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2025 年中考第一次模拟考试（广东卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．4
【分析】正数大于0，0大于负数，两个负数比较π大小，绝对值越大，其值越小，据此求解即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜ ＜4，
∴四个数中最大的数为4， π
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数大小的比较，掌握有理数大小的比较是解题的关键．
2．智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”，多屏联动、舱内游戏、端侧 AI…要支持这些功能，需要
一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用5nm工艺，是目前
市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，5nm相当于0.000000005m，数据0.000000005用科学
记数法表示为（ ）
A．5×10﹣10 B．5×10﹣9 C．5×10﹣6 D．5×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.000000005＝5×10﹣9．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．鲁班锁是我国古代传统建筑的固定结合器，也是广泛流传的益智玩具．如图是鲁班锁中的一个部件，
它从前面看，得到的图形是（ ）A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：它的主视图是： ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图．
4．下列运算正确的是（ ）
A．2a2•3a＝6a3 B．（2a）3＝2a3
C．a6+a2＝a8 D．3a2+4a7＝7a9
【分析】根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方及单项式乘单项式的运算法则，逐一判断即可．
【解答】解：A.2a2•3a＝6a3，故本选项符合题意；
B．（2a）3＝8a3，故本选项不符合题意；
C．a6+a2不能合并同类项，故本选项不符合题意；
D.3a2+4a7不能合并同类项，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查合并同类项、幂的乘方与积的乘方及单项式乘单项式，熟记以上知识点是解题的
关键．
5．二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、
夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬
至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
4 6 12 24
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【解答】解：∵二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒六个节气在冬季，
6 1
∴抽到的节气在冬季的概率= = ．
24 4
故选：A．
【点评】本题考查了概率公式，熟知概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．6．如图，将直尺与含30°角的直角三角板叠放在一起，若∠1＝52°，则∠2的大小是（ ）
A．68° B．78° C．88° D．98°
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可得：∠ABC＝60°，从而可得∠CBD＝112°，然后利用平行
线的性质进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∵∠1＝52°，
∴∠CBD＝∠1+∠ABC＝112°，
∵EF∥BD，
∴∠2＝180°﹣∠EBD＝68°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
7．若a，b为方程x2﹣3x+2＝0的两个实数根，则a2﹣3a+2ab的值为（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．4
【分析】根据题意可得a2﹣3a＝﹣2，ab＝2，代入计算即可求解．
【解答】解：∵a，b为方程的两个实数根，
∴a2﹣3a+2ab＝﹣2+2×2＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代入求值，理解一元二次方程解的概念，掌
握根与系数的关系是解题的关键．
8．如图，PA是 O的切线，A为切点，PO的延长线交 O于点B，连接AB．若∠P＝26°，则∠B的度数
⊙ ⊙为（ ）
A．64° B．52° C．42° D．32°
【分析】连接OA，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠POA，再根据圆周角定
理求出∠B．
【解答】解：如图，连接OA，
∵PA是 O的切线，
∴OA⊥⊙PA，
∵∠P＝26°，
∴∠POA＝90°﹣26°＝64°，
1 1
由圆周角定理得：∠B= ∠POA= ×64°＝32°，
2 2
故选：D．
【点评】本题考查的是切线的性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
k
9．反比例函数y= 与一次函数y＝kx﹣k在同一坐标系的图象大致是（ ）
x
A． B．C． D．
【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
k
【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y= 的图象在二，四象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过
x
一、二、四象限，选项C符合；
k
当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y= 的图象在一、三象限，一次函数y＝kx﹣k的图象过一、三、四象
x
限，无符合选项．
故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题．
10．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c过（﹣1，﹣4），则下列结论：①abc＜0；②
1
对于任意的m，均有am2+bm+c+6＞0；③5a﹣c＝4；④若ax2+bx+c≥﹣4，则x≥﹣1；⑤a= ；⑥
2
不等式ax2+bx+c＞x﹣3的解集为﹣3＜x＜﹣1其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1 1 3
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式为 y= （x+3）2﹣6，即y= x2+3x− ，则可对①③
2 2 2
进行判断；当x＝﹣3时，y有最小值﹣6可对③进行判断；利用利用抛物线的对称性得到当x＝﹣1或x
＝﹣5时，y＝﹣4，利用函数图象得到抛物线不在直线y＝﹣4的下方所对应的自变量的范围可对④进
1 3
行判断；通过解方程 x2+3x− = x﹣3抛物线与直线y＝x﹣3的交点的横坐标分别为﹣3、﹣1，写出抛
2 2
物线在直线上方所对应的自变量的范围可对⑥进行判断．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x+3）2﹣6，把（﹣1，﹣4）代入得﹣4＝a×（﹣1+3）2﹣6，
1
解得a= ，所以⑤正确，
2
1
∴y= （x+3）2﹣6，
2
1 3
即y= x2+3x− ，
2 2
1 3
∵a= ，b＝3，c=− ，
2 2
∴abc＜0，所以①正确；
∵当x＝﹣3时，y有最小值﹣6，
∴对于任意的m，均有am2+bm+c≥﹣6，所以②错误；
1 3
∵a= ，c=− ，
2 2
5 3
∵5a﹣c= + =4，所以③正确；
2 2
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，
∴当x＝﹣1或x＝﹣5时，y＝﹣4，
∴当ax2+bx+c≥﹣4时，x≤﹣5或x≥﹣1，所以④错误；
1 3
解方程 x2+3x− = x﹣3得x ＝﹣1，x ＝﹣3，
2 2 1 2
∴抛物线与直线y＝x﹣3的交点的横坐标分别为﹣3、﹣1，
∴当x＜﹣3或x＞﹣1时，ax2+bx+c＞x﹣3，
∴不等式ax2+bx+c＞x﹣3的解集为x＜﹣3或x＞﹣1，所以⑥错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：把解不等式的问题转化为比较函数值的大小，从而可以
利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围．也考查了二次函数的性质．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分.
11．下表记录了甲、乙、丙三名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
甲 乙 丙平均数 9.35 9.34 9.34
方差 6.6 6.9 6.7
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择 甲 ．
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解答】解：∵甲的平均数较大，且甲的方差较小，
∴选择甲参加比赛，
故答案为：甲．
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据
偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据
偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12．因式分解：6x2﹣6＝ 6 （ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【分析】先提公因式6，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．
【解答】解：6x2﹣6＝6（x2﹣1）＝6（x+1）（x﹣1），
故答案为：6（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
{x＜a
13．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，则关于x的不等式组 的解集是 x ＜ b ．
x＜b
【分析】根据数轴表示数可得a＞b，再根据不等式组解集的定义可得答案．
【解答】解：由数轴可得a＞b，
{x＜a
所以关于x的不等式组 的解集是x＜b．
x＜b
故答案为：x＜b．
【点评】本题考查数轴上表示不等式组的解集，理解不等式组中两个不等式解集的公共部分是不等式组
的解集是正确判断的前提．
3x 3
14．化简： − 的结果为 ﹣ 3 ．
1−x 1−x
3x−3
【分析】按分式加减运算法则，得到 ，再化为最简形式，即可得到结果．
1−x
3x 3
【解答】解： −
1−x 1−x
3x−3
=
1−x−3(1−x)
=
1−x
＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
15．如图，在扇形 AOB 中，∠AOB＝90°，OA=4√2，∠AOB 的平分线交弧 AB 于点 C，过点 C 作
CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，则图中阴影部分的面积为 8 ﹣ 1 6 .
π
【分析】用扇形的面积减去矩形的面积即可求得答案．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠EOC＝∠FOC＝45°，
∵CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，
∴∠ECO＝∠FCO＝45°，
∴OE＝CE＝OF＝CF，
∴四边形OFCE是正方形，
∵OC＝OA＝4√2，
∴OE＝OF＝4，
90π×(4√2) 2
∴S阴影 ＝S扇形OAB ﹣S正方形OFCE = −16＝8 ﹣16，
360
π
故答案为：8 ﹣16．
【点评】本题π考查了扇形的面积计算及角平分线的性质，解题的关键是了解阴影部分是哪几个规则集合
图形面积的和与差，难度不大．
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
1
16．计算：( )
−1−|−√3|+√12+(2025−π) 0
．
2
【分析】先根据负整数指数幂、绝对值、算术平方根、零指数幂的运算法则计算，再合并即可．
1
【解答】解：( )
−1−|−√3|+√12+(2025−π) 0
2=2−√3+2√3+1
=3+√3．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线．
（1）在AD边上确定一点E，将△BED沿BD翻折后，点E的对应点F恰好落在BC边上；（要求：尺
规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接BE、DF，判断四边形BEDF的形状．
【分析】（1）作BD的垂直平分线即可；
（2）由矩形的性质、翻折性质及线段垂直平分线的性质即可证明．
【解答】解：（1）所作的图形如图：
；
（2）证明：四边形BEDF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
由翻折知，BE＝BF，
由作图知，BE＝DE，
∴DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵BE＝BF，
∴四边形BEDF是菱形．
【点评】本题考查了作图：作线段的垂直平分线，矩形的性质，菱形的判定等知识，掌握这些知识是解题的关键．
18．综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水
槽内壁AC的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN′为法线，AO为入射光线，
OD为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N′在同一平面内，测得AC＝20cm，∠A＝45°，折射角∠DON
＝32°．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求BC的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）
【分析】（1）根据等腰三角形的性质计算求值即可；
（2）利用锐角三角函数求出DN的长，然后根据BD＝BN﹣DN计算即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝45°，
∴∠B＝45°，
∴BC＝AC＝20cm；
1
（2）由题可知ON＝EC= AC＝10cm，
2
∴NB＝ON＝10cm，
又∵∠DON＝32°，
∴DN＝ON•tan∠DON＝10•tan32°≈10×0.62＝6.2cm，
∴BD＝BN﹣DN＝10﹣6.2＝3.8cm．【点评】本题考查解直角三角形的实际应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题9分，共27分.
19．【问题提出】
共享单车不仅极大地方便人们的短途出行，而且低碳环保，受到用户的喜爱．某社区周边有5个共享单
车停车区，总计投放180辆的共享单车，某数学兴趣小组发现每天早高峰期间经常会出现有些停车区的
单车不够用，而有些停车区的单车使用率低的现象，为探究早高峰期间共享单车的合理投放方案，同学
们展开了研究．
【开展研究】
该数学兴趣小组分工合作在早高峰期间到每个停车区对行人使用共享单车的情况、人流量进行数据收集，
结果如表．
表一：经过停车区的行人使用单车情况的抽样调查数据
停车区 经过停车区的人数 使用共享单车的人数
1号区 60 3
2号区 100 4
3号区 90 9
4号区 120 18
5号区 70 7
表二：每日早高峰期间的平均人流量
停车区 1号区 2号区 3号区 4号区 5号区
人流量（单位：人） 240 300 160 400 200
【问题解决】
（1）记事件A为：经过1号区的行人使用共享单车．估计事件A的概率；
（2）为应对早高峰期间共享单车的使用需求，请你为该社区设计一个合理的共享单车投放方案，并说
明理由．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）先求出每个共享单车停车区的平均使用次数，得到每天早高峰期间的共享单车总使用次数，据此
求解即可．
【解答】解：（1）由表格数据知，经过1号区的行人有60人，使用共享单车有3人，
3 1
则估计事件A的概率是 = ；
60 20（2）故计5个共享单车停车区每天早高峰期间的共享单车平均使用次数分别是
3 4 9 18 7
240× =12，300× =12，160× =16，400× =60，200× =20，
60 100 90 120 70
所以每天早高峰期间的共享单车总使用次数估算为：12+12+16+60+20＝120（次），
所以5个共享单车停车区180辆共享单车的投放方案为：
12
1号区投放共享单车180× =18（辆）；
120
12
2号区投放共享单车180× =18（辆）；
120
16
3号区投放共享单车180× =24（辆）；
120
60
4号区投放共享单车180× =90（辆）；
120
20
5号区投放共享单车180× =30（辆）．
120
【点评】此题考查了概率公式、平均数，熟练掌握概率公式是解题的关键．
20．在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，
推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”，如图
①．
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图②，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点
P在 O上，当点P在 O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与
O⊙相切时，点B恰好落⊙在 O上，如图③．
⊙请仅就图③的情形解答下列⊙问题．
（1）求证：∠PAO＝2∠PBO；
20
（2）若 O的半径为5，AP= ，求BP的长．
3
⊙【分析】（1）连接切点与圆心，根据角之间的互余关系及等量代换代换求解即可．
（2）作出相关辅助线，构造相似三角形Rt△POD与Rt△OAP，利用相似三角形的性质求得PD＝3，
OD＝4，最后根据直角三角形的勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：如图②，
连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP＝OB＝OC，
∵AP与⨀O相切于点P，
∴∠APO＝90°，
∴∠PAO+∠AOP＝90°，
∵MO⊥CN，
∴∠AOP+∠POC＝90°，
∴∠PAO＝∠POC，
∵OP＝OB，
∴∠OPB＝∠PBO，
∴∠POC＝∠OPB+∠PBO＝2∠PBO，
∴∠PAO＝2∠PBO；
（2）解：如图③所示，
连接OP，延长BO与圆交于点C，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D，
25
则有：AO=√AP2+OP2=
，
3
由（1）可知∠POC＝∠PAO，
∴Rt△POD∽Rt△OAP，
PD PO OD
∴ = = ，
PO OA OP
PD 5 OD
= =
即 5 25 20 ，
3 3
解得PD＝3，OD＝4，
∴CD＝OC﹣OD＝1，
在Rt△PDC中，PC=√PD2+CD2=√10，
∵CB为圆的直径，
∴∠BPC＝90°，∴BP=√BC2−PC2=√100−10=3 √10，
故BP长为3 √10．
【点评】本题考查切线的性质及圆周角定理，解此类型题目的关键是作出适当的辅助线，比如连接切点
与圆心、将直径的两端与圆上某一点连接、过圆上某点作垂直于半径的线段等，根据辅助线构造直角三
角形及相似三角形，再根据相关性质进行求解．
21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售
公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；
3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该
汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B
型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、
3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
200−25m
（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进 辆B型
10
汽车，利用总利润＝每辆A型汽车的销售利润×A型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润×B型汽
车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，
{2x+3 y=80
根据题意得： ，
3x+2y=95
{x=25
解得： ．
y=10答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元；
200−25m
（2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w元，则该公司购进 辆B型
10
汽车，
200−25m
根据题意得：w＝8000m+5000× ，
10
即w＝﹣4500m+100000，
∵﹣4500＜0，
∴w随m的增大而减小，
200−25m
又∵m， 均为正整数，
10
∴m的最小值为2，
∴ 当 m ＝ 2 时 ， w 取 得 最 大 值 ， 最 大 值 为 ﹣ 4500×2+100000 ＝ 91000 （ 元 ） ， 此 时
200−25m 200−25×2
= = 15（辆）．
10 10
答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系
正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
五、解答题（三）:本大题 2小题，第22题 13分，第23题 14分，共 27 分.
22．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的
平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．
如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的
“中项点”．（1）如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“中项
点”．
4 2
（2）△ABC中，BC＝9，tanB= ，tanC= ，点D是BC边上的“中项点”，求线段BD的长．
3 3
（3）如图3，△ABC是 O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交 O于点D．点H是
△BCD中CD边上的“中⊙项点”． ⊙
①求证：OH⊥AB；
5 DH
②若OH∥BD， O的半径为r，且r= BD，求 的值．
4 CH
⊙【分析】（1）取格点K，连接CK交AB于M，点M即为AB边上的一个“中项点”；
4 2
（2）过A作AT⊥BC于T，当D靠近C时，由tanB= ，tanC= ，设AT＝4m，则BT＝3m，CT＝6m，
3 3
可得3m+6m＝9，m＝1，故BT＝3，AT＝4，CT＝6，设DT＝x，则BD＝3+x，CD＝6﹣x，有x2+42＝
5
（3+x）（6﹣x），解得x＝2，从而BD＝3+x＝3+2＝5；当D靠近B时，同理可得BD= ；
2
（3）①证明△ACH∽△DBH，可得CH•DH＝BH•AH，根据点H是△BCD中CD边上的“中项点”，
有BH2＝CH•DH，故BH＝AH，从而OH⊥AB；
5
②连接AD，由OH⊥AB，OH∥BD，知BD⊥AB，AD为 O的直径，由r= BD，设BD＝4n，则r＝
4
⊙
1
5n，AD＝10n，可得AB=√AD2−BD2=√(10n) 2−(4n) 2=2√21n，即得AH＝BH= AB=√21n，从而
2
BH2 (√21n) 2 21√37
DH=√BH2+BD2=√(√21n) 2+(4n) 2=√37n，又BH2＝CH•DH，得CH= = =
DH √37n 37
DH √37n 37
= =
n，即得CH 21√37 21．
n
37
【解答】（1）解：取格点K，连接CK交AB于M，如图：
点M即为AB边上的一个“中项点”；理由：
由图可知，∠ACK＝∠CBA，
∴∠ACK+∠CAM＝∠CBA+∠CAM＝90°，
∴CM⊥AB，
根据射影定理可知，CM2＝AM•BM，
∴M为AB边上的一个“中项点”
（2）解：过A作AT⊥BC于T，
当D靠近C时，如图：
4 2 AT 4 AT 2
由tanB= ，tanC= 知 = ， = ，
3 3 BT 3 CT 3
设AT＝4m，则BT＝3m，CT＝6m，
∵BC＝9，
∴BT+CT＝3m+6m＝9，
∴m＝1，
∴BT＝3，AT＝4，CT＝6，
设DT＝x，则BD＝3+x，CD＝6﹣x，
∵DT2+AT2＝AD2＝BD•CD，
∴x2+42＝（3+x）（6﹣x），
解得x＝2（负值已舍去），
∴BD＝3+x＝3+2＝5；
当D靠近B时，如图：
5
同理可得BD= ．
2
5
∴线段BD的长为5或 ；
2（3）①证明：∵^AD=^AD，^BC=^BC，
∴∠ACH＝∠DBH，∠CAH＝∠BDH，
∴△ACH∽△DBH，
CH AH
∴ = ，
BH DH
∴CH•DH＝BH•AH，
∵点H是△BCD中CD边上的“中项点”，
∴BH2＝CH•DH，
∴BH2＝BH•AH，
∴BH＝AH，
∴OH⊥AB；
②解：连接AD，如图：
由①知，OH⊥AB，
∵OH∥BD，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴AD为 O的直径，
5 ⊙
∵r= BD，
4
∴设BD＝4n，则r＝5n，AD＝10n，
∴AB=√AD2−BD2=√(10n) 2−(4n) 2=2√21n，
1
∴AH＝BH= AB=√21n，
2
∴DH=√BH2+BD2=√(√21n) 2+(4n) 2=√37n，
∵BH2＝CH•DH，BH2 (√21n) 2 21√37
∴CH= = = n，
DH √37n 37
DH √37n 37
= =
∴CH 21√37 21，
n
37
DH 37
∴ 的值为 ．
CH 21
【点评】本题考查圆的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理及应
用等，解题的关键是用含字母的式子表示相关线段的长度．
23．综合应用
如图1，顶点为P的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点C（1，0），与y轴交于点B，连
接AB、BP．（1）求b、c的值及∠PBA的度数；
（2）如图2，动点M从点O出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点
A出发，沿着AB方向以√2个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，ME⊥x轴交AB于E，
NF⊥x轴交抛物线于F，连接MN、EF．
①当EF∥MN时，求点F的坐标；
②直接写出在运动过程中，使得△BNP与△BMN相似的t的值．
【分析】（1）根据题意可得y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，能确定b、c的值，再由勾股定理可知
△PBA是直角三角形，由此可求∠PBA＝90°；
（2）①分别求出N（﹣3+t，﹣t），F（﹣3+t，t2﹣4t），M（﹣t，0），E（﹣t，t﹣3），再由
MN∥EF，得到方程t﹣3＝t2﹣4t，解得t＝3（舍）或t＝1，即可求F（﹣2，﹣3）；
②由∠NBP＝90°，可知△MNB中只能是∠MNB＝90°，此时MN∥PB，再由△ANM是等腰直角三角形，−3−t
可得﹣3+t= ，解得t＝1．
2
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣3，0）和点C（1，0），
∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，
∴b＝2，c＝﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴P（﹣1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴AB＝3√2，BP=√2，PA＝2√5，
∴PA2＝PB2+BA2，
∴∠PBA＝90°；
（2）①∵OA＝OB＝3，
∴∠OAB＝45°，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵AN=√2t，
∴N（﹣3+t，﹣t），
∴F（﹣3+t，t2﹣4t），
∵M（﹣t，0），ME⊥x轴，
∴E（﹣t，t﹣3），
∵MN∥EF，
∴t﹣3＝t2﹣3t，
解得t＝3（舍）或t＝1，
∴F（﹣2，﹣3）；
②∵∠NBP＝90°，
△MNB中只能是∠MNB＝90°，此时MN∥PB，
∴∠PNB＝∠MBN，
∴△MNB∽△PBN，
∵∠OAB＝45°，
∴△ANM是等腰直角三角形，
−3−t
∴﹣3+t= ，
2解得t＝1．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，三角形相似的
判定及性质是解题的关键．
