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2025 年中考第二次模拟考试（江苏淮安卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．2025的相反数是（ ）
1 1
A．﹣2025 B．− C．2025 D．
2025 2025
【分析】根据相反数的定义进行求解即可．
【解答】解：2025的相反数是﹣2025，
故选：A．
【点评】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0
是解题的关键．
2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是 21500000米．将数21500000用科学记数法
表示为（ ）
A．2.15×107 B．0.215×109 C．2.15×108 D．21.5×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：21500000＝2.15×107．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．a2+a3＝a5
C．a5﹣a4＝a D．（ab2）2＝a2b4
【分析】根据合并同类项法则；同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方，等于把积中的每一个
因式分别乘方，再把所得的幂相乘；对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项不符合题意；B、a2与a3不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
C、a5与a4不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
D、（ab2）2＝a2b4，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解
题的关键．
4．如图，索玛立方块是由丹麦数学家皮亚特•海恩发明的，它是由 7个不规则的积木单元，拼成一个
3×3×3的立方体，有400多种拼法，则下列四个积木单元中，俯视图面积最大的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据各个选项中的组合体的俯视图的大小进行判断即可．
【解答】解：选项A、B、C中的几何体的俯视图的面积均是3个平方单位，而选项D中的组合体的俯
视图的面积是4个平方单位，
故选：D．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法及形状是正确
判断的前提．
5．已知直线a∥b，将等边三角形ABC按如图方式放置，点B在直线b上，若∠2＝132°，则∠1的度数为
（ ）A．10° B．12° C．18° D．30°
【分析】根据对顶角求出∠3，根据平行线的性质得出∠4，根据等边三角形的性质得出∠1即可．
【解答】解：如图，
∵∠2＝132°，a∥b，
∴∠3＝∠2＝132°，∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣132°＝48°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠1＝60°﹣∠4＝60°﹣48°＝12°，
故选：B．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质及平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质和平行线的性质
是解题的关键．
6．如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝
1：2，则△ABC和△A′B′C′的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：3 C．1：9 D．4：9
【分析】根据题意求出OA：OA′＝1：3，根据相似三角形的性质求出CA：C′A′＝OA：OA′＝1：
3，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴CA：C′A′＝OA：OA′＝1：3，
则△ABC与△A′B′C′的面积之比为1：9．
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．
7．九章算术原文：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问人数、金价咨几
何？”译文：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合
伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，根据题意列方程组为（ ）
{400x+3400= y
A．
300x+100= y
{400x−3400= y
B．
300x+100= y
{300x+3400= y
C．
400x+100= y
{400x−3400= y
D．
300x−100= y
【分析】设合伙人数为x人，金价y钱，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出
100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设合伙人数为x人，金价y钱．
∵每人出钱400，会多出3400钱，
∴400x﹣3400＝y；
∵每人出钱300，会多出100钱，
∴300x﹣100＝y．
{400x−3400= y
联立两方程组成方程组得 ，
300x−100= y
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解
题的关键．1
8．如图，抛物线y = (x−3) 2+1与y =a(x+3) 2−1交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的
1 2 2
平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（5，3），则以下结论：
①两抛物线的顶点关于原点对称；
1
②a= ；
2
③PQ＝2；
④C（﹣7，3）．
其中正确结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】根据抛物线的解析式分别求得两个抛物线的顶点坐标，找到对称轴，然后根据抛物线的轴对称
性质和二次函数的性质解答．
1
【解答】解：①由抛物线y = (x−3) 2+1与y =a(x+3) 2−1知，两抛物线的顶点坐标分别是（3，
1 2 2
1），（﹣3，﹣1），则它们关于原点对称，故①结论正确．
②由于B（5，3），且点A与点B关于直线x＝3对称，所以A（1，3），
1
把A（1，3）代入y =a(x+3) 2−1得，3＝16a﹣1，解得a= ，故②结论不正确．
2 4
③由于A（1，3），且点A与点C关于直线x＝﹣3对称，所以C（﹣7，3），故④结论正确．
1 1 11 11 1 1 3 5
④由抛物线y = (x−3) 2+1= x2﹣3x+ 知，P（0， ）；由y = （x+3）2﹣1= x2+ x+ 知，
1 2 2 2 2 2 4 4 2 4
5 11 5 17
Q（0， ）．则PQ= − = ，故③结论不正确．
4 2 4 4
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，
解题时，充分利用了抛物线的轴对称性．第Ⅱ卷
二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相
应位置上）
1
9．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ＜ 2 ．
√2−x
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件即可得出答案．
【解答】解：由题意可得：2﹣x＞0，
∴x＜2，
∴x的取值范围是x＜2．
故答案为：x＜2．
【点评】本题考查了分式及二次根式有意义的条件，掌握分式及二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．如图，长方形的长、宽分别为a、b，且a比b大3，面积为7，则a2b﹣ab2的值为 2 1 ．
【分析】由题意可知，a﹣b＝3，ab＝7，再利用提取公因式法分解因式，进而把已知式子代入即可．
【解答】解：由题意可知，a﹣b＝3，ab＝7，
∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝7×3＝21，
故答案为：21．
【点评】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
1
11．已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x+3＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
3
【分析】根据二次方程的定义以及判别式的值＝0，构建方程求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x+3＝0有两个相等的实数根，
{ m≠0
∴ ，
4−12m=0
1
解得m= ．
3
1
故答案为： ．
3
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
12．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r＝2cm，扇形的圆
心角 ＝120°，则该圆锥的轴截面面积为 8√2 cm2．
θ
【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长，
然后利用勾股定理求得截面的高，从而利用三角形的面积公式求得答案即可．
【解答】解：圆锥的底面周长＝2 ×2＝4 cm，
120π×l π π
则： = 4 （cm），
180
π
解得l＝6．
∴圆锥的高为√62−22=4√2（cm），
1
∴截面的面积为 ×4×4√2=8√2（cm2），
2
故答案为：8√2．
【点评】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式
nπr
为： ．
180
13．如图，在平面直角坐标系中， P经过三点A（8，0），O（0，0），B（0，6），D是 P上的一动
⊙ ⊙
3√10
点．当点D到弦OB的距离最大时，sin∠BOD的值是 ．
10【分析】连接AB，过点P作PE⊥OB于E，延长EP交 P于点D，根据勾股定理求出AB，根据垂径定
理得到BE＝OE，再根据勾股定理求出PE，进而求出D⊙E，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接AB，过点P作PE⊥OB于E，延长EP交 P于点D，
此时点D到弦OB的距离最大， ⊙
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA＝8，OB＝6，
∵∠BOA＝90°，
∴AB为 P的直径，AB=√OA2+OB2=√82+62=10，
⊙
∵PE⊥OB，
1
∴BE＝OE= OB＝3，
2
∴PE=√PB2−BE2=√52−32=4，
∴DE＝4+5＝9，
∴OD=√OE2+DE2=√32+92=3√10，
DE 9 3√10
∴sin∠BOD= = = ，
OD 3√10 10
3√10
故答案为： ．
10
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、正弦的定义、勾股定理是解题的关键．
14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，过点A作AD⊥BC于点D，E为AB边的中点，连接DE，若AD＝
3，BC＝8，则DE的长为 2. 5 ．
1
【分析】根据等腰三角形的性质得到BD＝DC= BC＝4，根据勾股定理求出AC，再根据三角形中位线
2
定理计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝8，
1
∴BD＝DC= BC＝4，
2
由勾股定理得：AC=√AD2+CD2=√32+42=5，
∵BD＝DC，BE＝EA，
∴DE是△ABC的中位线，
1
∴DE= AC＝2.5，
2
故答案为：2.5．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是
解题的关键．
m
15．如图，正方形ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，0），点D在反比例函数y= 的图象上，B点在反比
x
2
例函数y= 的图象上，AB的中点E在y轴上，则m的值为 ﹣ 6 ．
xm 2
【分析】作DG⊥x轴，BF⊥x轴，设D(a， )，B(b， )，证△BFA≌△AGD得AG＝BF，DG＝
a b
AF即可求解．
【解答】解：作DG⊥x轴，BF⊥x轴，如图所示：
m 2
设D(a， )，B(b， )，
a b
∵AB的中点E在y轴上，
−1+b
∴ =0，
2
解得：b＝1，
∴B（1，2），
∵∠DAG+∠BAF＝∠DAG+∠ADG＝90°，
∴∠BAF＝∠ADG，
∵∠BFA＝∠AGD＝90°，AD＝AB，
∴△BFA≌△AGD（AAS），
∴AG＝BF，DG＝AF，
m
即：−1−a=2， =1−(−1)，
a
解得：a＝﹣3，m＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数与几何综合问题，涉及了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，
熟练掌握相关知识点是关键．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，AC，BD交于点O，M在边AD上，且DM＝2，DN⊥MC于N，连
6√5
接ON，则ON的长为 ．
5【分析】过A作AE⊥CM交CM的延长线于E，过O作OF⊥CM于F，先求出CM=2√10，证△DMN
√10
和△CMD相似得MN：DM＝DM：CM，由此得MN= ，证△AME和△CMD相似得EM：DM＝
5
2√10 6√10 12√10
AE：CD＝AM：CM，由此得EM= ，AE= ，则CE＝CM+EM= ，再证OF为△CAE
5 5 5
1 3√10 1 6√10 3√10
的中位线，则OF= AE= ，CF＝EF= CE= ，则FN＝EF﹣（EM+MN）= ，然后在
2 5 2 5 5
Rt△OFN中，由勾股定理即可求出ON的长．
【解答】解：过点A作AE⊥CM交CM的延长线于E，过点O作OF⊥CM于F，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，AB＝6，
∴AD＝CD＝AB＝6，∠ADC＝90°，
在Rt△CDM中，CD＝6，DM＝2，由勾股定理得：CM=√CD2+DM2=2√10，
∵DN⊥MC，
∴∠MND＝∠MDC＝90°，
又∵∠DMN＝∠CMD，
∴△DMN∽△CMD，
∴MN：DM＝DM：CM，
即MN：2=2：2√10，
√10
∴MN= ，
5
∵AE⊥CM，∠ADC＝90°，
∴∠E＝∠MDC＝90°，又∵∠AME＝∠CMD，
∴△AME∽△CMD，
∴EM：DM＝AE：CD＝AM：CM，
即EM：2=AE：6=4：2√10，
2√10 6√10
∴EM= ，AE= ，
5 5
2√10 12√10
∴CE＝CM+EM=2√10+ = ，
5 5
∵点O为正方形ABCD对角线的交点，
∴OC＝OA，
∵AE⊥CM，OF⊥CM，
∴AE∥OF，
∴OF为△CAE的中位线，
1 1 6√10 3√10 1 1 12√10 6√10
∴OF= AE= × = ，CF＝EF= CE= × = ，
2 2 5 5 2 2 5 5
6√10 2√10 √10 3√10
∴FN＝EF﹣（EM+MN）= −( + )= ，
5 5 5 5
3√10 3√10
在Rt△OFN中，FN= ，OF= ，
5 5
6√5
由勾股定理得：ON=√FN2+OF2= ．
5
【点评】此题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等，
理解正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，灵活利用勾股定理进行
计算是解决问题的关键．
三．解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤）
1
17．（10分）（1）计算：√4+(−2023) 0−( ) −1+|−2|)；
3
{
x+1＞0
（2）解不等式组 x−2 ．
x≤ +2
3
【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．1 −1
【解答】解：（1）√4+(−2023) 0−( ) +|−2|
3
＝2+1﹣3+2
＝2；
（2）解不等式x+1＞0得，x＞﹣1，
x−2
解不等式x≤ +2得，x≤2，
3
∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．
【点评】本题考查了实数的运算，求不等式组的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2m−2n 2mn−n2
18．（8分）化简求值： ÷(m− )，其中m＝3，n＝﹣1．
m m
【分析】根据分式的加减运算以及乘法运算进行化简，然后将m与n的值代入原式即可求出答案．
2(m−n) m2−2mn+n2
【解答】解：原式= ÷
m m
2(m−n) m
= •
m (m−n) 2
2
= ，
m−n
当m＝3，n＝﹣1时，
2
原式=
3−(−1)
1
= ．
2
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属
于基础题型．
19．（8分）在物理课上，同学们学习了“电学”知识之后，便可以设计一些简单的电路图．
（1）如图1所示的电路图中，三个开关并联成一个开关组A，闭合其中任何一个开关，则灯泡发亮是
C 事件A．随机
B．不可能
C．必然
D．确定性
（2）如图2，在图1的电路图中，新增一个开关组B，在A、B两个开关组中各闭合一个开关，用树状
图或列表法求小灯泡发亮的概率．
【分析】（1）根据事件的分类，进行判断即可；
（2）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）闭合其中任何一个开关，灯泡都会发光，
故灯泡发亮是必然事件；
故选C；
（2）在图1的电路图中，新增一个开关组B，在A、B两个开关组中各闭合一个开关，
列表如下：
S S S
1 2 3
S S ，S S ，S S ，S
4 4 1 4 2 4 3
S S ，S S ，S S ，S
5 5 1 5 2 5 3
S S ，S S ，S S ，S
6 6 1 6 2 6 3
共有9种等可能的结果，其中小灯泡发亮的结果有3种，
3 1
∴小灯泡发亮的概率为：P= = ．
9 3
【点评】本题考查事件的分类，列表法求概率，正确进行计算是解题关键．
20．（10分）为了解中学生的视力情况，某区卫健部门决定随机抽取本区部分初、高中学生进行调查，并
对他们的视力数据进行整理，得到如下统计表和统计图．
【整理描述】
初中学生视力情况统计表
视力 人数 百分比
0.6及以下 8 4%
0.7 16 8%
0.8 28 14%
0.9 34 17%
1.0 m 34%1.1及以上 46 n
合计 200 100%
（1）m＝ 6 8 ，n＝ 23% ；
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为 32 0 ；
（3）视力未达到1.0为视力不良，若该区有26000名中学生，估计该区有多少名中学生视力不良？并对
视力保护提出一新合理化建议．
【分析】（1）由总人数乘视力为1.0的百分比可得m的值，再由视力1.1及以上的人数除以总人数可得
n的值；
（2）由条形统计图中各数据之和可得答案；
（3）①选择视力的中位数进行比较即可得到小胡说法合理；
②由初中生总人数乘以样本中视力不良的百分比即可，根据自身体会提出合理化建议即可．
【解答】解：（1）m＝200×34%＝68，
n＝46÷200×100%＝23%，
故答案为：68，23%．
（2）被调查的高中学生视力情况的样本容量为14+44+60+82+65+55＝320，
故答案为：320．
200−(46+68)+320−(65+55)
（3）26000× =14300（名），
200+320
答：估计该区有14300名中学生视力不良，建议：学校可以多开展用眼知识的普及，规定时刻做眼保健
操（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是从频数分布表与频数分布直方图中获取信息，利用样本估计总体，理解题意，确
定合适的统计量解决问题是解本题的关键．21．（8分）如图，在 ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，连接EF，AC交于点O，求
证：OE＝OF． ▱
【分析】利用AAS证得△AEO≌△CFO后即可证得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
在△AEO和△CFO中，
{∠AOE=∠COF
∠AEO=∠CFO，
AE=CF
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是证得△AEO和
△CFO全等，难度不大．
22．（8分）已知A、B两地之间有一条长450km的公路，甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发1小时
后，乙车从A地出发，沿同路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回A地．两车之间的距离
y（km）与甲车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：
（1）甲车的速度是 7 5 km/h，乙车的速度是 12 5 km/h，m＝ 4 ；
（2）求相遇后，乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式；
（3）当甲、乙两车相距100km时，甲车的行驶路程．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以先计算出甲车的速度，再根据 2小时时两车相遇可
以计算出乙车的速度，然后根据乙车原路原速返回A地，可以写出m的值；（2）根据（1）中的结果，可以写出当x＝m时对应的y的值，从而可以求出乙车返回过程中，y与x之
间的函数关系式；
（3）将y＝100代入（2）中的函数解析式，求出相应的x的值，再根据路程＝速度×时间解答即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
甲车的速度为：75÷1＝75（km/h），
乙车的速度为：75×2.3÷（2.5﹣1）＝125（km/h），
m＝2.5+（2.5﹣1）＝2+1.5＝4，
故答案为：75，125，4；
（2）当x＝4时，y＝1.5×（75+125）＝300，
设两边相遇后，乙车在返回过程中，y与x的函数表达式为y＝kx+b，
{2.5k+b=0
把（2.5，0），（4，300）代入得： ，
4k+b=300
{ k=200
解得； ，
b=−500
∴y＝200x﹣500（2.5≤x≤4）；
（3）当y＝100时，100＝200x﹣500，
解得：x＝3，
3×75＝225（km），
∴甲车的行驶路程为：225km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取解答本题的信息是解题的关键，用到的数学思
想是数形结合的思想．
23．（8分）如图的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，线段AB、CD的端点A、B、C、D都在小正方
形的顶点上，请按要求画出图形．
（1）在图中画出一个等腰直角△ABE（点E在小正方形的顶点上）且∠A＝90°；
5 1
（2）在图中画出一个面积为 的△CDF（点F在小正方形的顶点上），且tan∠CFD= ；
2 2
（3）连接EF，直接写出线段EF的长 √17 ．【分析】（1）根据网格特点，结合勾股定理和全等三角形的性质画图即可；
（2）根据网格特点，结合三角形的面积公式和正切定义画图即可；
（3）根据网格特点，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图，等腰直角△ABE，∠A＝90°如图所示；
1
（2）如图，△CDF、tan∠CFD= 如图所求；
2
（3）由图知，EF=√42+12=√17，
故答案为：√17．
【点评】本题考查网格作图、等腰直角三角形的判定、正切定义、勾股定理，根据网格特点画图即可．
24．（8分）图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AC，CD可分别绕点A，C转动，测得CD＝
10cm，AC＝24cm．小明爸爸把支架调整到适合的位置，测得∠BAC＝60°，∠ACD＝55°．
（1）求点C到AB的距离；
（2）求点D到AB的距离．
（结果均保留一位小数，参考数据：√3≈1.732，sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，由锐角三角函数定义求出CE的长即可；
（2）过点D作DF⊥CE于点F，过点D作DG⊥AB于点G，则四边形DFEG是矩形，得EF＝DG，由
（1）可知，CE＝12√3cm，再由锐角三角函数定义求出CF的长，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，则∠CEA＝90°，
CE √3
在Rt△ACE中，sinA= =sin60°= ，
AC 2
√3 √3
∴CE= AC= ×24＝12√3（cm），
2 2
答：点C到AB的距离为12√3cm；
（2）如图2，过点D作DF⊥CE于点F，过点D作DG⊥AB于点G，
则四边形DFEG是矩形，
∴EF＝DG，
由（1）可知，CE＝12√3cm，∠ACE＝90°﹣∠BAC＝30°，
∵∠ACD＝55°，
∴∠DCE＝∠ACD﹣∠ACE＝25°，
在Rt△DCF中，CF＝CD•cos25°≈10×0.906＝9.06（cm），
∴EF＝CE﹣CF＝12√3−9.06≈11.7（cm），
∴DG＝EF＝11.7cm，
答：点D到AB的距离约为11.7cm．【点评】本题考查了解直角三角形的应用等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线构造
直角三角形是解题的关键．
25．（10分）如图，AB是 O的直径，C为AB延长线上一点，CD与 O相切于点E，连接OD，与 O
交于点F，连接AE，且∠⊙A＝∠D． ⊙ ⊙
（1）求证：点F是^AE的中点；
9√3 3π
（2）若∠A＝∠C， O的半径为3，则阴影部分的面积为 − ．
2 2
⊙
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到∠OED＝90°，求得∠D＝∠AEO，根据垂直的定义得到
AE⊥OD，根据垂径定理得到^AF=^EF，得到F是AE的中点；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠COE＝∠DOE，由（1）知，^AF=^EF，求得∠AOF＝∠DOE，得到
1
∠COE＝∠DOE＝∠AOD= ×180°=60°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
3
【解答】（1）证明：连接OE，
∵CD与 O相切于点E，
∴∠OED⊙＝90°，
∴∠D+∠DOE＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠A＝∠AEO，∴∠D＝∠AEO，
∴AEO+∴DOE＝90°，
∴AE⊥OD，
∴^AF=^EF，
∴F是AE的中点；
（2）解：∵∠A＝∠C，∠A＝∠D，
∴∠C＝∠D，
∴OC＝OD，
∵OE⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE，
由（1）知，^AF=^EF，
∴∠AOF＝∠DOE，
1
∴∠COE＝∠DOE＝∠AOD= ×180°=60°，
3
∵OE＝3，
∴DE=√3OE=3√3，
1 60π×32 9√3 3π
∴阴影部分的面积＝S△DOE ﹣S△扇形FOE =
2
×3×3√3−
360
=
2
−
2
．
9√3 3π
故答案为： − ．
2 2
【点评】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（12分）综合与探究：
如图，抛物线 y＝ax2+bx+6 与 x 轴交于 A（﹣2，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，直线
2
y= x−4与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴
3
的直线交DE于点N，连接MC，MD．
（1）求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．（2）当CM＝EN时，求点M的横坐标．
（3）G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形MDEG是正方形．若存在，请直接写出点G
的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点A（﹣2，0），B（4，0）代入函数y＝ax2+bx+6，得到二元一次方程组，求解a，b
2
的值，即可得到抛物线的函数表达式；把x＝0，y＝0分别代入y= x−4，即可得到点E，点D的坐标．
3
3 3
（2）设点M的横坐标为m，则点M的坐标为(m，− m2+ m+6)(0＜m＜4)，点N的坐标为
4 2
2
(m， m−4)．过点M作MP⊥y轴于点P，过点N作NQ⊥y轴于点Q，可证Rt△MCP≌Rt△NEQ，
3
得到CP＝EQ，∠MCP＝∠NEQ．①当点M在点C的上方时，四边形CENM为平行四边形，MN＝CE
3 3 2
＝10，得到− m2+ m+6−( m−4)=10，解方程可得m的值；②当点M在点C的下方时，CP＝
4 2 3
3 3 2
EQ，得到6−(− m2+ m+6)= m−4−(−4)，解方程可得m的值．综上可求得点M的横坐标．
4 2 3
（3）设MN与x轴交于点H，则当△MHD≌△DOE时，四边形MDEG是正方形，此时MH＝OD＝6，
DH＝OE＝4，则OH＝2，进而得到点M的坐标为（2，6），根据平移性质可得点G的坐标为（﹣4，
2）．
【解答】（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+6中，得，
{4a−2b+6=0
，
16a+4b+6=03
{a=−
4
解得 ，
3
b=
2
3 3
∴抛物线的函数表达式为y=− x2+ x+6．
4 2
2
把x＝0代入y= x−4中，得y＝﹣4，
3
∴E（0，﹣4），
2
把y＝0代入y= x−4中，得x＝6，
3
∴D（6，0）；
（2）设点M的横坐标为m，
3 3 2
∴点M的坐标为(m，− m2+ m+6)(0＜m＜4)，点N的坐标为(m， m−4)．
4 2 3
如图，过点M作MP⊥y轴于点P，过点N作NQ⊥y轴于点Q．
∵MN⊥x轴，
∴MN∥y轴，
∴PM＝NQ，
又∵CM＝EN，
∴Rt△MCP≌Rt△NEQ，
∴CP＝EQ，∠MCP＝∠NEQ．
如图1，当点M在点C的上方时，∵∠MCP＝∠NEQ，
∴MC∥EN，
∴四边形CENM为平行四边形，
∴MN＝CE＝10，
3 3 2
∴− m2+ m+6−( m−4)=10，
4 2 3
10
解得m ＝0（舍去），m = ．
1 2 9
如图2，当点M在点C的下方时，CP＝EQ，
3 3 2
∴6−(− m2+ m+6)= m−4−(−4)，
4 2 3
26
解得m ＝0（舍去），m = ．
1 2 9
10 26
综上所述，点M的横坐标为 或 ．
9 9
（3）存在，点G的坐标为（﹣4，2），如图3，设MN与x轴交于点H，
当△MHD≌△DOE时，四边形MDEG是正方形，
∴当MH＝OD，DH＝OE时，四边形MDEG是正方形，
∴MH＝OD＝6，DH＝OE＝4，
∴OH＝2，
3 3
把x＝2代入y=− x2+ x+6中，得y＝6，
4 2
∴点M的坐标为（2，6），
根据平移性质可得点G的坐标为（﹣4，2）．
【点评】本题考查待定系数法，坐标平面内两点间的距离，三角形全等的判定与性质，平行四边形及正
方形的判定与性质，正确作出辅助线，综合运用各个知识是解题的关键．
27．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，连接CE，将四边形ABCE沿直线CE折叠，点
A、B的对应点分别为点N、M，AD的延长线分别与MN、CM延长线交于点F、G．
（1）如图①，求证：EG＝CG；
（2）如图②，若F为MN的中点，求证：∠MDN＝90°；
DE
（3）如图③，在（2）的条件下，连接ND并延长，分别交CE、BC于点P、Q，求 的值．
CQ【分析】（1）可证得∠GEC＝∠BCE，∠BCE＝∠GCE，从而得出∠GEC＝∠GCE，从而得出结论；
（2）连接CF，可证得△CMF≌△CDF，从而DF＝FM，从而∠FDM＝∠FMD，可推出FN＝FD，从
而∠FNF＝∠FDN，进一步得出结论；
（3）连接CF，交DM于O，取AB的中点G，连接CG，EG，可推出EG＝EF，设DE＝x，DF＝FN＝
FM＝AG＝BG＝a，则EG＝EF＝DE+DF＝a+x，AE＝AD﹣DE＝2a﹣x，在Rt△AEG中，由勾股定理列
2
出a2+（2a﹣x）2＝（a+x）2，从而得出x= a，可推出四边形DQCF是平行四边形，从而CQ＝DF＝
3
a，进而得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠GEC＝∠BCE，
∵四边形ABCE沿直线CE折叠，
∴∠BCE＝∠GCE，
∴∠GEC＝∠GCE，
∴EG＝CG；
（2）证明：如图1，
连接CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠ADC＝∠CDF＝90°，BC＝CD，
∵四边形ABCE沿直线CE折叠，
∴CM＝BC，∠CMF＝∠B＝90°，
∴∠CMF＝∠CDDF＝90°，CM＝CD，
∵CF＝CF，
∴△CMF≌△CDF（HL），
∴DF＝FM，∴∠FDM＝∠FMD，
∵F是MN的中点，
∴FN＝FM，
∴FN＝FD，
∴∠FNF＝∠FDN，
∵∠FMD+∠FND+（∠FDN+∠FDM）＝180°，
∴2∠FDN+2∠FDM＝180°，
∴∠FDN+∠FDM＝90°，
∴∠MDN＝90°；
（3）解：如图2，连接CF，交DM于O，
设DF＝FN＝FM＝a，则CD＝CM＝BC＝MN＝2a，
设FG＝x，
∵∠GMF＝∠CDG＝90°，∠G＝∠G，
∴△GMF∽△GDC，
FG GM FM 1
∴ = = = ，
CG DG CD 2
∴CG＝2FG＝2x，
∴DG＝x+a，CG＝2x，CD＝2a，
在Rt△CDG中，CD2+DG2＝CG2，
∴（2a）2+（x+a）2＝（2x）2，
5
∴x＝﹣a（舍去）或x= a，
3
10 8
∴CG＝2x= a，DG＝x+a= a，
3 3
10
由（1）知，EG＝CG= a，
310 8 2
∴DE＝EG﹣DG= a− a= a，
3 3 3
∵CM＝CD，DF＝FM，
∴DM⊥CF，
∴∠FOM＝90°，
由（2）知，∠MDN＝90°，
∴∠MDN＝∠FOM，
∴CF∥DQ，
∵DF∥CB，
∴四边形DQCF是平行四边形，
∴CQ＝DF＝a，
DE 2
∴ = ．
CQ 3
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等
知识，解决问题的关键是灵活运用有关知识．
