文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（南京卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．计算|﹣2﹣3|的结果是（ ）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
1．A
【分析】先根据有理数的减法法则计算，再根据绝对值的性质化简即可．
【详解】|﹣2﹣3|＝|﹣2+（﹣3）|＝|﹣5|＝5，
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的减法，绝对值，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键．
2．某假期铁路南京站、南京南站共计发送旅客1610000人次，用科学记数法表示1610000是（ ）
A．0.161×107 B．1.61×107 C．1.61×106 D．16.1×105
2．C
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据
此即可求得答案．
【详解】1610000＝1.61×106，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．下列整数中，与√7最接近的是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．B
【分析】估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】∵4＜7＜9，
∴2＜√7＜3，
∵2.52＝6.25，
∴2.5＜√7＜3
∴√7更接近3．
故选：B．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．4．如图，BD是 O的直径，点C是弧BD的中点，弦AC与BD交于点P．若∠ADB＝62°，则∠CPD等
于（ ） ⊙
A．124° B．107° C．122° D．102°
4．B
【分析】由AB是 O的直径，可得∠BAD＝90°，由D为弧BD的中点，可得∠CAD＝∠BAC＝45°，由
∠C＝∠ADB＝62°⊙，再根据三角形外角定理得∠CPD＝∠CBD+∠C，即可得出答案．
【详解】∵AB是 O的直径，
∴∠BAD＝90°，⊙
∵点C是弧BD的中点，
∴^BC=C^D，
∴∠CAD＝∠BAC＝45°，
∴∠CBD＝∠CAD＝45°，
∵∠C＝∠ADB＝62°，
∴∠CPD＝∠CBD+∠C＝45°+62°＝107°．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系，熟练掌握圆周角定理，弧、弦，圆
心角之间的关系进行求解是解决本题的关键．
5．已知某函数图象经过点A（m﹣1，1）、B（m，1）和C（m+1，4），则其大致图象可能是（ ）
A． B．C． D．
5．C
2m−1
【分析】先根图象过点A（m﹣1，1）、B（m，1）可求出其对称轴为直线x= ，故可排除A、
2
B，再由C（m+1，4）在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，得出抛物线开口向上，由此可得出结论．
【详解】∵图象经过点A（m﹣1，1）、B（m，1），
2m−1
∴图象关于x= 对称，
2
∴可排除A、B．
∵m+1＞m，4＞1，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，
∴D错误，C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出抛物线的对称轴及增减性是解
答此题的关键．
6．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图中可以通过一次旋转与△ABF重合的三角形（△ABF自身除
外）的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．D
【分析】根据旋转的定义逐项进行判断即可．
【详解】将△BOD，即将△①绕着点B逆时针旋转到BO与BA重合时，△BOD就与△BAF重合；
将△FOD，即将△②绕着点F顺时针旋转到FO与FA重合时，△FOD就与△BAF重合；将△BOF，即将△③绕着BF的中点，逆时针旋转180°与△BAF重合；
将△BCD，即将△④绕着点O顺时针旋转到OB与OF重合时，△BCD就与△BAF重合；
将△FDE，即将△⑤绕着点O逆时针旋转到OF与OB重合时，△FDE就与△BAF重合；
即图中△①，△②，△③，△④，△⑤可以通过1次旋转与△ABF重合，
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质，正多边形和圆，理解旋转的性质是正确解答的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1
7．若式子x+ 有意义，则x的取值范围是 x ≠ 2 ．
x−2
7．x≠2．
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【详解】由题可知，
x﹣2≠0时式子有意义，
即x≠2．
故答案为：x≠2．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
8．计算√12×√6−√8的结果是 4√2 ．
8．4√2．
【分析】先算乘法，再化为最简二次根式，最后合并．
【详解】√12×√6−√8
=√12×6−2√2
＝6√2−2√2
＝4√2；
故答案为：4√2．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
√24
9．计算√18− 的结果是 √2 ．
√39．√2．
【分析】先算除法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式．
√24
【详解】原式＝3√2−
3
＝3√2−2√2
=√2；
故答案为：√2．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
x x−1 1
10．方程 = 的解是 x= ．
x−1 x+2 4
1
10．x= ．
4
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的
解．
x x−1
【详解】方程 = ，
x−1 x+2
去分母得：x2+2x＝x2﹣2x+1，
1
解得：x= ，
4
1
经检验x= 是分式方程的解．
4
1
故答案为：x= ．
4
【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
11．如图，点A、B、C、D在 O上，BO∥CD，∠A＝25°，则∠O＝ 13 0 °．
⊙
11．130
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．【详解】连接OC，
∵∠A＝25°，
∴∠BOC＝50°，
∵BO∥CD，
∴∠OCD＝50°，
∵OC＝OD，
∴∠COD＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠BOD＝80°+50°＝130°，
故答案为：130
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
12．如图，四边形ABCD是矩形，根据尺规作图痕迹，计算∠1的大小为 123 ° ．
12．123°．
【分析】由作图痕迹可知，所作为∠ABD的平分线和线段BD的垂直平分线．设∠ABD的平分线与AD
1
的交点为E，则∠ABE= ∠ABD．结合矩形的性质可得，∠A＝∠ABC＝90°，∠CBD＝∠ADB＝24°，
2
进而可得∠ABD＝66°，则∠ABE＝33°，根据∠1＝∠A+∠ABE可得答案．
【详解】由作图痕迹可知，所作为∠ABD的平分线和线段BD的垂直平分线．
设∠ABD的平分线与AD的交点为E，如图，1
则∠ABE= ∠ABD．
2
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADB＝24°，
∴∠ABD＝90°﹣24°＝66°，
1
∴∠ABE= ∠ABD=33°，
2
∴∠1＝∠A+∠ABE＝90°+33°＝123°．
故答案为：123°．
【点睛】本题考查作图—基本作图、矩形的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质，解题的关键是
理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
13．已知y是x的反比例函数，其部分对应值如表：
x … ﹣2 ﹣1 1 2 …
y … a b m n …
若a＜b，则m ＜ n．（填“＞”“＜”或“＝”）
13．＜．
【分析】根据反比例函数的变化性质判断即可．
【详解】∵﹣2＜﹣1，a＜b，
∴每个象限内，y随x的增大而增大，
∵1＜2，
∴m＜n．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3）绕点P逆时针旋转90°得到点B（3，1），则点P的坐标3 9
为 （ ， ） ．
2 2
3 9
14．（ ， ）．
2 2
【分析】根据题意画出示意图，再结合全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】如图所示，
由旋转可知，
PA＝PB，∠APB＝90°，
∴∠APM+∠BPN＝∠APM+∠PAM＝90°，
∴∠BPN＝∠PAM．
在△APM和△PBN中，
{∠AMP=∠PNB
∠BPN=∠PAM，
PA=PB
∴△APM≌△PBN（AAS），
∴PM＝BN，AM＝PN．
令点P的坐标为（m，n），
{n−3=3−m
∴ ，
m+2=n−13
{m=
2
解得 ，
9
n=
2
3 9
∴点P的坐标为（ ， ）．
2 2
3 9
故答案为：( ， )．
2 2
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，能根据题意画出示意图并熟知图形旋转的性质是解题的关键．
15．关于x的方程（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m（m＞1）的两根之和是 2 n ﹣ 2 ．
15．2n﹣2．
【分析】先设关于x的方程（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m的两根分别为：x ，x ，然后把关于x的方程化
1 2
成一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程根与系数的关系，求出答案即可．
【详解】设关于x的方程（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m的两根分别为：x ，x ，
1 2
（x﹣n）2+2（x﹣n）+2＝m，
x2﹣2nx+n2+2x﹣2n+2﹣m＝0，
x2+（2﹣2n）x+n2﹣2n+2﹣m＝0，
x +x ＝﹣（2﹣2n）＝2n﹣2，
1 2
故答案为：2n﹣2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把关于x的方程转化成一般形式．
3√2
16．二次函数y＝ax2+2x+3（a为常数，a≠0）的图象的顶点与原点O的距离的最小值为 ．
2
3√2
16． ．
2
1
【分析】利用顶点公式求得抛物线的顶点坐标，利用两点间距离公式可得到 OP2关于 的二次函数，利
a
用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．
【详解】∵y＝ax2+2x+3，
2 12a−22 1 1
∴顶点P为（− ， ），即（− ，3− ），
2a 4a a a
1 1 1 6 1 1 3 9
∴OP2＝（− ）2+（3− ）2＝（ ）2+9− +（ ）2＝2（ − ）2+ ，
a a a a a a 2 2
∵2＞0，1 3 9
∴当 = ，OP2有最小值 ，
a 2 2
√9 3√2
∴OP的最小值为： = ．
2 2
【点睛】本题考查二次函数的性质，勾股定理，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关
键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
a2−b2 b
17．（7分）先化简，再求值： ÷(1− )，其中a＝﹣2，b＝1．
ab a
a+b
17． ，﹣1．
b
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a、b的值代入计算可得．
(a+b)(a−b) a−b
【详解】原式= ÷
ab a
(a+b)(a−b) a
= •
ab a−b
a+b
= ，
b
当a＝﹣2，b＝1时，
−2+1
原式= =−1．
1
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
{
2(x+1)≥x
18．（7分）解不等式组 2x+1 x ，并写出不等式组的整数解．
− ＜1
3 2
18．﹣2≤x＜4，不等式组的整数解有﹣2，﹣1，0，1，2，3．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．
{
2(x+1)≥x①
【详解】 2x+1 x ，
− ＜1②
3 2
由①得x≥﹣2；
由②得x＜4，∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜4，
则不等式组的整数解有﹣2，﹣1，0，1，2，3．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及不等式组的整数解，熟练掌握不等式取解集的方法是解
本题的关键．
19．（8分）新“龟兔赛跑”故事
兔子和乌龟从同一起点同时出发，匀速奔向终点．
兔子的速度是乌龟速度的50倍
，一段时间后，兔子到达途中某处，睡了70min，醒来后，它保持原速奔跑，恰好和乌龟同时到达终点．
（1）设乌龟的速度为x m/min，其奔跑的时间为tmin，则由虚线框内的文字可知兔子的速度是 5 0 x
m/min，由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为 （ t ﹣ 7 0 ） min．
（2）求（1）中t的值．
19．（1）50x，（t﹣70）；
500
（2） ．
7
【分析】（1）由兔子的速度是乌龟速度的50倍，可得出兔子的速度是50x m/min，利用兔子奔跑的时
间＝乌龟奔跑的时间﹣70，即可用含t的代数式表示出兔子奔跑的时间；
（2）利用路程＝速度×时间，结合乌龟、兔子奔跑的路程相等，可列出关于 t的一元一次方程，解之即
可得出结论．
【详解】（1）设乌龟的速度为x m/min，其奔跑的时间为t min，则由虚线框内的文字可知兔子的速度
是50x m/min，
由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为（t﹣70）min．
故答案为：50x，（t﹣70）；
（2）根据题意得：x•t＝50x•（t﹣70），
即t＝50（t﹣70），
500
解得：t= ．
7
500
答：（1）中t的值为 ．
7
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系
用含x（t）代数式表示出兔子的速度（兔子奔跑的时间）；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方
程．
20．（8分）现有两个编号分别为1，2的抽屉及三个颜色分别为红、黄、蓝的小球，将每个小球随机放入一个抽屉中．
1
（1）红色小球放入编号为1的抽屉中的概率是 ．
2
（2）求三个小球放入编号相同的抽屉中的概率．
1
20．（1） ．
2
1
（2） ．
4
【分析】（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中红色小球放入编号为1的抽屉中的结果有1种，
利用概率公式可得答案．
（2）画树状图可得出所有等可能的结果数以及三个小球放入编号相同的抽屉中的结果数，再利用概率
公式可得出答案．
【详解】（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中红色小球放入编号为1的抽屉中的结果有1种，
1
∴红色小球放入编号为1的抽屉中的概率是 ．
2
1
故答案为： ．
2
（2）画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中三个小球放入编号相同的抽屉中的结果有2种，
2 1
∴三个小球放入编号相同的抽屉中的概率为 = ．
8 4
【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题
的关键．
21．（8分）某公司有A、B、C三种型号电动汽车出租，每辆车每天费用分别为300元、380元、500元．
阳阳打算从该公司租一辆汽车外出旅游一天，往返行程为210km，为了选择合适的型号，通过网络调查，
获得三种型号汽车充满电后的里程数据如图所示．（1）阳阳已经对B、C型号汽车数据统计如下表，请在下表中填写A型号汽车的平均里程、中位数、
众数．
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
A
B 216 215 220
C 225 227.5 227.5
（2）为了尽可能避免行程中充电耽误时间，又能经济实惠地用车，请你从相关统计量和符合行程要求
的百分比等进行分析，给出合理的用车型号建议．
21．（1）200，200，205；
（2）选择B型号汽车，见解析．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义即可求解；
（2）根据平均数、中位数、众数的意义，结合往返行程为 210km，三种型号电动汽车出租的每辆车每
天的费用即可作出判断．
【详解】（1）A型号汽车的平均里程为：
190×3+195×4+200×5+205×6+210×2
=200(km)，
3+4+5+6+2
20个数据按从小到大的顺序排列，第10，第11个数据均为200（km），
200+200
∴中位数为： =200(km)，
2
205km出现了六次，
∴众数为205km；
（2）选择B型号汽车，理由如下：
A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于210km，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选
择；
B、C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过 210km，其中B型号汽车有90%符合行程要求，很大程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车．
【点睛】本题考查了折线统计图，算术平均数、中位数和众数的定义，理解折线统计图，掌握相关定义
是解题的关键．
22．（8分）如图，已知矩形ABCD，点E，F分别在CB的延长线和AD的延长线上，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
7
（2）已知AB＝4，BC＝3．当BE的长为 时，四边形AECF是菱形．
6
22．（1）见解析过程；
7
（2） ．
6
【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，可得AF＝EC，可得结论；
（2）由菱形的性质可得AE＝EC，由勾股定理可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
（2）解：若四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC，
∵AE2＝AB2+EB2，
∴（BE+3）2＝16+BE2，
7
∴BE= ，
6
7
∴当BE的长为 时，四边形AECF是菱形．
6
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决
问题是解题的关键．
23．（8分）为测量某建筑物BC的高度，在坡脚A处测得顶端C的仰角∠CAB为45°，沿着倾斜角∠DAB为18°的斜坡AD前行30m到达D处，此时测得顶端C的仰角∠CDE为58°，求建筑物BC的高度．（参
考数据：sin18°≈0.30，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
23．建筑物BC的高度约为61m．
【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，根据题意可得：DG⊥CB，DF＝BG，
DG＝BF，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义求出DF和AF的长，再设DG＝BF＝x m，则
AB＝（28.5+x）m，最后分别在Rt△DCG和Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出CG和CB的长，
从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【详解】过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，
由题意得：DG⊥CB，DF＝BG，DG＝BF，
在Rt△ADF中，∠DAF＝18°，AD＝30m，
∴DF＝AD•sin18°≈30×0.30＝9（m），
AF＝AD•cos18°≈30×0.95＝28.5（m），
∴DF＝BG＝9m，
设DG＝BF＝x m，
∴AB＝AF+BF＝（28.5+x）m，
在Rt△DCG中，∠CDG＝58°，
∴CG＝DG•tan58°≈1.6x（m），
在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，∴CB＝AB•tan45°＝（28.5+x）m，
∵CG+BG＝CB，
∴1.6x+9＝28.5+x，
解得：x＝32.5，
∴BC＝1.6x+9＝61（m），
∴建筑物BC的高度约为61m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合
图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24．（8分）甲，乙两人沿同一直道从A地去B地．甲出发1km后乙出发，乙的速度是甲的2倍．在整个
行程中，甲离A地的距离y （km）与时间x（h）之间的函数关系如图所示．
1
（1）在图中画出乙离A地的距离y （km）与时间x（h）之间的函数图象；
2
（2）当乙到达B地时，甲离B地还有3km．求A，B两地之间的距离．
24．（1）见解答；
（2）8km．
【分析】（1）设甲的速度为v km/h，则乙的速度为2v km/h．分别写出y 、y 关于x的关系式，求出两
1 2
图象交点坐标，从而作出y 与x的图象即可；
2
（2）设A，B两地之间的距离为a km，将y ＝a代入y 与x之间的函数关系式，求出对应的x，即甲的
2 2
时间，再根据速度×时间＝路程列关于a的方程并求解即可．
【详解】（1）设甲的速度为v km/h，则乙的速度为2v km/h．
1
则y ＝vx，y ＝2v（x− ）＝2vx﹣2，
1 2 v
设两函数图象的交点坐标为（t，y），
{ vt= y
则 ，
2vt−2= y{ 2
t=
解得 v，
y=2
2
∴两函数图象的交点坐标为（ ，2）．
v
∴乙离A地的距离y （km）与时间x（h）之间的函数图象如下：
2
（2）设A，B两地之间的距离为a km，
根据题意，得2vx﹣2＝a，
a+2
解得x= ，
2v
a+2
v• +3＝a，
2v
解得a＝8．
答：A，B两地之间的距离为8km．
【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度、路程三者之间的数量关系是解题的关键．
25．（8分）如图，AC与BD相交于点E，连接AB，CD，CD＝DE．经过A，B，C三点的 O交BD于点
F，且CD是 O的切线． ⊙
（1）连接AF⊙，求证AF＝AB；
（2）求证AB2＝AE•AC；
16√15
（3）若AE＝2，EC＝6，BE＝4，则 O的半径为 ．
15
⊙25．（1）见解答；
（2）见解答；
16√15
（3） ．
15
【分析】（1）连接OC，OA交BF于点G，证明OA⊥BF，利用垂径定理即可得到结论；
（2）连接BC，证明△ABE∽△ACB，即可利用相似三角形的对应边成比例证出结论；
（3）连接CO，并延长交AB于点H，连接OB，BC，由△ABE﹣△ACB，对应边成比例求出CB，在
Rt△BCH中，由勾股定理求出CH，进一步求出OH，在Rt△AOH 中，利用勾股定理即可求出半径．
【详解】（1）证明：如图，连接OC，OA交BF于点G，
∵CD是 O的切线，
∴OC⊥C⊙D，
即∠OCD＝∠OCA+∠DCE＝90°，
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DEC＝∠AEG，
∴∠OAC+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝180°﹣（∠OAC+∠AEG）＝90°，
即OA⊥BF，
由垂径定理可得，OA垂直平分BF，
∴AF＝AB；
（2）证明：如图，连接BC，由（1）知，AF＝AB，
则∠AFB＝∠ABE，
又∠ACB＝∠AFB，
∴∠ABE＝∠ACB，
又∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
AB AE
∴ = ，即：AB2＝AE•AC；
AC AB
（3）解：如图，连接CO，并延长交AB于点H，连接OB，BC，
∵AE＝2，EC＝6，
则AC＝AE+EC＝8，
由（2）可知，AB2＝AE•AC＝16，
∴AB＝4＝BE，
由（2）知△ABE∽△ACB，
AB BE 4 4
则 = ，即 = ，
AC CB 8 CB
∴AC＝CB＝8，
又：OA＝OB，
∴CH垂直平分AB，
1
∴AH=BH= AB=2，
2
在Rt△BCH中，CH=√BC2−BH2=2√15，
设半径为r，则OA＝OC＝r，OH=CH−OC=2√15−r，
在Rt△AOH 中，
OH2+AH2＝OA2 即：(2√15−r) 2+22=r2，
16√15
解得r= ，
15
16√15
故答案为： ．
15
【点睛】本题综合考查圆的知识，解答中涉及圆的基本知识，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三
角形的判定和性质，勾股定理等，能综合运用相关知识解决问题是解题的关键．
26．（9分）点A（﹣1，y ）和点B（2，y ）在二次函数y＝x2+mx+n2（m，n是常数）的图象上．
1 2
（1）当y ＝y 时，求m的值；
1 2
（2）当y ＜2时，求证y ＞y ．
1 2 1
26．（1）m＝﹣1，（2）见详解．
【分析】（1）代入坐标得到y ＝1﹣m+n2，y ＝4+2m+n2，根据y ＝y ，列出方程解出m值即可；
1 2 1 2
（2）根据y ＝1﹣m+n2＜2得到2m＞2n2﹣2，代入y ，y ＝4+2m+n2＞4+2n2﹣2+n2＝2+3n2即可得以证
1 2 2
明．
【解答】（1）解：∵y ＝1﹣m+n2，y ＝4+2m+n2，且y ＝y ，
1 2 1 2
∴1﹣m+n2＝4+2m+n2，
∴m＝﹣1，
（2）证明：∵y ＜2，
1
∴y ＝1﹣m+n2＜2，
1
∴﹣m+n2＜1，
∴m＞n2﹣1，
∴2m＞2n2﹣2，
∴，y ＝4+2m+n2＞4+2n2﹣2+n2＝2+3n2，
2
∵n2≥0，
∴2+3n2≥2，
∴y ＞2+3n2≥2＞y ．
2 1
∴y ＞y ．
2 1【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键．
27．（9分）数学的思考
如图①，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（3，5），试在x轴正半轴上确定点P的位置，
使得∠APB最大，并求出此时点P的坐标．
数学的眼光
（1）如图①，请说明∠AP B＞∠AP B ；
1 2 1
数学的表达
（2）如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段AB的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及
AC＝PC，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程；
（3）如图③，延长线段BA交x轴于点D，连接BP、AP，当 C与DP相切时，通过求DP的长可得
到点P的坐标，请写出具体的过程； ⊙
（4）如图④，已知线段AB，用尺规在射线MN上作出点P，使得∠APB最大（保留作图痕迹，写出必
要的文字说明）．27．（1）说明见解答；
（2）(2√5−2，0)；
（3）(2√5−2，0)；
（4）图见解答．
【分析】（1）连接BD，根据外角的性质，得到∠ADB＝∠DBP +∠P ，即可解答．
2 2
（2）设点C（a，﹣a+5），求出AC，根据AC＝PC，列出等式，即可解答．
（3）连接PC并延长，交 C于点E，连接AE，证明△PDA∽△BDP，求出PO，即可解答．
（4）有三种作法，方法一⊙：根据第（3）问，可知c2＝a•b，则在图中构造c=√ab；方法二：思路如上，
构造位似图形；方法三：DP2＝DA•DB＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＝c2．
【详解】（1）如图，连接BD，
∴∠P ＝∠ADB
1
∵∠ADB是△BDP 的外角，
2
∴∠ADB＝∠DBP +∠P ，
2 2
∴∠ADB＞∠P ，
2
∴∠P ＞∠P ；
1 2
（2）直线l的表达式为y＝﹣x+5，
∵点C在直线l上，
设点C（a，﹣a+5），
∴AC=√a2+(−a+5−2) 2=√a2+(a−3) 2，PC＝﹣a+5．
∵AC＝PC，
∴√a2+(a−3) 2=−a+5，
∴a2+4a﹣16＝0，解得a =2√5−2，a =−2√5−2（不合题意，舍去），
1 2
∴P点坐标为(2√5−2，0)；
（3）连接PC并延长，交 C于点E，连接AE，如图，
⊙
∵PE是 C直径，
∴∠PAE⊙＝90°，
∴∠E+∠EPA＝90°，
∵ C与x轴相切于点P，
∴⊙PC⊥x轴，
∴∠APD+∠EPA＝90°，
∴∠E＝∠APD，
又∵∠E＝∠B，
∴∠APD＝∠B，
∵∠PDA＝∠BDP，
∴△PDA∽△BDP，
∴PD2＝DA•DB，
∵A（0，2）、B（3，5），
∴AD=2√2，BD=5√2，
∴PD2=DA⋅DB=2√2×5√2=20，即PD=2√5，
∴PO=PD−DO=2√5−2，
∴P点的坐标为(2√5−2，0)；
（4）提供三种作法如下：方法一：
根据第（3）问，可知c2＝a•b，则在图中构造c=√ab；
方法二：
思路如上，构造位似图形；
方法三：
DP2＝DA•DB＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＝c2．
【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查了垂径定理，作图，掌握垂径定理是解题的关键．
