文档内容
2025 年中考第一次模拟考试（常州卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．-2025的倒数为（ ）
A．-2025 B．2025 C． D．
2．二次根式 有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，计算结果是 的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图是由4个小正方体组成的几何体，从正面看的平面图是（ ）
A． B． C． D．
5．有理数 、 、 在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．“月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为 ，具有极高的科研价值．数据“”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，建筑工人砌墙时，经常先在墙的两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这样做依据的数学道理是（
）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．垂线段最短 D．两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离
8．如图1，汽车行驶时，发动机的温度会升得很高，利用防冻冷却液在散热器管道内循环流动，将发动机
多余热量带走，能使发动机以正常工作温度运转．防冻冷却液主要由水和不易汽化、密度比水小的某种防
冻剂（简称原液）混合而成，防冻冷却液的凝固点和沸点与原液含量的关系图象如图2和图3所示（选用
时，防冻冷却液的凝固点应低于环境最低温度10 及以下，而沸点一般要高于发动机最高工作温度5
及以上）．阅读以上信息，则下列说法中正确的是（ ）
A．当原液含量逐渐增大时，防冻冷却液的凝固点逐渐降低，沸点逐渐升高
B．当防冻冷却液凝固点为 时，原液含量约为
C．若某品牌汽车的发动机工作温度为 ，所在地区最低温度为 ，则选用原液含量为
的防冻冷却液较合适
D．原液含量低于 时，其凝固点一直随原液含量的增大而升高
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分）
9．实数 的算术平方根是 ．
10．因式分解： ．11．计算： ．
12．某弹簧的自然长度为13厘米，在弹性限度内，所挂物体质量每增加1千克的重物时弹簧长度增加0.5
厘米，那么弹簧长度y（厘米）与所挂重物的质量x（千克）的关系式为 ．
13．如图，在平直角坐标系中，点A的坐标为 ，点 的坐标为 ．以 ， 为边作矩形 ，
若将矩形 绕点 逆时针旋转 ，得到矩形 ，则点 的坐标为 ．
14．甲、乙两地1月份连续五天的日平均气温如下表（单位：℃）．
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
甲地气温 12 11 12 10 12
乙地气温 0 4 0
则甲、乙两地这5天日平均气温的方差大小关系为： ．（用“>”“<”或“=”填空）
15．如图，在 中半径 互相垂直，点 在劣弧 上．若 ，则 为
°．
16．如图，在 中， ，若 ，则 的值为 ．
17．如图，点 在等边 的内部，且 ， ，将线段 绕点 按顺时针方向旋转
得到 ，连接 ，则 的值为 ．18．图1是一种拼装玩具的零件，它可以看作是底面为正六边形的六棱柱，其内部挖去一个底面为正方形
的长方体后得到的几何体，图2是该零件的俯视图，正方形 的两个相对的顶点A，C分别在正六边
形一组平行的对边上，另外两个顶点B，D在正六边形内部（包括边界），点E，F分别是正六边形的顶点．
已知正六边形的边长为2，正方形边长为a．
（1）连接 ， 的长为 ；
（2）a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）化简： ；
（2）解分式方程： ．
20．（6分）解不等式组： ．
21．（8分）清朝康熙年间编校的《全唐诗》包含四万多首诗歌，逾三百万字，是后人研究唐诗的重要资
源．小云利用统计知识分析《全唐诗》中李白和杜甫作品的风格差异．下面给出了部分信息：
a．《全唐诗》中，李白和杜甫分别有896首和1158首作品；
b．二人作品中与“风”相关的词语频数统计如下表．
词语 春 清 秋
东风 悲风 北风
频数人数 风 风 风
李白 72 24 28 6 26 8
杜甫 19 4 6 10 30 14
注：在文学作品中，东风即春风，常含有生机勃勃之意和喜春之情，如：等闲识得东风面，万紫千红总是
春；北风通常寄寓诗人凄苦的情怀，抒写伤别之情，如：千里黄云白日曛，北风吹雁雪纷纷．
根据所给信息，回答下列问题：(1)补全条形图；
(2)在与“风”相关的词语中，李白最常使用的词语是______，大约每______首诗歌中就会出现一次该词语
（结果取整数），而杜甫最常使用的词语是______；
(3)下列推断合理的是______．
①相较于杜甫，与“风”有关的词语在李白的诗歌中更常见；
②李白更常用“风”表达喜悦，而杜甫更常用“风”表达悲伤．
22．（8分）通常情况下酚酞遇酸性和中性溶液不变色，遇碱性溶液变红色．一次化学课上，学生用酚酞
溶液检测四瓶标签被污染无法分辨的无色溶液的酸碱性．已知四瓶溶液分别是A：盐酸(呈酸性)，B：硝酸
钾溶液(呈中性)，C：氢氧化钠溶液(呈碱性)，D：氢氧化钾溶液(呈碱性)．
(1)小明将酚酞溶液随机滴入其中一瓶溶液，结果变绿色是______事件(填“随机”“必然”或“不可能”)；
(2)小明将随机选择的两瓶溶液同时滴入酚酞溶液进行检测，请你用列表或画树状图的方法，求两瓶溶液恰
好都变红色的概率(可用A，B，C，D表示)．
23．（8分）如图， 平分 ，垂足分别为点 ．
(1)求证： ；
(2)如果 ， ，求 的长度．
24．（8分）如图，点反比例函数 的图象经过 ， 两点，连接 ， ，过点B作
轴，交 于点 ，若 为 的中点，且点 坐标为 ．
(1)求 的值；
(2)连接 并延长，交 轴于点 ，求点 的坐标；(3)连接 ，求 的面积．
25．（8分）有一块长 ，宽 的矩形铁皮．
(1)如图 ，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为 的无盖长方体盒
子，求裁去的正方形的边长．
(2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图 的裁剪方案，阴
影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为 的有盖盒子，则
裁剪下来的边角料面积为__________ ．
26．（10分）【材料阅读】
材料一：在平面直角坐标系 中，对两点 和 ，定义两点间距离：
．
材料二：数学课上，李老师提出如下问题：如图1，在 中， ， ，求
的最小值．经过思考后，小明提出了自己的想法：延长 到点D，使得 ，则 ，连接 …．
【概念理解】
（1）①已知点 ，则 ______．
②函数 的图象如图2所示，点B在图象上， ，点B的坐标是_______．
（2）材料二中， 的最小值为______．
【新知应用】结合材料一和材料二，完成下列问题：
（3）如图3，在平面直角坐标系 中，已知菱形 ，若点M在菱形边上，且 ．
请利用无刻度直尺和圆规在图中作出满足条件的点M．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）如图4，已知点 ，点 ，直线 经过点M，原点 关于直线 的对称点为 ，直接写出
取值范围．27．（10分）综合与探究
如图，在平行四边形 中， 分别是边 ， 上的点， 与 交于点 ．
（1）【特例感知】
如图（a），若四边形 是正方形，当 时，则线段 与 的数量关系是________；
（2）【深入探究】
如图（b），若四边形 是菱形，且 ，则线段 与 满足怎样的数量关系？
请证明你的猜想；
关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．
思路一 思路二
如图，在 边上取一点 使
如图，在 的延长线上取一点 使， ，……
，……
（3）【类比迁移】
如图（c），若四边形 是菱形， 为 的中点， ，请求出 的值；
（4）【联系拓广】
如图（d），在平行四边形 中， ， ， ， 是 边的中点，当点 在直线
上运动，且直线 与直线 所夹的锐角为60°时，请直接写 的长．28．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过A(0,3)， 两点，点 为 轴
右侧抛物线上不与点 重合的一动点，作 轴于点 ，交直线 于点 ，交直线 于点 ，设点
的横坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接 ，当点 在 上方， 时，求点 的坐标．
(3)令 ．
①求 关于 的函数解析式；
②当 时，请直接写出 的取值范围．
