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2025 年中考第二次模拟考试（南京卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．2的平方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．√2 D．±√2
1．D
【分析】根据a（a≥0）的平方根是±√a求出即可．
【详解】解：2的平方根是±√2，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
2．计算（﹣a2）3•a﹣3 的结果是（ ）
A．﹣a2 B．﹣a3 C．a2 D．a3
2．B
【分析】利用幂的乘方及同底数幂乘法法则计算即可．
【详解】解：原式＝（﹣a6）•a﹣3＝﹣a3，
故选：B．
【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．D
【分析】根据几何体的主视图是从正面所看到的图形进行判断即可得出答案．【详解】解：观察图形可知，用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查截一个几何体，几何体的主视图，理解主视图的概念是解答的关键．
4．如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），
则a﹣m+n的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
4．C
【分析】根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．
【详解】解：∵A（1，0）的对应点C的坐标为（﹣2，1），
∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1，
∵点B（4，m）的对应点为D（a，n），
∴4﹣3＝a，m+1＝n，
∴a＝1，﹣m+n＝1，
∴a﹣m+n＝1+1＝2．
故选：C．
【点睛】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵
坐标上移加，下移减是解题的关键．
k
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（m，n），B（m+4，n﹣2）是函数y= (k＞0，x＞0)
x
图象上的两点，过点B作x轴的垂线与射线OA交于点C．若BC＝8，则k的值为（ ）A．4 B．6 C．4√3 D．8
5．B
AD OD 3
【分析】作AD⊥x轴于点D，设直线CB与x轴交于点E，根据AD∥CE，得 = ，所以n= m，
CE OE 2
3 3 k
即可得到点点A(m， m)，B(m+4， m−2)，代入y= (k＞0，x＞0)即可求出答案．
2 2 x
【详解】解：如图，作AD⊥x轴于点D，设直线CB与x轴交于点E，
∵点A（m，n），B（m+4，n﹣2），BC＝8，
∴点D（m，0），E（m+4，0），CE＝n+6，
∵AD⊥x轴，CE⊥x轴，
∴AD∥CE，
∴△OAD∽△OCE，
AD OD
∴ = ，
CE OE
n m
∴ = ，
n+6 m+4
3
∴n= m，
2
3 3
∴点A(m， m)，B(m+4， m−2)，
2 2
k
∵点A，B是函数y= (k＞0，x＞0)图象上的两点，
x3 3
∴k=m⋅ m=(m+4)⋅( m−2)，
2 2
解得m＝2，
3
∴k=m⋅ m=6
2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根
AD OD 3
据AD∥CE，得 = ，求出n= m．
CE OE 2
6．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程a（y﹣1）2+b
（y﹣1）+c＝0的两根之积是（ ）
A．p+q+1 B．p﹣q+1 C．q﹣p+1 D．q﹣p﹣1
6．A
【分析】把方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于y﹣1的一元二次方程，则利用关于 x的方程
ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x ，x 得到y ＝x +1，y ＝x +1，然后利用根与系数的关系得到结论．
1 2 1 1 2 2
【详解】解：把方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0看作关于y+1的一元二次方程，
设关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x ，x ，
1 2
则方程a（y﹣1）2+b（y﹣1）+c＝0的两根为y ＝x +1，y ＝x +1，
1 1 2 2
∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为p，两根之积为q，
∴x +x ＝p，x x ＝q，
1 2 1 2
∴y y ＝（x +1）（x +1）＝x x +（x +x ）+1＝p+q+1．
1 2 1 2 1 2 1 2
故选：A．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x +x
1 2 1 2
b c
=− ，x x = ，利用换元的思想是解决问题的关键．
a 1 2 a
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．若式子x+√5−x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x ≤ 5 ．
7．x≤5．
【分析】二次根式有意义的条件即被开方数为非负数，据此即可求得答案．
【详解】解：由题意得5﹣x≥0，
解得：x≤5，故答案为：x≤5．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8．我国航空工业“沈飞”有一个年轻的钳工班组，他们创造0.00068毫米的加工公差，引领我国国产航空
器零部件加工的极限精度．用科学记数法表示0.00068是 6.8×1 0 ﹣ 4 ．
8．6.8×10﹣4．
【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据
此即可求得答案．
【详解】解：0.00068＝6.8×10﹣4，
故答案为：6.8×10﹣4．
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握其定义是解题的关键．
1 1
9．方程 = 的解是 x ＝ 3 ．
x+2 x2−4
9．x＝3．
【分析】方程两边都乘（x+2）（x﹣2）得出x﹣2＝1，求出方程的解，再进行检验即可．
1 1
=
【详解】解： ，
x+2 x2−4
方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x﹣2＝1，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以分式方程的解是x＝3．
故答案为：x＝3．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
−b+√b2−4ac −b−√b2−4ac
10．当a＝1，b＝m，c＝﹣15时，若代数式 的值为3，则代数式 的值为
2a 2a
﹣ 5 ．
10．﹣5．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得．
−b+√b2−4ac −b−√b2−4ac
【详解】解：∵一元二次方程为ax2+bx+c＝0的两个根为x = ，x = ，
1 2
2a 2a
−b+√b2−4ac −b−√b2−4ac c −15
∴x x = • = = =−15，
1 2
2a 2a a 1
−b+√b2−4ac
∵代数式 的值为3，
2a−b−√b2−4ac
∴代数式 的值为﹣5，
2a
故答案为：﹣5．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
11．已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图的圆心角的度数为120°，则圆锥的底面圆的半径为 2 ．
11．2．
【分析】根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为r，
120π×6
则2 r= ，
180
π
解得：r＝2，
即圆锥的底面圆的半径为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长
是解题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为（6，0），顶点B，C都在第一象限．若
∠B＝60°，则顶点B的坐标为 （ 9 ， 3√3） ．
12．（9，3√3）．
【分析】过点B作BD⊥OA于D，由菱形的性质和直角三角形的性质可求AD，BD，即可求解．
【详解】解：如图，过点B作BD⊥OA于D，
∵四边形OABC是菱形，点O（0，0），A（6，0），
∴OA＝AB＝6，AB∥OC，
∴∠BAD＝∠AOC＝60°，∵BD⊥OA，
∴∠ABD＝30°，
1
∴AD= AB＝3，BD=√3AD＝3√3，
2
∴DO＝9，
∴点D坐标为（9，3√3），
故答案为：（9，3√3）．
【点睛】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，求出AD，
BD的长是解题的关键．
13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠1＝72°，若∠3＝3∠2，则∠4＝ 7 8 °．
13．78．
【分析】利用等腰三角形性质和三角形内角和定理，求出∠4的度数．
【详解】解：设∠2＝x°，则∠3＝3∠2＝3x°，
∵AB＝AC，
180−72
∴∠ACB＝∠ABC= =54°，
2
∴∠ABD＝（54﹣x）°，
∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝（54﹣x）°，
∴∠ADC＝（54+2x）°，
∵AC＝AD，
∴∠4＝∠ADC＝（54+2x）°，
∵∠2+∠BCD+∠3＝180°，
∴x+54+54+2x+3x＝180，
6x＝72，
x＝12，∴∠4＝78°，
故答案为：78．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，通过列一元一次方程求出∠2的度数，从
而得到∠4的度数．
14．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在AD的延长线上，连接CE，点F是
2√5
CE的中点，连接OF交CD于点G．若DE＝1，OF＝1.5，则点C到DF的距离为 ．
5
2√5
14． ．
5
【分析】解法一：根据正方形的性质得到CO＝DO，∠ADC＝90°，求得∠CDE＝90°，根据直角三角形
1 1 1
的性质得到DF＝CF＝EF= CE，根据三角形中位线定理得到FG= DE= ，求得CD＝BC＝2，连接
2 2 2
DF，过点C作CM⊥DF交延长线于点M，根据相似三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
解法二：同理得FG的长，利用勾股定理计算DF的长，最后根据△CDF的面积列等式可得CM的长．
【详解】解：解法一：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴CO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∵点F是CE的中点，
1
∴DF＝CF＝EF= CE，
2
∴OF垂直平分CD，
∴CG＝DG，
1 1
∴FG= DE= ，
2 2
∵OF＝1.5，
∴OG＝1，∵BO＝DO，
∴BC＝2OG＝2，
∴CD＝BC＝2，
∴CE=√DE2+CD2=√12+22=√5．
连接DF，过点C作CM⊥DF交延长线于点M，
∴∠M＝∠CDE＝90°，
∵CF＝DF，
∴∠CDF＝∠DCE，
∴△CDM∽△ECD，
CM CD
∴ = ，
DE CE
CM 2
∴ = ，
1 √5
2√5
∴CM= ，
5
2√5
即点C到DF的距离为 ，
5
2√5
故答案为： ．
5
解法二：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴CO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝90°，
∵点F是AE的中点，
1
∴DF＝CF＝EF= CE，
2
∴OF垂直平分AD，
∴CG＝DG，1 1
∴FG= DE= ，
2 2
∵OF＝1.5，
∴OG＝1，
∵BO＝DO，
∴BC＝2OG＝2，
∴CD＝BC＝2，
∴DG＝1，
√ 1 √5
∴DF=√DG2+GF2= 12+( ) 2= ，
2 2
连接DF，过点C作CM⊥DF交延长线于点M，
∴∠M＝∠CDE＝90°，
1 1
∴S△CDF =
2
DF•CM =
2
CD•FG，
2√5
∴CM= ，
5
2√5
即点C到DF的距离为 ，
5
2√5
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形中位线
定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．如图，Rt△ABC内接于 O，∠ACB＝90°，点D在^AB上，AE⊥CD于点E．若∠1＝30°，BD＝6，则
CE的长为 3 ． ⊙15．3．
【分析】连接AD，∠ADB＝90°，∠ADB＝∠AEC，利用同弧所对的圆周角相等，∠ABD＝∠ACE，可
得三角形相似，再找到对应线段成比例即可求出．
【详解】解：连接AD．
∵∠ACB＝90°，若∠1＝30°，
1
∴AC= AB．
2
∵∠ACB＝90°，
∴AB是圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠ABD＝∠ACE，
∴△ADB∽△AEC，
DB AB
∴ = =2，
EC AC
∵BD＝6，
∴CE＝3．
故答案为：3．【点睛】本题考查了圆周角的性质，相似三角形的判定和性质．关键是添加适当的辅助线，构造相似．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝2，M、N分别是BC、AB边上的动点，且CM＝BN，
1
则线段MN的最小值为 ．
2
1
16． ．
2
【分析】先计算BC的长度，再设CM＝BN＝x，用x表示ND，MD的长度，即可算出MN的长度，通
过二次函数最值问题求出MN最小值．
【详解】解：过点N作ND⊥BC于点D，
∵∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝2，
∴BC＝1，
设CM＝BN＝x，
1 √3
∴BD= x，ND= x，
2 2
1 3
∴MD＝1﹣x− x=1− x，
2 2
∵MN2＝ND2+MD2，
√3 3 3 9 1 1
∴M N2=( x) 2+(1− x) 2= x2+1−3x+ x2=3x2﹣3x+1 =3(x− ) 2+ ，
2 2 4 4 2 4
1 1
∴当x= 时，MN2取得最小值 ，
2 41
∴MN的最小值为 ，
2
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，二次函数最值问题，求出三角形三边和利用二次函数求最
值是解题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
4x−1
17．（7分）解不等式x+2≥ ，并在数轴上表示解集．
2
17．x≤2.5．
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项，系数化为1解出解集，再在数
轴上表示即可．
4x−1
【详解】解：x+2≥ ，
2
去分母，得2x+4≥4x﹣1，
移项，得2x﹣4x≥﹣1﹣4，
合并同类项，得﹣2x≥﹣5，
系数化为1，得x≤2.5，
在数轴上表示： ．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力及在数轴上表示不等式的解集，严格遵循解不等式
的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
2x+5 3 x−2
18．（7分）化简( − )÷ ，从﹣1≤x＜4中选出你喜欢的整数值代入求值．
x2−1 x−1 x2−2x+1
1−x 1
18． ，− ．
x+1 2【分析】先对小括号里面的分式进行通分再相减；再根据完全平方公式将第二个分式的分母进行变形；
最后相乘进行约分、求值即可．
2x+5−3(x+1) x−2
【详解】解：原式 = ÷
(x−1)(x+1) (x−1) 2
−(x−2) (x−1) 2
= ×
(x−1)(x+1) x−2
1−x
= ，
x+1
当x＝3时，
1−3 1
原式= =− ．
3+1 2
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是运用分式的通分和约分来计算．
19．（8分）如图，在 ABCD中，点E是边CD的中点，延长BC，AE交于点F，连接AC，DF．
（1）求证：AC＝D▱F；
（2）若AB＝AF，求证：四边形ACFD为矩形．
19．（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【分析】（1）证明△AED≌△FEC（ASA），得AE＝FE，再证明四边形ACFD是平行四边形，然后由
平行四边形的性质即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，再证明CD＝AF，然后由矩形的判定即可得出结论．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵点D为CD的中点，
∴DE＝CE，
在△AED和△FEC中，{∠ADE=∠FCE
DE=CE ，
∠AED=∠FEC
∴△AED≌△FEC（ASA），
∴AE＝FE，
又∵DE＝CE，
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AC＝DF；
（2）由（1）可知，四边形ACFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵AB＝AF，
∴CD＝AF，
∴平行四边形ACFD为矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩
形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（8分）在某档歌唱比赛中，由10位专业评审和10位大众评审对甲、乙两位参赛歌手进行评分（单
位：分），10位专业评审的评分条形统计图如图①所示；10位大众评审的评分折线统计图如图②所示．
（1）填空：
歌手 专业评分 大众评分
平均数/分 中位数/分 众数/分 平均数/分 方差/分2
甲 8 8 8.9 6.8 3.36
乙 7.9 8 8 7 s乙 2（2）计算乙的大众评分的方差s乙 2；
（3）若将专业评分的平均分和大众评分的平均分按7：3的比例计算参赛歌手的最终得分，哪位选手的
得分更高？
20．（1）8，8；
（2）1；
（3）歌手甲的最终得分为7.64分，歌手乙的最终得分为7.63分，甲的得分更高．
【分析】（1）分别根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据方差的计算公式计算即可；
（3）根据加权平均数公式解答即可．
【详解】解：（1）把歌手甲的专业评分从小到大排列，排在中间的两个数分别是 8、8，故中位数为
8+8
= 8；
2
歌手乙的专业评分中8出现的次数最多，故众数为8．
故答案为：8，8；
1
（2）乙的大众评分的方差s乙 2=
10
×[4×（8﹣7）2+3×（7﹣7）2+2×（6﹣7）2+（5﹣7）2]＝1；
8×7+6.8×3
（3）歌手甲的最终得分为： =7.64（分），
7+3
7.9×7+7×3
歌手乙的最终得分为： = 7.63（分），
7+3
∵7.64＞7.63，
∴甲的得分更高．
【点睛】本题考查的是条形统计图、折线统计图、加权平均数、中位数、众数和方差．读懂统计图，从
不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
21．（8分）一个不透明的袋子中装有2个红球，1个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．
（1）从袋子中随机摸出1个球，不放回，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．
（2）从袋子中随机摸出1个球，摸出的是红球得6分，黄球得4分，白球得2分．甲同学从袋子中随机
摸出1个球，记下颜色后放回并摇匀，乙同学再随机摸出1个球．则甲，乙两位同学所得分数之和不低
1
于10分的概率是 ．
2
21．见试题解答内容
【分析】（1）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于 10分的结果有8
种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有2种，
2 1
∴两次摸出的球都是红球的概率为 = ．
12 6
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中甲，乙两位同学所得分数之和不低于（10分）的结果有8种，
8 1
∴甲，乙两位同学所得分数之和不低于（10分）的概率为 = ，
16 2
1
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了树状图法，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步
以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与
总情况数之比．
22．（8分）如图，已知矩形ABCD．
（1）用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF，使点E、F分别在AD、BC边上，（不写作法，保留作图痕
迹，并给出证明．）
（2）若AD＝8，AB＝4，求菱形BEDF的周长．22．（1）见解答．
（2）20．
【分析】（1）作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF，根据线段垂直平
分线的性质、矩形的性质、菱形的判定可知，菱形BEDF即为所求，即可得出答案．
（2）根据矩形的性质可得∠A＝90°，设BE＝DE＝DF＝BF＝x，则AE＝8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股
定理得，BE2＝AB2+AE2，代入求出x的值，进而可得答案．
【详解】（1）解：如图，作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F，连接BE，DF，
则菱形BEDF即为所求．
证明：设EF与BD交于点O，
∵直线EF为线段BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，BE＝DE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
∴△DOE≌△BOF（AAS），
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE＝DE，
∴四边形BEDF是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝90°，
设BE＝DE＝DF＝BF＝x，
则AE＝AD﹣DE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE2＝AB2+AE2，即x2＝42+（8﹣x）2，
解得x＝5，
∴菱形BEDF的周长为4×5＝20．
【点睛】本题考查作图—复杂作图、菱形的判定与性质、矩形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质、矩
形的性质是解答本题的关键．
23．（8分）如图，A，B，C为山脚两侧在同一条直线上的三个观测点，计划沿直线 AB开通穿山隧道
DE，其中AD＝352m，EC＝170m，CB＝196m．在山顶P处测得点A，B，C的俯角分别为 ＝ ＝37°，
＝45°，求DE的长． α β
γ（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
23．DE的长约为850m．
【分析】过点P作PF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：PG∥AB，从而可得∠PCA＝ ＝45°，∠A＝ ＝
37°，∠B＝ ＝37°，进而可得∠A＝∠B＝37°，再利用等角对等边可得PA＝PB，从而γ利用等腰三角形α的
三线合一性β质可得AB＝2BF，然后设CF＝x m，则BF＝（x+196）m，分别在Rt△CFP和Rt△BPF中，
利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而列出列出关于x的方程，进行计算可求出BF的长，最后求
出AB的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：如图：过点P作PF⊥AB，垂足为F，
由题意得：PG∥AB，
∴∠PCA＝ ＝45°，∠A＝ ＝37°，∠B＝ ＝37°，
∴∠A＝∠Bγ＝37°， α β
∴PA＝PB，∴AB＝2BF，
设CF＝x m，
∵BC＝196m，
∴BF＝BC+CF＝（x+196）m，
在Rt△CFP中，∠PCF＝45°，
∴PF＝CF•tan45°＝x（m），
在Rt△BPF中，PF＝BF•tan37°≈0.75（x+196）m，
∴x＝0.75（x+196），
解得：x＝588，
∴BF＝x+196＝784（m），
∴AB＝2BF＝1568（m），
∵AD＝352m，
∴DE＝AB﹣AD﹣BC﹣CE＝850（m），
∴DE的长约为850m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知
条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
k 3
24．（8分）已知函数y = （k是常数，k≠0），函数y =− x+9．
1 x 2 2
（1）若函数y 和函数y 的图象交于点A（2，6），点B（4，n﹣2）．
1 2
①求k，n的值．
②当y ＞y 时，直接写出x的取值范围．
1 2
（2）若点C（8，m）在函数y 的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，
1
点D恰好落在函数y 的图象上，求m的值．
1
5
24．（1）①k＝12，n＝5．②0＜x＜2或x＞4．（2）m=− ．
3
【分析】（1）①根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可；
②根据图形分布和解答横坐标直接写出不等式解集即可；
（2）先根据平移条件得到D（5，m﹣1），再根据反比例函数图象上点的坐标特征求出m值即可．
【详解】解：（1）①∵函数y 和函数y 的图象交于点A（2，6），点B（4，n﹣2），
1 2
∴k＝2×6＝4×（n﹣2），解得：k＝12，n＝5．
12
②由①可知，反比例函数解析式为y= ，图象分布在第一、三象限，A（2，6），B（4，3）
x∴y ＞y 时，x的取值范围为：0＜x＜2或x＞4．
1 2
（2）∵点C（8，m）在函数y 的图象上，点C先向下平移1个单位，再向左平移3个单位，得点D，
1
∴D（5，m﹣1），
k
∵D恰好落在函数y = 图象上，
1 x
5
∴5（m﹣1）＝8m，解得m=− ．
3
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是AC的中点，经过A，B，D三点的 O交BC于
点E， O的直径AF⊥BC． ⊙
（1）求⊙证：^AD=^EF，
（2）当AB＝3时，求 O的半径．
⊙
25．（1）见解析；
3√6
（2） O的半径为 ．
4
⊙
【分析】（1）根据垂径定理得到^AB=^AE，求得∠ADB＝∠AFE，根据余角的性质得到∠ABD＝
∠EAF，于是得到结论；
（2）设 AD＝CD＝x，则 AC＝2x，由^AB=^AE，得到 AB＝AE＝3，根据勾股定理得到 BD
=√AB2+AD2=√32+x2，BC=√AB2+AC2=√32+(2x) 2，根据相似三角形的判定和性质定理即可得
到结论．
【详解】（1）证明：∵ O的直径AF⊥BC，
∴^AB=^AE，
⊙
∴∠ADB＝∠AFE，
∵∠BAD＝∠AEF＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠ABD＝∠EAF，
∴^AD=^EF；
（2）解：连接AE，BF，EF，
∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
设AD＝CD＝x，则AC＝2x，
∵^AB=^AE，
∴AB＝AE＝3，
∵∠BAD＝90°，
∴BD=√AB2+AD2=√32+x2，BC=√AB2+AC2=√32+(2x) 2，
∵∠C＝∠C，∠CAE＝∠CBD，
∴△ACE∽△BCD，
AE AC
∴ = ，
BD BC
3 2x
=
∴ ，
√32+x2 √32+(2x) 2
3√2
解得x= （负值舍去），
2
3√6
∴BD= ，
2
3√6
∴ O的半径为 ．
4
⊙
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，垂径
定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
26．（9分）二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m）．
（1）h的值为 1 ；（2）若（0，y ），（n，y ）是该函数图象上的两点，当a＜0，n＞2时，试说明：y ＞y ；
1 2 1 2
（3）若关于x的方程a（x﹣h）2+4＝2a+5有一个正根和一个负根，直接写出a的取值范围．
26．（1）1；（2）理由见解析；（3）a＜﹣1或a＞0．
【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m），则对称轴
−3+5
是直线x＝h= ，进而可以判断得解；
2
（2）依据题意，由a＜0，故抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，结合（1）对称轴是直线x＝1，
又n＞2，从而n﹣1＞2﹣1＝1，故n﹣1＞1﹣0，又（0，y ），（n，y ）是该函数图象上的两点，故可
1 2
判断得解；
1 1
（3）依据题意，由h＝1，即方程为a（x﹣1）2+4＝2a+5，又a≠0，则（x﹣1）2＝2+ ≥0，从而 ≥−
a a
√ 1 √ 1 √ 1
2，又 x＝1± 2+ ，根据方程有一个正根和一个负根，从而 1− 2+ ＜0，故 2+ ＞1，求出
a a a
1
＞−1，再分类讨论即可判断得解．
a
【详解】解：（1）由题意，∵二次函数y＝a（x﹣h）2+4的图象过点（﹣3，m），（5，m），
−3+5
∴对称轴是直线x＝h= ．
2
∴h＝1．
故答案为：1．
（2）由题意，∵a＜0，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
由（1）对称轴是直线x＝1．
∵n＞2，
∴n﹣1＞2﹣1＝1．
又1﹣0＝1，
∴n﹣1＞1﹣0．
又（0，y ），（n，y ）是该函数图象上的两点，
1 2
∴y ＞y ．
1 2
（3）由题意，h＝1．
∴方程为a（x﹣1）2+4＝2a+5．又a≠0，
1
∴（x﹣1）2＝2+ ≥0．
a
1
∴ ≥−2．
a
√ 1
∴x＝1± 2+ ．
a
∵方程有一个正根和一个负根，
√ 1
∴1− 2+ ＜0．
a
√ 1
∴ 2+ ＞1．
a
1
∴2+ ＞1．
a
1
∴ ＞−1．
a
①若a＜0，
∴1＜﹣a．
∴a＜﹣1．
②若a＞0，
∴1＞﹣a．
∴a＞﹣1．
∴此时a＞0．
综上，a＜﹣1或a＞0．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
27．（9分）几何图形中，两条线段乘积关系的构造往往可以借助相似三角形的比例关系去关联…
【模型认识】
（1）如图①，在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AC，AE，△ABC∽△AED．
（Ⅰ）求证：AC•AE＝AB•AD；
（Ⅱ）∠BCD与∠CAD满足的数量关系为 ∠ BCD + ∠ CAD ＝ 180 ° ；
【初步理解】
（2）如图②，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在△ABC外，AD＝AB，连接DA并延长到1
点E，AE= AD，点N在AC上，DN交AB于点M，∠DNE＝∠BAD＝45°．
4
1
求证：S△AMN =
4
S
△ABC
．
【问题解决】
（3）如图③，在△ABC中，∠A＝90°，点D在△ABC外，D到A的距离等于AB．过点D作直线l，使
l分别交AB，AC于点M，N，且平分△ABC的面积．
（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
27．（1）（Ⅰ）证明见解答；
（Ⅱ）∠BCD+∠CAD＝180°；
（2）证明见解答；
（3）图见解答．
AB AC
【分析】（1）（Ⅰ）根据相似三角形的性质可得 = ，即可得出结论；
AE AD
（Ⅱ）根据相似三角形的性质可得∠BAC＝∠EAD，∠B＝∠AED，从而可得∠BAE＝∠CAD，
∠B+∠AEC＝180°，再根据四边形的内角和可得∠BCD+∠BAE＝180°，即可得出结论；
MA DA 1
（2）证明△DMA∽△NEA，可得 = ，即MA⋅NA= DA2 ，再根据三角形面积公式及AD＝
AE NA 4AB，即可得出结论；
1
（3）具体作法分成两个步骤：第一步：如图①，确定点E的位置．作∠CAE＝∠BAD，AE= AC，确
2
定点E的位置；第二步：如图②，确定点N的位置（∠DNE为定角，等于90°﹣∠BAD），作∠EDO
＝∠BAD，射线DO与DE的垂直平分线交于点O，以O为圆心，以OD长为半径作圆，交AC于点N，
过点D、N作直线l交AB于点M，即直线l即为所求．
【详解】解：（1）（Ⅰ）∵△ABC∽△AED，
AB AC
∴ = ，
AE AD
∴AC•AE＝AB•AD；
（Ⅱ）∵△ABC∽△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，∠B＝∠AED，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE＝∠CAD，∠AED+∠AEC＝180°，
∴∠B+∠AEC＝180°，
又∵∠B+∠AEC+∠BCD+∠BAE＝360°，
∴∠BCD+∠BAE＝180°，
∴∠BCD+∠CAD＝180°，
故答案为：∠BCD+∠CAD＝180°．
（2）∵∠BAC＝90°，∠DNE＝∠BAD＝45°，
∴∠NAE＝∠DAM＝45°，∠DAN＝45°+90°＝135°，
∵∠D+∠DNA＝180°﹣135°＝45°，∠DNA+∠ANE＝∠DNE＝45°，
∴∠D＝∠ANE，
∴△DMA∽△NEA，
MA DA
∴ = ，
AE NA
1
∴MA⋅NA=DA⋅AE= DA2 ，
4
1 1 1 1 1 1
∴S = MA⋅NA= × DA2= × AB2= S ；
△AMN 2 2 4 2 4 4 △ABC
（3）具体作法分成两个步骤：第一步：如图①，确定点E的位置．
1
作∠CAE＝∠BAD，AE= AC，确定点E的位置．
2
第二步：如图②，确定点N的位置（∠DNE为定角，等于90°﹣∠BAD），作∠EDO＝∠BAD，射线DO与DE的垂直平分线交于点O，以O为圆心，以OD长为半径作圆，交AC于点N，过点D、N作直
线l交AB于点M，即直线l即为所求．
【点睛】本题考查相似形的综合应用，主要考查尺规作图﹣垂直平分线及圆、相似三角形的判定与性质、
四边形的内角和，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
