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2025 年中考第二次模拟考试（南京卷）
数学·参考答案
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分）
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C B B C D
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）
7．x≠2．
8．4√2．
9．√2．
1
10．x= ．11．130
4
12．123°．
13．＜．
3 9
14．（ ， ）．
2 2
15．2n﹣2．
3√2
16． ．
2
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(a+b)(a−b) a−b
17．（7分）【详解】原式= ÷
ab a
(a+b)(a−b) a
= •
ab a−b
a+b
= ，（4分）
b
当a＝﹣2，b＝1时，
−2+1
原式= =−1．（7分）
1
{
2(x+1)≥x①
18．（7分）【详解】 ，
2x+1 x
− ＜1②
3 2由①得x≥﹣2；
由②得x＜4，（4分）
∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜4，（6分）
则不等式组的整数解有﹣2，﹣1，0，1，2，3．（7分）
19．（8分）
【详解】（1）设乌龟的速度为x m/min，其奔跑的时间为t min，则由虚线框内的文字可知兔子的速度
是50x m/min，
由题中的两个“同时”可知兔子奔跑的时间为（t﹣70）min．
故答案为：50x，（t﹣70）；（4分）
（2）根据题意得：x•t＝50x•（t﹣70），
即t＝50（t﹣70），
500
解得：t= ．
7
500
答：（1）中t的值为 ．（8分）
7
20．（8分）【详解】（1）由题意知，共有2种等可能的结果，其中红色小球放入编号为1的抽屉中的
结果有1种，
1
∴红色小球放入编号为1的抽屉中的概率是 ．
2
1
故答案为： ．（4分）
2
（2）画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中三个小球放入编号相同的抽屉中的结果有2种，
2 1
∴三个小球放入编号相同的抽屉中的概率为 = ．（8分）
8 4
21．（8分）【详解】（1）A型号汽车的平均里程为：190×3+195×4+200×5+205×6+210×2
=200(km)，
3+4+5+6+2
20个数据按从小到大的顺序排列，第10，第11个数据均为200（km），
200+200
∴中位数为： =200(km)，
2
205km出现了六次，
∴众数为205km；（4分）
（2）选择B型号汽车，理由如下：
A型号汽车的平均里程、中位数和众数均低于210km，且只有10%的车辆能达到行程要求，故不建议选
择；
B、C型号汽车的平均里程、中位数和众数都超过 210km，其中B型号汽车有90%符合行程要求，很大
程度上可以避免行程中充电耽误时间，且B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故建议选择B型号汽车．
（8分）
22．（8分）【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，（4分）
（2）解：若四边形AECF是菱形，
∴AE＝EC，
∵AE2＝AB2+EB2，
∴（BE+3）2＝16+BE2，
7
∴BE= ，
6
7
∴当BE的长为 时，四边形AECF是菱形．（8分）
6
23．（8分）【详解】过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DE交CB于点G，由题意得：DG⊥CB，DF＝BG，DG＝BF，
在Rt△ADF中，∠DAF＝18°，AD＝30m，
∴DF＝AD•sin18°≈30×0.30＝9（m），
AF＝AD•cos18°≈30×0.95＝28.5（m），
∴DF＝BG＝9m，（4分）
设DG＝BF＝x m，
∴AB＝AF+BF＝（28.5+x）m，
在Rt△DCG中，∠CDG＝58°，
∴CG＝DG•tan58°≈1.6x（m），
在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，
∴CB＝AB•tan45°＝（28.5+x）m，
∵CG+BG＝CB，
∴1.6x+9＝28.5+x，
解得：x＝32.5，
∴BC＝1.6x+9＝61（m），
∴建筑物BC的高度约为61m．（8分）
24．（8分）【详解】（1）设甲的速度为v km/h，则乙的速度为2v km/h．
1
则y ＝vx，y ＝2v（x− ）＝2vx﹣2，
1 2
v
设两函数图象的交点坐标为（t，y），
{ vt= y
则 ，
2vt−2= y
{ 2
t=
解得 v，
y=22
∴两函数图象的交点坐标为（ ，2）．
v
∴乙离A地的距离y （km）与时间x（h）之间的函数图象如下：（4分）
2
（2）设A，B两地之间的距离为a km，
根据题意，得2vx﹣2＝a，
a+2
解得x= ，
2v
a+2
v• +3＝a，
2v
解得a＝8．
答：A，B两地之间的距离为8km．（8分）
25．（8分）【详解】（1）证明：如图，连接OC，OA交BF于点G，
∵CD是 O的切线，
∴OC⊥C⊙D，
即∠OCD＝∠OCA+∠DCE＝90°，
∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠DEC＝∠AEG，∴∠OAC+∠AEG＝90°，
∴∠AGE＝180°﹣（∠OAC+∠AEG）＝90°，
即OA⊥BF，
由垂径定理可得，OA垂直平分BF，
∴AF＝AB；（2分）
（2）证明：如图，连接BC，
由（1）知，AF＝AB，
则∠AFB＝∠ABE，
又∠ACB＝∠AFB，
∴∠ABE＝∠ACB，
又∵∠BAE＝∠CAB，
∴△ABE∽△ACB，
AB AE
∴ = ，即：AB2＝AE•AC；（4分）
AC AB
（3）解：如图，连接CO，并延长交AB于点H，连接OB，BC，
∵AE＝2，EC＝6，
则AC＝AE+EC＝8，
由（2）可知，AB2＝AE•AC＝16，
∴AB＝4＝BE，
由（2）知△ABE∽△ACB，AB BE 4 4
则 = ，即 = ，
AC CB 8 CB
∴AC＝CB＝8，
又：OA＝OB，
∴CH垂直平分AB，
1
∴AH=BH= AB=2，
2
在Rt△BCH中，
，
CH=√BC2−BH2=2√15
设半径为r，则OA＝OC＝r，OH=CH−OC=2√15−r，
在Rt△AOH 中，
OH2+AH2＝OA2 即： ，
(2√15−r) 2+22=r2
16√15
解得r= ，
15
16√15
故答案为： ．（8分）
15
26．（9分）【详解】（1）解：∵y ＝1﹣m+n2，y ＝4+2m+n2，且y ＝y ，
1 2 1 2
∴1﹣m+n2＝4+2m+n2，
∴m＝﹣1，（4分）
（2）证明：∵y ＜2，
1
∴y ＝1﹣m+n2＜2，
1
∴﹣m+n2＜1，
∴m＞n2﹣1，
∴2m＞2n2﹣2，
∴，y ＝4+2m+n2＞4+2n2﹣2+n2＝2+3n2，
2
∵n2≥0，
∴2+3n2≥2，
∴y ＞2+3n2≥2＞y ．
2 1
∴y ＞y ．（9分）
2 1
27．（9分）【详解】（1）如图，连接BD，∴∠P ＝∠ADB
1
∵∠ADB是△BDP 的外角，
2
∴∠ADB＝∠DBP +∠P ，
2 2
∴∠ADB＞∠P ，
2
∴∠P ＞∠P ；（2分）
1 2
（2）直线l的表达式为y＝﹣x+5，
∵点C在直线l上，
设点C（a，﹣a+5），
∴ ，PC＝﹣a+5．
AC=√a2+(−a+5−2) 2=√a2+(a−3) 2
∵AC＝PC，
∴ ，
√a2+(a−3) 2=−a+5
∴a2+4a﹣16＝0，
解得 ， （不合题意，舍去），
a =2√5−2 a =−2√5−2
1 2
∴P点坐标为(2√5−2，0)；（5分）
（3）连接PC并延长，交 C于点E，连接AE，如图，
⊙
∵PE是 C直径，
⊙∴∠PAE＝90°，
∴∠E+∠EPA＝90°，
∵ C与x轴相切于点P，
∴⊙PC⊥x轴，
∴∠APD+∠EPA＝90°，
∴∠E＝∠APD，
又∵∠E＝∠B，
∴∠APD＝∠B，
∵∠PDA＝∠BDP，
∴△PDA∽△BDP，
∴PD2＝DA•DB，
∵A（0，2）、B（3，5），
∴AD=2√2，BD=5√2，
∴PD2=DA⋅DB=2√2×5√2=20，即PD=2√5，
∴PO=PD−DO=2√5−2，
∴P点的坐标为(2√5−2，0)；（7分）
（4）提供三种作法如下：
方法一：
根据第（3）问，可知c2＝a•b，则在图中构造c=√ab；
方法二：思路如上，构造位似图形；
方法三：
DP2＝DA•DB＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2＝c2．（9分）
