第3个图形中有3+3+4
根火柴，……，第8个图形中有3+3+4+5+6+7+8+9根火柴，计算结果即可．
【详解】分析可得：第1个图形中，有3根火柴，
第2个图形中，有3+3=6根火柴，
第3个图形中，有3+3+4=10根火柴，
第4个图形中，有3+3+4+5=15根火柴，
第5个图形中，有3+3+4+5+6=21根火柴，
……
第8个图形中有3+3+4+5+6+7+8+9=45根火柴，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了规律型中的图形变化问题，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
19．如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点 ， ， ，点 、 分别在 、
上，且 ， 于点 ，连接 ，当 取最小值时， 的长为 ．【答案】
【难度】0.65
【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些知识．
连接 、 、 、 ，由四边形 是菱形，可得 ， ， ，进而求出
，结合 ，可证明四边形 是菱形，得到 ，推出 ，当 、
、 共线，即 时， 最小，根据 求出
，在 中，由勾股定理求出 ，证明 ，根据相似三角形的性质求出
，最后根据线段的和差即可求解．
【详解】解：连接 、 、 、 ，
四边形 是菱形，
， ， ，
， ，
， ，
在 中， ，
，
，即 ，
又 ， ，
四边形 是菱形，
，
，
当 、 、 不共线时， ，
当 、 、 共线，即 时， 最小，，
即 ，
，
在 中， ，
， ，
，
，即 ，
，
，
故答案为： ．
20．如图，在正方形 中，E是 延长线上一点， 分别交 于点F、M，过点F作
，分别交 、 于点N、P，连接 ．下列四个结论：① ；② ；
③若P是 中点， ，则 ；④ ；⑤若 ，则 ．其中
正确的结论是 ．【答案】①②③⑤
【难度】0.4
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值
【分析】如图1，作 于 ，则四边形 是矩形，证明 ，则 ，
可判断①的正误；如图2，作 交 于 ，连接 ，证明 ，则 ，
，由 ， ，可得
， ， ，证明 ，则 ，由勾股定理得，
，由 ，可得 ，可判断②的正误；
如图3，连接 ，由勾股定理得， ， ，可求
，设 ，则 ， ，由勾股定理得， ，
由 ，可得 ，整理得， ，可求满足要求的解为 ，
则 ， ，由 ，可得 ，可求 ，可判断③的正误；
由题意知， ， 不相似， ，可判断④的正误；由设 ，
， ，则 ， ， ， ，证明，则 ，证明 ，则 ，即 ，可求
，同理， ，则 ，即 ，同理， ，则
，即 ，可得 ，将 代入 得， ，
整理得， ，可得， ，则 ，可判断⑤的正误．
【详解】解：∵正方形 ，
∴ ， ， ，
如图1，作 于 ，则四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，①正确，故符合要求；
如图2，作 交 于 ，连接 ，∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，②正确，故符合要求；
∵P是 中点， ，
∴ ，
如图3，连接 ，
由勾股定理得， ， ，解得， ，
设 ，则 ， ，
由勾股定理得， ，
∵ ，
∴ ，整理得， ，
解得， 或 （舍去），
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
解得， ，③正确，故符合要求；
由题意知， ，
∴ 不相似， ，④错误，故不符合要求；
∵ ，
∴ ， ，
设 ， ， ，则 ， ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得， ，
同理， ，
∴ ，即 ，
同理， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
将 代入 得， ，整理得， ，
解得， ，
∴ ，⑤正确，故符合要求；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正弦，余弦，相
似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，勾股定理，正
弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．先化简再求值： ，其中 ．
【答案】 ；2
【难度】0.65
【知识点】分式化简求值、零指数幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算
【详解】解：，
，
原式 ．
22．如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点都是格点．仅
用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)在图1中，点O是格点，点D是 与网格线的交点，先将线段 绕点A逆时针旋转 得到 ，画
出线段 ，再画出点 关于点O的中心对称点 ；
(2)在图2中，将 绕点C顺时针旋转 ，其中旋转角 ，画出旋转后的 ；
(3)在图3中，点E为 边上一点，在 上画点P，使 的值最小．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【难度】0.65
【知识点】全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解、画已知图形关于某点对称的图形、无刻度直尺作
图【分析】（1）结合网格特征以及旋转特征，先画出 ，再取出点 ，运用中心对称的性质，画出 ，
然后与相应的网格交点，即点 ；
（2）结合网格特征,由勾股定理得 ，证明 是等腰三角形，结合三线合一，则
是 的中垂线，所以 ，证明 ，所以
，即可作答；
（3）结合网格特征，证明 ，得出 因为 ，则
，所以 ，令 交 与 ，取格点 ， ，连接 交 于 ，可知
，可证 ，再根据平行线间距离相等可证 ，得出点B和点 关于线段
对称，再连接 与线段 的交点，即为点P，此时 ，即可作答．
【详解】（1）解：线段 ，对称点 如图所示：
（2）解： 如图所示；
（3）解：点P如图所示：【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，无刻度尺作图以及全等三角形的判定与性质，旋转性质，
勾股定理与网格，中心对称性质，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
23．为落实全国教育大会上提出的“要树立健康第一”的教育理念，某市启动中考体育改革，将体育成绩
纳入中考总分，包括 ．运动参与、 ．运动技能测试、 ．体质健康测试、 ．统一体能测试四部分共
分（其中 运动参与满分 分，主要有平时体育课、课间体育活动等； 运动技能满分 分，主要是自
主选择一项田径、球类等项目进行测试掌握基本技能即为满分； 体质健康测试满分 分，包括体重指数、
肺活量、跑步、立定跳远等项目； 统一体能测试满分 分，包括跑步，引体向上（男）仰卧起坐（女）
等项目）．
某中学数学兴趣小组对本校八年级学生的体育测试情况进行统计调查，从该校所有八年级学生中随机抽出
部分学生的体育测试成绩，将所得的数据进行收集、整理、描述．
下面给出了部分信息：
信息一：每名学生的四项得分之和作为总分，总分用 表示 ，将总分数据分成如下四组：第 组：
，第 组： ，第 组： ，第 组： ，以下是总分的频数直方图和
扇形统计图的部分信息．
结合信息一解决下列问题：
（1）将频数分布直方图补全， ________，第4组所对应的圆心角的度数是________；（2）所抽取的这些学生的中位数位于第________组；
（3）该校八年级共有 名学生，请估计体育总分不低于 分的学生有多少名？
信息二：
抽取的学生在 ．运动参与、 ．运动技能测试、 ．体质健康测试、 ．统一体能测试四部分的平均数
和方差如下表：
运动参与 运动技能测试 体质健康测试 统一体能测试
平均分
方差
（4）请结合以上信息分析，影响一个学生体育总分的主要是哪些部分的成绩？并就如何提升学生体育成
绩，提出至少两条合理化建议．
【答案】（1） ； ；
（2） ；
（3） 人；
（4）见解析．
【难度】0.4
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关
联、求中位数
【分析】 从条形统计图可知：第 组、 组、 组人数之和为 ，从扇形统计图中可知：第
组、 组、 组人数之和占总人数的百分比为 ，利用人数除以对应的分率可以求出抽查的
总人数，用总人数乘以扇形统计图中第 组人数所占的百分比求出第 组的人数，根据第 组的人数补全统
计图即可； 是第 组人数占总人数的百分比，根据第 组的人数和总人数计算即可；根据第 的人数和总
人数求出第 组的人数占总人数的百分比，利用百分比求出扇形统计图中第 组的圆心角即可；
共抽查了 学生，根据中位数的定义可知：中位数是第 、 名成绩的平均数，从条形统计图中可
知：第 、 名位于第 组，所以抽取的这些学生的中位数位于第 组；
利用样本估计总体，根据抽查的 名学生中体育成绩不低于 分的人数所占的百分比代表全校所有学
生成绩不低于 分人数的百分比，计算即可；
从表格中可知 、 两项所占的权重较大，所以为了提高学生的体育成绩，应重点从 、 两项中提高成绩．
【详解】 解：从条形统计图可知：第 组、 组、 组人数之和为 ，
从扇形统计图中可知：第 组、 组、 组人数之和占总人数的 ，
抽取的总人数为： （人）
第 组的人数为： （人），
补全条形统计图如下：
第 组有 人，占比为： ，
∴ ，
第 组有 人，
第 组占抽查总人数的 ，
扇形统计图中第 组对应的圆心角的度数为： ，
故答案为 ， ；
总共抽查了 人，
中位数是第 、 名成绩的平均数，
第1组和第2组总人数是24人，
从条形统计图中可知：第 、 名位于第 组，
抽取的这些学生的中位数位于第 组；
从条形统计图中可知：抽查的学生中体育总分不低于 分的学生，
利用样本估计总体可得：全校体育成绩不低于 分的学生总人数为 人；
、 两项权重较大，是影响体育总分的主要因素．建议： 保持合理饮食习惯，保证体重指表在健康范围内；
加强锻炼增强肺活量；
加强跑步上定跳远、引体向上、仰卧起坐等项目的训练．（合理即可）
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、用样本代替总体、求扇形统计图的圆心角
度数、中位数，解决本题的关键是综合运用扇形统计图与条形统计图，根据已知的信息求出未知的信息．
24．已知在 中， ，点 在 上， ，连接 ．
(1)如图①求证： ；
(2)如图②，当 时，过点 作 ，交 的延长线于点 ．在不添加任何辅助线的
情况下，请写出图②中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于 并加以证明．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)图②中顶角等于 的等腰三角形有： ， ， ， ，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）利用 证明 即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质，平行线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知， ， ，
∴ 是顶角等于 等腰三角形，且 ，
则 ，
∵ ，∴ ， ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ 是顶角等于 是等腰三角形，
∴ ， ，
∴ 是顶角等于 等腰三角形，同理可得 是顶角等于 等腰三角形，
∴顶角等于 的等腰三角形有： ， ， ， ．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形全的判定和性质，平行线的性质，掌握等腰三角
形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．某蔬菜批发商用每千克2元的价格购进300箱黄瓜，每箱黄瓜净重10千克．考虑到黄瓜有损耗，该批
发商用随机抽样的方式抽取了20箱黄瓜进行逐箱检查，并将黄瓜按照“A级：可正常销售”“B级：打折
销售”“C级：非食用销售”分为三类．其中，A级黄瓜和B级黄瓜重新装箱打包、
(1)若 级黄瓜和 级黄瓜共装满18箱， 级黄瓜和 级黄瓜的总量为 级黄瓜总量的 倍．请估计这300
箱黄瓜中A级黄瓜和B级黄瓜分别有多少千克．
(2)在（1）的基础上，批发商预计把这批黄瓜全部售完，其中，B级黄瓜按成本价2元/千克销售，C级黄
瓜按照0.5元/千克的价格销售给饲料厂，若预计获利不低于3000元，通过计算说明该批发商应该把 级黄
瓜的售价至少定为每千克多少元．（结果保留一位小数）
【答案】(1)这300箱黄瓜中A级黄瓜和B级黄瓜分别有2250千克和450千克
(2)至少定为每千克3.5元
【难度】0.65
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是解答本
题的关键．
（1）设样本中A级黄瓜为x千克，B级黄瓜为y千克，根据题意列方程组求解即可；
（2）设 级黄瓜的售价至少定为每千克m元，根据获利不低于3000元列不等式求解即可．【详解】（1）解：设样本中A级黄瓜为x千克，B级黄瓜为y千克，则C级黄瓜为
千克，
∵ 级黄瓜和 级黄瓜的总量为 级黄瓜总量的 倍，
∴ 级黄瓜的总量为 级黄瓜总量的 倍，
由题意得
，
解得 ，
千克，
千克，
所以这300箱黄瓜中A级黄瓜和B级黄瓜分别有2250千克和450千克．
（2）解：设 级黄瓜的售价至少定为每千克m元，
千克，
由题意得，
，
解得 ，
答：至少定为每千克3.5元．
26．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线
段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”．如图1，在 中，点D是 边上的一点，连
接 ，若 ，则称点D是 中边 的“好点”．
AI
(1)如图1，在 中， ，若点D是边 的“好点”，且 ，则线段 的长是______；(2)如图2， 是 的外接圆，点E在 边上，连接 并延长，交 于点D，连接 、 、
，若点E是 中边 的“好点”， ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，点P是 上一点，连接 交 于点Q，连接 、 ，若 ， 为
等腰直角三角形， ，求 的长．
【答案】(1)
(2)见详解
(3)
【难度】0.15
【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）根据“好点”定义可得出 ，然后代入数据即可求解；
（2）根据“好点”定义可得出 ，证明 可得出 ，则 ，
由垂径定理可得 进而得出 ，最后根据 的圆周角所对的弦是直径得到 是 的直
径，则 ，在 和 中由勾股定理即可证明；
（3）由三角形的中位线定理求得 ，运用勾股定理得 ，由（2）知：
，求出 ，则 ，而 ，故 ，延长
交 于 ，由垂径定理得出 ，由线段垂直平分线的判定得出 ，利用等腰三角形
的性质可得 ，证明 ，得出 ，过点 作 于
，过点 作 于 ，求出 ，证明 ，得出 ，设 ，
则 ， ， ，代入 可得出关于 的方程，求得 ，
则 ，代入可得 ，则 ，可证明 ，利用相似三角形的性质即可求解 ．
【详解】（1）解： 点 是边 的“好点”，
，
又 ， ，
，
（负数舍去），
故答案为： ；
（2）证明： 点 是△ 中边 的“好点”，
，
， ，
，
，即 ，
，
，
∵ 经过圆心，
，
，
，
是 的直径，
∴ ，
∴在 和 中，
由勾股定理得， ，
∴ ；
（3）解： ， ， ，
，
， 为等腰直角三角形，∴ ，
由（2）知： ，
∴ ，
∴ ，
∴
而 ，
∴ ，
延长 交 于 ，
， 经过圆心，
，
，
，
，
，
又 ，
，
，即 ，
过点 作 于 ，过点 作 于 ，
，
，
， ，
△ △，即 ，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
，
，
化简得 ，
，
， （舍去），
，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理
等，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题．
27．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴相交于点 和点 （ 左 右），与 轴
负半轴相交于点 ，连接 ，且 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 为第四象限抛物线上一点，连接 、 ，设点 的横坐标为 ， 的面积为 ，求 与
的函数关系式；（不必写出自变量 的取值范围）
(3)在（2）的条件下，点 为 轴负半轴上一点，连接 ， ，点 为 上一点， 轴，
垂足为点 ，交抛物线于点 ，点 为 中点，连接 ，作 交 于点 ，交轴 于点 ，
连接 ，作 交 于点 ，若 ， ，求点 的坐标．【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【难度】0.15
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等三角形综合问题、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二
次函数综合)
【分析】（1）根据 ， ，得到点 、点 的坐标，利用待定系数法将两坐标代入
求得 、 的值即可；
（2）根据点 的横坐标为 ，可得点 坐标为 ，即可知点 到 轴的距离即为
以 为底边上的高，根据三角形面积公式即可列出 与 的函数关系式；
（3）根据条件可知 是等腰直角三角形， 是 中点，由三线合一可得 、
，进而求证 ，延长 至点 ,使得 ，连接 、 、 ，
由倍长中线得 ，得 ， ，再证 ，可得 ，
，设 ，可得 ， ，再延长 至 ，使得 ，从
而求得 ，进而得 ，可得 ， ， ，进而可以表
示 坐标，将其代入抛物线解析式即可求得 的值，最后即可求得直线 解析式与抛物线
联立方程即可求得直线 与抛物线的交点坐标即可．
【详解】（1）解：（1） ， ，
在 中， ，
，
，将 ， 代入 中得：
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）令 ， ，
解得 ， ，
， ，
，
点 的横坐标为
点 ，
点 到 轴的距离为
与 的函数关系式为： ；
（3） 轴， ，
是等腰直角三角形， ，
点 为 中点，
， （三线合一）
，
，且
在 与 中延长 至点 ,使得 ，连接 、 、
在 与 中
，
且
、 、 均为等腰直角三角形，
，
，又
在 与 中，， ，
设 ，
∵
∴ ，
，
设 ，
∴ ，
延长 至 ，使得 ，连接 ,
在 与 中，
，
，
，，
，
，
，
又
为 的中位线，
，
，
，
，
， ，
，
代入抛物线解析式得：
，
整理得： ，
解得 （舍）， ，
，
， ，
，
，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
直线 的解析式为：点 为直线 与抛物线的交点，
联立方程得： ，
解得 或 （舍），
点横坐标大于7，故 点横坐标为10，
当 时， ，
，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了抛物线解析式的求解方法、二次函数背景下三角形面积问题以及
二次函数背景下复杂几何问题，涉及多组全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形三线合一的性质、中
位线的性质、函数与方程组间的关系等，复杂的数学运算基础以及缜密的几何分析推导是解本题的关键．
