文档内容
2025 年中考第二次模拟考试（浙江卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家．若收入50元记作+50元，则支出
23元记作（ ）
A．+23元 B．−23元 C．27元 D．−27元
【答案】B
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，若收入用正数表示，那么支出就用负数表示，据此求解即可．
【详解】解：收入50元记作+50元，则支出23元记作−23元，
故选：B．
2．下列计算正确的是（ ）
A．4x3−3x2=x B．(x+4)(x−4)=x2−4
C．3x3 ⋅2x5=5x8 D．(x2y) 2 =x4 y2
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，平方差公式，单项式乘以单项式，积的乘方．据此相关运算法则进行逐
项分析即可作答．
【详解】解：A、4x3−3x2=x2≠x，故该选项不符合题意；
B、(x+4)(x−4)=x2−16≠x2−4，故该选项不符合题意；
C、3x3 ⋅2x5=6x8≠5x8，故该选项不符合题意；
D、(x2y) 2 =x4 y2，故该选项符合题意；
故选：D．
3．截至2025年3月1日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2800万次，刷新
了我国自主量子算力服务规模记录．其中数据“2800万”用科学记数法表示为（ ）
A．2800×104 B．2800×105 C．2.8×107 D．2.8×108
【答案】C【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值
时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，
n是正数；当原数绝对值<1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法求解即可．
【详解】解：2800万=28000000=2.8×107，
故选：C．
4．如图是三叠硬币摆放在桌面上的俯视图，数字表示的是这一叠硬币的个数，则这三叠硬币的主视图是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯
视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视
图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
根据俯视图可知，主视图有2列，每列小正方形数目从左到右分别为3，4．据此可画出图形．
【详解】解：由俯视图可得主视图有2列，每列小正方形数目从左到右分别为3，4．
即主视图为： ．
故选：A．
5．为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高：
身高 17 18
176 180 182 185
(cm) 8 1
人数 1 2 3 2 1 1
下列说法正确的是（ ）
A．篮球队员身高的众数是185cm B．篮球队员的平均身高是180.1cm
C．篮球队员身高的中位数是180.5cm D．篮球队员身高的方差是3.2cm2
【答案】B
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法逐项分析即可．
【详解】A． ∵180cm出现的次数最多，
∴众数是180cm，故不正确；
1
B． 平均数=x= ×(176+178×2+180×3+181×2+182+185)=180.1cm，正确；
10
C． ∵从小到大排列后排在第5和第6位的是180cm，
∴中位数是180cm，故不正确；
D．
(176−180.1) 2+2(178−180.1) 2+3(180−180.1) 2+2(181−180.1) 2+(182−180.1) 2+(185−180.1) 2
s2= =5.49
10
故不正确．
故选B．
6．如图， 是原点， ，将 绕 逆时针旋转 得 ，则点 的坐标为（ ）
O A(1,√3) OA O 90° OC C
A． B． C． D．
(−1,√3) (−√3,1) (−2,1) (−1,2)
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识点，正确添加辅助线
构造全等三角形是解决此题的关键．如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，证出△COE≌△OAF，得出
， ，再由 的坐标为 ，即可得解．
CE=OF OE=AF A (1,√3)
【详解】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E．
∴∠CEO=∠AFO=90°，∵将OA绕O逆时针旋转90°得OC，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOF=90°，∠AOF+∠OAF=90°，
∴∠COE=∠OAF，
∴△COE≌△OAF(AAS)，
∴CE=OF，OE=AF，
∵ 的坐标为 ，
A (1,√3)
∴CE=OF=1，OE=AF=√3，
∴点 坐标 ，
C (−√3,1)
故选：B．
7．把不等式组¿的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式组
的解法是解题关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将
不等式组的解集表示在数轴上即可得．
【详解】解：¿，
解不等式①得：x>−1，
解不等式②得：x≤2，
则不等式组的解集为−10，则a的取值范围
1 2 x 1 2
为（ ）
A．a<0 B．a<−2 C．−20
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的同一分支
上时；②当点（a，y1）、（a＋2，y2）在图象的两支上时，分别求解即可．【详解】解：∵|k|+1>0，
∴图像在一、三象限，在反比例函数图像的每一支上，y随x的增大而减小，
∵ y −y >0，
1 2
∴ y1＞y2，
①当点（a，y1）、（a＋2，y2）在同一象限时，
∵y1＞y2，
i.当在第一象限时，
∴00；
ii.当在第三象限时，
∴a0；
②当点（a，y1）、（a＋2，y2）不在同一象限时，
∵y1＞y2，
∴a＞0，a＋2＜0，此不等式组无解，
因此，本题a的取值范围为a<−2或a>0，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当反比例函数k的正负对增减性的影响，当k<0
时，在图象的每一支上，y随x的增大而增大；当k>0时，在图象的每一支上，y随x的增大而减小．
10．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连结DH并延
DH
长交AB于点K，若DF平分∠CDK，则 =（ ）
HK
2√3 6 4√5
A． B． C．√5−1 D．
3 5 7
【答案】C
【分析】过点K作KM⊥AH，设DE=a，AE=b，先证得∠KHA=∠KAH，可得KH=KA，再证HE DE b−a a √5+1
△EHD~△EDA，可得 = ，即 = ，解出b= a，再证△HED∼△HMK，列比例式求
DE AE a b 2
解即可．
【详解】解：过点K作KM⊥AH，设DE=a，AE=b，
∵DF平分∠CDK，
∴∠CDF=∠EDH，
∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， 得到正方形ABCD与正方形EFGH，
∴∠CDF=∠ABH，DE=AH，∠DEA=∠EHB，
∴DF∥HB，
∴∠EDH=∠BHK，
∴∠KBH=∠KHB，
∴KH=KB，
∵∠AHB=90°，
∴∠KBH+∠KAH=90°，∠KHB+∠KHA=90°，
∴∠KHA=∠KAH，
∴KH=KA，
1 1
∴HM= AH= a，
2 2
∵∠HED=∠DEA，∠HDE=∠EAD，
∴△EHD∽△EDA，
HE DE
∴ = ，
DE AE
b−a a
即 = ，
a b
√5+1
解得：b= a，
2
∵DE∥KM
∴△HED∼△HMK，√5+1
a−a
DH EH b−a 2
∴ = = = =√5−1，
HK HM 1 1
a a
2 2
故选：C
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．2022的相反数的倒数是 ．
1
【答案】−
2022
【分析】本题考查了相反数和倒数，根据相反数和倒数的定义解答即可．
1
【详解】解：2022的相反数是−2022，−2022的倒数是− ．
2022
1
故答案为：− ．
2022
1+x
12．若分式 的值为2，则x= ．
x−4
【答案】9
【分析】本题主要考查解分式方程，根据题意得分式方程，再求解方程即可．
1+x
【详解】解：根据题意可得： =2，
x−4
解得，x=9，
经检验：x=9是原方程的解,
故答案为：9．
13．有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是 ．
3
【答案】
10
【分析】本题主要考查了概率公式，三角形构成条件，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进
行求解即可．【详解】解：所有情况有：2,4,6;2,4,8;2,4,10;2,6,8;2,6,10;2,8,10;4,6,8;4,6,10;4,8,10;6,8,10;
共10种，
其中能构成三角形的有：4,6,8;6,8,10;4,8,10;共3种；
3
故P= ．
10
3
故答案为： ．
10
14．如图，AB、AC是⊙O切线，B、C是切点，点P是B´C上一点，且∠BPC=110°，则∠A=
°．
【答案】40
【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．根据切线的性
质得到OB⊥AB，OC⊥AC，利用圆周角定理计算∠BOC的度数．再利用四边形的内角和计算出
∠A=40°．
【详解】解：连接OB,OC，在优弧B´C上取点G，连接GB,GC，
∵AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，
∴OB⊥AB，OC⊥AC，
∴∠OBA=∠OCA=90°，
∵∠BPC=110°，
∴∠BGC=70°
∴∠BOC=140°
∴∠A=360°−∠OCA−∠OBA−∠BOC=360°−90°−90°−140°=40°，
故答案为：40．
15．如图，在△ABC中，D在AB上，E在AC上，AC=AD，CE=BD，连接BE、CD交于点F，∠CFE=45°，S =1，则BE的长为 ．
△BCD
【答案】2√2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质．过点E作EH⊥CD于点
H，过点B作BM⊥CD于点M，根据等腰三角形的性质可得∠BDM=∠ACD，根据AAS可证
△BDM≌△ECH，可得HE=BM，CH=DM，再根据AAS可证△HEF≌△MBF，可得HF=FM，
BF=EF，根据等腰三角形的判定可得BM=FM，即可得CD=2BM，根据三角形面积公式可求BM的长，
根据勾股定理可求BF的长，即可求BE的长．
【详解】解：如图，过点E作EH⊥CD于点H，过点B作BM⊥CD于点M，
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠ADC=∠BDM，
∴∠BDM=∠ACD，又CE=BD，∠CHE=∠BMD=90°，
∴△BDM≌△ECH(AAS)，
∴HE=BM，CH=DM，
∵HE=BM，∠EHF=∠BMF，∠BFM=∠HFE=45°，
∴△HEF≌△MBF(AAS)，
∴HF=FM，BF=EF，
∵∠BFM=45°，BM⊥CD，
∴∠BFM=45°=∠FBM，
∴BM=FM，
∵CD=CF+DF=CH+HF+DF=HF+DF+DM=HF+FM=2FM，
∴CD=2BM，
∵S =1，
△BCD1
∴ ×CD×BM=1，
2
∴BM=1=FM，
在Rt△BFM中，BF=√BM2+FM2=√2，
∴BE=BF+EF=2√2．
故答案为：2√2．
16．如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与x轴交于A、B两点，与轴的正半轴交于点C，对称轴是直线
1
x=−1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①abc>0；②2a−b=0；③若OA=OC，则OB=− ；④
a
不论m取任何实数，均有a−b>am2+bm．其中正确的有 ．
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了二次函数与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征及抛物线与x轴的交点，
根据所给函数图像，得出a，b，c的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可．
熟知二次函数的图像与性质是解题的关键．
【详解】解：由所给图像可知，
a<0，b<0，c>0，
所以abc>0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，
b
所以− =−1，
2a
则2a−b=0．
故②正确．
因为点C坐标为(0,c)，由OA=OC得，OA=c，
所以点A的坐标为(−c,0)，
则ac2−bc+c=0，
所以ac−b+1=0．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，且点A坐标为(−c,0)，
所以点B的坐标为(c−2,0)．
由ac−b+1=0得，
b−1 2a−1 1
c= = =2− ，
a a a
1 1
所以OB=c−2=2− −2=− ．
a a
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线x=−1，且开口向下，
所以当x=−1时，二次函数有最大值a−b+c，
即对于抛物线上的任意一点（横坐标为m)，总有a−b+c≥am2+bm+c，即a−b≥am2+bm．
故④错误．
故答案为：①②③．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：|√3−7|−3tan60°+ ( − 1) −3 +(π+2024) 0
2
（2）分解因式：−9x3y+6x2y−xy
【答案】（1）−4√3；（2）−xy(3x−1) 2
【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，因式分解：
（1）先化简各数，再进行加减运算即可；
（2）先提公因式，再用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：（1）原式=7−√3−3×√3−8+1
=−4√3；
（2）解：原式=−xy(9x2−6x+1)
=−xy(3x−1) 2．18．（8分）解方程．
(1)¿
(2)x2−6x=8
【答案】(1)¿
(2)x =3+√17,x =3−√17
1 2
【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）直接利用加减消元法解方程组即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）¿，
①×3，得9x−6 y=27③，
②×2，得4x+6 y=38④，
③+④，得13x=65，
解得x=5，
把x=5代入①，得15−2y=19，
解得y=3，
所以，原方程组的解为¿；
（2）x2−6x=8
x2−6x+9=8+9，
(x−3) 2=17，
x−3=±√17，
∴x =3+√17,x =3−√17．
1 2
19．（8分）近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的
信息素养，某校特组织七、八年级全体学生开展“灵动数据·智汇AI”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，
现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩x进行整理，共分成A，B，C，D四个等级，成绩
在90以上（含90分）为优秀．
【信息整理】
信息1：
等级 A B C D
成绩 95≤x≤100 90≤x<95 85≤x<90 x<85信息2：
信息3：七年级B，C两组同学的成绩分别为：94，92，92，92，92，89，88，86，85；
八年级C组同学的成绩分别为：89，89，89，89，89，88，87，86．
【数据分析】七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下：
平均 中位 众 优秀
年级
数 数 数 率
七年
88 a 95 m%
级
八年
88 89 b 35%
级
(1)填空：a=______；b=______，m=______；
(2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说
明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校七年级学生有420人，八年级学生有580人，请估计该校七、八年级成绩为优秀的学生共有多少
人．
【答案】(1)87，89，40
(2)七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由见解析
(3)估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有371人．
【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
解答．
（1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值；
（2）根据表格中的数据，可以解答本题；
（3）根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
【详解】（1）解：∵A，B两组人数共有3+5=8人，∴七年级抽取学生的竞赛成绩中位数为86与88的平均数，
由条形统计图可得：a=(86+88)÷2=87，
由八年级C组同学的分数可知：89出现的次数最多，所占的百分比为5÷20=25%，
∴b=89，
m=(3+5)÷20×100%=40%，
故答案为：87，89，40；
（2）解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由：
由表格可知，七八年级的平均数相同，七年级学生对当前信息技术的了解的优秀率高于八年级学生对当前
信息技术的了解的优秀率；
（3）解：由题意可得，
420×40%+580×35%=371（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生有371人．
20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E．
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线交AD于点F．
(2)在（1）的条件下，求证：四边形BEDF是平行四边形．
【答案】(1)作图见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查作角平分线和平行四边形的判定与性质，正确作图是解答本题的关键．
（1）根据作角平分线作法画图即可；
（2）由平行四边形性质可得∠ABC=∠ADC，AD∥BC，再证明BF∥DE即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，AD∥BC，
∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠CBF=∠ADE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED，
∴∠CBF=∠CED，
∴BF∥DE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
CD 1
21．（8分）如图，在△ABC中，∠B=60°，点D是BC上一点，且 = ，连结AD，E、F分别为
BD 2
AB、AD中点，连结EF、DE、CF，若AD⊥BC，BC=3．
(1)求四边形DCFE的面积；
(2)求sin∠ACF的值．
【答案】(1)√3
√39
(2)
26
【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确
作出辅助线是解答本题的关键．
CD 1
（1）先证明四边形DCFE为平行四边形，由BC=3， = 得出DC=1，BD=2，由勾股定理求出
BD 2
AD=2√3，根据F是AD的中点求出DF，再根据平行四边形面积公式求解即可；
（2）证明△BDE是等边三角形得出DE=2，由平行四边形的性质得CF=2，由勾股定理求出AC=√13，
√13
求出sin∠DAC= ，可求出FG，从而可得结论．
13
【详解】（1）解：∵E、F分别为AB、AD中点
1
∴EF= BD，EF∥BD，
2
CD 1
又∵ = ，
BD 2
∴CD∥EF，CD=EF，∴四边形DCFE为平行四边形
CD 1
∵BC=3， = ，
BD 2
∴DC=1，BD=2，
∵AD⊥BC，∠B=60°，
∴∠BAD=30°,
∴AB=2BD=4,
∴AD=√AB2−BD2=2√3，
∵F为AD中点，
1
∴DF= AD=√3，
2
∴平行四边形DCFE的面积为CD×DF=1×√3=√3；
（2）解：∵E为AB的中点，
1
∴BE= AB=2=BD,
2
又∠B=60°,
∴△BDE是等边三角形，
∴DE=BD=2,
∵四边形DCFE是平行四边形，
∴CF=DE=2,
作FG⊥AC，交AC于点G，
∵AC=√AD2+DC2=√(2√3) 2+12=√13
CD √13
∴sin∠DAC= =
AC 13
√13 √39
∴FG=AF×sin∠DAC=√3× =
13 13FG FG √39
∴sin∠ACF= = =
CF DE 26
22．（10分）某校对教室采用药薰法进行灭蚊．根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含
药量y(mg/m3)与药物点燃后的时间x(min)成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图）．已知药物点
燃后8min燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为6mg．
(1)求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；
(2)求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；
(3)根据灭蚊药品使用说明，当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时，对人体是安全的．那么从开始药薰，
至少经过多少时间，学生才能进入教室？
(4)根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时，才能有效杀
灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
3
【答案】(1)y= x(0≤x≤8)
4
48
(2)y= (x≥8)
x
(3)从药薰开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室
(4)能有效杀灭室内的蚊虫，见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的应用，正确数形结合得出函数解析式是解题关键．
（1）依据题意，利用待定系数法可得出答案；
（2）依据题意，利用待定系数法可得出答案；
（3）依据题意，当y=1.6时，求得反比例函数的值，可得出答案；
（4）依据题意，将y=3分别代入两个解析式，得出答案．
【详解】（1）解：由题意，设药物燃烧时y关于x的函数关系式是y=kx(k≠0)，将点(8,6)代入，
∴8k=6，
3
∴k= ，
43
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式是y= x，自变量 x的取值范围是0≤x≤8；
4
m
（2）解：由题意，设药物燃烧后y关于x的函数关系式是y= ，把(8,6)代入，
x
∴m=48，
48
∴药物燃烧后y与x的函数关系式为y= ，自变量 x的取值范围是x≥8；
x
48
（3）解：由题意，当y=1.6时，代入y= ，
x
∴x=30，
∴从药薰开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室；
3 48
（4）解：此次灭蚊有效，将y=3分别代入y= x，y= ，
4 x
∴x=4和x=16，
∴持续时间是16−4=12(min)>10min，
∴能有效杀灭室内的蚊虫．
23．（10分）如图1，抛物线y=ax2+bx−3经过A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，P为第四象
限内抛物线上一点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)设四边形PBOC的面积为S，求S的最大值；
(3)如图2，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点N，当∠MPA=2∠PAC时，
求点N的坐标．
【答案】(1)y=x2−2x−3
63
(2)S的最大值为
8( 4)
(3) 0,−
3
【分析】（1）将A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx−3，即可求解；
（2）过点P作PM⊥x轴于点N，P为第四象限内抛物线上一点，设点P(m,m2−2m−3)(00，
∴r2−6r+4=0，
∴r=3±√5，
由题意：r>3，
∴r=3+√5，
∴⊙O的半径为3+√5．
【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质等
知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
