文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（内蒙古卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C A C A B B
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共12分）
9．2
10．
11．70
12．15
二、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（1） ， ；（2） ．
【分析】（1）可利用配方法解一元二次方程；
（2）先求出每一个不等式的解集，再取它们的解集的公共部分即可得不等式组的解集．
本题主要考查了解一元二次方程和解不等式组，熟练掌握解一元二次方程的方法以及解不等式组的方法是
解题的关键．
【详解】（1）
，
，
，（4分）
，
， ，（5分）（2）
由①得： ，（2分）
由②得： ，（4分）
∴原不等式的解集为： ．（5分）
14．(1)估计事件A的概率为
(2)见解析
【分析】本题考查了概率公式，平均数使用．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）先求得每个共享单车停车区的平均使用次数，得到每天早高峰期间的共享单车总使用次数，据此求
解即可．
【详解】（1）解：由表格数据知，经过1号区的行人有60人，使用共享单车有3人，
则估计事件A的概率为 ；（3分）
（2）解：估计5个共享单车停车区每天早高峰期间的共享单车平均使用次数分别为：
， ， ， ， ，
所以每天早高峰期间的共享单车总使用次数估算为 次，（6分）
所以5个共享单车停车区180辆共享单车的投放方案为：
1号区投放共享单车 辆；
2号区投放共享单车 辆；
3号区投放共享单车 辆；
4号区投放共享单车 辆；
5号区投放共享单车 辆．（10分）
15．任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务2：①， ；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最
少，最少需要97200元．
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
（1）设乙部门每天能生成 个壮锦手提包，依题意，列式得 ，注意经检验 是方程
的解，即可作答．
（2）设甲部门工作 天，则乙部门的工作时间为 （天）．再依题意，得出
，解出 ，根据利润公式得出 ，运用一次函数的性质，进行分析作
答即可．
【详解】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；（3分）
任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包 个，乙部门工作时间可表示为
天，
故答案为： ， ；（5分）
②由题意得： ，
解得： ，
设该公司支付的总工资为y元，
由题意得： ，
，
随m的增大而减小，
当 时，y有最小值，
此时， ，答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要
97200元．（8分）
16．(1)详见解析
(2)18
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接 交 于点G，根据切线的性质可得 ，再根据直径所对的圆周角是直角可得
，然后利用等腰三角形的性质可得 ，从而可得 ，进而可得
，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得 ，再利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得
，从而可得 ，进而可得 ，然后证明 ，即可得到
，再利用线段的和差关系可得 ，然后利用平行线分线段成比例可得 ，解题即可．
【详解】（1）证明：连接 ，交 于点G，
∵ 与 相切于点E，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ；（5分）（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，（7分）
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，（9分）
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 的长为18．（11分）
17．（1）1；（2） ；（3）见解析；（4） ．【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性
质、折叠的性质、解直角三角形等知识，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．
（1）证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，得到答案；
（2）证明 ，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ，列出比例式，证明结论；
（4）过点 作 于点 ，连接 交 于点 ， 与 相交于点 ，根据正切的定义得到
，根据勾股定理分别求出 、 ，根据三角形的面积公式求出 ，计算即可．
【详解】（1）解：设 与 交于点 ，如图所示：
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
又∵ ，
，
在 和 中，
，
，
∴ ，即 ，（3分）
（2）设 与 交于点 ，如图所示：四边形 是矩形，
， ， ，
∴ ，
，
，
，
，
又∵ ，
，
，
，
，（6分）
（3）证明：过点 作 交 的延长线于点 ，如图所示：
，
，
四边形 为矩形，
， ，
又∵ ，
，
，
，
，，
；（9分）
（4）∵将 沿 翻折，点 落在点 处得 ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
过点 作 于点 ，连接 交 于点 ，如图所示：
， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，即 ，设 ，则 ，
，
，
或 （线段长的负值舍去），
， ，
，
，，
，
．（12分）
18．(1) ， ，
(2)
(3)存在， 或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求
解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式，令 ，求出不动点即可；
（2）当直线 和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线 和直线
只有一个交点，则直线 、 关于直线 设该直线和 轴的交点为 对称，则 是
的中点，即可求解；
（3）分当点 在抛物线内部和点 在抛物线外部，两种进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
∴ ，把 代入，得： ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
解得： 或 ，∴抛物线上“不动点”的坐标为： ， ；（4分）
（2）由题意，设“不动点”所在的直线表达式为： ，如图直线 ，
当直线 和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线 和直线
只有一个交点，
则直线 、 关于直线 设该直线和 轴的交点为 对称，则 是 的中点，
联立 和原抛物线得： ，
则 ，则 ，
∴直线 ，当 时， ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
把 代入 ，得： ；（8分）
（3）存在，理由：
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
则 ，即 为直角三角形，且 ，
，∴ ， ，
∴ ，
设点 ，
①当点 在抛物线内部时，过点 作 轴，交 轴于点 ，作 于点 ，
则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∵ 在抛物线上，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴点 ． （11分）
②当点 在抛物线外部时，同法可得： ，
∴ ，解得： 或 （舍去）；
∴ ；
综上： 或 ．（13分）
