文档内容
专题 21 复数
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
1.复数的有关概念
(1)定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数.复数一般用小写字母z表示，即z
＝ a ＋ b i(a，b∈R)，其中a称为z的实部，b 称为z的虚部.
(2)分类：
满足条件(a，b为实数)
a＋bi为实数⇔ b ＝ 0
复数的
a＋bi为虚数⇔ b ≠ 0
分类
a＋bi为纯虚数⇔ a ＝ 0 且 b ≠ 0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔ a ＝ c 且 b ＝ d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，
复数z的共轭复数用z 表示.
(5)复数的模：向量OZ＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，复数z
的模用|z|表示，因此|z|＝ . 当 b＝0时，|z|＝＝ |a |.
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi与复平面内的点 Z ( a ， b )及平面向量OZ＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z＝a＋bi，z＝c＋di，a，b，c，d∈R.
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(2)几何意义：
复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZZZ可以直观地反映出复数加、减法的几
1 2
何意义，即OZ＝OZ1＋OZ2，Z1Z2＝OZ2－OZ1.
(3)由复数加、减法的几何意义可得 | |z | － |z ||≤|z±z|≤ |z |
1 2 1 2 1
＋ |z |.
2
本专题是复数的基础知识，高考中重点考查复数的模的计算及复数相等的条件，复数的四则运算，
共轭复数等，主要以选择题、填空题的形式出现，难度较低。
题型一 复数的概念
例1（1）复数 的模为（ ）
A． B．2 C． D．3
答案 C
分析 根据复数的运算，结合复数的模长计算公式，可得答案.
解析 ， ．故选:C
（2）已知复数 ，若 是实数，则实数 （ ）
A．3 B． C．6 D．
答案 C
分析 根据条件，利用复数的运算及复数的定义，即可求出结果.
解析 因为 ，则 ，
∴ ，得到 ，
故选：C．
方法归纳： 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化
为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
题型二 复数的四则运算
例2（1）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
答案 B
分析 设复数 ，由题设条件求得 ，最后代入所求式即得.
解析 设 ，则 ，
由 ，可得
则 .
故选：B
（2）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
答案 B
分析 根据复数代数形式的除法运算化简 ，即可求出 ，从而求出其模.
解析 因为 ，所以 ，所以 ．
故选：B．
方法归纳： (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
题型三 复数的几何意义
例3 (1)己知 是虚数单位，则复数 对应的点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 A
分析 利用复数乘方的运算法则，由复数的除法运算可得结果.
解析 易知 ， ,
所以 ，
其对应点的坐标为 ，位于第一象限.
故选：A
(2)(2020·全国Ⅱ)设复数z，z满足|z|＝|z|＝2，z＋z＝＋i，则|z－z|＝________.
1 2 1 2 1 2 1 2
答案 2
解析 方法一 设z－z＝a＋bi，a，b∈R，
1 2
因为z＋z＝＋i，
1 2
所以2z＝(＋a)＋(1＋b)i，
1
2z＝(－a)＋(1－b)i.
2
因为|z|＝|z|＝2，所以|2z|＝|2z|＝4，
1 2 1 2
所以＝4，①
＝4，②
①2＋②2，得a2＋b2＝12.
所以|z－z|＝＝2.
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方法二 设复数z，z在复平面内分别对应向量OA，OB，
1 2
则z＋z对应向量OA＋OB.
1 2
由题意知|OA|＝|OB|＝|OA＋OB|＝2，
如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z－z对应向量BA，
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且|OA|＝|AC|＝|OC|＝2，
可得|BA|＝2|OA|sin 60°＝2.
故|z－z|＝|BA|＝2.
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方法归纳： 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一
起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
在如图的复平面中，r＝，cos θ＝，sin θ＝，tan θ＝(a≠0)．
任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，r是复数z的模；θ是以x
轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．
我们把r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．
对应于复数的三角形式，把z＝a＋bi叫做复数的代数形式．
复数乘、除运算的三角表示：
已知复数z＝r(cos θ＋isin θ)，
1 1 1 1
z＝r(cos θ＋isin θ)，则
2 2 2 2
z·z＝rr[cos(θ＋θ)＋isin(θ＋θ)]．
1 2 1 2 1 2 1 2
＝[cos(θ－θ)＋isin(θ－θ)]．
1 2 1 2
例4（1） 的三角形式是（ ）
A． B．
C． D．
答案 D
分析 合理化简原复数，表示为三角形式即可.解析 由题意得 ，故D正确.
故选：D
（2）在复平面内，把复数 对应的向量 按顺时针方向旋转 ，所得向量在 上的投影向量对应复数
是（ ）
A． B． C． D．
答案 D
分析 由复数的几何意义可得旋转后的向量所对应的复数为 并化简 ，再结
合投影向量的定义求解．
解析 因为把复数 对应的向量 按顺时针方向旋转 ，
所以旋转后的向量所对应的复数为
，
所以旋转后的向量 ，
又因为 ， ，
所以向量 在 上的投影向量是 ，即对应复数是 .
故选： .
（3）复数 是虚数单位 在复平面内对应点为 ，设 是以 轴的非负半轴为始
边，以 所在的射线为终边的角，则 ，把 叫做复数 的三角
形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算， ，例如： ，
，复数 满足： ，则 可能取值为
（ ）
A． B．
C． D．
答案 D
分析 根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得 ，即可
得解.
解析 设 ，
则 ，
所以 ， ，即 ，
所以
故 时， ，故 可取 ，
故选：D
【点睛】关键点点睛：理解复数三角形及三角形下复数的指数运算是解题的关键，通过三角形的运算，再
利用复数相等，建立方程即可得出所求复数的一般形式.
