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2025 年中考第二次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．－2025的倒数为（ ）
A．－2025 B．2025 C． D．
【答案】D
【知识点】倒数
【分析】本题考查的是倒数的含义，根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案．
【详解】解：－2025的倒数为是 ，
故选：D．
2．下列数中，能使不等式 成立的x的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
先求出不等式 的解集，即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：由 可得 ，
∴选项中，能使不等式 成立的x的值为1，
故选：A．
3．如图，已知 ，点D在射线 上，若 ，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查平行线的性质，由 得 ，再由平角的定义可得
．
【详解】解： ， ，
，
，
故选D．
4．下列图形不是正方体的表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】正方体几种展开图的识别
【分析】根据立方体的展开图判断解答即可.
本题主要考查的是正方体的展开图，解题的关键是熟记正方体展开图的形状；正方体展开图的11种不同的
形状，其特征可总结为：141、222、33、132；根据上面的特征，找出不符合上面特征的形状即可，也可
通过折叠进行判断，即判断哪个图形能折成正方体.
【详解】解：根据展开图判定，C不符合题意，
故选C.
5．如图，在 中， 是高， 是中线， ， ，则 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义．根据 和 求出 ，根据 是中线
即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 是中线，
∴ ，
故选：B．
6．在同一平面直角坐标系中，函数 和 （a为常数， ）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题，根据正比例函数和一次函数的性质，可
以得到函数 和 的图象经过哪几个象限，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴函数 是经过原点的直线，经过第一、三象限，
函数 是经过第一、二、四象限的直线，
故选：B．
7．如图，四边形 和四边形 均为正方形，且点E、G分别在边 、 上， ， ，
连接 并延长，交边 于点H，连接 ，则 的长为（ ）A．6 B． C． D．
【答案】D
【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题主要涉及正方形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．准确利用性质是正确解答
此题的关键．
首先利用正方形性质得到相关线段的长度和角度关系，再通过相似三角形的性质求出 的长度，进而得
到 的长度，最后在 中，根据勾股定理求出 的长度．
【详解】解： 四边形 为正方形， ，
， ，
四边形 为正方形， ，
， ，
，
，
，
，
，即 ，
，
，
在 中，在 中， ，
故答案为：D．
8．在平面直角坐标系中，将抛物线 向下平移4个单位后经过点 ，且 ，则平
移后的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移、把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与
各项系数符号
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、平移的性质、抛物线的顶点坐标等知识点，熟练掌握二
次函数的图象和性质、求出抛物线的顶点坐标是解题的关键．根据平移后的抛物线经过点 且 得出 ，进而根据顶点公式求得顶点坐标为
，然后判断顶点坐标的符号即可求解．
【详解】解：将抛物线 向下平移4个单位后得到 ，
∵ 经过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∵平移后的抛物线的顶点坐标为 即 ，
∵ ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴平移后的抛物线的顶点坐标在第三象限．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
9．实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，请写出一个大于 且小于 的无理数 ．
【答案】 （答案不唯一）
【知识点】无理数的大小估算、实数与数轴
【分析】本题考查的是无理数的估算，根据数轴可得实数 满足 ，再进一步解答即可．【详解】解：由数轴得，实数 满足 ，
∵ ，
∴大于 且小于 的一个无理数可以为 ，
故答案为： （答案不唯一）
10．冰翼纹是我国古典园林的传统铺装纹样之一，被广泛应用于建筑装饰和瓷器，图2是从图1中提取的
多边形，则这个多边形的内角和是 ．
【答案】 / 度
【知识点】多边形内角和问题
【分析】此题考查了多边形的内角和公式，根据题意得到多边形是六边形，利用n边形内角和公式
进行解答即可．
【详解】解：由题意可知，多边形是六边形，
∴这个多边形的内角和是 ，
故答案为： ．
11．如图，四边形 是 的内接四边形， 是 的直径，连接 ，若 ，则
．
【答案】35
【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度
【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的性质求出 ，根据圆周角定理得到 ，进而求出 ．
【详解】解：∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
故答案为：35．
12．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数
的图象上，点B在函数 的图象上．若 ，则k的值为 ．
【答案】12
【知识点】求反比例函数解析式、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，表示出点
的坐标是解题的关键．作 于 ，由等腰三角形三线合一的性质得出 ，利用平行四边形
的性质可知 ，故设 ，则 ，代入 即可求得 的值．
【详解】解：作 于 ，
，
，
∵四边形 是平行四边形，，
设 ，则 ，
点 在函数 的图象上．
，
故答案为：12．
13．如图，在菱形 中， 、 分别是边 ， 上的动点，连接 ， ，点 、 分别为 、
的中点，连接 ．若 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、解直角三角形的相关计算、垂线段最短、利用菱形的性质求
线段长
【分析】连接 ，利用三角形中位线定理，可知 ，结合垂线段最短及锐角三角函数求出 的
最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 ，
∵在菱形 中， ， ，
又∵点 、 分别为 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
当 时， 最小， 得到最小值，
此时在 中， ， ，∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形中位线定理，锐角三角函数的定义，垂线段最短等知识点．确定
的最小值是解题的关键．
三、解答题（本大题共13个小题，共81分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
14．（5分）计算： ．
【答案】
【知识点】化简绝对值、实数的混合运算、零指数幂、二次根式的混合运算
【分析】本题考查了实数的运算，正确处理每一项的运算及符号是解答本题的关键．
根据零指数幂，绝对值的性质以及二次根式的乘法法则分别化简计算．
【详解】解∶原式＝
=
= ．
15．（5分）解方程：
【答案】
【知识点】解分式方程
【分析】先找到公分母 ，去分母化为整式方程进而求解即可，注意分式方程要检验．
【详解】解：两边同时乘以 ，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解．
【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
16．（5分）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，4．
【知识点】整式的混合运算
【分析】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式利用多项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x、y的值代入计算
即可求出值。
【详解】解：原式
，
当 ， 时，原式 ．
17．（5分）已知，如图，在 中， ，用直尺和圆规在线段 上找一点M，使得
；（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【知识点】线段垂直平分线的判定、作已知线段的垂直平分线、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的判定，尺规作图，正确进行转化是解题的关键．
由勾股定理得 ，而 ，故 ，根据线段垂直平分线的判定可得
点M为线段 垂直平分线与 交点．
【详解】解，如图即为所作．18．（5分）如图，在 中，点E，F在对角线 上，连接 、 ， ，求证：
．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用平行四边形的性质证明
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，证明
，得到 ，即可得证．
【详解】证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
19．（5分）七年级四班共有学生48人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每
名学生一节课能做盒身11个或盒底26个．每个盒身匹配2个盒底，那么问有多少人制作盒身，多少人制
作盒底，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
【答案】26人制作盒身，22人制作盒底【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题．设有x人制作盒身，根据“制作的盒底数量是盒身数量的
2倍”即可列出方程，求解即可．
【详解】解：设有x人制作盒身，则有 人制作盒底．根据题意得
解得 ，
∴
答：有26人制作盒身，22人制作盒底，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套．
20．（5分）在一个不透明的口袋中装有分别标有数字 的四个小球（除标号外，其余都相同），从
中随机抽取一个球，再从余下的球中随机抽取一个球．
(1)第一次从口袋中随机抽取一个球，抽到数字 的概率是 ．
(2)用列表法或画树状图法中的一种方法，求抽取的两个小球的数字之和大于 的概率．
【答案】(1)
(2) （两个小球的数字之和大于 ）
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结
果表示出来是解题的关键．
（1）运用概率公式计算即可；
（2）列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：共有4种等可能结果，
∴第一次从口袋中随机抽取一个球，抽到数字 的概率是 ，
故答案为： ；
（2）解：列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，共有12种等可能结果，其中两个小球的数字之和大于 的有4种结果，
∴ （两个小球的数字之和大于 ） ．
21．（6分）某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在景区内沿山体向上修建步行道 和观光索道 ，
经过测量知： 米， 米， 步行道 的坡度 ，观光索道 与水平线 的夹
角为 求山顶点C到地面的距离 的长.(图中所有点都在同一平面内， ， 参考数据：
，最后结果精确到1米)
【答案】 米．
【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度的概念是解题的关键．
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，证明四边形 是矩形，则 ，求出
米，得到 米，求出 ，即可得到答案．
【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵步行道 的坡度 ，观光索道 与水平线 的夹角为
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 米，
∴ 米，
∵
∴ （米）
∴ （米）．
答：山顶点C到地面的距离 的长为 米．
22．（7分）观赏汉中百里油菜花海，感受汉中独特的风光．假期某校准备组织学生、老师从西安坐高铁
到汉中进行社会实践，为了便于管理，所有师生必须乘坐在同一列高铁上，其中学生有50人，老师有15
人．（师生均按原价购票）
西安到汉中的高铁票价格如下表
运行区间 票价
上车
下车站 一等座 二等座
站
西安 汉中 155元/张 97元/张
由于某种原因，二等座高铁票单程只能买 张（ ），其余的须买一等座高铁票，在保证每位参
与人员都有座位坐的前提下．
(1)请你写出购买高铁票的总费用（单程） 与 之间的函数关系式；
(2)购买高铁票的总费用（单程）为6885元，求购买二等座高铁票的数量．【答案】(1)
(2)55张
【知识点】求一次函数自变量或函数值、分配方案问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查一次函数的实际应用：
（1）二等座高铁票单程只能买 张，则购买一等座高铁票 张．根据单价、数量、总价之间的关系
列式即可；
（2）令 ，求出对应的x的值即可．
【详解】（1）解：所有参与人员总共有 （人），
二等座高铁票单程只能买 张，则购买一等座高铁票 张．
由题可得： ．
购买高铁票的总费用（单程） 与 之间的函数关系式是 ；
（2）解：令 ，即 ，
解得 ，
购买二等座高铁票的数量是55张．
23．（7分）工商局质检员从某公司2月份生产的甲、乙型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条
件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示， 及
以上为优秀），将除尘量分为A，B，C三个等级：A： ，B： ，C： ．下面给
出了部分信息：
10台甲型扫地机器人的除尘量数据为：74，75，84，84，84，86，86，95，95，97；
10台乙型扫地机器人的除尘量在B等级中的数据为：81，82，84，88，88．
两个型号的扫地机器人除尘量平均数、中位数、众数、方差如表所示：型号 甲 乙
平均数 86 86.1
中位数 85 a
众数 b 88
方差 56 33.2
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ___________， ___________， ___________；
(2)根据以上数据，你认为在此次试验中，哪个型号的扫地机器人除尘效果更好？请说明理由；（写出一条
理由即可）
(3)若该公司2月份生产甲型扫地机器人950台，乙型扫地机器人1000台，请估计这两种型号除尘量为优秀
（C等级）的扫地机器人总台数．
【答案】(1)86，84，30；
(2)我认为乙型扫地机器人的除尘效果更好，理由见解析；
(3)585．
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的某项数目、求中位数、运用方差做决策
【分析】本题考查了众数，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信
息是解题的关键．
（1）根据中位数和众数的定义求出a，b，根据乙型扫地机器人中A等级所占百分比和B等级包含的数据
可求出m；
（2）根据平均数以及方差作决策即可．
（3）分别用甲，乙的总数乘以扫地机器人“优秀”等级所占百分比，然后相加即可．
【详解】（1）解：10台乙型扫地机器人，处于中间的两台除尘量分别为：84，88，
∴ ，10台甲型扫地机器人的除尘量出现次数最多的是84，
∴ ，
，
∴ ．
（2）解：我认为乙型扫地机器人的除尘效果更好．理由如下：
甲型扫地机器人除尘量的平均数为86，乙型扫地机器人除尘量的平均数为86.1，且甲型扫地机器人除尘
量的方差为56，乙型扫地机器人除尘量的方差为33.2，
∴乙型扫地机器人除尘量比较稳定，
∴乙型扫地机器人的除尘效果更好．
（3）解： （台），
∴估计这两种型号除尘量为优秀（C等级）的扫地机器人总台数为585．
24．（8分）如图， 为 的直径，A为 上一点， 交于 于点E，过点A作 的切线
交 的延长线于点P，连接 ， ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， 的半径为5，求 的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【知识点】利用垂径定理求值、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计
算
【分析】（1）连接 ， 根据垂径定理 ，再得到 ，根据 是 的切线，得到
，进一步得到 ，即可得出结论；（2）利用解直角三角形得到 ，再判定 ，得到
，则 ，即可求解．
【详解】（1）解：连接 ，如图：
∵ 为 的直径， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）解：由（1）可知， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的半径为5，∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理，解直角三角形等知
识，掌握相关知识是解题的关键．
25．（8分）某校阅览室有一个拱门，其截面为抛物线型，如图所示，线段 表示水平路面．现需在此
抛物线型拱门左侧内壁上的点 处安装一个装饰灯，图中 与抛物线围成的区域是灯的光照范围，
的度数可以调节．以 所在直线为 轴，以过点 垂直于 轴的直线为 轴，建立平面直角坐标
系．已知此拱门的最高点与 的距离是2米，点 到 的距离为1米，点 与拱门最高点的水平距离
也是1米，点 均在此抛物线型拱门上．
(1)求此抛物线的函数表达式．
(2)根据设计要求，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ， 的一边需要与 轴平行．问，
是否存在满足要求的点 和点 ？若存在，请求出点 的坐标及此时 的度数；若不存在，请说明
理由．
【答案】(1)
(2)存在， ， ，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)
【分析】（1）根据题意得到顶点 ， ，再利用顶点式求解析式即可；
（2）表示出 ， ，在分别根据 轴和 轴列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵拱门的最高点与 的距离是2米，点 到 的距离为1米，点 与拱门最高点的
水平距离也是1米，
∴顶点 ， ，
∴设抛物线的解析式为 ，
把 代入 得： ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵点 的横坐标为 ，点 的横坐标为 ，
∴ ， ，
当 轴时， ，解得 或 （不合题意，舍去），此时 ， ，则
， ，此时 是等腰直角三角形， ；
当 轴时， ，解得 或 （不合题意，舍去），此时 ， ，则
在 下方，不合题意；
综上所述， ， ， ．
26．（10分）问题提出
（1）如图①，在 中， ， 的面积为25．在 内作一个正方形 ，使正方形一
边 落在边 上，另外两个顶点 ， 分别落在边 ， 上，该正方形的面积大小为________．
问题解决
（2）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图②，现有一块四边形的空地 计划改造成公园，经测
量， ， ， ，且 ．按设计要求，要在四边形公园
内建造一个矩形活动场所 ，顶点 ， 均在边 上，顶点 ， 分别在边 ， 上．为了满
足居民需求，计划在矩形活动场所 中种植草坪，在公园内其他区域种植花卉．已知花卉每平方米200元，草坪每平方米80元，则绿化改造所需费用至少为多少元？（结果保留整数，参考数据： ）
【答案】（1） （2）6528000
【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、含30度角的直角三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三
角形的判定与性质综合
【分析】（1）过点A作 与点D，交 与点H，先求出 ，设正方形的边长为x，则
，再利用相似三角形的判定和性质得出 ，最后根据正方形的面积公式求解即可．
（2）由题意易得 ， ，则设 ，则 ，然后可得
， ，则可得 ，要使
绿化改造所需费用最少，则需满足矩形 的面积最大，最后问题可求解．
【详解】解∶过点A作 与点D，交 与点H，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设正方形的边长为x，则 ，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴正方形 的面积为： ，
（2）如图所示：
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当点Q与点A重合时，则 ，
∴ ，
要使绿化改造所需费用最少，则需满足矩形 的面积最大，
∴当 时，矩形 的面积最大，最大值为 ，如图，∴ ，
过点D作 于点H，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积为 ，
∴种植花卉的面积为 ，
∴所需费用最少为 （元）；
答：绿化改造所需费用至少为6528000元．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及二次函数的应用，熟练掌握
相似三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质及二次函数的应用是解题的关键．
