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2025 年中考第二次模拟考试（江苏无锡卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在实数 ， ，0， 中，最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据负数小于0小于正数，以及实数的比大小的方法，进行判断即可．
【详解】解：由题意知 ，
∴最小的数为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数比大小．解题的关键在于熟练掌握实数比大小的方法．
2．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（ ）
A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2
【答案】B
【分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积
公式计算这个圆锥的侧面积．
【详解】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积＝ ×π×6×8＝24π（cm2）．故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇
形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题
的关键．根据运算法则进行计算即可．
【详解】解： ，故选项A正确；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
不是同类项，无法计算，故选项D错误；
故选A．
4．为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的价格
比每个足球的价格多20元，用1500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个，如果设每个足
球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为 元，根据“用1500元购进篮球的数量比用800
元购进足球的数量多5个”列方程即可．
【详解】解：设每个足球的价格为x元，则篮球的价格为 元，
由题意可得： ，故选：A．
【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意是关键．
5．如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的折线统计图，记甲10次成绩的方差为 ，乙10次成绩
的方差为 ，根据折线图判断下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【分析】利用折线统计图判断甲、乙成绩的波动性的大小，从而可判断谁的成绩更稳定．
【详解】解：由折线统计图得，乙运动员的10次射击成绩的波动性较小，甲运动员的10次射击成绩的波
动性较大，所以乙的成绩更稳定，
所以S 2>S 2．
甲 乙
故选：A．
【点睛】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后
把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量
的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了方差的意义．
6．如图，将一张直角三角形纸片BEC的斜边放在矩形ABCD的BC边上，恰好完全重合，BE、CE分别交
AD于点F、G，BC＝6，AF∶FG∶GD＝3∶2∶1，则AB的长为( )
A．1 B． C． D．2
【答案】C【分析】由四边形ABCD是矩形，得到AB＝CD，AD＝BC＝6，∠A＝∠D＝90°，根据余角的性质得到
∠ABF＝∠DGC，推出 AFB∽△DCG，根据相似三角形的性质得到AB2＝AF•DG＝3，于是得到结论．
【详解】解：∵四边形△ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝6，∠A＝∠D＝90°，
∵∠E＝90°，
∴∠EFG＋∠EGF＝90°，
∴∠AFB＋∠DGC＝90°，
∵∠AFB＋∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DGC，
∴△AFB∽△DCG，
∴ ，
∵AF：FG：GD＝3：2：1，
∴AF＝3，DG＝1，
∴AB2＝AF•DG＝3，
∴AB＝ ．
故选C．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质、矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是
解题的关键．
7．关于x的不等式组 的整数解仅有5个，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不
等式组，再根据仅有5个整数解，得出关于 的不等式，求解即可．
【详解】解:
解得： ，
关于 的不等式组 的整数解仅有5个，
，解得： ，
故选：C．
8．如图，在扇形 中，已知 ， ，过 的中点 作 ， ，垂足分
别为 、 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接OC，易证 ，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求
出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于
扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案．
【详解】连接OC
点 为 的中点
在 和 中
又
四边形CDOE为正方形由扇形面积公式得
故选B．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算、正方形的判定及性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
9．如图， 的直径 ，D为半圆 的中点，P点从D出发，沿 的路径移动，移动到C点
停止，Q点从B出发，沿 下半圆的路径移动，移动到C点停止，Q的速度是P速度的 倍， 的长度
变化的函数图像为（ ）
A． B．
B．C． D．【答案】B
【分析】设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为 ，运用特殊值，几何排除法求解即可．
【详解】解：设点P的运动速度为1，则点Q的运动速度为 ，
如图，当 时，则 ， 的长为 ，
连接 ，作 于点E，作 ，交 的延长线于点E，则四边形 是矩形，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故C，D不符合题意；
如图，当 时，则 ， 的长为 ，
连接 ，作 于点E，作 ，交 的延长线于点F，则四边形 是矩形，
∴ ．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
而A选项中， 时， ，且当 时，图象为一条线段，而当 时， 随x不是均匀变化，
故A不符合题意，B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，弧长公式，解直角三角形，特殊值法的运用是解答本题的关键．
10．如图，一次函数y=2x与反比例函数y= （k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆
心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为 ，则k的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接BP，由反比例函数的对称性质以及三角形中位线定理可得OQ= BP，再根据OQ的
最大值从而可确定出BP长的最大值，由题意可知当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，继
而根据正比例函数的性质以及勾股定理可求得点B坐标，再根据点B在反比例函数y= （k＞0）的图象上，
利用待定系数法即可求出k的值.
【详解】如图，连接BP，
由对称性得：OA=OB，
∵Q是AP的中点，
∴OQ= BP，
∵OQ长的最大值为 ，
∴BP长的最大值为 ×2=3，
如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，
∵CP=1，
∴BC=2，
∵B在直线y=2x上，
设B（t，2t），则CD=t﹣（﹣2）=t+2，BD=﹣2t，
在Rt△BCD中，由勾股定理得： BC2=CD2+BD2，
∴22=（t+2）2+（﹣2t）2，
t=0（舍）或t=﹣ ，
∴B（﹣ ，﹣ ），
∵点B在反比例函数y= （k＞0）的图象上，
∴k=﹣ ×（- ）= ，故选C．
【点睛】本题考查的是代数与几何综合题，涉及了反比例函数图象上点的坐标特征，中位线定理，圆的基
本性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，确定出BP过点C时OQ有最大值是解题的关
键.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．36的平方根是 ．
【答案】±6
【详解】因为 ，
则36的平方根为±6，
故答案为±6
12．因式分解： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】题目主要考查因式分解的方法，熟练掌握提公因式法及公式法是解题关键．
13．如图，每一个小方格的边长都相等，点A、B、C三点都在格点上，则 的值为 ．【答案】
【分析】根据已知图形去添加合适得辅助线，从而得出 ，再求解即可．
【详解】解：连接 ，由图可知：
， ， ，
满足 ，
∴ ，
设小方格的边长为 ，则 ， ，
故 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，构造辅助线使得 再结合解直角三角形相关知
识是解此题的关键．
14．如图， 是 的直径，点 、 在 上，若 ，则 的度数是 °．
【答案】【分析】本题主要考查了同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半，能分析出 和 是同弧
所对的圆周角与圆心角是解题的关键．
先求出 所对的圆心角度数，再根据同弧（等弧）所对的圆周角是圆心角的一半即可得出结果．
【详解】解： ，
，
．
故答案为： ．
15．如图， 是等边 的边 上的高，以点D为圆心， 长为半径作弧交 的延长于点E，则
．
【答案】 /30度
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据等
边三角形得到 ，根据三线合一得到 的度数即可得到答案．
【详解】解：在等边 中， ，
是等边 的边 上的高，
平分 ，
，
，
，
故答案为： ．
16．如图，点 是反比例函数 的图象上一点，过点 作 轴，垂足为点 ，延长 至
点 ，使 ，点 是 轴上任意一点，连接 ， ，若 的面积是9，则 的值是
．【答案】6
【分析】本题主要考查了两点之间距离公式、三角形的面积公式、解一元一次方程，理解反比例函数图象
上的点都满足反比例函数的解析式是解题的关键．
设点 的坐标为 ，即可表示出 和 的长，再由 可得出 的长，最后由三角形的面
积公式列方程即可得出结果．
【详解】解：设点 的坐标为 ，则 ， ，
，
，
，
，
即 ，
解得 ．
故答案为：6．
17．如图，已知点 ，点B在y轴正半轴上，将线段 绕点A顺时针旋转 到线段 ，若点C
的坐标为 ，则 ．【答案】
【分析】在x轴上取点D和点E，使得 ，过点C作 于点F，在 中，
解直角三角形可得 ， ，再证明 ，则 ，
，求得 ，在 中，得 ， ，得到
，解方程即可求得答案．
【详解】解：在x轴上取点D和点E，使得 ，过点C作 于点F，
∵点C的坐标为 ，
∴ ， ，
在 中，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为：
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、旋转的性质等知识，构造三角形全等是解
题的关键．
18．如图，正三角形 的边长为2，D是边 的中点，连接 ，点E在线段 上，连接 ，以点
B为旋转中心顺时针旋转 得 ，连接 ．点E从A到D，点F经过的路径长为 ．
【答案】
【分析】由正三角形 的边长为2，D是边 的中点，可得 ， ， ，
，由勾股定理得， ，如图，连接 ，由旋转的性质可知， ，
，证明 ，则 ，可知点E从A到D，点F经过的路径长为 的长，
然后作答即可．
【详解】解：∵正三角形 的边长为2，D是边 的中点，∴ ， ， ， ，
由勾股定理得， ，
如图，连接 ，
由旋转的性质可知， ， ，
∴ ，即 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点E从A到D，点F经过的路径长为 的长，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．确定
点F的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（本题8分）计算
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)【分析】本题主要考查了分式的混合运算、含特殊角的三角函数的混合运算等知识点，灵活运用相关运算
法则成为解题的关键．
（1）根据分式的混合运算法则计算即可；
（2）先根据特殊角的三角函数值化简，然后再进行计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
20．（本题8分）解不等式组 ，并在数轴上标出该不等式组的解集．
【答案】 ；见解析
【分析】本题考查了解不等式组，先分别求出各不等式的解，即可得；掌握解不等式组的方法是解题的关
键．
【详解】解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
∴此不等式组的解集为： ，
解集在数轴上的表式：21．（本题10分）如图，在 中， ，H、G分别为 的中点，连接
，求证：四边形 为平行四边形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用全等三
角形的判定与性质成为解题的关键．
由平行四边形的性质可得 ，再结合已知条件运用直角三角形斜边上
的一半可得 、 ；再证明 可得 ，进而证明
可得 ，最后根据两组对边的四边形是平行四边形即可证明结论．
【详解】证明：∵ ，
∴ ,
∵ ，H、G分别为 的中点，
∴ ,即 ， ,
∵ ,
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ,∴ ，
∵ ,
∴四边形 为平行四边形．
22．（本题10分）某市今年初中物理、化学实验技能学业水平考查，采用学生抽签方式决定各自的考查内
容．规定：每位考生必须在4个物理实验考查内容（用 表示）和4个化学实验考查内容（用
表示）中各抽取一个进行实验技能考查．小刚在看不到签的情况下，从中各随机抽取一个．
(1)小刚抽到物理实验A的概率是 ．
(2)求小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出
符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率；
（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出抽到B和F的结果数，然后根据概率公式计算；
【详解】（1）小刚抽到物理实验A的概率是 ，
故答案为： ；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中抽到B和F的结果数为1，
所以小刚抽到物理实验B和化学实验F的概率 ．
23．（本题10分）为推进节能环保工作的开展，某市相关管理部门要为市区的一个主干道更换一批智能
LED太阳能充电路灯．经调研，市场上有甲型、乙型两种符合要求的路灯组件在售，已知甲型路灯组件比
乙型路灯组件的单价少0.2万元，用12万元购买甲型路灯组件与用16万元购买乙型路灯组件的个数相等．(1)求甲型、乙型路灯组件的单价各是多少？
(2)该市决定购买甲型、乙型路灯组件共300个，且花费不超过200万元，则至少购买甲型路灯组件多少个？
【答案】(1)甲0.6万元/个，乙0.8万元/个；
(2)200个
【分析】（1）设甲型路灯组件的单价是x万元，则乙型路灯组件的单价是 万元，
根据用12万元购买甲型路灯组件与用16万元购买乙型路灯组件的个数相等，列出关于x的分式方程，解
之经检验后可得出x的值，进而即可得出答案；
（2）设购买y个甲型路灯组件，则购买 个乙型路灯组件，根据花费不超过200万元，列出关于y
的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲型路灯组件的单价是x万元，则乙型路灯组件的单价是 万元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
（万元），
答：甲型路灯组件的单价是0.6万元，则乙型路灯组件的单价是0.8万元；
（2）设购买y个甲型路灯组件，则购买 个乙型路灯组件，
根据题意得： ，
解得： ，
y的最小值为200，
答：至少购买甲型路灯组件200个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数 的图象交 ，
两点，一次函数 的图象与y轴交于点C．(1)求一次函数解析式；
(2)根据函数的图象，直接写出不等式 的解集；
(3)点P是x轴上一点， 的面积等于 面积的2倍，求点P坐标．
【答案】(1)
(2) 或
(3)P 或
【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点
的坐标，注意数形结合思想的应用．
（1）利用待定系数法求出 ， 的坐标即可解决问题．
（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）根据 ，求出 的面积，设 ，构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解： 反比例函数 的图象经过点 ， ，
， ，
解得 ， ，
， ，
把 、 的坐标代入 得 ，
解得 ，
一次函数的解析式为 ．（2）解：观察图象，不等式 的解集为： 或 ．
（3）解：连接 ， ，由题意 ，
，
设 ，
由题意 ，
解得 ，
或 ．
25．（本题10分）【问题情境】如图1，以点A为顶点，以射线 为一边，作 角．作法：在射线
上任取一点C，过点C作 ，以点C为圆心， 为半径作弧，交 于点E，作射线 ，则
，尺规作图可通过构造特殊图形，利用其边、角的性质完成作图．
【探究思考】如图2，以点A为顶点，以射线 为一边，请利用无刻度的直尺和圆规作 角（保留作图
痕迹，不写作法）
【迁移应用】如图3，请用无刻度的直尺和圆规，在线段 上作点P，使 （保留作图痕迹，不写
作法）．
【答案】见详解
【分析】本题考查尺规作图—复杂作图；
（1）在射线上取点E，以 为直径作圆O，然后以E为圆心， 长为半径作弧交圆O于点F，作射线，则 即为所作；
（2）过点A作线段 的垂线并在 的上方截取 ，过点B作线段 的垂线并在 的下方截
取 ，连接 交 于点P，则点P 即为所作．
【详解】探究思考：
迁移应用：
26．（本题10分）1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架
和两个大小相同的车轮组成车轮半径为8 cm，已知 ， ， ，
， ，当A，E，F在同一水平高度上时， ．
(1)求AC的长；
(2)为方便存放，将车架前部分绕着点D旋转至 ，按如图3所示方式放入收纳箱，试问该滑板车折
叠后能否放进长 的收纳箱（收纳箱的宽度和高度足够大），请说明理由（参考数据：
）．【答案】(1)30cm
(2)该滑板车折叠后能放进长 的收纳箱，理由见解析
【分析】（1）根据题意作辅助线构造直角三角形，再根据 ，设 ，再由勾
股定理得 ，可得 是等腰直角三角形，再利用线段之间的关系即可求解；
（2）过点A作 交其延长线于点M，过点D作 交其延长线于点N，并延长ND，交AB
于点P，先证明四边形AMNP是矩形，再由解直角三角形求PC、NE的长度，再根据题意求出折叠后的总
长度进行比较即可．
【详解】（1）
过点A作 ,
，可设 ，
由勾股定理得 ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
， ，
，
,
解得 ，
；
（2）过点A作 交其延长线于点M，过点D作 交其延长线于点N，并延长ND，交AB于点
P，
，
四边形AMNP是矩形，
，
， ， ， ，
，
，
，
，
滑板车折叠后总长度为 ，
所以，该滑板车折叠后能放进长 的收纳箱．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用及翻折变换，熟练掌握知识点并能够准确理解题意是解题的关键．
27．（本题10分）如图，在平面直角坐标系 中，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点
B，过A、B两点的抛物线 与x轴交于另一点 ．(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是x轴上一点，以P为圆心， 为半径的圆与直线 相切，求圆心P的坐标；
(3)点M为直线 下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当 的面积最大时，求 的最
小值．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由 ，得到 ，即可求解；
（3）过点M作 轴交 于点H，作直线 使 ，作 ，作 轴交x轴于
点E，过点M作 交于点F，设点 ，则点 ，然后表示出 的
面积 ，然后求出当 时， 的面积最大，得到 ，然后推出
∴当点M，N，G三点共线时， 有最小值，即 的长度，设 ，表示出 ，， ，然后利用 求出 ，
， ，即可求解．
【详解】（1）直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
当 时， ，
∴ ，
当 时，即
解得
∴
∵过A、B两点的抛物线 与x轴交于另一点
∴设 ，
将 代入得， ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
设圆 和直线 切于点 ，则 ，
解得： ，
则点 的坐标为： 或 ；
（3）如图所示，过点M作 轴交 于点H，作直线 使 ，作 ，作
轴交x轴于点E，过点M作 交于点F，
=
设点 ，则点 ，
则 的面积
，
则当 时， 的面积最大，此时，点 ；
∵ ，
∴
∴
∴
∴当点M，N，G三点共线时， 有最小值，即 的长度
∵ ，
∴∵
∴
∴设 ，则 ，
∴
∴
∴ ，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ，即
解得
∴
∴ ．
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查的是二次函数和一次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、解直角三角形、勾股定理，
面积的计算等，解题的关键是掌握以上知识点．
28．（本题10分）《数学实验手册》中有一个实验主题叫做“打印纸中的数学”，该实验中使用的 打
印纸是由国际标准化组织的 定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一标准， 打
印纸被广泛的应用于我们的生活和生产实践中．(1)观察发现：如图 ，将 纸 次折叠，发现第 次的折痕与 纸较长的边重合、由此可求出 纸较长
边与较短边的比为________；
(2)探究迁移：如图 ，将一张 纸沿经过 ， 两点的直线折叠，展开后得折痕 ，再将其沿经过点
的直线折叠，使点 落在 上（ 为两条折痕的交点），设第二条折痕与 交于点 、点在 是否为
的中点？请说明理由；
(3)拓展应用：利用一张 纸经过裁剪，可获得一张边长为 的正方形纸片．进行如下操作：对折正方
形 得折痕 ，连接 ，将 折叠到 上，点 对应点 ，得折痕 ．试说明： 是 的黄
金分割点．
【答案】(1) ；
(2)理由见解析；
(3)理由见解析．
【分析】（ ）设 纸较长边的长为 ，较短边长为 ，易求得第一次折痕长为 ，根据第 次的折痕与
纸较长的边重合得到 ，进而可求解；
（ ）设 ， ，根据矩形和折叠性质得到 ，进而证得 ，由
推导即可；
（ ）延长 相交于点 ，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得 ，再根据折叠性质和等角对等边得到 ，证明 ，进而可求得 ，即可证得结论．
【详解】（1）设 纸较长边的长为 ，较短边长为 ，由题意，得第一次折痕长为 ，
∵第 次的折痕与 纸较长的边重合，
∴ ，即 ，
故答案为： ；
（2）点 是 的中点，理由如下：由（ ）得 ，
设 ， ，
由折叠使得点 和点 重合得 ，则 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴点 是 的中点；
（3）如图，延长 相于点 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，由折叠性质得 ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ 是 的黄金分割点．
【点睛】本题考查了矩形与折叠性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形
的判定与性质，黄金分割等知识，解题的关键是熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质．
