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2025 年中考押题预测卷（内蒙古卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1.如果 与 互为倒数，则 的相反数等于（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【详解】解：∵ 与 互为倒数，
∴ ，
∴ 的相反数是 ．
故选：B．
2.已知不透明的袋子中装有20个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，若随机从袋子中摸出一个球，
记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在 附近，则袋子中的
红球大约有（ ）
A．80个 B．98个 C．100个 D．120个
【答案】A
【详解】解：设袋中红球有x个，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验： 是分式方程的解，
故袋中黑球有80个．
故选：A．
3.欹（ ）器，它是中国最早最神奇的实物座右铭，是古代一种倾斜易覆的盛水器，水少则倾，中则正，
满则覆，寓意“满招损，谦受益”．如图是一件欹器和它的主视图，其左视图为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意可得：其左视图为：
故选：C
4. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差
均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小
【答案】A
【详解】根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有高度一定小于等于原先的高
度，波动变小了，方差就变小，
∴平均数变小，方差变小。故选A。
5. 达芬奇曾发明过一个简易圆规．某数学兴趣学习小组在课后复刻了这一圆规（图 1）．其原理为如图
2：有两条互相垂直的卡槽，将一根木棒的两端A和B分别卡在卡槽中自由滑动，在木棒的中部P插有一只
记号笔，然后移动木棒的一端，另一端也随之移动．记号笔最终画出了一段圆弧．根据你所学知识，分析
“木棒作弧”所运用的数学原理是（ ）
A．直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三条边长度的平方
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半
D．直角三角形的两锐角互余
【答案】B
【详解】解：因为“木棒作弧”过程中弧上的点到两条互相垂直的卡槽交点距离相等，且木棒作为三角形
的斜边，记号笔在木棒的中点，所以运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
故选B.
6. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的
高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．当液体密度 时，浸在液体中的高度
B．当液体密度 时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度
D．当液体的密度 时，浸在液体中的高度
【答案】C【详解】解：设h关于 的函数解析式为 由条件可得k=20，
∴h关于p的函数解析式为 据此．逐项分析判断如下：
A.当液体密度 时.浸在液体中的高度h≤20cm，故该选项不正确．不符合题意：
B.当液体密度 时．浸在液体中的高度h=10cm，故该选项正确．符合题意：
C.当浸在液体中的高度0<h≤25cm时．该液体的密度p≥0.8g/cm²．故该选项正确．符合题意：
D.当液体的密度 时．浸在液体中的高度h≥5cm，错误.因为浸在液体中的高度不能无限大.
故不符合题意：故选：C.
7.如图，在菱形 中， ， ，点E是 的中点，以C为圆心， 为半径作弧，交
于点F，连接 、 、 ，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图：连接 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴△ABC为等边三角形，∵E为 的中点，
∴ ， ，
由勾股定理得： ，
同理可得： ，
∵ ， ，
∴∠BCD= ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
∴ ，
∴阴影部分的面积：
．
故选：A．
8.点 ， ， 均在抛物线 上，若 ，则 的值不可能是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【详解】解： 两点纵坐标相等，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
，即 ，
，
∴抛物线开口向上，
，
，
解得： ，
，
，
∴ 的值不可能是6．
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
9.若 是方程 的一个实数根，则 的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵ 是方程 的一个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
10.如图，函数 和 的图像交于点 ，则不等式 的解集是 ．【答案】 /
【详解】解：由图象可知函数 和 的图像交点 ，
∵ ，
∴ ，
观察图像得：当 时，函数 的图像位于函数 的图像的上方，
∴不等式 的解集是 ，即不等式 的解集是 ，
故答案为： ．
11.如图是为某公园滑梯的横截面图， 是台阶， 是一个平台， 是滑道，立柱 垂直于地
面 且高度相同， 与地面 的夹角为 ， 与地面 的夹角为 ．若 ，则滑道
的长度是 ．（参考数据： ）
【答案】
【详解】解：如图所示，过点G作 于H，
在 中， ，
∴ ；
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，在 中， ， ，
∴ ，
∴滑道 的长度是 ，
故答案为： ．
12.如图，∠ACB=∠DCE= ，AC=BC，DC=CE，EC的延长线交AD于点F，若BE⊥CF，BE=6，则CF的长为
_______。
【答案】3
【详解】解：过点A作AH⊥CF交CF的延长线于点H，如图所示：
∵△ABC和△DEC均是等腰直角三角形，
∴∠ACB= ，BC=CA， ，DE=CE，
∴∠2+∠3= ，
∵BE⊥CF，AH⊥CF，∴∠BEC=∠H= ，
∴∠1+∠3= ，
∴∠1=∠2
∴△BEC≌△CHA（AAS）
∴BE=CH=6，CE=AH，
∴AH=DE
∵∠H=∠DCF= ，∠AFH=∠DFC，
∴△AHF≌△DCF
∴HF=CF
∴CF= CH=3。
三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. （1）计算：
（2）先化简，再求值： ，其中x是不等式 的最小整数解
【详解】（1）解：
．
（2）解不等式得：x＞-2；
所以x的最小整数解为x=-1
把x=-1代入上式得：原式= .
14.从2025年春季学期开始，某省义务教育学校课间休息时间调整为不少于15分钟．某校为了落实“课间
十五分钟”，提升学生的综合素养，在课外活动中开设了四个项目：A．呼啦圈；B．青蛙跳；C．跳绳；
D．吹号鼓．为了解学生对每个项目的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不
完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
(1)本次共调查了____________名学生，抽查“C跳绳”___________人；
(2)跳绳项目所对应扇形的圆心角为___________度；
(3)吹号鼓项目中表现最好的4名同学由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，求刚好抽
到1名男生与1名女生的概率；
(4)为了增强学生的体质，请你向学校负责人提一条合理的建议．
【详解】（1）解：此次调查的学生人数为： (人)，
“ ”类兴趣课的人数为： (人)，
故答案为： ， ；
（2）解：“ ”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为： ，
故答案为： ；
（3）解：将 名女生记为 ， 名男生分别记为 ， ， ，画树状图如下：共有 种等可能的结果，其中刚好抽到 名男生与 名女生的结果有 种，
∴刚好抽到 名男生与 名女生的概率为 ；
（4）解：建议学校增加课外活动中项目
15.我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得
出秤钩上所挂物体的重量. 称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为 （厘米）时，秤钩所挂物重为
（斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据．
（厘
1 2 4 8
米）
0.7 1.0 1.5 2.
（斤
5 0 0 5
）
(1)在图2中先将表 ， 的数据通过描点的方法表示出来，再观察判断 ， 的函数关系并求出该函数关
系式，最后求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？
(2)已知这杆秤的可称物重最重是13斤，求秤砣到秤纽的最大水平距离．
【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图：
观察图象得 ， 的函数关系为一次函数，
设 的函数关系式 ，图象过 ， ，
∴ ，
解得 ， ，
，
验证：把 代入 ， ，
点 在这个函数图象上，
把 代入 得, ，
点 在这个函数图象上，
此函数是一次函数；
把 代入 ，
得 ，
杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是4.5斤；
（2）解：把 代入 ，
得， ．
秤砣到秤纽的最大水平距离50厘米．
16.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，
且∠CAB=2∠BCP．
（1）求证：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC=2 ，sin∠BCP= ，求点B到AC的距离；
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【详解】解：（1）∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，
∵点D在⊙O上，
∴直线CP是⊙O的切线；
（2）如图，作BF⊥AC
∵AB=AC，∠ANC=90°，
∴CN= CB= ，
∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP= ，
∴sin∠CAN= ，∴
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
设AF=x，则CF=5﹣x，
在Rt△ABF中， ，
在Rt△CBF中， ，
∴ ，
∴x=3，
∴ ,
∴BF=4，
即点B到AC的距离为4．
（3）在Rt△BCF中，CF=
∴AF=AC-CF=5-2=3，
∵BF∥CP，
∴ , ，
∴CP= ，BP=
∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．
17.如图①.点E为正方形ABCD内一点.∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE
（点A的对应点为点C）.延长AE交CE于点F.连接DE.
猜想证明：
(1)试判断四边形BEFE的形状.并说明理由；
(2）如图②.若DA=DE.请猜想线段CF与FE的数量关系并加以证明；
解决问题：
(3）如图①，若AB=15．EF=3，请直接写出DB的长.【详解】（1）四边形 是正方形，
理由：由旋转可知， ，
又∵ ，
∴
∴四边形 是矩形。
由旋转可知，
∴四边形 是正方形。
（2）证明：如图②，过点D作DH⊥AE，垂足为H，
则 ， ，
∵DA=DE，
∴
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=DA， ，∴△AEB≌△DHA，∴
由旋转可得： ，
∴ ，∴（3）
详解：由（1）知四边形 是正方形，
∴ ，由旋转得： ，
∵CF=3，
∴ ，在RT△ABE中， ，
即： ，解得：AE=12，或AE=-9（舍去）
如图①，作DH⊥AE于H点
∴ ，
∴△DAH∽△ABE
∴
∴DH=AE=12，
∴
∴HE=3，
∴DE=
18.如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．已知点 的坐标是 ，
抛物线的对称轴是直线 ．(1)直接写出点 的坐标；
(2)在对称轴上找一点 ，使 的值最小．求点 的坐标和 的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点 ，过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ．依题
意补全图形，当 的值最大时，求点 的坐标．
【详解】（1）解：∵点 关于对称轴的对称点为点 ，对称轴为直线 ，
∴点 为 ；
（2）当 时， ，
∴ ，
连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点 关于对称轴的对称点为点 ，
∴ ，
∴当 三点共线时， 的值最小，为 的长，
设直线 的解析式为： ，则： ，解得： ，
∴ ，
∵点 在抛物线的对称轴上，
∴ ；
∴点 ， 的最小值为 ；
（3）过点 作 轴，垂足为 ，连接 交 于点 ，如图所示，
∵ ，
设抛物线的解析式为： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则： ，
由（2）知：直线 ： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最大值，此时 ．
