当前位置:首页>文档>数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试

数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试

  • 2026-06-02 17:31:45 2026-06-02 17:31:45

文档预览

数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试
数学(湖南长沙卷)(全解全析)_中考复习资料_语数英物化_2数学中考复习_赠送:2025中考模拟题_2025年数学三模_数学(湖南长沙卷)-2025年中考第三次模拟考试

文档信息

文档格式
docx
文档大小
1.102 MB
文档页数
23 页
上传时间
2026-06-02 17:31:45

文档内容

2025 年中考第三次模拟考试(长沙卷) (考试时间:120分钟 分值:120分) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.下列图形既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义,掌握中心对称图形与轴对称图形的概念,要注意:轴对称图 形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原 图重合.根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可. 【详解】解:A.既不是轴对称图形,也是中心对称图形,故该选项不符合题意, B.是轴对称图形,不是中心对称图形,故该选项不符合题意, C.是轴对称图形,不是中心对称图形,故该选项不符合题意, D.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故该选项符合题意. 故选:D. 2.用科学记数法表示-20200,正确的是( ). A.2.02× B.-20.2× C. D.-2.02× 【答案】D【分析】一般地,一个绝对值大于10的数都可记成a× 的形式,其中1≤a<10,n是正整数(n等于原数 的整数位数减1),这种记数方法叫做科学记数法. 【详解】解:用科学记数法表示-20200是-2.02× , 故选D. 【点睛】一般地,一个绝对值大于10的数都可记成a× 的形式,其中1≤a<10,n是正整数(n等于原数 的整数位数减1),这种记数方法叫做科学记数法.,掌握科学记数法是解题的关键. 3.中国空间站位于距离地面约 的太空环境中,由于没有大气层保护,在太阳光线直射下,空间站 表面温度可高达零上 ,其背阳面温度可低至零下 ,太阳直射空间站表面温度与背阳面的最大温 差是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了有理数减法的应用,由实际意义得 ,即可求解;能根据实际意义得出算 式是解题的关键. 【详解】解:由题意得 ( ), 故选:C. 4.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法,完全平方公式,算术平方根定义,幂的乘方,同底数幂除法, 解题的关键是熟练掌握运算法则.根据同底数幂的乘法,完全平方公式,算术平方根定义,幂的乘方,同 底数幂除法运算法则,进行计算,逐项进行判断即可. 【详解】解:A. ,原计算错误,不符合题意;B. ,原计算错误,不符合题意; C. ,原计算错误,不符合题意; D. ,正确,符合题意. 故选:D. 5.小杰同学对数据 进行统计分析,发现其中一个两位数的个位数字被黑墨水涂污看不到了, 则计算结果与被涂污数字无关的是( ) A.中位数 B.平均数 C.众数 D.方差 【答案】A 【分析】本题考查了中位数,根据中位数定义即可求解,掌握中位数定义是解题的关键. 【详解】解:平均数、众数、方差的计算结果与被涂污数字有关, 计算结果与被涂污数字无关的是中位数,不管被涂污数字是多少,中位数都是 , 故选: . 6.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,P的坐标分别为 , , .若 ,且 ,则点Q的坐标是( ) A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【分析】过点P作 的平行线,根据点A到点B或者点B到点A的平移规律即可得到答案. 【详解】解:如图,过点P作 的平行线,∵ , ∴点Q可以看作由点P沿着直线 的方向经过平移得到的, ∵点A,B的坐标分别为 , , ∴点A可以看成点B向右平移3个单位,向下平移2个单位得到的, 或者点B可以看成点A向左平移3个单位,向上平移2个单位得到的, ∴点 向左平移3个单位,向上平移2个单位得到 , 或点 向右平移3个单位,向下平移2个单位得到 , 即点P的坐标是 或 . 故选:A 【点睛】此题考查了点的平移,找到平移规律是解题的关键. 7.反比例函数 过点 ,则关于一次函数 说法正确的是( ) A.不过第一象限 B.y随x的增大而增大 C.一次函数过点 D.一次函数与坐标轴围成的三角形的面积是4 【答案】B 【分析】把点 代入反比例函数 ,求出k的值,再把k的值代入一次函数 ,再根据 一次函数的性质即可解答. 【详解】解:∵反比例函数 过点 , ∴ ,解得 , ∴一次函数 的解析式为 ,∴函数图像过一三四象限,不过第二象限,故A错误,不符合题意; ∵ , ∴y随x的增大而增大,故B正确,符合题意; ∵当 时, , ∴一次函数不过点 ,故C错误,不符合题意; ∵ 与坐标轴的交点为 , ∴一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为 ,故D错误,不符合题意. 故选:B. 【点睛】本题主要考查的是反比例函数及一次函数的性质,先根据题意得出k的值是解题的关键. 8.如图,直线 , , ,则 的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】题目主要考查平行线的性质及三角形外角的性质,根据题意得出 ,再由三角形的 外角求解即可. 【详解】解:∵ , , ∴ , ∵ , ∴ , 故选:C. 9.如图, 是 的直径,弦 于点E,若 , ,则线段 的长为( )A.4 B.6 C.8 D.9 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理,勾股定理,根据 是 的直径, 得 ,根据 , 得 , ,在 中,根据勾股定理得, ,即可 得;掌握垂径定理,勾股定理是解题的关键. 【详解】解:∵ 是 的直径, , ∴ , ∵ , , ∴ , , 在 中,根据勾股定理得, , ∴ , 故选:A. 10.如图,正方形 的边长为 , , 分别位于 轴、 轴上,点 在 上, 交 于点 ,函 数 的图像经过点 ,若 ,则 的值为( ) A.32 B.36 C.40 D.49 【答案】B 【分析】根据正方形的性质可得出 ,从而得出 ,再根据 ,即可得出 点 的坐标,利用待定系数法求出直线 和 的解析式,联立两个解析式求出交点坐标后再由反比例函 数图像上点的坐标特征即可得出结论. 【详解】解:∵四边形 为正方形,∴ , ∴ , ∵ , ∴ , ∴ , ∵正方形 的边长为 , ∴ , , , 设直线 的解析式为 ,直线 的解析式为 , ∴ , , 解得: , , ∴直线 的解析式为 ,直线 的解析式为 , 联立直线 和直线 的解析式得: , 解得: , ∴ , ∵函数 的图像经过点 , ∴ . 故选:B. 【点睛】本题考查正方形的性质、反比例函数图像上点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质.解题的 关键用待定系数法确定直线函数解析式,通过解方程组确定两直线的交点坐标.二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分. 11.甲、乙、丙三名射击手的20次测试的平均成绩都是8环,方差分别 (环2), (环2), (环2),则成绩最稳定的是 . 【答案】甲 【分析】根据方差的意义即可得出结论.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明这组数 据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定. 【详解】根据方差的定义,方差越小数据越稳定,因为 (环2), (环2), (环2) ,方 差最小的为甲,所以本题中成绩比较稳定的是甲. 故填甲. 【点睛】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,表明这组数据偏离 平均数越大,即波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,表明这组数据分布比较集中,各数据偏离平 均数越小,即波动越小,数据越稳定. 12.现有四根长 , , , 的木棒,任取其中的三根,首尾顺次相连后,能组成三角形 的概率为 . 【答案】 【分析】先展示所有可能的结果数,再根据三角形三边的关系得到能组成三角形的结果数,然后根据概率 公式求解. 【详解】解:∵现有四根长30cm、40cm、70cm、90cm的木棒,任取其中的三根,可能结果有:30cm、 40cm、70cm;30cm、40cm、90cm;30cm、70cm、90cm;40cm、70cm、90cm;其中首尾相连后,能组成 三角形的有:30cm、70cm、90cm;40cm、70cm、90cm; 共有4种等可能的结果数,其中有2种能组成三角形, 所以能组成三角形的概率= . 故答案为 . 【点睛】本题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)= . 13.使式子 有意义的 取值范围是 . 【答案】x≥-5且x≠2 【分析】根据二次根式有意义的条件,分式有意义的条件解答即可. 【详解】解:∵式子 有意义, ∴x+5 0,x-2 0, 解得≥x -5且x≠ 2, 故答案≥为:x≥-≠5且x≠2. 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件,分式有意义的条件,熟记条件列得不等式是解题的关键. 14.一个扇形的圆心角是120°,弧长为 ,则这个扇形面积为 .(结果保留 ) 【答案】 【分析】根据弧长及扇形面积计算公式可直接进行求解. 【详解】解:由题意得: ,解得: , ∴这个扇形面积为 ; 故答案为 . 【点睛】本题主要考查弧长及扇形面积计算,熟练掌握扇形面积及弧长计算公式是解题的关键. 15.如图, 中,点D、E分别是 , 的中点,若 的周长是4,则 的周长为 . 【答案】8 【分析】本题主要考查了中位线定理以及三角形的周长公式.根据题意和中位线定理可知, ,再结合 的周长是4即可得解.掌握中位线定理是解题的关键. 【详解】解:∵点D、E分别是 , 的中点, ∴ 是 的中位线, , ∴ , 又∵ 的周长是4, 即 , ∴ 的周长 , 故答案为:8. 16.为庆祝中国改革开放46周年,某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动,现场参与者均为在校中学生, 其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”,该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,4,5,6,7, 8,9这九个数字中任取一个数字,先乘以10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘以10,然后加上1978, 最后减去参与者的出生年份(注:出生年份是一个四位数,比如2010年对应的四位数是2010),得到最 终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果,主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参与者报 出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是 . 【答案】2009 【分析】本题考查二元一次方程的解,理解题意是解答的关键.设这位参与者的出生年份是x,从九个数 字中任取一个数字为a,根据题意列二元一次方程,整理得 ,根据a的取值得到x的9种可 能,结合实际即可求解. 【详解】解:设这位参与者的出生年份是x,从九个数字中任取一个数字为a, 根据题意,得 , 整理,得 ∴ , ∵a是从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字, ∴x的值可能为1209,1309,1409,1509,1609,1709,1809,1909,2009, ∵是为庆祝中国改革开放46周年,且参与者均为在校中学生, ∴x只能是2009, 故答案为:2009.三、解答题(本题共9小题,共72分,其中第17至19题每题6分,第20题、21题每题8分,第22、23 题每题9分,第24、25题每题10分)。 17.计算: . 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算.利用算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂 进行计算即可. 【详解】解: 18.先化简,再求值: ,其中 . 【答案】 , 【分析】本题主要考查了整式的混合运算求值,熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键.根据 完全平方公式、平方差公式进行化简运算,然后再代入数据求值即可. 【详解】解: 当 时, 原式 . 19.4月3日6时56分,我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丁运载火箭,成功将遥感四十二号01星发 射升空,卫星顺利进入预定轨道,开启了星辰大海的全新征程,火箭在上升阶段需要地面雷达观测站的实 时观测.如图,火箭从地面A处发射,当火箭到达B点时,从地面D处的雷达站测得 的距离是6km, ;当火箭到达C点时,测得 ,求火箭从B点上升到C点的高度 .(参考数据: , , ,结果精确到0.01)【答案】火箭从B点上升到C点的高度 约为2.20km 【分析】本题考查勾股定理,等腰三角形的判定和性质,含30度的直角三角形,先在 中,求出 的长,再在 中求出 的长,利用 求出 的长即可. 【详解】解:在 中, , ∴ . ∴ . ∵ , , ∴ . ∴ . ∴ . ∴ 答:火箭从B点上升到C点的高度 约为2.20km.20.为丰富学校校园活动,某校为学生开展了多种艺体活动,其中在体育类活动中开设了五种运动项目: A乒乓球,B排球,C篮球,D足球,E跳绳.为了解学生最喜欢哪一种运动项目,随机抽取部分学生进行 调查(每位学生仅选一种),并将调查结果制成如下尚不完整的统计图表. 问卷情况统计表 运动项目 人数 A乒乓球 B排球 60 C篮球 45 D足球 36 E跳绳 (1)本次调查的样本容量是______,统计表中 ______; (2)在扇形统计图中,“B排球”对应的圆心角的度数是______ ; (3)若该校共有2000名学生,请你估计该校最喜欢“D足球”的学生人数. (4)现有甲、乙两位同学从A、B、C、D、E这五个项目中各选择了一项,求这两位同学选择的运动项目相 同的概率. 【答案】(1)300,75 (2)72 (3)240人 (4) 【分析】(1)用“C篮球”的人数除以其人数占比得到参与调查的总人数,即可得到样本容量,进而求出 m的值即可; (2)用360度乘以样本中“B排球”的人数占比即可得到答案; (3)用2000乘以样本中“D足球”的人数占比即可得到答案; (4)先列出表格得到所有等可能性的结果数,再找到符合题意的结果数,最后依据概率计算公式求解即 可. 【详解】(1)解: 人, ∴参与调查的人数为300人,即样本容量为300, ∴ , 故答案为:300,75;(2)解: ∴“B排球”对应的圆心角的度数是 , 故答案为:72; (3)解: 人, ∴估计该校最喜欢“D足球”的学生人数为240人; (4)解:列表如下: A B C D E A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A) (E,A) B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B) (E,B) C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C) (E,C) D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D) (E,D) E (A,E) (B,E) (C,E) (D,E) (E,E) 由表格可知一共有25种等可能性的结果数,其中这两位同学选择的运动项目相同的结果数有5种, ∴这两位同学选择的运动项目相同的概率为 . 【点睛】本题主要考查了频数分布表,扇形统计图,用样本估计总体,树状图法或列表法求解概率,正确 读懂统计图、统计表和画出树状图或列出表格是解题的关键. 21.在△ABC和△DEE中,CB∥EF,CB=EF,AE=DC. (1)求证:△ABC≌△DFE; (2)若∠B=40°,∠DEF=60°,求∠D的度数. 【答案】(1)见解析;(2)80° 【分析】(1)根据平行线的性质得到∠ACB=∠DEF,根据等式的性质得到AC=DE,再根据SAS即可证明; (2)根据全等三角形的性质得到∠B=∠F=40°,∠DEF=∠ACB=60°,再利用三角形内角和计算即可. 【详解】解:(1)∵BC∥EF, ∴∠ACB=∠DEF,∵AE=DC, ∴AE+EC=CD+CE,即AC=DE, 在△ABC和△DFE中, , ∴△ABC≌△DFE(SAS); (2)∵△ABC≌△DFE, ∴∠B=∠F=40°,∠DEF=∠ACB=60°, ∴∠D=180°-∠DEF-∠F=80°. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,三角形内角和,解题的关键是利用SAS证明三角形全等. 22.某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木,它们的进货单价之和是720元.甲款积木零售单价比进货单 价多80元.乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元,按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒, 共需要2640元. (1)分别求出甲乙两款积木的进价. (2)该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒,经调查发现,甲款积木零售单价每降低 2元,平均一个星期可多售出甲款积木4盒,商店决定把甲款积木的零售价下降 元,乙款积木的 零售价和销量都不变.在不考虑其他因素的条件下,为了顾客能获取更多的优惠,当 为多少时,玩具店 一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元. 【答案】(1)(1)甲款每盒400元,乙款每盒320元;(2)40. 【分析】(1)设甲款积木的进价为每盒 元,乙款积木的进价为每盒 元,列出二元一次方程组计算即可; (2)根据题意得出 ,计算即可; 【详解】(1)设甲款积木的进价为每盒 元,乙款积木的进价为每盒 元, 则 , 解得: . 答:甲款积木的进价为每盒400元,乙款积木的进价为每盒320元.(2)由题可得: , 解得 , , 因为顾客能获取更多的优惠,所以 . 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,结合二元一次方程组求解计算是解题的关键. 23.如图, 内接于 , 是 的直径, 平分 , ,延长 交 的延长线 于点A,连接 . (1)求证: 是 的切线; (2)若 , ,求 的值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质,直角三角形的边角关系,圆周角定理以及相似三角形的判的性质,掌握切 线的性质,直角三角形的边角关系,圆周角定理以及相似三角形的判的性质是正确解答的关键. (1)根据角平分线的定义,等腰三角形的性质,平行线的性质以及切线的判定方法进行解答即可; (2)设 的半径为r,则 , ,由 证出 .由 得 ,求出 ,即 ,由勾股定理得出 的值. 【详解】(1)证明:∵ 平分 , ∴ , ∵ , ∴ , ∴ , ∴ , ∵ , ∴ ,即 , ∵ 是半径, ∴ 是 的切线; (2)解:设 的半径为r,则 , . 由(1)知 , ∴ . ∵ , ∴ , ∴ , 解得 , ∴ , ∴ . 24.已知四个不同的点 , , , 都在关于x的函数 (a, b,c是常数, )的图象上. (1)当A,B两点的坐标分别为 , 时,求代数式 的值; (2)当A,B两点的坐标满足 时,请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数,并 说明理由; (3)当 时,该函数图象与x轴交于E,F两点,且A,B,C,D四点的坐标满足: , .请问是否存在实数 ,使得 , , 这三条线段组成一个三角形,且该三角形的三个内角的大小之比为 ?若存在,求出m的值和 此时函数的最小值;若不存在,请说明理由(注: 表示一条长度等于 的m倍的线段). 【答案】(1) (2)此函数图象与x轴的公共点个数为两个,理由见解析(3)存在两个m的值符合题意;当 时,此时该函数的最小值为 ;当 时,此时该函数的最 小值为 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x轴交点问题、 直角三角形存在性问题等,熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键. (1)将 代入得到关于 、 的关系式,再整体代入求解即可; (2)解方程 求解,再根据 的正负分类讨论即可; (3)由内角之比可得出这是一个 的直角三角形,再将线段表示出来,利用特殊角的边角关系建立 方程即可. 【详解】(1)将 , 代入 得 , ②-①得 ,即 . 所以 . (2)此函数图象与x轴的公共点个数为两个. 方法1:由 ,得 . 可得 或 . 当 时, ,此抛物线开口向上,而A,B两点之中至少有一个点在x轴的下方,此时该函数图象 与x轴有两个公共点; 当 时, ,此抛物线开口下,而A,B两点之中至少有一个点在x轴的上方,此时该函数图象与x 轴也有两个公共点. 综上所述,此函数图象与x轴必有两个公共点. 方法2:由 ,得 . 可得 或 .所以抛物线上存在纵坐标为 的点,即一元二次方程 有解. 所以该方程根的判别式 ,即 . 因为 ,所以 . 所以原函数图象与x轴必有两个公共点. 方法3:由 ,可得 或 . 当 时,有 ,即 , 所以 . 此时该函数图象与x轴有两个公共点. 当 时,同理可得 ,此时该函数图象与x轴也有两个公共点. 综上所述,该函数图象与x轴必有两个公共点. (3)因为 ,所以该函数图象开口向上. 由 ,得 ,可得 . 由 ,得 ,可得 . 所以直线 均与x轴平行. 由(2)可知该函数图象与x轴必有两个公共点,设 , . 由图象可知 ,即 . 所以 的两根为 , ,可得 . 同理 的两根为 , ,可得 . 同理 的两根为 , ,可得 . 由于 ,结合图象与计算可得 , .若存在实数 ,使得 , 这三条线段组成一个三角形, 且该三角形的三个内角的大小之比为1:2:3,则此三角形必定为两锐角分别为30°,60°的直角三角形, 所以线段 不可能是该直角三角形的斜边. ①当以线段 为斜边,且两锐角分别为30°,60°时,因为 , 所以必须同时满足: , . 将上述各式代入化简可得 ,且 , 联立解之得 , ,解得 符合要求. 所以 ,此时该函数的最小值为 . ②当以线段 为斜边时,必有 ,同理代入化简可得 ,解得 . 因为以线段 为斜边,且有一个内角为60°,而 , 所以 ,即 , 化简得 符合要求. 所以 ,此时该函数的最小值为 . 综上所述,存在两个m的值符合题意; 当 时,此时该函数的最小值为 ; 当 时,此时该函数的最小值为 . 25.如图1, 内接于 ,作 于点D. (1)连结 , .求证: ; (2)如图2,若点E为弧 上一点,连结 交 于点F,若 , ,连结 ,求证: 平分 ;(3)在(2)的条件下,如图3,点G为 上一点,连结 , .若 , , 求 的长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】 (1)根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半,且结合 ,即可作答; (2)先根据三角形的外角性质,得 ,等角对等边,得 ,即可证明 ,结合全等三角形的对应角相等,即可作答; (3)根据同弧所对的圆周角是相等,得 ,由三角形的内角和,得 ,等角对 等边,得 ,进而证明 ,得 ,等角对等边,得 ,故 ,因为 , ,证明 ,得 , 解得 ,由勾股定理建立式子,即可作答. 【详解】(1)证明:∵ , ∴ , ∴ , ∴ , ∵ , ∴ ; (2)证明:设 ,∵ , , ∴ , , ∴ , ∴ , ∴ , ∵ , , ∴ , ∴ , ∴ 平分 ; (3)解:连接 ,过点E作 于点M交 的延长线于点N, 由(2)得, , ∴ , ∵ , ∴ , ∵ ,且 , ∴ , , ∴ , , ∴ , ∵ , , ∴ , ∴ , , , ∵ , ∴ ,∴ , ∴ , ∵ , ∴ , ∵ , , ∴ , ∴ , ∴ , ∴ , ∴ , ∵ , ∴ , ∴ . 【点睛】本题考查了圆综合,涉及圆周角定理,三角形外角性质,相似三角形的判定与性质,全等三角形 的判定与性质,勾股定理等综合内容,难度较大,综合性较强,学会灵活运用等角对等边以及作出正确的 辅助线是解题的关键.