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2025 年中考第二次模拟考试（江苏徐州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这
个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对
称图形，
故选：B．
2．如图为一个积木示意图，这个几何体的左视图为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查简单组合体的三视图，熟练掌握左视图即从左边看到的图形，正视图即从正面看到的图
形，俯视图即从上面看到的图形是解题的关键．
根据左视图是从左边看到的图形求解即可．
【详解】
解：从左边看这个几何体，看到的图形为 ．
故选：A．
3．如图，数轴上点 表示的数为 ，则与 最接近的整数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了数轴，利用数轴上的点估算代数式，解题的关键是数形结合．由数轴可知，
，进而得到 的范围，即可求解．
【详解】解：由数轴可知， 在 和 之间，且更靠近 ，
，
，
，
与 最接近的整数是 ，
故选：A．
4．如图， 是 上三点， 是 的直径， 的延长线相交于点 ，则
的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半推出 ，再
根据 是 的直径，得出 ，最后利用直角三角形两锐角互余即可推出结果．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
5．某商店原来每天可销售某种水果 ，每千克盈利 元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果
每千克降价 元，那么每天可多售出 ，若要每天盈利 元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降
价 元，则所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，找出降价后的盈利与销售量是解题的关键．
根据题意，设每千克应降价 元，则降价后每千克盈利 元，销售量为 千克，由此列式即
可求解．
【详解】解：已知原来每天可销售某种水果 ，每千克盈利 元，每千克降价 元，那么每天可多售出
，设每千克应降价 元，则降价后每千克盈利 元，销售量为 千克，
∴ ，
故选：B ．
6．函数 图象的大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意只需找到图象在x轴下方的不经过原点的函数图象即可．
【详解】解：由函数解析式可得x可取正数，也可取负数，但函数值只能是负数；
所以函数图象应在x轴下方，并且x，y均不为0．
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是根据在函数图象上的点得到函数图象的大致位置．
7．如图，菱形 的对角线 、 相交于点O，过点D作 于点H，若 ，则菱
形 的面积是（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】C【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质及垂直平分线的性质，根据 ， 得
到 ，根据菱形得到 ，即可得到 是等边三角形，根据勾股定理求出 ，即可得
到答案；
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
8．用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵
爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现用如图2的两种直角三角形各两个围成一
个如图3的四边形 ，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中（ ）
A．四边形 的面积 B．四边形 的面积
C． 的面积 D． 的面积
【答案】D
【分析】本题考查图形的面积．设直角三角形 的长直角边 为a，短直角边 为b，直角三角形
的长直角边 为m，短直角边 为n，分别求出组成阴影部分的两个三角形的面积，进而表示出
阴影部分的面积，即可判断出与阴影部分面积相同的图形在哪个选项中．
【详解】解：设直角三角形 的长直角边 为a，短直角边 为b，直角三角形 的长直角边
为m，短直角边 为n，∴ ，
∴
∵ ，
∴ ．
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
9．已知一组数据： ， ， ， ， ．当 的值为 时，这组数据的方差最小．
【答案】
【分析】本题考查了方差的定义，根据方差的定义，当数据波动最小时，方差最小，即可求解．
【详解】解：数据中的 、 、 、 的平均数为 ，
时，这组数据的方差最小，
故答案为： ．
10．分解因式： ．
【答案】
【分析】先提取公因式b，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
11．在数学实践活动中，某同学用一张如图1所示的矩形纸板制做了一个扇形，并有这个扇形，围成一个
圆锥模型（如图2所示），若扇形的圆心角为 ，圆锥的底面半径为 ，则此圆锥的母线长为 ．【答案】
【分析】本题考查了圆锥的相关知识、弧长的计算，设此圆锥的母线长为 ，由于圆锥的侧面展开图为一
扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用弧长公式得到
，然后解方程即可，熟练掌握圆锥的相关知识是解题关键．
【详解】解：设此圆锥的母线长为 ，
根据题意得 ，解得 ，
即此圆锥的母线长为 ，
故答案为： ．
12．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的
蜡烛（竖直放置） 经小孔 在屏幕（竖直放置）上成像 ．设 ， ．小孔 到
的距离为 ，则小孔 到 的距离为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得 ， ，过 作 于
点 ， 交 于点 ，利用已知得出 ，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练
掌握相似三角形的性质是解题关键．
【详解】由题意得： ，
∴ ，
如图，过 作 于点 ， 交 于点 ，∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ （ ），
即小孔 到 的距离为 ，
故答案为： ．
13．如图，在矩形 中， ， ，点 为边 上一个动点（不与 ， 重合），把
沿 折叠，当点 的对应点 落在矩形 的对称轴上时， 的长为 ．
【答案】 或
【分析】过点 作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，由矩形有两条对称轴可知要分两种情况考虑，根
据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EM 与△AN 中，利用勾股定理可得出
关于DM长度的一元二次方程，解方程即可得出结论．
【详解】解：过点 作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图1所示．
设DE=a，则 E=a．∵矩形ABCD有两条对称轴，
∴分两种情况考虑：
①当DM=CM时，
AN=DM= CD= AB=4，AD=A =5，
由勾股定理可知：
N = ，
∴M =MN-N =AD-N =2，EM=DM-DE=4-a，
∵E 2=EM2+M 2，即a2=（4-a）2+4，
解得：a= ；
②当M =N 时，
M =N = MN= AD= ，
由勾股定理可知：
AN= ，
∴EM=DM-DE=AN-DE= ，
∵E 2=EM2+M 2，即a2＝( )2+( )2，
解得：a= ．
综上知：DE= 或 ．故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于DM长
度的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，
结合勾股定理列出方程是关键．
14．已知二次函数 (其中 是常数)的图象过点 ，则 ．
【答案】
【分析】把 代入函数解析式，求得 的值，整体代入即可得到答案．
【详解】解：把 代入： ，
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，代数式的整体代入求值，掌握以上知识是解题的关键．
15．如图，已知 是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆. 若大正方形的边长是2，则图中阴影部分
的面积为 ．
【答案】
【分析】由题意知，圆的半径为1，小正方形的对角线长为2，根据 ，计
算求解即可．
【详解】解：由题意知，圆的半径为1，小正方形的对角线长为2，
∴ ，
故答案为： ．【点睛】本题考查了正方形的性质，圆．解题的关键在于正确表达阴影部分面积．
16．对于实数 ，定义运算“※”： ．例如 ，因为 ，所以 ．
若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 ．
【答案】4或1
【分析】本题考查了新定义的运算，解一元二次方程，掌握新定义的运算顺序是解答关键．
先利用因式分解法解方程得到方程 的两个根分别为3，2，则 或当 ，
然后利用新定义计算 的值．
【详解】解：方程 的两个根分别为3，2，
当 时， ，则 ；
当 时， 则 ．
所以 的值为4或1．
故答案为：4或1．
17．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数
的图象上，点B在函数 的图象上．若 ，则k的值为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，表示出点
的坐标是解题的关键．作 于 ，由等腰三角形三线合一的性质得出 ，利用平行四边形的性质可知 ，故设 ，则 ，代入 即可求得 的值．
【详解】解：作 于 ，
，
，
∵四边形 是平行四边形，
，
设 ，则 ，
点 在函数 的图象上．
，
故答案为：12．
18．在平面直角坐标系中，将抛物线 向下平移6个单位长度，所得的新抛物线
与 轴有两个公共点 ，则点 与点 之间的距离为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练
掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析
式，然后令 ，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可．
【详解】解：将抛物线 向下平移6个单位长度，所得抛物线的解析式为：
，
令 ，则 ，
或 ，
解得： 或 ，，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本题8分）解不等式组 ，并写出它的最大整数解．
【答案】不等式组的解为 ，最大整数解为
【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．先求出每个不等式的解集，再根据
“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再找到其最
大整数解即可．
【详解】解： ,
解不等式①：
，
解不等式②：
，
不等式组的解为 ，最大整数解为 ．
20．（本题8分）（1）计算： ．（2）化简： ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）分别计算零指数幂、绝对值，代入特殊角的三角形函数值，进一步计算即可求解；
（2）括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即
可．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，分式的加减乘除混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺
序和运算法则．
21．（本题8分）李白是唐代伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《春夜洛城闻笛》是他创作的
一首名篇，这首古诗共有四句，如图，将这四句古诗分别制成编号为A，B，C，D的4张卡片，卡片除编
号和内容外，其余完全相同．将这4张卡片背面朝上，洗匀放好．“诗圣”杜甫从4张卡片中随机抽取2
张，请用列表或画树状图的方法，求出杜甫随机抽出2张卡片恰好为相邻两句古诗的概率．
【答案】
【分析】用列表法列出所有等可能的结果数，再考虑满足条件的结果的情况，根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意，列表如下：第一
张第二张
由表格可以看出，所有等可能出现的结果共有 种，其中杜甫抽出两张恰好为相邻两句诗的情况有 种，
所以 （抽出两张恰好为相邻两句古诗） ．
【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解此题的关键．
22．（本题8分）如图， 是 的直径， 内接于 ， ， 的延长线相交于点 ，
且 ．
(1)求证： ；
(2)求 的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等
知识，掌握这些性质是解题的关键．
（1）由等弧所对的圆周角相等可得出 ，再由等边对等角得出 ，等量代换可得
出 ，又 ，即可得出 ．
（2）连接 ，由直径所对的圆周角等于 得出 ，设 ，即 ，
由相似三角形的性质可得出 ，再根据圆内接四边形的性质可得出 ，
即可得出 的值， 进一步即可得出答案．【详解】（1）证明：∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
（2）连接 ，如下图：
∵ 为直径，
∴ ，
设 ，
∴ ，
由（1）知：
∴ ，
∵四边形 是圆的内接四边形，
∴ ，
即 ，
解得：
23．（本题10分）如图，在 中，点E，F分别在边AD和BC上，且AE=FC，连接AF，CE，分别
交DC，BA的延长线于点H，G．（1）求证： ；
（2）当 满足什么条件时，四边形 是矩形?请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） ，理由见解析
【分析】（1）根据“SAS”证明△ABF≌△CDE即可；
（2）先根据全等三角形的性质得到∠AFB=∠CED，再由平行四边形的性质得到∠CED=∠BCE，则
∠AFB=∠BCE，AH∥CG，即可证明四边形AHCG是平行四边形，再由矩形的判定条件即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠D，
∵AE=CF，
∴DE=AD-AE=BF=BC-CF，
∴△ABF≌△CDE（SAS）；
（2）当∠BAF=90°时，四边形AHCG是矩形，理由如下：
∵△ABF≌△CDE，
∴∠AFB=∠CED，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠CED=∠BCE，
∴∠AFB=∠BCE，
∴AH∥CG，
∴四边形AHCG是平行四边形，
∵∠BAF=90°，
∴∠HAG=180°-∠BAF=90°，
∴四边形AHCG是矩形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的判定，平行线的性
质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
24．（本题10分）如图，已知 及 边上一点 ．
(1)用无刻度直尺和圆规在射线 上求作点 ，使得 ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，以点 为圆心，以 为半径的圆交射线 于点 ，用无刻度直尺和圆规在射线
上求作点 ，使点 到点 的距离与点 到射线 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（1）、（2）的条件下，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)作图见详解
(2)作图见详解
(3)
【分析】（1）根据尺规作角等于已知角的方法即可求解；
（2）根据尺规作圆，作垂线的方法即可求解；
（3）根据作图可得 是直径，结合锐角三角函数的定义可得 的值，根
据勾股定理可求出 的值，在直角 中运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，∴ ；
点O即为所求
（2）解：如图所示，
连接 ，以点 为圆心，以 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心，以任意长为半径画弧交 于
点 ，分别以点 为圆心，以大于 为半径画弧，交于点 ，连接 并延长交 于点 ，
∵ 是直径，
∴ ，即 ，
根据作图可得 ，
∴ ，即 ， 是点 到 的距离，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
点 即为所求点的位置；
（3）解：如图所示，根据作图可得， ，连接 ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴在 中， ，
解得， （负值舍去），
∴ ，
在 中， ．
【点睛】本题主要考查尺规作角等于已知角，尺规作垂线，勾股定理，锐角三角函数的定义等知识的综合，
掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
25．（本题10分）图1是某种可调节支撑架， 为水平固定杆，竖直固定杆 ，活动杆 可绕
点A旋转， 为液压可伸缩支撑杆，已知 ， ， ．(1)如图2，当活动杆 处于水平状态时，直接写出可伸缩支撑杆 的长度．（结果保留根号）
(2)如图3，当活动杆 绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度 ，且 （ 为锐角），求此时
可伸缩支撑杆 的长度（结果精确到 ）．（参考数据： ）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线
是解题的关键．
（1）过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得： ， ，从而可得
，然后在 中，利用勾股定理进行计算，即可解答；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，交 于点 ，根据题意可得： ，
， ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义可设 ，则 ，
从而利用勾股定理进行计算可求出 和 的长，进而可求出 和 的长，最后在 中，利用
勾股定理进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：过点 作 ，垂足为 ，
由题意得： ， ，
，
，
在 中， ，
可伸缩支撑杆 的长度为 ；（2）解：过点 作 ，交 的延长线于点 ，交 于点 ，
解：由题意得： ， ， ，
在 中， ，
设 ，则 ，
，
，
，
解得： ，
， ，
，
，
，
，
在 中， ，
此时可伸缩支撑杆 的长度为 ．
26．（本题12分）如图，抛物线 交x轴于A，C两点，交y轴于点B．(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图（1），抛物线上有点 ，在第三象限的抛物线上存在点M，且 ，求点M的坐
标；
(3)如图（2），在第一象限的抛物线上有一点E，过点E作 的平行线交抛物线于另一点F，直线 ，
交于点P，若点P的纵坐标为t， 的面积记为S，试探究S与t之间数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据解析式分别令 ， 时，即可得出 ．
（2）根据解析式代入 得出 ，过 点作 ，交 的延长线于点 ，则 ，
过点 作 轴的平行线分别交直线 于 两点，则可证得 ，得出 ，由
，可求得直线 ，联立抛物线解析式得出 的坐标，即可求解．
（3）设直线 的解析式为 ，当 时， ，设直线 的解析式为 ，
当 时， ，得到 ，设直线 的解析式为 ，当 时， ，得到 ，从而得到方程 ，得到关系 ，
当 时，求出点 ，过 点作 轴的平行线交 于点 ，可求 ，从而得到
．
【详解】（1）解：由 ，
当 时， ，
当 时， ，解得： ，
．
（2）解：当 时， ，
，
，
，
，
，
过D点作 ，交 的延长线于点N，则 ，过点N，C作y轴的平行线分别交直线 于
G，H两点，
，
，
，
，
设直线 的解析式为 ，代入 ，得 ，
解得： ，
∴直线 ，
当 时，
解得： 或 （舍去），
．
（3）解：∵ ，
设直线 的解析式为 ，则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设直线 的解析式为 ，
当 时，整理得： ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
当 时，整理得： ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
当 时，整理得： ，
∴ ，
，
，
，当 时，解得： ，
，
过 点作 轴的平行线交 于点 ，
，
．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及
性质，三角形全等的判定及性质，待定系数法求函数的解析式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关
键．
27．（本题12分）（1）观察猜想：如图1，已知 三点在一条直线上（ ），正方形
和正方形 在线段 同侧，H是 中点，线段 与 的数量关系是______，位置关系是______；
（2）猜想证明：在（1）的基础上，将正方形 绕点D旋转 度（ ），试判断（1）中结
论是否仍成立？若成立，仅用图2进行证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：如图3，矩形 和矩形 中， ，将矩形 绕点 旋转任
意角度，连接 是 中点，若 ，求点 运动的路径长．【答案】（1） ；（2）成立，证明见解析；（3）
【分析】（1）根据正方形 和正方形 ，得到 继而得到 ；设正方形
的边长为a，正方形 的边长为b，根据题意，得 ；结合H是 中点，
得到 ，继而得到
．
（2）结论 仍然成立．理由如下，延长 到点P，使得 ，连接 ，根据正
方形的性质，证明 ，延长 二线交于点Q，根据三角形中位线定理，得到 ，
得到 ，结合 ，证明即可．
（3）延长 到点Q，使得 ，连接 ，根据三角形中位线定理，得到 ，根
据矩形的性质，证明 ，得 ，结合 ， 得到
，取 的中点O，连接 ，结合 是 中点，得到 ，根据圆的定义，判
定点H在以点O为圆心，以 为半径的圆上，其周长为 ．
【详解】（1） ，且 ．理由如下：
∵正方形 和正方形 ，
∴
∴ ；
设正方形 的边长为a，正方形 的边长为b，
根据题意，得 ；
∵H是 中点，
∴ ，
∴ ．故答案为： ．
（2）结论 仍然成立．理由如下，
延长 到点P，使得 ，连接 ，延长 二线交于点Q，
∵H是 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵正方形 和正方形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
故 ．
（3）如图，延长 到点Q，使得 ，连接 ，
根据三角形中位线定理，得到 ，∵矩形 和矩形 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
取 的中点O，
连接 ，
∵ 是 中点，
∴ ，
根据圆的定义，判定点H在以点O为圆心，以 为半径的圆上，
∴其周长为 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，
三角形中位线定理，圆的定义，熟练掌握三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中
位线定理，圆的定义是解题的关键．
