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2025 年中考第二次模拟考试（内蒙古卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左
视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体
的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可．
【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，
形状如图所示：
故选：C．
2．如图， 与 交于点O， 和 关于直线 对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列
不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D．
【详解】解：由轴对称图形的性质得到 ， ，
∴ ，
∴B、C、D选项不符合题意，
故选：A．
3．如图， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内
角互补”，得到 ，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案．
【详解】 ，
，
，
，
，
．
故选B．
4．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说
法错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若x减小，则y也减小 D．若x减小一半，则y增大一倍
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，先确定反比例函数的解析式，再逐一分析判断即可．
【详解】解：∵淇淇家计划购买500度电，平均每天用电x度，能使用y天．
∴ ，
∴ ，当 时， ，故A不符合题意；
当 时， ，故B不符合题意；
∵ ， ，
∴当x减小，则y增大，故C符合题意；
若x减小一半，则y增大一倍，表述正确，故D不符合题意；
故选：C．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了整式的运算，根据积的乘方法则、同底数幂相除法则、负整数指数幂、分式的加减，
多项式乘以多项式法则计算，并逐项判定即可．
【详解】解：A． ，原计算错误，不符合题意；
B． ，原计算错误，不符合题意；
C． ，原计算错误，不符合题意；
D． ，原计算正确，符合题意；
故选：D．
6．直线l与正六边形 的边 分别相交于点M，N，如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键．先求出正六边形的每个内角为 ，再根据六边形 的内角和为 即可求解 的
度数，最后根据邻补角的意义即可求解．
【详解】解：正六边形每个内角为： ，
而六边形 的内角和也为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
7．如图， 是 的直径， 是 的弦， ，垂足为E．若 ， ，则 的长为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据垂径定理求得 ，再对 运用勾股定理即可求 ，最后 即可求解．
【详解】解：∵ ， 是 的直径，
∴ ， ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
故选：B．
8．已知一个二次函数 的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x … 0 3 5 …
y … 0 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当 时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解
析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：由题意得 ，解得 ，
∴二次函数的解析式为 ，
∵ ，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线 ，故选项D符合题意；
当 时，y的值随x的值增大而增大，当 时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；
∵顶点坐标为 且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
9．分解因式： = ．
【答案】a（a﹣b）．
【详解】解： =a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．
10．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为 ．
【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程 ，当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当
时，方程没有实数根是解题的关键．利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
11．如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图 是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通
过测量得到扇形 的圆心角为 ， ，点 ， 分别为 ， 的中点，则花窗的面积为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形的面积公式是解题的关键．用扇形的面积减去
的面积即可解决问题．
【详解】解：由题知，
（ ），
∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ （ ），
∴ （ ），
∴花窗的面积为
故答案为： ．12．如图，在△ABC中， 的平分线交 于点F．点D，E分别在 ， 上，连接 交 于点
G．若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到 和 ，利用相似的性
质有 ，然后根据 和比例性质即可得出的 的值．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13．（本题10分）（1）计算： ．【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，掌握零指数幂，负整指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性
质，绝对值化简是解题的关键．根据相关运算法则分别进行计算，再进行加减运算，即可解题．
【详解】解： ，
，
．
（2）．解方程： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程
的解进行检验即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解．
14．（本题10分）尊老敬老是中华民族的传统美德，爱老是全社会的共同责任．为了解某地区老年人的生
活状况，随机抽取部分65岁及以上的老年人进行了一次问卷调查．
调查问卷
以下问题均为单选题，请根据实际情况选择（例：65~70岁表示大于等于65岁同时小于
70岁）．
1．您的年龄范围（ ）
A．65~70岁 B．70~75岁 C．75~80岁 D．80岁及以上
2．您的养老需求（ ）
A．医疗服务 B．社交娱乐 C．健身活动
D．餐饮服务 E．其他
3．您的健康状况（ ）A．良好 B．一般 C．较差
将调查结果绘制成如下统计图表请阅读相关信息，解答下列问题：
健康状况统计表
65～70 70～75 75～80 80岁及以
岁 岁 岁 上
良
65% 58% 50% 40%
好
一
25% 30% 359% 40%
般
较
10% 12% 15% 20%
差
(1)参与本次调查的老年人共有___________人，有“医疗服务”需求的老年人有___________人；
(2)已知该地区65岁及以上的老年人人口总数约为6万人，估计该地区健康状况较差的老年人人口数；
(3)根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，你能提出哪些合理化的建议？（写出一条即可）
【答案】(1)1200，660
(2)7650人
(3)根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量（只要建
议合理即可）
【分析】（1）根据样本容量等于所有的频数和解答即可，列式 解答
即可；
（2）利用样本估计总体的思想列式解答即可；
（3）根据以上信息，针对该地区老年人的生活状况，选择一条解答即可．
本题考查了样本容量，样本估计总体，提出决策，熟练掌握样本容量，样本估计总体是解题的关键．
【详解】（1）解：根据样本容量等于所有的频数和，列式得：
（人），根据题意，得 （人），
故答案为：1200，660．
（2）解：根据题意，得该地区健康状况较差的老年人人口数为：
（人）．
故估计该地区健康状况较差的老年人人口数为7650人．
（3）解：根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量．
15．（本题8分）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额
（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为 ；成本 （万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所
示的抛物线的一部分，其中 是其顶点．
(1)求出成本 关于销售量x的函数解析式；
(2)当成本最低时，销售产品所获利润是多少？
(3)当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额 成本）
【答案】(1)
(2)销售产品所获利润是 万元；
(3)当销售量 吨时，获得最大利润，最大利润为： 万元；
【分析】（1）设抛物线为： ，再利用待定系数法求解即可；（2）先求解当 时，成本的最小值为 ，再计算销售额，从而可得答案；
（3）设销售利润为 万元，可得 ，再利用二次函数的性质解题即可；
【详解】（1）解：∵成本 （万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中
是其顶点．
∴设抛物线为： ，
把 代入可得： ，
解得： ，
∴抛物线为 ；
（2）解：∵ ，
∴当 时，成本最小值为 ，
∴ ，
∴销售产品所获利润是 （万元）；
（3）解：设销售利润为 万元，
∴
，
当 时，获得最大利润，最大利润为： （万元）；
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟
练的建立二次函数的关系式是解本题的关键．
16．（本题11分）如图，已知 是△ABC的外接圆， ．点D，E分别是 ， 的中点，连
接 并延长至点F，使 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)求证： 与 相切；
(3)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先证明 ， ，再证明 ，可得 ， ，再
进一步解答即可；
（2）如图，连接 ，证明 ，可得 过圆心，结合 ，证明 ，从而可得结论；
（3）如图，过 作 于 ，连接 ，设 ，则 ，可得 ，求解
，可得 ，求解 ，设 半径为 ，可得 ，
再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）证明：如图，连接 ，
∵ ， 为 中点，
∴ ，
∴ 过圆心，
∵ ，
∴ ，
而 为半径，
∴ 为 的切线；
（3）解：如图，过 作 于 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 半径为 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判
定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
17．（本题12分）综合与实践
如图1，在△ABC中， 是 的平分线， 的延长线交外角 的平分线于点 ．
【发现结论】
结论1： ___________ ；
结论2：当图1中 时，如图2所示，延长 交 于点 ，过点 作 的垂线交 于点 ，
交 的延长线于点 ．则 与 的数量关系是___________．
【应用结论】
（1）求证： ；
（2）在图2中连接 ， ，延长 交 于点 ，补全图形，求证： ．【答案】【发现结论】结论1： ；结论2：相等（或 ）；【应用结论】（1）见解析；（2）见
解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、
等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键．
[发现结论]结论1：根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出
1 1
∠AEB=∠MAE−∠ABE= ∠MAC− ∠ABC
2 2 ，即可得出 ；
结论2：根据已知 ，和结论1 ，得出 ，根据角平分线的定义得出
，进一步推出 ，利用 证明 ，即可得出 ；
∠AEH=∠GEF=90°
[应用结论]（1）根据过点 作 的垂线交 于点 ，得出 ，推出∠AHE=∠
GFE，结合结论2： ，利用 证明 ，即可证明 ；
∠AEG=∠FEH=90°
（2）连接 ， ，延长 交 于点 ，根据垂线的定义得出 ，由结论2得：
，由（1）过程得： ，根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出
∠NGH=∠EGA=45°
， ， ，根据对顶角相等得出 ，推出
，进一步得出∠NGH=∠NHG=45°，根据等角对等边得出
，
，即可证明 ．
【详解】解：[发现结论]结论1：
∵ 是 的平分线， 的延长线交外角 的平分线于点 ，∴ ， ，
1 1
∠AEB=∠MAE−∠ABE= ∠MAC− ∠ABC
∴ 2 2 ，
又∵∠ACB=∠MAC−∠ABC
∴ ，
故答案为： ；
结论2：
∵ ，由结论1得 ，
1
∠AEB= ×90°=45°
∴ 2
∵ 是 的平分线，过点 作 的垂线交 于点 ，
∴ ， ，
∴∠GEB=∠AEG−∠AEB=45°，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为：相等（或 ）；
[应用结论]（1）证明：∵过点 作 的垂线交 于点 ，
∴∠AEH=∠GEF=90°，
∴∠AHE=∠EAH=90°，
∵ ，
∴∠GFE=∠EAH=90°，
∴∠AHE=∠GFE
，又∵由结论2得： ，
∴在 和 中，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：如图，连接 ， ，延长 交 于点 ，
∵过点 作 的垂线交 于点 ，
180°−90°
∠EAG=∠EGA= =45°
∴ 2 ，
∵由结论2得： ，由（1）过程得： ，
∠GFE=∠EAH=90°
∴ ， ， ，
180°−90°
∠EFH=∠EHF= =45°
∴∠NGH=∠EGA=45°， 2
∠AFN=∠FAN=45°, ∠NGH=∠NHG=45°,
∴ ，，
∴ ， ，
∴ ．
18．（本题13分）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点，
与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使 有最大值？若
存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接 ，过点M作 交直线l于点N．若
，求点M的坐标．
【答案】(1)
(2) 存在最大值；最大值为
(3)点M的坐标为 或 或 或
【分析】（1）把 ， 代入抛物线求出a、b的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）先求出点C的坐标为 ，连接 、 、 ，根据轴对称的性质得出 ，
，得出当 最大时， 最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，
最大，即当点P在点 时， 最大，求出最大值即可；
（3）过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作 于点E，设点M的坐标为：
，得出 ， ，证明 ，得出
，从而得出 ，分四种情况：当 时，当 时，当 时，
当 时，分别求出点M的坐标即可．【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）解： 存在最大值；
把 代入 得： ，
∴点C的坐标为 ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
连接 、 、 ，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴ ，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时， 最大，即当点P在点 时， 最大，
∴ 最大值为： ．
（3）解：过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作 于点E，如图所示：∵ ，
∴ ，
∴ ，
设点M的坐标为： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，解得： （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
综上分析可知：点M坐标为： 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解
直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握
相关的判定和性质，注意进行分类讨论．
