文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（内蒙古卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B C D B B D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
9．a（a﹣b）
10．
11．
12．
三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（本题10分）
【详解】（1）解： ，
，
．(5分)
（2）解方程： ．
【详解】解： ，
去分母得： ，去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解．(10分)
14．（本题10分）
【详解】（1）解：根据样本容量等于所有的频数和，列式得：
（人），
根据题意，得 （人），
故答案为：1200，660．(4分)
（2）解：根据题意，得该地区健康状况较差的老年人人口数为：
（人）．
故估计该地区健康状况较差的老年人人口数为7650人．(7分)
（3）解：根据养老需求统计图可知，医疗服务需求占比大，因此建议提高本地区老年人的医疗服务质量．
(10分)
15．（本题8分）
【详解】（1）解：∵成本 （万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中
是其顶点．
∴设抛物线为： ，
把 代入可得： ，
解得： ，
∴抛物线为 ；（2分）
（2）解：∵ ，∴当 时，成本最小值为 ，
∴ ，
∴销售产品所获利润是 （万元）；（5分）
（3）解：设销售利润为 万元，
∴
，
当 时，获得最大利润，
最大利润为： （万元）．（8分）
16．（本题11分）
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；（3分）
（2）证明：如图，连接 ，
∵ ， 为 中点，
∴ ，∴ 过圆心，
∵ ，
∴ ，
而 为半径，
∴ 为 的切线；（7分）
（3）解：如图，过 作 于 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 半径为 ，∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．（11分）
17．（本题12分）综合与实践
如图1，在△ABC中， 是 的平分线， 的延长线交外角 的平分线于点 ．
【发现结论】
结论1： ___________ ；
结论2：当图1中 时，如图2所示，延长 交 于点 ，过点 作 的垂线交 于点 ，
交 的延长线于点 ．则 与 的数量关系是___________．
【应用结论】
（1）求证： ；
（2）在图2中连接 ， ，延长 交 于点 ，补全图形，求证： ．
【详解】解：[发现结论]结论1：
∵ 是 的平分线， 的延长线交外角 的平分线于点 ，
∴ ， ，
1 1
∠AEB=∠MAE−∠ABE= ∠MAC− ∠ABC
∴ 2 2 ，
又∵∠ACB=∠MAC−∠ABC
∴ ，
故答案为： ；（2分）结论2：
∵ ，由结论1得 ，
1
∠AEB= ×90°=45°
∴ 2
∵ 是 的平分线，过点 作 的垂线交 于点 ，
∴ ， ，
∴∠GEB=∠AEG−∠AEB=45°，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为：相等（或 ）；（4分）
[应用结论]（1）证明：∵过点 作 的垂线交 于点 ，
∴∠AEH=∠GEF=90°，
∴∠AHE=∠EAH=90°，
∵ ，
∴∠GFE=∠EAH=90°，
∴∠AHE=∠GFE，
又∵由结论2得： ，
∴在 和 中，
∴ ，
∴ ；（8分）
（2）证明：如图，连接 ， ，延长 交 于点 ，∵过点 作 的垂线交 于点 ，
180°−90°
∠EAG=∠EGA= =45°
∴ 2 ，
∵由结论2得： ，由（1）过程得： ，
∠GFE=∠EAH=90°
∴ ， ， ，
180°−90°
∠EFH=∠EHF= =45°
∴∠NGH=∠EGA=45°， 2
∠AFN=∠FAN=45°, ∠NGH=∠NHG=45°,
∴ ，，
∴ ， ，
∴ ．（12分）
18．（本题13分）在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 ， 两点，
与y轴交于C点，设抛物线的对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使 有最大值？若
存在，求出 的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接 ，过点M作 交直线l于点N．若，求点M的坐标．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；（3分）
（2）解： 存在最大值；
把 代入 得： ，
∴点C的坐标为 ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
连接 、 、 ，如图所示：
∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，
∴ ，
∴ ，
∴当 最大时， 最大，
∴当点A、C、P三点在同一直线上时， 最大，即当点P在点 时， 最大，
∴ 最大值为： ．（8分）（3）解：过点M作 轴，过点C作 于点D，过点N作 于点E，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设点M的坐标为： ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：，
解得： （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
当 时， ， ，则：
，
解得： ， （舍去），
此时点M坐标为： ；
综上分析可知：点M坐标为： 或 或 或 ．（13分）
