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2025 年中考第三次模拟考试（广东卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是
A． B． C． D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】解： 的相反数是 ，
故选： ．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
2．如图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的主视图是
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图即可解答．
【解答】解：从正面看下面是一个长方形，长方形上面是一个矩形，故 符合题意，故选： ．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从正面看得到的图形是主视图是解答本题的
关键．
3．1846年，法国数学家、天文学家勒维耶 ，以自己的热忱独立完
成了海王星位置的推算，并要求法国和德国的天文台进行观测．1846年9月23日晚间，海王
星被发现，与勒维耶预测的位置相距不到 1”，这是第一次用数学计算的方法发现了行星．
海王星围绕太阳公转的轨道半长径为 ，数据4500000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，
要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【解答】解： ．
故选： ．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
4．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如图方式叠放，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得 ，再根据平行线的性质可知，然后由 即可求出答案．
【解答】解：如图，
由题意可知， 是等腰直角三角形， ，
，
由题意可知， ， ，
，
．
故选： ．
【点评】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，
熟练掌握平行线的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
5．下列计算正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用同底数幂乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方及积的乘方法则将各式计算后
进行判断即可．
【解答】解： 与 不是同类项，无法合并，则 不符合题意；
，则 不符合题意；
，则 符合题意；
，则 不符合题意；
故选： ．
【点评】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．某工厂为了解工人加工某工件的情况，随机抽取了部分工人一天加工该工件的个数进行了统计，统计数据如表所示，则被抽取的工人一天加工该工件的中位数和众数分别是
一天加工该工件的个数 70 80 90 100 110
（个
工人人数 4 11 10 8 7
A．90，80 B．90，90 C．95，90 D．95，80
【分析】根据表格中的数据可知工人共有40人，从而可以求得中位数和众数，本题得以解决．
【解答】解：由表格可得，加工80件的有11人，故众数为80，
加工工件的第20个数90和第21个数是90，故该工厂一天加工该工件的中位数为 ，
故选： ．
【点评】本题考查众数、中位数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的众数和中位
数．
7．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形
拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积是1，直角
三角形的两直角边长分别为 、 ，那么 的值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据勾股定理可以求得 等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，
即可得到 的值，然后根据 即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可得 ，
四个直角三角形的面积是： ，即： ，
则 ．故选： ．
【点评】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得 和 的值是
关键．
8．如图1，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，如图 2，某桨轮船的轮子可
看作圆，被水面截得的弦 长为 ，轮子的吃水深度 为 ，半径 于点 ，则该
桨轮船的轮子直径为
A． B． C． D．
【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案．
【解答】解：轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦 长为 ，轮子的吃水深度 为 ，
半径 于点 ，如图，连接 ，
设半径为 ，则 ，
， ，
在 △ 中，由勾股定理得；，
，
解得 ，
则该桨轮船的轮子直径为 ，
故选： ．
【点评】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，解答本题的关键是作出辅助本，构造直角三
角形解决问题．
9．如图，在 △ 中， ， ， ．将△ 折叠，使点 与边 的中
点 重合，折痕为 ，则线段 的长为
A． B． C．2 D．
【分析】根据题意得出 ，设 ，则 ，在 △ 中
，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解．
【解答】解：由题意可得
，
设 ，
由题意可得：
，
，
在 △ 中， ，即 ，解得： ，
即线段 的长为 ．
故选： ．
【点评】本题考查了勾股定理与折叠问题，正确进行计算是解题关键．
10．如图，二次函数 图象的一部分与 轴的一个交点坐标为 ，对称轴
为直线 ，结合图象给出下列结论：① ；② ；③关于 的一元二次
方程 的两根分别为 和1；④若点 ， ， 均在二次函数图
象上，则 ；⑤ 为任意实数）．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线经过 可判断①，由抛物线开口向上及抛物线对称轴可得 与 的关系，
从而判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与 轴交点坐标，从而判断③，由各点到抛物线
对称轴的距离大小可判断④，由 时 取最小值可判断⑤．
【解答】解： 抛物线经过 ，
，①正确，
抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，，②正确．
由抛物线对称性可得抛物线与 轴另一交点坐标为 ，即抛物线与 轴交点坐标为 ，
，
方程 的两根分别为 和1，③正确．
，
，④错误．
时函数取最小值，
，
，⑤正确．
故选： ．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的
关系．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5题，每小题3分，共15分.
11．不等式组 的解集为 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集．
【解答】解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
该不等式组的解集为 ，故答案为： ．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式（组 的方
法．
12．已知 ， ，则多项式 的值为 4 2 ．
【分析】本题应先提公因式，把 分解因式，再把条件代入即可求值．
【解答】解： ．
把 ， 代入上式：原式 ．
故答案为：42．
【点评】此题主要考查了因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整
体代入法求解．
13．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图 ，是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取
水机械．桔槔示意图如图2所示， 是垂直于水平地面的支撑杆， 米， 是杠杆，
米， ，当点 位于最高点时， ，此时，点 到地面的距离为
5 米 ．
【分析】过 作 ，过 作 于点 ，求出 ，再由锐角三角函数定义
求出 米，即可求解．
【解答】解：如图，过 作 ，过 作 于点 ，
米， ，
米，， ，
，
在 中， （米 ，
点 位于最高点时到地面的距离为 （米 ，
故答案为：5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键．
14．如图，菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示， ， ，
与 交于点 ，若反比例函数 经过点 ，则 ．
【分析】过 作 轴于 ，得出 ，则 根据菱形的性质得出
是 的中点，求得 ， 的坐标，进而求得 的坐标，由反比例函数
的图象经过点 即可求出 的值．
【解答】解：过 作 轴于 ，，
则 ，
设 ，
则 ，
由条件可知 是 的中点，
，
，
，
点的坐标是 ，
反比例函数 的图象经过点 ，
，
故答案为： ．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，求出 的坐
标是解此题的关键．
15．如图， 是 的直径，将弦 绕点 顺时针旋转 得到 ，此时点 的对应点
落在 上，延长 ，交 于点 ，若 ，则图中阴影部分的面积为 ．【分析】连接 ， ， ，推出 是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计
算即可．
【解答】解：连接 ， ， ，
由旋转知 ， ，
， ，
，
，
，
即 为等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，圆周角定理，熟练掌握扇形面积公式
是解题的关键．
三、解答题(一)：本大题共3小题，每小题7分，共21分.
16．计算： ．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟
练地进行计算是解题的关键．
17．已知：如图，在△ 中， 是边 上一点．
求作：在边 上作一点 ，使得 ．
以下是小成和小亦两位同学的作法：
小成：如图1，以点 为圆心， 为半径画弧，再以点 为圆心， 长为半径画弧，两弧
在 上方交于点 ，作直线 交 于点 ．
小亦：如图2，先作 的平分线 ，然后
（1）请判断小成作法是否正确，并给出理由．
（2）补全小亦的尺规作图过程（保留作图痕迹），并证明．
【分析】（1）利用平行四边形的判定和性质解决问题；
（2）以 为圆心， 为半径作弧交 于点 ，作直线 交 于点 ，直线 即为所求．
【解答】解：（1）小成作法正确．
理由：由作图可知 ， ，
四边形 是平行四边形，；
（2）如图，直线 即为所求．
理由：由作图可知 平分 ， ，
， ，
，
．
【点评】本题考查作图 复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显
示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长 ，点 为摄像机旋转轴心， 为 的中
点，显示屏的上沿 与 平行， ， 与 连接，杆 ， ，
，点 到地面的距离为 ．若 与水平地面所成的角的度数为 ．
（1）求显示屏所在部分的宽度 ；
（2）求镜头 到地面的距离．
（参考数据： ， ， ，结果保留一位小数）
【分析】（1）过点 作 ，垂足为 ，根据题意可得 ，然后在 △
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，即可解答；
（2）连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，根据已知可求出 ，从而可证四边形 是矩形，进而可得 ， ，然后利用平角定义求
出 ，从而求出 的度数，最后在 △ 中，利用锐角三角函数的定义求出
的长，进行计算即可解答．
【解答】（1）解： ， 与水平地面所成的角的度数为 ，
显示屏上沿 与水平地面所成的角的度数为 ．
过点 作交点 所在铅垂线的垂线，垂足为 ，则 ．
，
，
（2）如图，连接 ，作 垂直 反向延长线于点 ，
， 为 的中点，
．
， ，
．
， ，
四边形 为矩形， ．
，
．
．
，
镜头 到地面的距离为 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用 坡度坡角问题，矩形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
四、解答题（二）：本大题共 3小题，每小题9分，共27分.
19．某中学在初一、初二两个年级举办“芯片知识知多少”课外知识积累大赛．为了解学生
知识积累情况，从这两个年级根据学籍编号随机抽取部分学生，并对他们的成绩进行了整理
制作成统计图．（说明：满分为 100分，学生成绩 均为不小于60分的整数，分为四个等级：
， ， ， ．
素材一：如初一、初二两个年级学生成绩的频数分布直方图：
素材二：初一年级学生成绩在 等级的数据（单位：分）如下：
80 84 85 86 87 87 87 87 89
素材三：如初一年级学生扇形统计图所示
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查抽取的初一学生成绩为 等级的学生人数最多（填“ ”或“ ”或“
”或“ ” ；
（2）求初一扇形统计图中 等级对应扇形的圆心角度数；（3）该校初一共有320名学生，全年级学生都参加本次大赛，请估计成绩为 等级的学生人
数；
（4）推荐两名同学参加上级举办的“芯片知识知多少”知识竞赛和化学实验活动，为祖国培
养复合型人才．为了选拔选手，化学老师给出如下题目：用酚酞溶液检测 4瓶因标签污损无
法分辨的无色溶液的酸碱性，已知这 4种溶液分别是：盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中
性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液（呈碱性）中的一种．小明和小亮从中各选
1瓶溶液滴入酚酞试液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求 2瓶溶液中1瓶变红、1
瓶不变色的概率．
【分析】（1）由频数分布直方图可得答案．
（2）用 乘以 等级的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）根据用样本估计总体，用320乘以样本中 等级的人数所占的百分比，即可得出答案．
（4）列表可得出所有等可能的结果数以及 2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的结果数，再利
用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由初一学生成绩的频数分布直方图可知，本次调查抽取的初一学生成绩为
等级的学生人数最多．
故答案为： ．
（2）初一扇形统计图中 等级对应扇形的圆心角度数为 ．
（3） （人 ．
答：估计成绩为 等级的学生人数约64人．
（4）将盐酸（呈酸性）、硝酸钾溶液（呈中性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）、氢氧化钙溶液
（呈碱性）分别记作 ， ， ， ，
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中2瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的结果有： ， ，， ， ， ， ， ，共8种结果，
瓶溶液中1瓶变红、1瓶不变色的概率为 ．
【点评】本题考查列表法与树状图法、频数（率 分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，
能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体是解答本题的关键．
20．
项目化学习——家庭购车计划分析单
项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关
注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相
同的 款纯电动汽车和 款燃油车．经过家庭会议
之后分析如下：
纯电动汽车：保险等费 燃油车：保险等费用较
用高，但用电便宜，行 低，但油费、保养等费
驶费用低． 用高．
项目问题 是购买纯电动汽车还是燃油车？
项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学
思维对现实生活的指导意义．
数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程
相同时，获得以下数据．
车 车
每千米行驶费 元 元
用
总行驶费用 7.5元 18.75元
数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为
车
保险 6500元 年
车机服务 1230元 年
车
保险 2900元 年
保养 元项目任务1 求纯电动汽车、燃油车的每千米行驶费用；
项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行
驶里程 ，帮小明家确定购车方案．
【分析】（任务 利用行驶路程 总行驶费用 每千米的行驶费用，结合两车在相同路段且行
驶里程相同，可列出关于 的分式方程，解之经检验后，可得出 的值（即纯电动汽车的每千
米行驶费用），再将其代入 中，即可求出燃油车的每千米行驶费用；
（任务 利用年使用费用 行驶费用 其它费用，可用含 的代数式表示出纯电动汽车及燃油
车 的 年 使 用 费 用 ， 再 分 ， 及
三种情况，求出 的取值范围或 的值，即可得出结论．
【解答】解：（任务 根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
（元 ．
答：纯电动汽车的每千米行驶费用为0.3元，燃油车的每千米行驶费用为0.75元；
（任务 纯电动汽车的年使用费用为 元，燃油车的年使用费用为
元，
当 时， ，
当 时，购买燃油车比较划算；
当 时， ，
当 时，购买纯电动汽车和燃油车均可；
当 时， ，
当 时，购买纯电动汽车比较划算．
答：当 时，购买燃油车比较划算；当 时，购买纯电动汽车和燃油车均可；
当 时，购买纯电动汽车比较划算．
【点评】本题考查了分式方程的应用、列代数式、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（任务 找准等量关系，正确列出分式方程；（任务 根据各数量
之间的关系，用含 的代数式表示出纯电动汽车及燃油车的年使用费用．
21．一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分（如图 ．
那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试：
【活动1】
如图2，先对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，然后再对折，得到折痕
、 ，展开后折出对角线 ，对角线 与 、 、Ⅱ分别交于点 、 、 ，最后
沿 折叠，得到折痕 ，则点 将边 三等分．
（1）请说出点 将边 三等分的理由．
【活动2】
如图3，先对折正方形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，然后把纸片展平，再次
折叠纸片，使点 落在 上的点 处，得到折痕 和线段 ．
（2）请说出 被 、 三等分的理由；
（3）如图4，在折叠过程中，不小心将点 往右去了一点，点 的对应点 落到了 下方，
延长 交 于点 ．若正方形纸片的边长为 ，此时 ，则 ．
【分析】（1）由 ，得到 ，求得 ，根据相似三角形的判定和性质定理得到结论；
（2）由折叠的性质得到 ， ， ，求得 ， ，于是得
到 和 三等分 ；
（3）由折叠的性质得到 ， ， ，根据全等三角形的
性质得到 ，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
，
，
△ △ ，
，
，
，
点 将边 三等分；
（2）由折叠的性质可知， ， ， ，
， ，
，
，
，
和 三等分 ；
（3）由折叠的性质得， ， ， ，
△ △ ，
， ， ，
， ，，
设 ， ，
，
，
解得 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角
形的判定和性质，相似三角形的苹果现在，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
五、解答题（三）:本大题 2小题，第22题 13分，第23题 14分，共 27 分.
22．如图，经过 ， 两点的抛物线交 轴正半轴于点 ，以 点为圆心， 长为半
径作 交 轴另一点于点 ，交 轴正半轴于点 ．
（1）求点 、点 的坐标；
（2）过 点作 的切线与抛物线交于点 ，若 点的纵坐标为 ，四边形 的面积为 ．
①求 与 的函数关系式；
②若△ 和△ 相似，求 取最大值时， 的值．
【分析】（1）根据同圆的半径相等可得点 的坐标，由勾股定理可得点 的坐标；
（2）①先确定点 的坐标为 ，根据交点式设抛物线的解析式为： ，将点的坐标 代入可得 ，最后根据面积差即可解答；
②分两种情况：如图2，△ △ 或△ △ ，列比例式可得 的值，代入所求
式配方后即可解答．
【解答】解：（1）如图1，连接 ，
， ，
，
，
△ 中， ， ，
，
；
（2）① 是 的切线，
，
经过 ， 两点的抛物线交 轴正半轴于点 ，
设抛物线的解析式为： ，
把点 的坐标 代入得： ，
，
，当 时， ，
点 的坐标为 ，
；
② △ 中， ， ，
分两种情况：
如图2，△ △ ，
，
，
，
，当 时， 有最大值是82；
当△ △ 时，
，
，
，
，
当 时， 有最大值是 ；
，
取最大值时， ．
【点评】本题考查圆，二次函数综合应用，涉及待定系数法，圆的切线的性质，多边形的面
积，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是利用分类讨论的思想解决相似三角形的
问题．
23．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将
其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片 和 中，
， ， ，旋转角为 ．
【初步感知】
（1）如图1，将三角形纸片 绕点 旋转，连接 ， ，求 的值；
【深入探究】（2）如图2，在三角形纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在△ 的中线 的延
长线上时，延长 交 于点 ，求 的长；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片 绕点 旋转过程中，试探究 ， ， 三点，能否构成以 为直角
边的直角三角形．若能，求线段 的长度；若不能，请说明理由．
【分析】（1）证明△ △ 即可解答；
（2）如图2，通过延长 交 于点 ，连接 ，得到四边形 为矩形，设 ，
先根据相似得 ，再证明三角形全等得 ，由勾股定理列方程即可解答；
（3）分两种情况：如图3和图4，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答．
【解答】解：（1） ， ， ，
，
由旋转得： ，
，
△ △ ，
；
（2）如图2，延长 交 于 ，连接 交 于 ，由（1）知：△ △ ，
，
是中线， ，
，
，
，
，
△ △ ，
，
四边形 是平行四边形，
，
是矩形，
， ，
，
，
设 ，
， ，
△ △ ，
，
，
， ， ，
△ △ ，
，
由勾股定理得： ，即 ，
解得 ，
；（3）分两种情况：①如图3， ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
设 ，
， ，
，
，
，
，
，
△ △ ，
，即 ，
，
△ 中， ，，
解得： （负值舍），
△ △ ，
，即 ，
；
②如图4， ，过点 作 于 ，
，
四边形 是矩形，
，
， ，
，
由勾股定理得： ；综上， 的长是 或 ．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判
定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本
题的关键．
