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2025 年中考第二次模拟考试（南京卷）
数学·参考答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D B D C B A
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）
7．x≤5．
8．6.8×10﹣4．
9．x＝3．
10．﹣5．
11．2．
12．（9，3√3）．
13．78．
2√5
14． ．
5
15．3．
1
16． ．
2
三、解答题（本大题共11小题，共88分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
4x−1
17．（7分）【详解】解：x+2≥ ，
2
去分母，得2x+4≥4x﹣1，
移项，得2x﹣4x≥﹣1﹣4，
合并同类项，得﹣2x≥﹣5，
系数化为1，得x≤2.5，（5分）
在数轴上表示： ．（7分）
18．（7分）【详解】解：原式 2x+5−3(x+1) x−2
= ÷
(x−1)(x+1) (x−1) 2−(x−2) (x−1) 2
= ×
(x−1)(x+1) x−2
1−x
= ，（4分）
x+1
当x＝3时，
1−3 1
原式= =− ．（7分）
3+1 2
19．（8分）【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵点D为CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AED和△FEC中，
{∠ADE=∠FCE
DE=CE ，
∠AED=∠FEC
∴△AED≌△FEC（ASA），
∴AE＝FE，
又∵DE＝CE，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AC＝DF；（4分）
（2）由（1）可知，四边形ACFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝AF，
∴CD＝AF，
∴平行四边形ACFD为矩形．（8分）
20．（8分）【详解】解：（1）把歌手甲的专业评分从小到大排列，排在中间的两个数分别是 8、8，
8+8
故中位数为 =8；
2
歌手乙的专业评分中8出现的次数最多，故众数为8．
故答案为：8，8；（4分）1
（2）乙的大众评分的方差s乙 2= ×[4×（8﹣7）2+3×（7﹣7）2+2×（6﹣7）2+（5﹣7）2]＝1；（6
10
分）
8×7+6.8×3
（3）歌手甲的最终得分为： =7.64（分），
7+3
7.9×7+7×3
歌手乙的最终得分为： =7.63（分），
7+3
∵7.64＞7.63，
∴甲的得分更高．（8分）
21．（8分）【详解】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有2种，
2 1
∴两次摸出的球都是红球的概率为 = ．（4分）
12 6
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于（10分）的结果有8种，
8 1
∴甲，乙两位同学所得分数之和不低于（10分）的概率为 = ，
16 2
1
故答案为： ．（8分）
2
22．（8分）【详解】（1）解：如图，作线段BD的垂直平分线，分别交 AD，BC于点E，F，连接
BE，DF，
则菱形BEDF即为所求．证明：设EF与BD交于点O，
∵直线EF为线段BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，BE＝DE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE＝DE，
∴四边形BEDF是菱形．（4分）
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，
设BE＝DE＝DF＝BF＝x，
则AE＝AD﹣DE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE2＝AB2+AE2，
即x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴菱形BEDF的周长为4×5＝20．（8分）
23．（8分）【详解】解：如图：过点P作PF⊥AB，垂足为F，由题意得：PG∥AB，
∴∠PCA＝ ＝45°，∠A＝ ＝37°，∠B＝ ＝37°，
∴∠A＝∠Bγ＝37°， α β
∴PA＝PB，
∴AB＝2BF，（2分）
设CF＝x m，
∵BC＝196m，
∴BF＝BC+CF＝（x+196）m，
在Rt△CFP中，∠PCF＝45°，
∴PF＝CF•tan45°＝x（m），
在Rt△BPF中，PF＝BF•tan37°≈0.75（x+196）m，
∴x＝0.75（x+196），
解得：x＝588，（6分）
∴BF＝x+196＝784（m），
∴AB＝2BF＝1568（m），
∵AD＝352m，
∴DE＝AB﹣AD﹣BC﹣CE＝850（m），
∴DE的长约为850m．（8分）
24．（8分）【详解】解：（1）①∵函数y 和函数y 的图象交于点A（2，6），点B（4，n﹣2），
1 2
∴k＝2×6＝4×（n﹣2），解得：k＝12，n＝5．
12
②由①可知，反比例函数解析式为y= ，图象分布在第一、三象限，A（2，6），B（4，3）
x
∴y ＞y 时，x的取值范围为：0＜x＜2或x＞4．（4分）
1 2
（2）∵点C（8，m）在函数y 的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，
1
∴D（5，m﹣1），k
∵D恰好落在函数y = 图象上，
1
x
5
∴5（m﹣1）＝8m，解得m=− ．（8分）
3
25．（8分）【详解】（1）证明：∵ O的直径AF⊥BC，
∴^AB=^AE，
⊙
∴∠ADB＝∠AFE，
∵∠BAD＝∠AEF＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝∠EAF+∠AFE＝90°，
∴∠ABD＝∠EAF，
∴^AD=^EF；（4分）
（2）解：连接AE，BF，EF，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
设AD＝CD＝x，则AC＝2x，
∵^AB=^AE，
∴AB＝AE＝3，
∵∠BAD＝90°，
∴BD ，BC ，
=√AB2+AD2=√32+x2 =√AB2+AC2=√32+(2x) 2
∵∠C＝∠C，∠CAE＝∠CBD，
∴△ACE∽△BCD，
AE AC
∴ = ，
BD BC
∴ 3 2x ，
=
√32+x2 √32+(2x) 2
3√2
解得x= （负值舍去），
2
3√6
∴BD= ，
2
3√6
∴ O的半径为 ．（8分）
4
⊙26．（9分）【详解】解：（1）由题意，∵二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，
m），
−3+5
∴对称轴是直线x＝h= ．
2
∴h＝1．
故答案为：1．（3分）
（2）由题意，∵a＜0，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
由（1）对称轴是直线x＝1．
∵n＞2，
∴n﹣1＞2﹣1＝1．
又1﹣0＝1，
∴n﹣1＞1﹣0．
又（0，y ），（n，y ）是该函数图象上的两点，
1 2
∴y ＞y ．（6分）
1 2
（3）由题意，h＝1．
∴方程为a（x﹣1）2+4＝2a+5．
又a≠0，
1
∴（x﹣1）2＝2+ ≥0．
a
1
∴ ≥−2．
a
√ 1
∴x＝1± 2+ ．
a
∵方程有一个正根和一个负根，
√ 1
∴1− 2+ ＜0．
a√ 1
∴ 2+ ＞1．
a
1
∴2+ ＞1．
a
1
∴ ＞−1．
a
①若a＜0，
∴1＜﹣a．
∴a＜﹣1．
②若a＞0，
∴1＞﹣a．
∴a＞﹣1．
∴此时a＞0．
综上，a＜﹣1或a＞0．（9分）
27．（9分）【详解】解：（1）（Ⅰ）∵△ABC∽△AED，
AB AC
∴ = ，
AE AD
∴AC•AE＝AB•AD；（1分）
（Ⅱ）∵△ABC∽△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，∠B＝∠AED，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE＝∠CAD，∠AED+∠AEC＝180°，
∴∠B+∠AEC＝180°，
又∵∠B+∠AEC+∠BCD+∠BAE＝360°，
∴∠BCD+∠BAE＝180°，
∴∠BCD+∠CAD＝180°，
故答案为：∠BCD+∠CAD＝180°．（3分）
（2）∵∠BAC＝90°，∠DNE＝∠BAD＝45°，
∴∠NAE＝∠DAM＝45°，∠DAN＝45°+90°＝135°，
∵∠D+∠DNA＝180°﹣135°＝45°，∠DNA+∠ANE＝∠DNE＝45°，
∴∠D＝∠ANE，
∴△DMA∽△NEA，
MA DA
∴ = ，
AE NA1
∴MA⋅NA=DA⋅AE= DA2，
4
1 1 1 1 1 1
∴S = MA⋅NA= × DA2= × AB2= S ；（6分）
△AMN 2 2 4 2 4 4 △ABC
（3）具体作法分成两个步骤：第一步：如图①，确定点E的位置．
1
作∠CAE＝∠BAD，AE= AC，确定点E的位置．
2
第二步：如图②，确定点N的位置（∠DNE为定角，等于90°﹣∠BAD），作∠EDO＝∠BAD，射线
DO与DE的垂直平分线交于点O，以O为圆心，以OD长为半径作圆，交AC于点N，过点D、N作直
线l交AB于点M，即直线l即为所求．（9分）
