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专题 21 复数（七大题型+模拟精练）
目录：
01 复数的有关概念
02 复数的几何意义
03 实系数有关的一元二次方程
04 复数的四则运算
05 复数与平面向量
06 复数的最值、取值范围问题
07 复数的三角表示
01 复数的有关概念
1．（2024·新疆·三模）复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，根据模长公式列出方程，求出 ，得到答案.
【解析】设 且 ，则 ，
因为 ，所以 ,解得： ，则 的虚部为 .
故选：C
2．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D． 的虚部为【答案】B
【分析】利用复数的除法运算求得 ，进而可判断每个选项的正确性.
【解析】由题意及图得， ，
所以 ， ， 的虚部为1.
故选：B.
3．（2024·山东青岛·三模）已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A．i B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算求出复数 ，再根据共轭复数及复数虚部的定义即可得解.
【解析】由 ，
得 ，所以 ，
所以 ，其虚部为 .
故选：D.
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）若 ，纯虚数z满足 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用纯虚线的定义假设 ，再利用复数的四则运算与复数相等的条件得到 关于 的表示，
从而得解.
【解析】设 （ ，且 ），
则 ，
所以 ， ，则 .
故选：B.
02 复数的几何意义5．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】设复数 ，代入 ，根据复数相等和复数的几何意义可得答案.
【解析】设复数 ，
因为 ，
所以 ，
可得 ，解得 ，所以 ，
则复数 在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
6．（23-24高三上·湖北·期中）已知 为虚数单位， 为实数，复数 在复平面内对应的点为 ，
则“ ”是“点 在第二象限”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据复数的运算将复数化简，然后根据复数几何意义求出复平面中的点，根据点在第二象限要求
确定 的值，然后根据条件判断进行判断即可.
【解析】复数 ，
所以在复平面点为 ，则 ，
当点 在第二象限时， ，即 ，
因为 ， ，
所以“ ”是“点 在第二象限”的充分不必要条件.
故选：A.7．（23-24高一下·广东江门·期末）已知复数 ，则复平面内点 满足 的
图形的面积是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的几何意义，在复平面中求出复数 的所有点构成的轨迹方程，再计算面积即可
【解析】因为 ，
所以
因为 ，
所以 ，即 ，
所以复平面内点 满足 的图形是以 为圆心，以2为半径的圆，
所以它的面积为 ，
故选：D.
8．（2024·宁夏·二模）已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】设出复数的代数形式，利用复数模的意义列出方程即可判断得解．
【解析】令 ，
因为 ，所以 ，
即点 在以 为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内，
所以 在复平面内对应的点位于第四象限，
故选：D
9．（23-24高一下·辽宁·期中）在复平面内，复数 对应的点关于直线 对称，若 ，则
（ ）A． B．5 C． D．1
【答案】C
【分析】由 关于直线 对称求出 ，再根据复数模的定义计算即可．
【解析】因为 ，所以其对应点为 ，
关于直线 对称的点为 ，则 ，
所以 ，
故选：C．
03 实系数有关的一元二次方程
10．（2024·湖南岳阳·三模）若虚数单位 是关于 的方程 的一个根，则
（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】利用方程根的意义，结合复数为0的充要条件求出 ，再求出复数的模.
【解析】依题意， ，即 ，又 ，
则 ，所以 .
故选：C
11．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知 是关于 的方程 （p， ）的一个根，则
（ ）
A．0 B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】把根代入方程，利用复数的相等求出 即可
【解析】 是关于 的方程 的一个根，把 代入方程，有 ，则有 ，所以 .
故选：C
12．（2024·全国·模拟预测）已知 ，其中 ，i为虚数单位，则以 为根的一个
一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据复数相等求解出 ，然后再判断出能满足条件的方程即可.
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因此所选方程的两根为 ，仅有 符合要求，
故选：A.
04 复数的四则运算
13．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知复数 满足 （其中 为虚数单位），且 ，则
（ ）
A．2 B．±2 C． D．
【答案】B
【分析】先对复数化简，然后由 列方程可求出
【解析】 ，
因为 ，所以 ，
化简得 ，解得 .
故选：B14．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知复数z满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算及模长公式即可求得 .
【解析】因为 ，
所以 .
故选：C
15．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知虚数 满足 ，且 是 的共轭复数，则下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对A，根据立方差公式判断即可；对B，由A可解得 ，结合复数的模长即可判断；对
C，根据 求解即可；对D，根据等比数列的求和公式结合 ， 求解即可.
【解析】对A，因为 ，故 ，因为 为虚数，故 ，故A正确；
对B，由 可得 ，故 ，故B正确；
对C，当 时， ，此时 成立，当 时， ，此时 成立，故C正确；
对D， ，因为 ， ，
故 ，故D错误.
故选：D
16．（24-25高三上·山西大同·期末）已知复数 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据复数加减法的几
何意义及坐标表示即可判断CD.
【解析】对于A，设 ，显然 ，
但 ，故A错；
对于B，设 ，
则 ，
，
，
所以 ，故B对；
对于CD，根据复数的几何意义可知，复数 在复平面内对应向量 ，复数 对应向量 ，复数加减法对应向量加减法，
故 和 分别为 和 为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，
所以 ， ，故C对，D对.
故选：BCD.
17．（2024·山东·模拟预测）已知 ， 为复数，则（ ）
A． B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2 D．若 ，则 或
【答案】BD
【分析】通过列举特殊复数验证A；设 ，则 ，通过复数计算即可判
断B；设 ，由复数的几何意义计算模长判断C；由 得 ，即可判断D.
【解析】对于A，若 ，则 ， ，则
，故A错误；
对于B，设 ，则 ，
所以 ，而 ，
所以 ，故B正确；
对于C，设 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 的最小值为1，故C错误；对于D，若 ，所以 ，所以 ，
所以 或 ，所以 至少有一个为0，故D正确.
故选：BD
18．（2024·广西贵港·模拟预测）已知复数 ， ， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则 或 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】根据复数的运算法则可判断A；先计算 ，再求 ，判断B；用特例验证C；利用
说明D正确.
【解析】对于A， 或 ，故A正确．
对于B，方法： ， ， ，所以 以3为周期，所以
，故B正确．
方法二（复数的三角表示）： ，所以 的模为1，辐角为 ，则 的模为1，辐角
为 ，
所以 ．故B正确．
对于C，取 ， ，则 ，此时 ，故C错误．
对于D， ， ，所以 ，故D正确．故选：ABD
05 复数与平面向量
19．（2024·江苏南通·模拟预测）复数 与 分别表示向量 与 ，记表示向量 的复数为 ，
则 ．
【答案】25
【分析】根据题意，由向量的减法可得 ，再由复数的乘法运算，代入计算，即可求解.
【解析】由题意可知， ，
则 ，所以 .
故答案为：25
20．（2024·全国·模拟预测）如图，复数 对应的向量为 ，且 ，则向量 在向量 上的投影
向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据复数的几何意义设出复数 ，再根据复数模的公式，即可求解 ，再代
入向量的投影公式，即可求解.
【解析】由题图可知， ，则 ，
解得 （ 舍去），所以 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为 ，
所以其坐标为 ．
故选：D
21．（22-23高三下·重庆·阶段练习）向量 对应的复数为 ，把 绕点 按逆时针方向旋转
，得到 ，则 对应的复数为 （用代数形式表示）．
【答案】
【分析】依题意可得 ，设角 的终边过点 ，即可求出 ，再求出
， ，即可求出旋转后对应的 ，即可求出 对应的复数.
【解析】因为向量 对应的复数为 ，则在复平面内复数 对应的点为 ，
设角 的终边过点 ，则 ， ，
所以 ，
由 ，所以 ，
，
将把 绕点 按逆时针方向旋转 得到 ，则 ，
所以 对应的复数为 .
故答案为：06 复数的最值、取值范围问题
22．（23-24高三下·全国·强基计划）复数列 ，且 ，则 的最大值是
．
【答案】
【分析】对递推式进行处理，求出 的表达式，然后使用几何意义及圆的方程求解最大值.
【解析】由已知有 ，
且 .
故 ，得 .
设 ，则 .
解得 .
由于对 ，有 .
而由 可知，复数在复平面上
位于区域 内，即圆 内部或其边界上.从而 .
故 .
所以
.
而当 ，且复数 位于圆 上，且在圆心与 的连
线上时，等号成立.
所以 的最大值是 .
故答案为： .
23．（23-24高一下·重庆璧山·阶段练习）已知复数 ，且 ，则 的最小值
是 ．
【答案】1
【分析】由 ，得 ， ，则 ，所以，变形后利用基本不等式可求得结果.
【解析】因为复数 ，且 ，
所以 ，所以 ，得 ，
所以 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 或 （舍去）时取等号，
所以 的最小值是1.
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：此题考查复数的运算，考查基本不等式的应用，解题的关键是化简
，考查数学转化思想，属于较难题.
24．（23-24高三下·安徽合肥·阶段练习）已知复数z满足 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】由复数的几何意义，数形结合得出 的最小值并求出即可.
【解析】如图： ，
则 的几何意义是复平面内的动点 到定点 的距离等于 ，
对应的轨迹为以 为圆心，半径为 的圆．
的几何意义为动点 到定点 的距离，
由图形可知：当点位于 时， 取的最小值，
由 ，
所以 的最小值为： ，
故答案为：4
25．（2024·湖南永州·三模）已知复数 ， ，若 （ 为 的共
轭复数），则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意可知 都是实数，且 ,再结合共轭复数的定义列出不等式组，解出 的取值范围
即可.
【解析】 , ,
, , 都是实数，且 ,,解得 ,
即实数 的取值范围为
故答案为：
26．（23-24高三上·江苏·开学考试）已知复数z满足 ，且 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题设令 ，利用复数除法化简 ，再由复数相等求 .
【解析】令 ，则 ，
所以 ，
则 ，故 .
故选：B
07 复数的三角表示
27．（20-21高三上·北京·强基计划）设 ，把复数 在复平面上对应的向量按
照顺时针方向旋转 后得到复数为 ，那么 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用复数乘法的几何意义可求 .
【解析】根据乘法的几何意义可得：，
整理得到：
，
故 ，
故选：B.
28．（2021·全国·三模）瑞士数学家欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一，他发现了欧拉公式
，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系．特别是
当 时，得到一个令人着迷的优美恒等式 ，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的
底 ，圆周率 ，虚数单位 ，自然数的单位1和数字0）联系到了一起，若 表示的复数对应的点在第二
象限，则 可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将选项中所给的角逐一带入，由欧拉公式把复数 化为三角形式，再化为代数形式，即可判断复
数在复平面内对应的点在第几象限，从而得到结果.
【解析】得 ，
当 时， ，复数对应的点 在第一象限；
当 时， ，复数对应的点 在第二象限；
当 时， ，复数对应的点 在 轴上；
当 时， ，复数对应的点 在第四象限；故选：B．
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关数学文化类问题，正确解题的关键是理解欧拉公式，并能将复数
三角形式熟练化为代数形式，确定出复数在复平面内对应的点.
一、单选题
1．（2023·陕西榆林·二模） （ ）
A．i B． C．1 D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘方运算计算即得.
【解析】 .
故选：C
2．（2024·广西柳州·模拟预测）设复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称， ，则
（ ）．
A． B．5 C． D．8
【答案】A
【分析】由复数的几何意义知 ，再由复数的四则运算，即可求解．
【解析】因为复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且 ，
所以 ，所以 ．
故选：A．
3．（2024·四川内江·模拟预测）若复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的四则运算以及复数模的计算公式即可求解.【解析】因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以 .
故选：B.
4．（2024·重庆九龙坡·三模）设 是关于 的方程 的两根其中 ，若 （
为虚数单位）.则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据实系数一元二次方程在复数范围内根的关系求出另一个根，再代入求解即可.
【解析】因为关于 的方程 的一个根为 ，
所以另一个根 ，
所以 .
故选：A.
5．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知方程 （其中 为虚数单位）的两根分别为 ， ，则有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设方程 的根为 ，将其代入方程中的x中，根据复数相等的条件，构造方程组，解出 , .则两根 知道了，再逐项代入验证即可.
【解析】设方程 的根为 ，
代入方程， ,整理得 ，
故 ，则 ，
不妨令 ， ，
对于A：因为 ，即 ，故A错误；
对于B： ，故B错误.
对于C: ,
，
因此， ,故C错误.
对于D： ,故D正确.
故选:D.
6．（2024·山东烟台·三模）若复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】由复数的几何意义即可求解.
【解析】若复数z满足 ，则由复数的几何意义可知复数 对应的点集是线段 的垂直平分线，其中 ，
所以 的最小值为 .
故选：B.
7．（2023·山西·模拟预测）设非零复数 和 在复平面内对应的向量分别为 和 ，其中O为原点，
若 为纯虚数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ， ，根据题意结合复数的乘除法运算求出 的关系，再根
据复数的向量表示逐一判断即可.
【解析】设 ， ， ，
其中a，b，c，d， ，且a，b不同时为0，c，d不同时为0， ，
由题意 ，
所以 ，
所以 ，故A错误；
，无法比较 的大小，故B错误；
，
由B选项得，无法判断 的关系，故C错误；
，
所以 ，故D正确.
故选：D.8．（2024·云南曲靖·模拟预测）若复数 且 ，则满足 的复数
的个数为（ ）
A．0 B．2 C．1 D．4
【答案】A
【分析】由 可得复数 对应的点在圆心为 ，半径为 的圆上，
又 的几何意义为复数 在复平面内的点到直线 的距离为 ，则由圆心
到直线 的距离为 ，即可得到复数 的个数.
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
即复数 对应的点在圆心为 ，半径为 的圆上，
又 可以变形为 ，
即其几何意义为复数 在复平面内的点到直线 的距离为 ，
又圆心 到直线 的距离为 ，
而 ，所以满足条件的 不存在.
故选：A.
二、多选题
9．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 ， 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】AD
【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据复数的乘法运算
及复数的模的计算公式即可判断D.
【解析】设 ，
对于A， 若 ，则 ，故 ，故A正确；
对于B，当 时， ，故B错误；
对于C，当 时， ，故C错误；
对于D，若 ，则 ，所以 ，
，
同理 ，所以 ，所以 ，故D正确.
故选：AD.
10．（2024·河北沧州·模拟预测）复数 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 在复平面内对应的点都位于第四象限
B． 在复平面内对应的点在直线 上
C．
D． 的最小值为4
【答案】BC
【分析】由复数的几何意义，即可判断A和B；根据共轭复数的概念及复数的加减运算法则判断C；由复
数的模即可判断D．
【解析】对于AB，因为 ，所以 在复平面内对应的点为 ，故A错误，B正确；
对于C， ，故C正确；对于D， ，当 时， 取最小值为2，故D错误；
故选：BC．
11．（2025·江苏苏州·模拟预测）1843年，Hamilton在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高
的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，
他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在
Broughant Bridge．对四元数 ， 的单位 ，其运算满足： ，
， ， ， ， ， ；记 ， ，
，定义 ，记所有四元数构成的集合为 ，则以下说法中正确的有（ ）
A．集合 的元素按乘法得到一个八元集合
B．若非零元 ，则有：
C．若 ，则有：
D．若非零元 ，则有：
【答案】ACD
【分析】对于A，利用已知条件求出所求集合为 即可；对于B，直接给出反例 ，
即可；对于C，利用 的定义计算即可；对于D，利用C选项的结果验证即可.
【解析】对于A，由于 ， ， ， ，故集合 的元素按乘法可以得到
集合 ，容易验证该集合中任意两个元素的乘积还在该集合中，故集合 的元素
按乘法得到的集合是八元集合 ，故A正确；对于B，取 ， ，则 ，故B错误；
对于C，若 ，设 ， ，则
，故C正确；
对于D，根据题目中的定义有 ，从而
.
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，只有理解了定义，方可求解所求的问题.
三、填空题
12．（2024·北京·三模）若 是纯虚数，则实数a的值为 .
【答案】
【分析】求出复数的代数形式，然后根据纯虚数的定义列方程求解即可.【解析】 ，
因为 是纯虚数，
所以 ，得 .
故答案为：
13．（2024·广西·模拟预测）已知i为虚数单位，若非零复数z满足 ，则 ．
【答案】
【分析】设 ，x， ，由已知可得 ，利用复数相等的条件可求得
，进而可求 .
【解析】设 ，x， ，
则 ，
即 ，解得 或 （舍去），
则 ，所以 ．
故答案为： .
14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数 ， ， ， 在复平面内
对应的点分别为 ， ， ， ，复数z满足 ，且 ，则
的最大值为 .
【答案】【分析】先将复数转化为平面直角坐标系中的坐标，然后用距离公式对条件 进行变形，得
到 ，由此可以证明 . 之后再使用向量的坐标运算将 表示为关于 的表达式，
利用 即可证明 ，最后给出一个 的例子即可说明 的最大
值是 .
【解析】由 ， ， ， ，知 ， ， ， ，从而
， ， .
由于 ， ，故条件 即为
，展开得到 ，再化简得 ，所以
，故我们有 ，从而
.
由于 ， ， ， ，故 ，从
而 .
经验证，当 ， 时，条件满足. 此时 .所以 的最大值是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将复数坐标化为平面直角坐标系中的坐标，并将复数之差的模长
表示为平面直角坐标系中的线段长度. 另外，本题还具有“阿波罗尼斯圆”的背景：平面上到两个不同定
点 的距离之比恒为常数 的点的轨迹是一个圆，该圆称为关于 的阿波罗尼斯圆.
使用解析几何方法结合距离公式，很容易证明此结论.
四、解答题
15．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证
明了欧拉公式 ，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的 取作 就得到了欧
拉恒等式 ，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自
然对数的底数 ，圆周率 ，两个单位——虚数单位 和自然数单位 ，以及被称为人类伟大发现之一的 ，
数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式： ，解决以下问题：
(1)将复数 表示成 （ ， 为虚数单位）的形式；
(2)求 的最大值；
(3)若 ，则 ，这里 ，称 为 的一个
次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得 ，复数 ，
，求 的值．
【答案】(1)
(2)(3)
【分析】（1）根据欧拉公式直接可得解；
（2）由欧拉公式可证明 ，并得到 ，这即得结果；
（3）根据单位根的概念，代入化简即可.
【解析】（1）由欧拉公式有
.
（2）由于 ， ，故 ，
而当 时，有 .
故 的最大值是 .
（3）由于 ，故 ，而 ，所以 .
故
（利用 ）
（利用 ）（利用 ）
（利用 ）
（利用 ）.
所以 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用.
16．（2024·贵州黔南·二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一
元 次多项式方程在复数域上至少有一根（ ）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起
着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论： 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 个根（重根
按重数计算）.对于 次复系数多项式 ，其中 ， ， ，若方
程 有 个复根 ，则有如下的高阶韦达定理：
(1)在复数域内解方程 ；
(2)若三次方程 的三个根分别是 ， ， （ 为虚数单位），求 ， ，
的值；
(3)在 的多项式 中，已知 ， ， ， 为非零实数，且方程 的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含 的式子表示）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意直接解方程即可；
（2）根据题意结合韦达定理分析运算求解；
（3）根据题意结合韦达定理可得 ，结合不等式可得 ，由
可得 ，结合不等式成立条件分析
求解.
【解析】（1）由 可得 ，解得 .
（2）由题意可知： ，
将 ， ， 代入可得 ，
所以 .
（3）设 ， ，
因为 ，当且仅当 ∥ 时，等号成立，
可得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
因为方程 的根恰好全是正实数，
设这n个正根分别为 ，
且 ， ， ，
由题意可知： ，
因为 ，且 均为正数，
则
，
当且仅当 时，等号成立，
又因为 ，
即 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：利用柯西不等式可得则 ，当且仅当 时，等
号成立，注意等号成立的条件分析求解.
