文档内容
2025 年中考押题预测卷（甘肃兰州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．2025年是农历乙巳蛇年，2025的倒数是（ ）
A．2025 B． C．-2025 D．
【答案】B
【分析】本题考查的是倒数的含义．根据乘积为1的两个数互为倒数作答即可．
【详解】解：2025的倒数是 ，
故选：B．
2．《哪吒2》（即《哪吒之魔童闹海》）于2025年1月29日在中国大陆上映，随后在北美、欧洲、港澳
及日本等多个地区陆续上映．该电影不仅刷新华语动画电影天花板，更有望成为全球动画电影票房新标杆．
截至2025年3月27日，该电影在中国内地的累计票房已达150.12亿元人民币．150.12亿用科学记数法表
示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确
定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值大于 与小数点移动的位数相同，据
此即可求解．
【详解】解： 亿 ，
故选：C．
3．如图，所示的几何体的俯视图为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三视图，从上面看几何体得到的图形就是几何体俯视图．
根据俯视图的定义得到所示的几何体的俯视图，即可得到答案．
【详解】
解：几何体的俯视图为
故选：C．
4．如图，直线 ， 平分 ，若 ，则 度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义．根据邻补角的定义、角平分线的定义及平行线的性
质求解即可．
【详解】解： ，
，
平分 ，
，
，
，
故选：B．
5．计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查单项式乘以多项式，用单项式乘以多项式的每一项即可．【详解】解： ，
故选：D．
6．交通文明，让定西与我一起白头偕老．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交
通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他
在路口遇到绿灯的概率为 ，遇到黄灯的概率为 ，那么他遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要查了求概率．用1减去他在路口遇到绿灯和黄灯的概率，即可求解．
【详解】解： ，
即他遇到红灯的概率为 ．
故选：A
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的 ， 两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线 ，
相交于点 ．若 ， ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，中点坐标公式，掌握知识点的应
用是解题的关键．
由矩形的性质可得 ， ，由 ，可证 是 等边三角形，所以
， ，然后通过勾股定理求出 ，则有 ， ，
最后由中点坐标公式即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∵ ，
∴ 是 等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
故选： ．
8．《九章算术》是中国古代第一部数学专著．该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件
物品，若每人出8元，则多3元；若每人出7元，则少4元．问有多少人？该物品价值几何？设有x人．
物品价值y元，则列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意列出方程组
即可．
【详解】解：由题意可得方程组为 ；
故选D．
9．如图所示，是嘉淇所作的凸透镜成像的光路图， 是蜡烛 通过凸透镜 所成的倒立，放大的实
像．已知蜡烛的高度 ，物距 ，焦距 ，光线 通过凸透镜的
光心 ，折射光线 通过凸透镜的右焦点 ，则像 的高度为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明四边形 是矩形，可得
， ，再结合 ， ，再建立方程组解题即可．
【详解】解：由题意得， ， ， ，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，即 ①，
∵ ，
，
，
，
∴ ②，
由①②得：，
故选：A．
10．关于x的分式方程 无解，则m的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握解分式方程是解题的关键．根据分式方程无解的条件求
出 的值，即可得到答案．
【详解】解：原分式方程可化为： ，
两边同时乘以 ，
得： ，
整理得： ，
分式方程无解，，
故①整式方程无解，即 ，
；
②分式方程有增根，即 ，
把 或 分别代入 ，
解得 或 ，
故m的值为 或 或 ，
故选C．
11．已知 ， 是关于 的函数，函数 ， 的图象存在两个或两个以上的公共点，则称函数 与 具
有性质 ，以下函数 与 具有性质 的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的交点问题，依次画出图象，即可解答，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、如图：
与 只有一个公共点，故选项不符合题意；
B、如图：
与 只有一个公共点，故选项不符合题意；
C、如图：
与 有三个公共点，故选项符合题意；
D、如图：
与 只有一个公共点，故选项不符合题意；
故选：C．
12．如图，在菱形 中， ， ，点 在边 上，且 ， 是边 上一动点，
将 沿直线 折叠，点 落在点 处，当点 在四边形 内部（含边界）时， 的长度的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点
的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点 在以 为圆心， 长为半径的圆上运动，连接 ，由
，即 ， ，然后根据点 在四边形 内部（含边界），可推出当
点 正好落在 边上时， 最短，此时易证 是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求
得 ．
【详解】解：根据折叠的性质可知， ， ， 为定点，
点 在以 为圆心， 长为半径的圆上运动，如图所示，连接 ，
，即
点 在四边形 内部（含边界），
当点 正好落在 边上时， 最短，此时 ， 最短，如图所示，四边形 为菱形， ，
，
又 ，
是等边三角形，
，
，
故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．分解因式 的结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用
的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不
能再分解为止．用提取公因式法求解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
14．如图，在 中， 相交于点O，点E、F在 上， ，顺次连接A、F、C、E，
添加一个条件使得四边形 是矩形，则该条件可以是 .（填一个即可）【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，由矩形的判定可得出答案，熟记矩形的判定定理是
解题的关键．
【详解】解：添加 使得四边形 是矩形．
四边形 是平行四边形，
， ，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形．
故答案为： ．
15．某班六个合作学习小组人数如下：5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中
位数是 ．
【答案】6.5
【分析】本题考查了中位数和平均数的求解，根据平均数是6求出 ，可知这组数据为： ，
即可求出中位数．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
∴这组数据为：
故中位数为： ，
故答案为：6.5．
16．如图．已知点 ，将反比例函数 的图象向左平移m个单位长度，若使平
移后的反比例函数图象和线段 有交点，则m的取值范围是 ．【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确找出两个临界位置是解题关键．先把问题转化为将线
段 向右平移 个单位长度后，与反比例函数 的图象有交点，再求出点 平移后的坐标为
，点 平移后的坐标为 ，将这个两个点的坐标代入反比例函数的解析式，由此即可得．
【详解】解：将反比例函数 的图象向左平移 个单位长度，使平移后的函数图象和线段
有交点，相当于将线段 向右平移 个单位长度后，与反比例函数 的图象有交点，
∵ ，
∴点 平移后的坐标为 ，点 平移后的坐标为 ，
由题意，有以下两个临界位置：
①当反比例函数 的图象恰好经过点 时，
则 ，解得 ；
②当反比例函数 的图象恰好经过点 时，
则 ，解得 ；
所以要使平移后的函数图象和线段 有交点，则 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（4分）计算： ．
【答案】2
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，先化简负整数指数幂、乘方、立方根、零次幂 特
殊角的三角函数值，再运算乘除，然后运算加减，即可作答．
【详解】解：
18．（4分） 解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】 ，数轴见解析
【分析】本题考查求不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组的方法是解题
关键．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解： ，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
∴不等式组的解集为： ；
在数轴上表示为：
19．（4分）先化简，再求值： ，其中 ．【答案】 ，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则．
先进行括号内分式的加法运算和括号外面分式的因式分解，然后利用分式的除法法则进行化简，代入求值
即可．
【详解】解：
，
当 时，代入上式，
原式 ．
20．（6分）如图，一次函数 的图像与反比例函数 的图像交于 、 两点，与 轴交于点
，与 轴交于点 ，已知点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，过点 作 轴，垂足为
，
(1)求 和 的值
(2)求反比例函数和一次函数的解析式；
(3)求△AOB的面积．【答案】(1) ； (2)一次函数解析式为 ；反比例函数解析式为 (3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出两个函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意可得 ，在由 可求出m的值，则可求出点A的坐标，再把点A
坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，即可得到n的值；
（2）根据（1）所求可得反比例函数解析式，再把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解
析式即可；
（3）求出点C坐标得到 的长，再根据 列式求解即可．
【详解】（1）解：∵ 轴，垂足为 ，点 的坐标为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ，
把 代入 中得 ，解得 ，
∴反比例函数解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ；
（2）解：由（1）可得反比例函数解析式为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
把点A和点B坐标代入一次函数解析式中得 ，
解得 ，
∴一次函数解析式为 ；（3）解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
21．（6分）如图，将 绕着点 顺时针旋转得到 ，点 恰好落在 边上， 和 相交于
点 ．
(1)求证： ；
(2)过点 作 ，垂足为 ，若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，平角的定义，熟练掌握以上知
识点是解题的关键．
（1）根据题意，可知 ，那么 ， ，那么 ，根
据平角的定义，可知， ，最后由 得到结论；
（2）根据题意，可知 ，那么 ，从而得到 ，最后得出答案．
【详解】（1）证明： 将 绕着点 顺时针旋转得到 ，
， ，
，
，
．
（2）解：由题意可知， ， ，
，
，垂足为 ， ，
，．
22．（6分）九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程．
(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为 ．
隧道顶部最高处距地面 ，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的
解析式；
(2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为 ．为了确保
安全，问该隧道能否让最宽 ，最高 的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间
的空隙）？并说明理由．
【答案】(1)
(2)隧道能让最宽 ，最高 的两辆厢式货车居中并列行驶，理由见解析
【分析】本题主要考查了顶点式求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，将实际问题转化为数学问
题以及数形结合思想成为解题的关键．
（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）根据已知条件可知当 时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意
即可解答．
【详解】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为 ，且图象过 点，
设抛物线的解析式为： ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
（2）解：隧道能让最宽 ，最高 的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下：
当最宽 ，最高 的两辆厢式货车居中并列行驶时，
∴ ， ，∴ 代入解析式得： ；
∴ ，
∴隧道能让最宽 ，最高 的两辆厢式货车居中并列行驶．
23．（6分）阅读与思考
下面是小颖同学复习过程中课后积累笔记的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
×年×月×日晴
在学习“特殊平行四边形”的过程中，我们通过构造矩形，获得了直角三角形斜
边上中线的相关性质，基本思路如下：证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半．
已知：如图1，在 中， ， 是斜边 上的中线．
求证： ．
解题思路：如图2，延长 到点E，使
，连接 ， 四边形 是平行四边形（依据：______） 四边形
是矩形 矩形的对角线相等 结论．
我们学习了“平行线分线段成比例”的相关性质，能否借助这一性质证明“直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半”这一结论呢？小颖给出了如下思路．
已知：如图3，在 中， ， 是斜边 上的中线．
求证：
证明：过点O作 边的垂线，垂足为D．
……
任务：
(1)解题思路中“依据”处应填______；利用尺规在图3中，按照小颗的方法补全图形（保留作图痕迹，不
写作法，标明字母）．
(2)补全小颖的证明过程
(3)请你用其他方法证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，在图4中画出适当的辅助线，并给
出解题思路．【答案】(1)对角线互相平分的四边形是平行四边形，图见解析(2)见解析(3)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，平行线分线
段成比例定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）根据平行四边形的判定即可求解，根据作垂线的方法即可作图；
（2）过点 作 边的垂线，垂足为D． ，则 ，而 ，那么 ，可得 是
的垂直平分线，则 ，即可证明 ；
（3）延长 到点F，使 ，连接 ，先证明 ，再证明 ，
则 ，即可求证．
【详解】（1）解：如图2，
∵ 是斜边 上的中线，
∴
∵ ，
∴四边形 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
补全图形3如下：
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）证明：过点 作 边的垂线，垂足为D．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．∴ ，
∵ 是斜边 上的中线，
∴ ．
∴ ．
∴D是 边的中点，即 是 的垂直平分线．
∴ ．
∴ ；
（3）解：如解图，延长 到点F，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24．（6分）电影《哪吒之魔童闹海》上映9天已登顶中国影史票房榜冠军，上映16天全球累计票房突破
100亿，并于3月15日以150.19亿元票房超越《星球大战：原力觉醒》，位列全球影史票房榜第五位．为
了解大家对电影的评价情况，小李同学从某电影院下午、晚上观影后的观众中各随机抽取了 名观众对这
部电影进行评分（十分制），然后对评分进行分组（A： ；B： ；C： ；D：
）．下面是对数据进行整理、描述和分析后的部分信息．下 晚
午 上
平均
9.2 9.2
数
中位
9.5
数
众数 9.2 9.5
其中下午评分位于 组的有14人，分别为：
10，10，9.8，9.8，9.7，9.6，9.6，9.6，9.5，9.4，9.2，9.2，9.2，9.2
下午、晚上评分的平均数、中位数、众数（单位：分）如上表所示：
(1)填空： _____， _____：并补全条形统计图；
(2)根据以上数据分析，你认为该影院下午、晚上观众中哪个时间段的观众对电影的评分较高？请说明理由
（写出一条理由即可）；
(3)如果该影院下午和晚上共有3000名观众观看了这部电影，请估计给这部电影评分在9分以上的观众有
多少人？
【答案】(1)20，9.3；图见解析
(2)晚上的观众更欢这部电影，理由：调查晚上的观众评分的中位数比下午的观众的评分高
(3)2100人
【分析】本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．
（1）下午观众的评分位于A组有14人，占调查人数的 ，可求出调查人数，即m的值，根据中位数的
意义可求出n的值；
（2）根据中位数进行判断即可；
（3）求出该影院下午和晚上观众评分高于9分的人数所占的百分比，再乘以总人数3000即可．
【详解】（1）解： （人），将下午抽出的20名观众的评分从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为 ，
即 ，
晚上B组人数为 （人），
补全条形统计图：
故答案为：20，9.3；
（2）解：晚上的观众更喜欢这部电影，理由：调查晚上的观众评分的中位数比下午的观众的评分高；
（3）解： （人），
答：估计这3000人中给出这部电影评分在9分以上的观众人数是2100人．
25．（6分）某校数学“综合与实践”小组在测量临沂书圣阁的高度时，形成了如下不完整的实践报告：
测量对
书圣阁
象
测量目
学会运用锐角三角函数有关知识解决生活实际问题
的
测量工
无人机
具
如测量示意图所示（图中各点均在同一竖直平面内）：
先将无人机从地面的点C处垂直上升 m至点 ，此时测得书圣阁的顶端A
测量方
的俯角为 ；
案
再将无人机从点 处向右沿水平方向飞行 m至点 ，然后沿垂直方向上升
m至点 ，此时测得书圣阁的端A的俯角 ．|
测量示
意图
请根据以上实践报告中的测量数据，帮助该数学“综合与实践”小组求出书圣阁的高度．（结果保留整数，参考数据：
【答案】 m
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，仰角俯角问题，准确理解题意，熟练掌握解直角三角形的方法
是解题的关键．延长 交 于 ，延长 交 于 ，设 ，在 中， ，
可得 ， ，在 中，通过 ，列出方程
，解方程求得 ，最后通过 ，求得 的值．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，延长 交 于 ，
由题易知，四边形 为矩形，
则 ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
则 ，
，
在 中， ，
，
，即 ，
解得： ，则 ，
答：书圣阁的高度约为 m．
26．（7分）如图， 是 的一条对角线，且 ， 的外接圆 与 边交于点 ．
连结 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 的半径为5，且 ，求 的长．
【答案】(1)见详解(2)见详解(3)6
【分析】（1）连接 、 ，连接 并延长交 于点 ，可得 垂直平分 ，则 ，
由三角形内角和定理得出 ，由等边对等角以及圆周角定理得出
，再根据平行四边形的性质得出 ，进而得出 ，进一步即
可得出 是 的切线．
（2）由等边对等角，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质得出 ，即可证明
．
（3）连接 过点B作 于点F，由等腰三角形三线合一的性质可知 ，由
，设 ， ，得出 ，最后根据勾股求解即可．
【详解】（1）证明：连接 、 ，连接 并延长交 于点 ，
∵ ， ，∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵四边形 是 内接四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ；
（3）解：连接 、 ，连接 并延长交 于点 ，由（1）可知， 垂直平分 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴设 ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 ，
解得： （舍去）或 ，
∴ ．
27．（8分）如图，在平行四边形 中，E，F分别是边 ， 上的点， 与 交于点P．
(1)【特例感知】如图（a），若四边形 是正方形，当 时，则线段 与 的数量关系是
(2)【深入探究】如图（b），若四边形 是菱形，且 ，则线段 与 满足怎样的数量关
系？请证明你的猜想；
关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题．
思路一 思路二如图，在 边上取一点M使 如图，在 的延长线上取一点N，使
…… ，……
(3)【类比迁移】如图（c），若四边形 是菱形，E为 的中点， ，请求出 的
值；
【答案】(1) (2)猜想 ．证明见解析(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等得 ．再由 证明 即可得到 ；
（2）两种方法：通过辅助线构造 证得 ，或通过辅助线构造
证得 ，再由 即可证明结论．
（3）通过延长 ，使 ，构造 ，进而得到 ，结合 求出答案．
【详解】（1）解：当四边形 是正方形， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：猜想 ．
证明：思路一：如图，在 上取一点M，使 ，则 ，∵四边形 是菱形，
∴ ， ，∠ABM=∠C=180°， ，
∵∠AME=∠AMB=180°，∠ABM=∠C=180°，
∴ ，
∵∠APB=∠D=∠ABM=∠AMB，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
思路二：如图，在 延长线上取点N，使 ，则 ，
根据菱形的性质 ， ，
∴ ，
又∵∠BAN=∠ABC=∠ANB，∠APB=∠AEB=∠CBF，且 ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图，延长 ，使 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，∠PBE=∠BEP=∠APB， ，
∴ ，
在 和 中，∠GAE=∠CBF， ，
∴ ，
∴ ．
28．（9分）对于平面直角坐标系 中的点 和图形 ，给出如下的定义：若在图形 上存在一点 ，
使得 两点间的距离小于或等于 ，则称 为图形 的关联点．(1)当 的半径为 时，
① 在点 中， 的关联点是_______；
② 点 在直线 上，若 为 的关联点，直接写出点 的横坐标 的取值范围；
(2) 的圆心在 轴上，半径为 ，直线 与 轴， 轴分别交于点 ．若线段 上的所有点
都是 的关联点，直接写出圆心 的横坐标 的取值范围．
【答案】(1)① ；② 或 (2)
【分析】（ ）①利用两点间距离公式求出 ，进而根据半径为 求出点 与 的最
小距离即可判断求解；②根据定义可得，当直线 上的点 到原点的距离在 到 之间时符合题意，
利用两点间距离公式分别求出点 的横坐标即可求解；
（ ）分四种情况画出图形解答即可求解．
【详解】（1）解：①∵点 ，
∴ ， ， ，
∴点 与 的最小距离为 ，点 与 的最小距离为 ，点 与 的最小距离为
，∴ 的关联点是 ，
故答案为： ；
②根据定义可得，当直线 上的点 到原点的距离在 到 之间时符合题意，
∴设点 的坐标为 ，
当 时，由距离公式可得， ，
解得 ，
当 时，由距离公式可得， ，
解得 ，
故点 的横坐标的取值范围为 或 ；
（2）解：∵ 与 轴、 轴的交点分别为 两点，
令 ，得 ，
解得 ，
令 ，得 ，
∴ ， ，
如图 ，当圆过点 时， ，
∴点 坐标为 ，如图 ，当直线与小圆相切时，切点为 ，则
又∵直线 所在的函数解析式为 ，
∴直线 与 轴形成的夹角是 ，
∴ 中， ，
∴ 点坐标为 ，
∴ 点的横坐标的取值范围为 ；
如图3，当圆过点 时， ，
∴ 点坐标为 ，此时 ，不符合题意；
如图 ，当圆过点 时，连接 ，此时 ，
∴在 中，由勾股定理得 ，
∴ 点坐标为 ，
显然，此时 不符合题意；
∴该种情况不存在，不合题意；
综上，圆心 的横坐标 的取值范围为 ．
【点睛】本题考查了两点间距离公式，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，一次函数的性质，解题
的关键是正确地理解新定义，运用分类讨论思想解答．
