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专题5.2 认识二元一次方程组（专项练习）（基础篇）
一、单选题
知识点一、二元一次方程的定义
1．下列方程中：① ；② ③ ；④ ；⑤ ；⑥
；⑦ ．属于二元一次方程的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．2x﹣3＝1﹣4x B．（x+y）（x﹣y）＝9
C． D．
3．下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝4z B．xy＋1＝0 C． ＋y＝1 D． ＋4y＝6
4．下列式子中，是二元一次方程的是（ ）
A．2xy＝5 B．x+y＜1 C．﹣2x+y＝3 D．
知识点二、二元一次方程组的识别
5．下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
6．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
7．下列方程组是二元一次方程组的有（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．在下列方程组 、 、 、 、 中，是二元一
次方程组的有（ ）个
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
知识点三、二元一次方程的解
9．下列方程组中，解为 的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
10．下列各组x，y的值中，是方程2x+y＝4的解是（ ）
A． B． C． D．
11．已知二元一次方程2x﹣3y＝4，用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．若二元一次方程组 的解是二元一次方程 的一个解，则 的值是
（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
知识点四、二元一次方程组的解
13．如果方程x﹣y＝3与下列方程中的一个组成的方程组的解为 ，那么这个方程可
以是（ ）
A．3x﹣4y＝16 B．x﹣y＝3y C． D．
14．在下列方程：① ，② ，③ ，④ 中，任选两个组成二元一次方程组，若 是该方程组的解，则选择的两个方程是（ ）
A．①③ B．①④ C．②④ D．②③
15．下列各组x、y的值中，是方程 的解的是（ ）
A． B． C． D．
16．方程 与下列（ ）方程所组成的方程组的解是
A． B．
C． D．以上答案都不对
二、填空题
知识点一、二元一次方程的定义
17．若关于x、y的方程 是二元一次方程，则 =________．
18．若 是关于 ， 的二元一次方程，则 的值是_______．
19．若方程 是关于 、 的二元一次方程，则 ______．
20．已知方程 ，用含x的式子表示y，则________．
知识点二、二元一次方程组的识别
21．请写出一个你所喜欢的二元一次方程组__．
22．若 是关于 ， 的二元一次方程组，则 __， __， __．
23．下列方程组中① ；② ；③ ；④；⑤ ；是二元一次方程组的是______．(只填序号)
24．若方程组 是二元一次方程组，则a的值为________．
知识点三、二元一次方程的解
25．已知 是二元一次方程 的一组解，则 ______．
26．对于x+3y＝3，用含x的代数式表示y得__________________．
27．已知 是方程ax﹣2y＝2的一个解，那么a的值是___．
28．方程 的正整数解有________个．
知识点四、二元一次方程组的解
29． 是某个二元一次方程组的解，则这个方程组是______．
30．如图所示，下列各组数的题序已经填入图中适当的位置① ；② ；③
；④ ．则二元一次方程组 的解是__________．31．在① ② ③ 中，①和②是方程 的解；__________是
方程 的解；不解方程组，可写出方程组 的解为__________．
32．请写出一个二元一次方程组, 使它的解是 ，答:_______________________．
三、解答题
33．（1）求二元一次方程 的正整数解；
（2）已知m是正整数，且方程组 有整数解（ 均为整数）求m的值．
34．已知关于 ， 的方程组
（1）请直接写出方程 的所有正整数解
（2）若方程组的解满足 ，求 的值
（3）无论实数 取何值，方程 总有一个固定的解，请求出这个解？
35．如果 ， 是方程 的一个解，求 的值．
参考答案
1．C
【分析】
根据二元一次方程的定义进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
解：① ，不是二元一次方程；
② ，不是二元一次方程；
③ ，不是二元一次方程；④ ，不是二元一次方程；
⑤ ，是二元一次方程；
⑥ ，不是二元一次方程；
⑦ ，是二元一次方程；
二元一次方程一共有两个，
故选C.
【点拨】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握二元一次方
程的定义：含有两个未知数，未知数的次数都为1．
2．D
【分析】
根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程，逐一
判断即可.
【详解】
解：A、2x﹣3＝1﹣4x，这是一元一次方程，故此选项错误；
B、（x+y）（x﹣y）＝9，这是二元二次方程，故此选项错误；
C、 ，这是分式方程，故此选项错误；
D、 ，这是二元一次方程，故此选项正确.
故选D.
【点拨】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握二元一次方
程的定义.
3．C
【分析】
根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样
的整式方程叫做二元一次方程可以直接选出答案．
【详解】
A. ，是三元一次方程，不符合题意；B. ，不是二元一次方程，不符合题意；
C. ，是二元一次方程，符合题意；
D. ，不是整式方程，不符合题意．
故选C．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足
三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一
次．
4．C
【分析】
根据二元一次方程的定义，逐项分析判断即可．
【详解】
解：A、是二元二次方程，不符合二元一次方程的定义，故A不符合题意；
B、是二元一次不等式，不符合二元一次方程的定义，故B不符合题意；
C、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，故C符合题意；
D、是分式方程，不符合二元一次方程的定义，故D不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．二元
一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：①方程中只含有2个未知数；②
含未知数项的最高次数为一次；③方程是整式方程．
5．D
【分析】
含有两个未知数的两个一次方程组成的是二元一次方程组，根据二元一次方程组的定义逐
个分析即可求解.
【详解】
解：A选项中含有三个未知数，不符合题意；
B选项中方程 是二次方程，不符合题意；
C选项中方程 是二次方程，不符合题意；
D选项方程组中含有两个未知数的一次方程，符合题意.故选D.
【点拨】本题主要考查二元一次方程组的定义，解决本题的关键是要熟练掌握二元一次方
程组的定义.
6．C
【分析】
根据二元一次方程组的基本形式及特点，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方
程，③未知数的最高次数都为一次．
【详解】
解：A、 是二元二次方程组，故不符合题意；
B、 是二元二次方程组，故不符合题意；
C、 是二元一次方程组，故符合题意；
D、 中含有分式，不是二元一次方程组，故不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程的定义．是二元一次方程组，必须满足：（1）共含
有两个未知数；（2）未知项的最高次数为1；（3）整式方程．
7．B
【分析】
利用二元一次方程组的定义判断即可．
【详解】
① 是二元一次方程组；
② 是二元二次方程组，不是二元一次方程组；③ 是三元一次方程组，不是二元一次方程组；
④ 是二元一次方程组．
故选B．
【点拨】二元一次方程组的定义的三要点：
1、共有两个未知数；
2、未知数的项最高次数都应是一次；
3、都是整式方程．根据定义逐项判断．
8．B
【分析】
根据二元一次方程组的定义逐个判断即可．
【详解】
解：方程组 ， ， 符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程
组．
方程组 属于二元二次方程组，不是二元一次方程组．
方程组 中的第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组．
故选： ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义，解题关键是明确二元一次方程组的定义，准
确进行判断.
9．D
【分析】
把 分别代入每个方程进行验证得出结论．
【详解】解：把 分别代入每个方程得：
A： ，所以不是此方程的解；
B： ，所以不是此方程的解；
C： ，所以不是此方程的解；
D： ，所以是此方程的解.
故选D.
【点拨】此题考查二元一次方程的解，解题关键在于代入选项进行验证即可.
10．B
【分析】
将四个选项分别代入方程，能使方程成立的即是方程的解．反之，则不是方程的解．
【详解】
解：A、2×2＋1＝5，故选项A不符合题意；
B、2×1＋2＝4，故选项B符合题意；
C、−1×2＋2＝0，故选项C不符合题意；
D、2×2-1＝3，故选项D不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解的定义，一组数是方程的解，那么
它一定满足这个方程，若不满足，则不是方程的解．
11．D
【分析】
要把方程 写成用含 的式子表示 的形式，需要把含有 的项移到等号一边，其
它项移到另一边，然后合并同类项、系数化1．
【详解】
解： ，，
．
故选：D．
【点拨】本题考查了方程的基本运算技能：解题的关键是掌握移项、合并同类项、系数化
为1等，表示谁就该把谁放到等号的一边，其它的项移到另一边，然后合并同类项、系数
化1即可．
12．C
【分析】
先求出方程组的解，再代入二元一次方程 ，即可求解．
【详解】
解：
由①-②×2，得： ，
把 代入②，得： ，
∵二元一次方程组 的解是二元一次方程 的一个解，
∴ ，
解得： ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了解二元一次方程组，和二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方
程的解的定义是解题的关键．
13．B
【分析】
把 代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可．
【详解】
解：A、把 代入方程得：左边＝12﹣4＝8，右边＝16，左边≠右边，所以该选项不
符合题意；B、把 代入方程得：左边＝4﹣1＝3，右边＝3，左边＝右边，所以该选项符合题意；
C、把 代入方程得：左边＝2+3＝5，右边＝8，左边≠右边，所以该选项不符合题意；
D、把 代入方程得：左边＝1+2＝3，右边＝5，左边≠右边，所以该选项不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要
回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键．
14．C
【分析】
先把 分别代入四个方程里面看看是不是方程的解即可
【详解】
把 代入①得，等式左边不等于右边，不成立；
把 代入②得，等式左边等于右边，成立；
把 代入③得，等式左边不等于右边，不成立；
把 代入④得，等式左边等于右边，成立；
∴只能由②和④组合
故选C
【点拨】此题考查的是方程的公共解，也就是方程组的解，掌握找公共解的技巧是解题的
关键．15．A
【分析】
由于二元一次方程3x+y=5是不定方程，所以有无数组解本题思路是将四个选项分别代入方
程，能使方程成立的即是方程的解反之，则不是方程的解；
【详解】
将x=1，y=2代入3x+y=5得，
左边=3×1+2=5，右边=7，
左边=右边，
故是方程的解，
故选：A．
【点拨】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解的定义，一组数是方程的解，那么
它一定满足这个方程，若不满足，则不是方程的解；
16．B
【分析】
根据二元一次方程组解的性质，将方程组的解分别代入到各个选项中，通过计算，即可得
到答案．
【详解】
将 代入到
∴ ，故选项A不符合题意；
将 代入到
∴ ，故选项B符合题意；
将 代入到
∴ ，故选项C不符合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组解的性质，从而完成求解．
17．3
【分析】
根据二元一次方程的定义得到m−2＝1，n+1＝1，然后解不等式和方程得到满足条件的m、
n的值，然后把m、n的值代入m＋n中计算即可．
【详解】
解：根据题意得：m−2＝1，n+1＝1，
解得：m＝3， n＝0，
∴ ＝3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数
都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
18．-6
【分析】
根据题意得到关于a的绝对值的方程，解之，代入a-6，经判断后，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意得： |a|-5=1，
∴|a|=6，
解得：a=6或-6，
若a=6，a-6=0（不合题意，舍去），
若a=-6，a-6=-12（符合题意），
故答案为：-6．
【点拨】本题考查了二元一次方程的定义和绝对值，正确掌握绝对值的定义和二元一次方
程的定义是解题的关键．
19．1
【分析】
据二元一次方程的定义求得m和n的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵ 是关于x，y的二元一次方程，
∴m-1=1，n+2=1，
∴m=2，n=-1，∴m+n=2-1=1．
故答案是：1．
【点拨】考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解本题的关键．
20．
【分析】
将x看做已知数求出y即可．
【详解】
解：
得到
故答案为：
【点拨】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
21． （答案不唯一）．
【分析】
根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了
一个二元一次方程组可得答案．
【详解】
解：根据二元一次方程组的定义可得 ，
答案： ．
【点拨】本题考查二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键．
22．3或2
【分析】
二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1，据
此列式即可求解．
【详解】解： 是关于 ， 的二元一次方程组，
， 或0， ，
解得： 或2， ， ，
答案：3或2， ，
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解．
23．②④⑤
【分析】
根据二元一次方程组的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
解：① 中xy的次数为2，不是二元一次方程组；
② 是二元一次方程组，正确；
③ 中x2的次数为2，不是二元一次方程组；
④ 是二元一次方程组；
⑤ 是二元一次方程组．
故答案为：②④⑤．
【点拨】本题考查的是二元一次方程组的定义，理解基本定义是解答此题的关键．
24．0
【分析】
根据二元一次方程组是定义即可解答.
【详解】
因为 是二元一次方程组，所以此方程组中只含有未知数x、y，所以a＝0.故答案为：0.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义，熟知二元一次方程组的定义是解决问题的关
键.
25．2020
【分析】
根据二元一次方程解的定义，将 代入ax+by=1中可得2a-b=1；观察待求式的特点，
变形为：b-2a=-1,然后将b-2a=-1代入计算即可.
【详解】
将 代入ax+by=1，得2a-b=1，
∴b-2a=-1,
∴ =-1+2021=2020.
故答案为2020.
【点拨】本题考查了求代数式的值及二元一次方程的解的知识，解题的关键是利用二元一
次方程的解得到a、b的关系；
26．y＝
【分析】
根据题意，结合二元一次方程、代数式的性质，将x看做已知数，求出y即可得到答案．
【详解】
∵x+3y＝3，
∴y＝
故答案为：y＝ ．
【点拨】本题考查了代数式和二元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、二元
一次方程的性质，从而完成求解．
27．4
【分析】
根据二元一次方程的性质，将x与y的值代入到ax﹣2y＝2，通过求解一元一次方程，即可求出a的值．
【详解】
根据题意，将x＝3，y＝5代入方程得：3a﹣10＝2，
解得：a＝4，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了二元一次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一
次方程的性质，从而完成求解．
28．3
【分析】
先将方程 变形为y=4-x，要使方程有正整数解，x只能取1、2、3，于是方程x+y=4
的正整数解可求．
【详解】
解：∵ ，
∴y=4-x，
∵x，y是正整数，
∴ ， ， ，
∴方程 的正整数解有3个．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了求二元一次方程的正整数解，只要将二元一次方程改写成用x表示y
或者用y表示x的形式，确定其中一个未知数的解，就可以得到另外一个未知数的对应解．
29． （答案不唯一）
【分析】
所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕 列一组算式，如1+3=4，1-3=-2，然后用x，y代换，得 ．
【详解】
解：先围绕 列一组算式，
如1+3=4，1-3=-2，
然后用x、y代换，得
，
故答案为： （答案不唯一）．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解，所谓方程组的解，指的是该组解满足方程组中
的每一方程．
30．
【分析】
根据方程组的解的含义直接得出答案．
【详解】
解：∵两个方程的公共解即为方程组的解，
∴二元一次方程组 的解是
故答案为：
【点拨】本题考查二元一次方程组的解；理解二元一次方程组的解与方程组的关系是解题
的关键．
31．②和③； ②.
【分析】
根据二元一次方程解的定义和二元一次方程组解的定义进行分析解答即可.【详解】
解：把① ，② ，③ 分别代入方程 检验可得：② ，
③ 是方程 的解，
∵① ，② 也是方程 的解，
∴方程组 的解是②.
故答案为：②和③；②．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解.熟知“二元一次方程解的定义和二元一次方程组解
的定义”是解答本题的关键.
32．答案不唯一，如
【详解】
试题分析：一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的
值，叫做二元一次方程组的解．
答案不唯一，如 ．
考点：二元一次方程组的解的定义
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二元一次方程组的解的定义，即可完成.
33．（1） ， ；（2）2
【分析】
（1）把y看做已知数求出x，即可确定出正整数解；
（2）利用加减消元法易得x、y的值，由x、y均为整数可解得m的值．
【详解】解：（1）由已知得： ，
要使x，y都是正整数，
当y=5时，x=1，
当y=4时，x= ，不符合，
当y=3时，x= ，不符合，
当y=2时，x=5，
当y=1时，x= ，不符合，
则二元一次方程 的正整数解为： ， ；
（2） ，
①+②得：（3+m）x=10，即x= ，
代入②得：y= ，
∵方程的解x、y均为整数，
∴3+m既能被10整除也能被15整除，即3+m=5，
解得m=2．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程，解二元一次方程组有加减
法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
34．（1） 或 ；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）把方程变形为： 结合 为正整数，且 为偶数，从而可得答案；
（2）由题意得： ，解方程组求解 ，再把 的值代入 ，
从而可得答案；（3）把方程变形为： ，结合无论实数 取何值，方程总有一个固定的
解，可得： ，从而可得答案．
【详解】
解：（1） ，
方程的正整数解为： 或 ．
（2）由题意得：
把②代入①得： ，
，
把 代入②得： ，
把 代入： ，
，
，
．
（3） ，
由无论实数 取何值，方程 总有一个固定的解，
所以： ，解得： ，
所以 的固定的解是 ．
【点拨】本题考查的是二元一次方程的正整数解的确定，同解方程的含义，二元一次方程
组的解法，二元一次方程的固定解，掌握以上知识是解题的关键．
35．
【分析】
把x，y代入方程，即可得到k的值；
【详解】
当 ， 时，则 ， ， ，
．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程的求解，准确分析是解题的关键．
