文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（甘肃兰州卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1． 的相反数是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：C．
2．一部《哪吒之魔童闹海》在全球影史票房榜上不断将新纪录收入囊中．据网络数据平台，截至3月19
日，《哪吒之魔童闹海》累计票房（含海外及预售票房）突破151.7亿元．151.7亿用科学记数法表示为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相
同．
【详解】解：151.7亿用科学记数法表示为 ，
故选：C．
3．已知 ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．【答案】C
【分析】本题主要考查了整式的加减运算，同底数幂的乘法运算，先把 化简，再把a的值
代入，即可得到结果．
【详解】解：∵ ，
∴
．
故选：C．
4．一块含有 的直角三角板按如图所示放置，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，由平行线的性质得
，进而由对顶角性质得 ，最后根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知
识点是解题的关键．
【详解】解：如图，∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
5．交通文明，让定西与我一起白头偕老．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交
通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为 ，遇到黄灯的概率为 ，那么他遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要查了求概率．用1减去他在路口遇到绿灯和黄灯的概率，即可求解．
【详解】解： ，
即他遇到红灯的概率为 ．
故选：A
6．已知一元二次方程 配方后可变形为 ，则 的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项再配方得 ，即可作答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
则
∴ ，
故选：A
7．如图，将一个 形状的楔子从木桩的底端点 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已
知楔子斜面的倾斜角为 ，若楔子沿水平方向前移 （如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角函数的应用，设木桩上升了 ，根据 ，即可求解．【详解】解：设木桩上升了 ，由已知图形可得： ，
木桩上升的高度 ．
故选：A．
8．已知反比例函数 的图象与函数 的图象没有交点．若点 、 、 在这个
反比例函数 的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数和正比例函数的图形与性质，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此
函数的解析式是解答此题的关键．
先根据两个函数没有交点，确定k的符号，再根据函数的增减性，进行判断即可．
【详解】 函数 经过一、三象限，反比例函数 的图象与函数 的图象没有交点，
反比例函数 的图象在二、四象限，
、 、 在这个反比例函数 的图象上，
点 、 在第二象限，点 在第四象限，
，
，
，
，
，
故选：B．
9．《九章算术》中记载了这样一个数学问题：“今有上禾三乘，益实六斗，当下一十乘：下禾五乘，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加
六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子：有下等稻子五捆，若打出的谷子再加一斗，则相当于两捆上
等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆能打多少斗谷子？设上等稻子每捆能打 斗谷子，下等稻子
每捆能打 斗谷子，根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组．根据上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相
当于十捆下等稻子打出来的谷子：有下等稻子五捆，若打出的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出
来的谷子．列出方程组即可．
【详解】解：设上等稻子每捆能打 斗谷子，下等稻子每捆能打 斗谷子，根据题意得：
．
故选：D
10．如图， 是半圆的直径，点 是 的中点，连接 ， ， 于点 ．若 ，
，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 ， ．由圆周角定理可得 ，根据点 是 的中点，可知
，即可证 为等腰直角三角形，结合勾股定理可求出 ，最后根据 ，结合扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，连接 ， ．
∴ ．
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
故选A．
11．已知二次函数 的图象上有四个点： ， ，其中
，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握
相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据 或 来判断出对称轴在 轴的负半轴，再结
合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答．
【详解】解：∵ ，∴对称轴为直线 ，
当 时，则 ，
∴ ，
此时对称轴在 轴的负半轴，抛物线的开口方向向上，
∴越靠近对称轴的 所对应的函数值越小，
∵ ， ，
∴点 与点 关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴ ，
∴ ，
即 ，故A选项不符合题意；
∵ ，越靠近对称轴的 所对应的函数值越小，
∴ 或 或 或 ，
故B选项不符合题意；
当 时，则 ，
∴ ，
此时对称轴在 轴的负半轴，抛物线的开口方向向下，
∴越靠近对称轴的 所对应的函数值越大，
∵ ， ，
∴点 与点 关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称，
∴ ，
∴ ，
即 ，故C选项不符合题意；
∵ ，越靠近对称轴的 所对应的函数值越大，
∴ 或 或 或 ，
故D选项符合题意；
故选：D．12．如图1，在 中，连接 ， ， ．动点 从点 出发，沿 边匀速
运动．运动到点 停止．过点 作 交 边于点 ，连接 ， ．设 ，
， 与 的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 至 ，使 ，连接 ，连接 交 于 ， 当 、 、 三点共线时，
最小，即 最小，当 运动到 时， 最小，由图 得当 时， ，此
时 与 重合， 与 重合，结合平行四边形的判定方法及性质和勾股定理，即可求解．
【详解】解：延长 至 ，使 ，连接 ，连接 交 于 ，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，
即 最小，
当 运动到 时， 最小，
由图 得：当 时， ，
此时 与 重合， 与 重合，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
当 时，，
函数图象最低点坐标为 ，
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
先提取公因式 ，然后再用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
14．在2023年10月6日举行的杭州亚运会女篮决赛中，中国女篮成功卫冕．比赛时中国队5名首发队员
的身高如图．比赛中，由身高 的14号和身高 的10号上场、换下15号和5号队员，此时场上
5名队员身高的方差设为 ，与首发5名队员身高的方差 相比较有 （填“＞”，
“＜”或“＝”）．【答案】
【分析】本题考查了方差的意义，解答本题的关键是掌握定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，
方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据
分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．利用方差公式计算，然后比较大小即
可．
【详解】解： 首发5名队员身高为：211，180，182，190，175，
由身高 的14号和身高 的10号上场，换下15号和5号队员，此时场上5名队员身高为：
201，180，182，190，185，
首发5名队员身高的波动大，
首发5名队员身高的方差大于此时5名队员身高的方差．
故 ．
故答案为： ．
15．阿基米德说： “给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识
——杠杆原理．如图 ，春白——谷物种子脱壳的传统工具，就是利用了杠杆原理工作， 图 是该舂臼
的侧面简易示意图， 点 是支点， 点 距地面 ，且 ，在舂臼使用过程中， 若 端上
升至距地面 处， 则 端此时距地面 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
过 作 地面于 ，过 作 地面于 ，过 作 地面于 ，过 作 于 交 于 ，根据相似三角形的判定与性质即可得到结论．
【详解】解：过 作 地面于 ，过 作 地面于 ，过 作 地面于 ，过 作 于
交 于 ，则 ， ，
由题意得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
端此时距地面 ，
故答案为： ．
16．如图，在 中， ，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到
，此时点 恰好在 边上，则点 与点B之间的距离为
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，先连接
，先证明 为等边三角形得到 ，再证明 是等边三角形得到 ，再根据勾股定理求得 ，进而得出答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
根据旋转的性质得 ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
根据勾股定理，得 ，
∴ ，
∴点 与点B之间的距离为 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共12个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（4分）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，先化简各式，然后再进行加减计算即可解答．
【详解】解： ．18．（4分）解方程组：
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解： ，
① ② ，得 ③，
解得 ，
把 代入①，得 ，
所以方程组的解是 ．
19．（4分）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先利用分式的混合运算法则化简得到化简结果，再将 ， 代入计算即可．
【详解】解：
，
， ，
原式 ．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中．一次函数 的图象与反比例函数 的
图象交于 ， 两点，与x轴交于点 ．(1)求该反比例函数和一次函数的表达式；
(2)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得 的面积为18，求点P的坐标．
【答案】(1) ，
(2)点P坐标为 ．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题；
（1）将 代入 ，即可确定 ，将 ， 代入 ，即可确定一次
函数表达式；
（2）先求出一次函数与 轴交点坐标，可以得到 的长度，通过设 点坐标为 ，再利用三角形面
积建立等量关系即可确定点 坐标；
【详解】（1）解：将 代入 ，得： ，
反比例函数解析式为 ，
把 ， 代入一次函数 ，
得 ，
解得 ，
一次函数解析式为 ；（2）解： 点C坐标为 ，点P在反比例函数 的图象上，
设P点坐标为 ，
，
，
解得： 或 ，
又 点P在第三象限，
点P坐标为 ．
21．（6分）已知：如图，在矩形 中，点E、F分别在边 上，且 ，延长
分别交 延长线于点H、G．
(1)求证： ；
(2)联结 ，如果 ，求证：四边形 是正方形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判
定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
（1）由矩形的性质可得 ，再证明 推出
，则 ；
（2）先导角证明 ，则可证明 ，证明 ，进而可证明
， ，再证明 ，得到 ，即可证明 ，据此可证明结论．
【详解】（1）证明：∵四边形 是矩形，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形．
22．（6分）如图1，位于甘肃某地的沙漠边缘地区常见抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛
物线状，它的两翼附近生长着梭梭树．建立如图2所示的平面直角坐标系，已知某一抛物线状沙丘
（呈对称）两翼端点的水平距离（ ，沙丘弧顶最高点A到 的距离为 ，边界线 与
之间为梭梭树生长较茂密地带，且 ，点C到沙丘左翼端点O的水平距离 ．
(1)求抛物线状沙丘 的表达式：
(2)求梭梭树生长较茂密地带宽度 的长．
【答案】(1)该抛物线的表达式为 (2)梭梭树较茂密地带宽度CE的长为
【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等．
（1）先求出顶点坐标 ，再设该抛物线的表达式 ，再将 代入即可得到；
（2）将 代入（1）中求得的解析式中即可求出本题答案．
【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点为 ，
∴可设该抛物线的表达式为
∵抛物线经过点 ，∴ ，
解得：
∴该抛物线的表达式为：
（2）解：∵ ，
∴点C的横坐标为30．
∴当 时，
∴梭梭树较茂密地带宽度 的长为 ．
23．（6分）综合与实践：数学中的折纸与作图
折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本
图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，
为此开展以下探究活动．
探
究
平行四边形中的折纸与作图
主
题
探
究
如图1，一张平行四边形纸片
素
材
如图2，将平行四边形纸片 折叠，使得点 与点 重合，折痕 交 于
点 ，交 于点 ，点 的对应点为 ．
折
纸
过
程
（1）在折纸过程中，图2中折痕 与 的位置关系是_____；
探
（2）在折纸过程中，图2中 与 的数量关系是_____；
究
问 （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即
题
在平行四边形 中画出折痕 ，以及四边形 折叠后的四边形
（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】（1）垂直；（2） ；（3）见解析
【分析】本题主要考查轴对称，折叠的性质，尺规作垂线的方法，掌握轴对称，折叠的性质是关键．
（1）根据折叠，轴对称图形的性质即可求解；
（2）根据折叠得到 ，根据平行四边形的性质得到 ，则 ，由
此即可求解；
（3）根据尺规作垂直的方法作图即可．
【详解】解：（1）∵折叠，点 重合，即成轴对称图形，
∴线段 与折痕 相互垂直，
故答案为：垂直；
（2）∵折叠，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）根据（1），（2）可得， ，且 平分 ，
∵折叠，
∴ ， ，
∴ ，且 平分 ， 折痕 所在直线，
∴如图所示，连接 ，分别以点 为圆心，以大于 为半径画弧，交于点 ，
连接 交 于点 ，
以点 为圆心，以任意长为半径画弧交 于点 ，分别以点 为圆心，以大于 为半径画弧，
交于点 ，连接 ，
∴四边形 即为四边形 关于折痕 折叠后的图形．
24．（6分）某校为了解七、八年级学生对“用火用电”安全知识的掌握情况，从七、八年级各班随机抽
取40名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下：
七年级成绩在 这一组的是：80，81，82，82，84，85，86，86，87，87，87，88，89．
七、八年级成绩的平均数、中位数如下：
年 平均 中位
级 数 数
七 82 m
八 83 84
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中m的值为__________；
(2)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是84分，请判断两位学生在各自年级的排名谁
更靠前，并说明理由；(3)该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩高于82分的人数．
【答案】(1)83；(2)甲学生在该年级的排名更靠前．理由见解析(3)200人
【分析】本题考查了中位数的定义和意义，利用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键．
（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数的意义分析即可；
（3）用七年级人数乘以成绩高于82分的学生占比即可．
【详解】（1）解： 七年级40名学生成绩的中位数为第20、21名成绩的平均数，且 分有
人，
，
故答案为：83；
（2）解：甲学生在该年级的排名更靠前．
七年级学生甲的成绩高于中位数，其名次在七年级20名之前，
八年级学生乙的成绩等于中位数84分，其名次在八年级20或20名之后，
甲学生在该年级的排名更靠前；
（3）解： （人）
估计七年级成绩高于82分的人数为200人．
25．（6分）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试
管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知
试管 ，试管倾斜角 为 ．
(1)求试管口B与铁杆 的水平距离 的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示）
(2)实验时，导气管紧靠水槽壁 ，延长 交 的延长线于点F，且 于点N（点C，D，N，
F在一条直线上），经测得： ，求线段 的长度．（结果用含非
特殊角的三角函数表示）【答案】(1) (2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角
关系是解题关键．
（1）先求出 ，再在 中，利用余弦的定义求解即可得；
（2）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先解直角三角形可得 的长，从而可得
的长，再判断出 是等腰直角三角形，从而可得 的长，最后根据 求
解即可得．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
由题意可知， ，
在 中， ，
∴ ，
答：试管口 与铁杆 的水平距离 的长度 ．
（2）解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
则四边形 和四边形 都是矩形，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
答：线段 的长度为 ．
26．（7分）如图，△ABC内接于 ， 是 的直径，过 的延长线上一点 作 于点 ，
交 于点 ，点 是 的中点，连接 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题主要考查切线的判定，正切值的计算，掌握直径所对圆周角为直角，等边对等角，直角三角
形斜边中线等于斜边的一半，正切值的计算方法是关键．
（1）连接 ，由直径所对圆周角为直角得到 ，由直角三角形斜边中线得到
，由等边对等角得 ，根据垂直的定义得 ，根据等边
对等角得 ，则 ， ，结合切线的判定即可求解；
（2）根据题意得 ，在 中， ，可得 ，根据角的计
算得到 ，则 ，在 中， ，则 ，根据直角三
角形斜边中线等于斜边的一半即可求解．
【详解】（1）证明： 连接 ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， 点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∴ ．
27．（8分）如图⑥，抛物线 与x轴交于O、A两点，与直线 交于O、 两点，过
点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段 方向匀速运动，运动到点O时停止．
(1)求抛物线 的表达式：
(2)请在图⑥中过点P作 轴于点F，延长 交 于点E，当 时，求点P的坐标：
(3)如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，
点P停止运动时点Q也停止运动，连接 ，求 的最小值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设点P的坐标为 （ ），可得点E的坐标为 ，点F的坐标为 ，由
，可得 ，解得 ，即可求解；（3）在 上方作 ．使得 ， ，连接 ，证明 ，可得
．当M，Q，B三点共线时 最小，则 的最小值为 的长，再求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，
∴ ，
∴ ．
∴抛物线的表达式为 ；
（2）解：如图，
设点P的坐标为 （ ），
结合题意可得，点E的坐标为 ，点F的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴点P的坐标为 ；
（3）解：由题意得， ．
如图，在 上方作 ．使得 ， ，连接 ，∵点B的坐标为 ， 轴，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∴ （当M，Q，B三点共线时取等号），
∴ 的最小值为 的长，
∵ ，
∴ ．
∴ 的最小值为 ．
28．（9分）综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，
探究旋转变换的几何问题．(1)【建立模型】如图1，点M为等边三角形 内部一点，小颜发现：将 绕点B逆时针旋转 得到
，则 ，请思考并证明；
(2)【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形 内部一点，将 绕点B逆时针旋转
得到 ，连接 并延长，交 于点E．求证： ；
(3)【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为 内部一点， ，点P，Q是
上的动点，且 ，若 ， ， 请直接写出 的
最小值．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，正方形性质，矩形判定及性质，共线问题最
值和勾股定理等．
（1）根据题意证明 ，即可得到本题答案；
（2）过点B分别作 于点 F， 于点 G，再证明出 和
，再证明出四边形 为矩形，后得到 为正方形，继而利用正方形性质即可
得到结论；
（3）连接 ， 将 绕点A 逆时针旋转一定的度数得到 ， 使得 ， 连接 ，
当M， Q， N三点共线时， 有最小值是 的长度，再利用勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵ 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴ ．
∵ 为等边三角形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ；
（2）证明：如图1， 过点B分别作 于点 F， 于点 G，
，
∵ 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴ ．
∵四边形 为正方形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 和 中，
，
∴
∴ ．∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴四边形 为矩形．
∵ ，
∴矩形 为正方形．
∴ ．
∴ ．
∵四边形 为正方形，
，
；
（3）解： 连接 ， 将 绕点A 逆时针旋转一定的度数得到 ， 使得 ， 连接
．
，
∴ ．
∴ ．
连接 交 于点 ，
∴ (两点之间线段最短)．∴当M， Q， N三点共线时， 有最小值是 的长度．
由（2）易得： ．
∴ ， ．
∵ ．
∴ ．
∴ ．
过N作 于H．
∵ ，
∴ ．
∴ ，
，
．
