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专题5.33《二元一次方程组》全章复习与巩固（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
类型一、二元一次方程组的相关概念
1．若 是关于 、 的二元一次方程，则 ( )
A． B．2 C．1 D．
2．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
类型二、二元一次方程组的解法
4．已知 ， 和 ， 是二元一次方程 的两个解，则一次函数
的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．若 ，则 的值为（ ）
A． B．1 C．3 D．
6．已知方程组 和 有相同的解，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
类型三、实际问题与二元一次方程组
7．六年前，A的年龄是B的年龄的3倍，现在A的年龄是B的年龄的2倍，A现在的年龄
是( )．
A．12岁 B．18岁 C．24岁 D．30岁
8．大课间，12人跳绳队为尊重每个队员的意愿，准备把队员分成跳大绳组或跳小绳组，大绳组3人一组，小绳组2人一组，在全队同学能同时参加活动且符合小组规定人数的前
提下，则不同的分组方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
9．为响应“科教兴国”的战略号召，某学校计划成立创客实验室，现需购买航拍无人机和
编程机器人，已知购买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用相同，购买4个航拍无
人机和7个编程机器人共需3480元，设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人
需y元，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
类型四、一次函数与二元一次方程组
10．一次函数 和 的图象都经过点A（－2，0），且与 轴分别交于B、C
两点，那么△ABC的面积是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．已知直线 与直线 相交于点 ，那么关于x的方程
的解为（ ）
A． B． C． D．
12．下列说法正确的有（ ）个．
（1）到y轴的距离是2的点的纵坐标是2；
（2）点（﹣2，3）与点（3，﹣2）关于原点对称；
（3）直线：y＝2x﹣5和y＝﹣x＋1，它们的交点坐标（2，﹣1）就是方程组 的
解 ；
（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．
A．1 B．2 C．3 D．4
类型五、一次函数解析式13．若 且 ，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．小明妈妈到文具店购买三种学习用品，其单价分别为2元、4元、6元，购买这些学习
用品需要56元，经过协商最后以每种单价均下调0.5元成交，结果只用了50元就买下了这
些学习用品，则小明妈妈有几种不同的购买方法．（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
15．若实数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．不能确定值
类型六、三元一次方程组
16．如图弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数，则不挂物体时，弹簧长度为（
）
A．7 B．8 C．9 D．10
17．对任意实数a，直线y=(a−1)x+3−2a一定经过点（ ）
A． B． C． D．
18．如图，直线l是一次函数 的图象，当 时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．二、填空题
类型一、二元一次方程组的相关概念
19．若方程组 是关于 ， 的二元一次方程组，则代数式 ______．
20．关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5，当m______时，是一元一次方
程；关于 的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5，当m______时，它是二元一
次方程．
21．某段高速公路全长200千米，交警部门在高速公路上距离入口3千米处设立了限速标
志牌，并在以后每隔5千米处都设置一块限速标志牌；此外，交警部门还在距离入口10千
米处设置了摄像头，并在以后每隔18千米处都设置一个摄像头（如图），则在此段高速公
路上，离入口___千米处刚好同时设置有标志牌和摄像头．
类型二、二元一次方程组的解法
22．若方程组 的解是 ，则方程组 的解为
__________________
23．甲乙两人同求方程 的整数解，甲正确地求出一个解为 ， ，乙把
看成 ，求得一个解为 ， ，则 _______， _______．
24．若关于x，y方程组 无解，则m＝__________．
类型三、实际问题与二元一次方程组
25．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醇酒一
斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇酒、行酒各得几
何？”其意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；
现有30钱，买得2斗酒．问可以买________斗醇酒和_________斗行酒．
26．今年8月20日，重庆八中学子在第37届全国青少年信息学奥林匹克竞赛中再创佳绩，斩获一金四银，一学子入选国家集训队，为了解我校信息竞赛同学对其它竞赛科目的兴趣
程度，老师对同学们做了一次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（每位同学都填了调查表，
且只选择数学、物理、化学、生物其中一个科目），其中选物理的人数比选生物的少8人；
选数学的人数是选生物人数的整数倍；选生物与数学的人数之和是物理与化学的人数之和
的5倍；选化学与数学的人数之和比选物理与生物的人数之和多24人，则喜欢数学共有__
人．
27．盈不足术是中国古代解决盈亏类问题的一种算术方法．中国古代数学名著《九章算
术》中，专辟一章名为“盈不足”．该章第一个问题大意是“有几个人一起去买一件物品，
每人出9元，多3元；每人出8元，少4元．问该物品售价为多少元？”，则该物品售价
为_____元．
类型四、一次函数与二元一次方程组
28．如图，点A是一次函数 图象上的动点，作AC⊥x轴与C，交一次函数
的图象于B． 设点A的横坐标为 ，当 ____________时，AB=1．
29．在平面直角坐标系 中， ，下面有四种说法：
①一次函数 的图象与线段 有公共点；
②当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点；
③当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点；
④当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点．
上述说法中正确的是_____________（填序号）．
30．甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行．图中的 ， 分别表示甲、乙离B地的
距离 与甲出发后所用时间 的函数关系图象，则甲出发_______小时与乙相遇．类型五、三元一次方程组
31．已知 ，则 ___________．
32．学校设置了有关艺术类的甲、乙、丙三个拓展性课程项目，规定甲、乙两项不能兼报，
学生选报后作了统计，发现报甲项目的人数与报乙项目的人数之和为报丙项目人数的 ；
同时兼报甲、丙两项目的人数占报甲项目的人数的 ，同时兼报乙、丙两项目的人数占报
乙项目的人数的 ；兼报甲、丙两项目的人数与兼报乙、丙两项目的人数之和是报丙项目
人数的 ，则报甲、乙两个项目的人数之比为______．
33．方程组 中， ______________________．
类型六、一次函数解析式
34．正方形 ，正方形 ，正方形 ，…按如图所示放置，点 ， ，，…在直线 上， ， ， ，…在 轴上，已知 ， ，则 的坐
标为______．
35．已知一次函数的图象 与直线 平行， 则 ＝______．
36．在平面直角坐标系中，若A点的坐标是（2，1），B点的坐标是（4，3），在x轴上
求一点C，使得CA＋CB最短，则C点的坐标为____．
三、解答题
37．解下列方程组：
（1） （2）
38．材料：解方程组 时，可由①得 ③，然后再将③代入②得
，求得 ，从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”请用这
样的方法解方程组
39．解下列三元一次方程组：（1） ；（2） ．
40．某公司准备安装完成5820辆的共享单车投入市场．由于抽调不出足够的熟练工人，公
司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和3名新工人每天共安装36辆共
享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．
（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
（2）若公司原有熟练工 人，现招聘 名新工人（ ），使得最后能刚好一个月（30
天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占3%，求 的值．
41．新冠疫情伊始，一次性防护服和 口罩供不应求，从2月起价格连续上涨．一药店
在2月1日若售出5套防护服和6盒 口罩，销售额为600元；若售出10套防护服和3
盒 口罩，销售额为750元．
（1）2月1日每套防护服和每盒 口罩的价格分别是多少元？
（2）2月1日防护服和 口罩的销售量分别为200套、300盒．由于价格持续上涨，4月
1日防护服的销售价格在2月1日的基础上增长了 ，销售量减少了50套； 口罩的
销售价格在2月1日的基础上增加了 元，销售量下降了 ，结果4月1日的销售额
比2月1日的销售额多5520元，求 的值．
42．如图，学校印刷厂与A，D两地有公路、铁路相连，从A地购进一批每吨8000元的白
纸，制成每吨10000元的作业本运到D地批发，已知公路运价1.5元/（t•km），铁路运价
1.2元/（t•km）．这两次运输支出公路运费4200元，铁路运费26280元．
（1）白纸和作业本各多少吨？
（2）这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多多少元？43．如图，直线l：y＝﹣2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l：y＝﹣ x﹣3与x
1 2
轴，y轴分别交于C，D两点．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）设直线l，l 交于点P，求△PAD的面积．
1 2
44．如图1，在平面直角坐标 中，直线 ： 与 抽交于点 ，直线 ：
与 轴交于点 ，与 相交于 点．
（1）请直接写出点 ，点 ，点 的坐标： _________， ________， _______．（2）如图2，动直线 分别与直线 、 交于 、 两点．
①若 ，求 的值；
②若存在 ，求出此时点 的坐标；若不存在，请说明理由．
45． 已知一次函数y=(m+1)x+2m-6的图象与直线y=2x－3平行，
（1）求此函数的解析式；
（2）求此函数图象与直线y=-3x+1的交点，并求这两条直线与y轴所围成的三角形的面积．
参考答案
1．C
【分析】根据二元一次方程的定义可得 ， ，解方程可以计算出m、n的值，
再算出 即可．解：由题意得： ， ，
解得： ， ，
，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：
含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
2．C
【分析】根据二元一次方程的定义解答．
解：A、该方程中只含有1个未知数，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中含有未知数的项最高次数是2，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
D、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方
程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．
3．A
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都
应是一次的整式方程，据此逐一判断即可得答案．
解：A、符合二元一次方程组的定义，故本选项正确；
B、本方程组中含有3个未知数，故本选项错误；
C、第一个方程式的xy是二次的，故本选项错误；
D、x2是二次的，故本选项错误．
故选：A．
【点拨】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义判断方程组是否是二元一次方程
组是解题的关键.
4．D
【分析】由已知方程的解，可以把这对数值代入方程，得到两个含有未知数a，b的二元一
次方程，联立方程组求解，从而可以求出a，b的值，进一步得出解析式即可．
解：∵ ， 和 ， 是二元一次方程 的两个解，
∴ ，解得： ．
∴一次函数 的解析式为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了方程的解的意义和二元一次方程组的解法．解题关键是把方程的解代
入原方程，使原方程转化为以系数a和b为未知数的方程，再求解．
5．A
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性，解二元一次方程组可求得x与y的值，从而
可求得结果．
解：∵ ， ，且
∴ ，
即 ，且
解方程组 ，得：
∴
故选：A．
【点拨】本题考查了绝对值与算术平方根的非负性，解二元一次方程组等知识，关键两个
非负性的应用．般地：几个非负数的和为0，则这几个数都为0，常见的三个非负数为：实
数的绝对值非负，非负数的算术平方根非负，实数的偶数次方非负．
6．C
【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a
与b的值，代入原式计算即可求出值．
解：根据题意，则
，
由①×2+②得：11x=11，
解得：x=1，
把x=1代入①得：5+y=3，
解得：y= 2；把x=1，y= 2代入 ，则 ，
解得： ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的
未知数的值．
7．C
解：设A现在的年龄是x岁，B是y岁．根据题意得：
，解得： ．故选C．
8．C
【分析】根据全队12人同时参加活动且符合小组规定的人数，则大绳组有0组、两组或四
组，故有三种分组方法．
解：∵全队12人同时参加活动且符合小组规定的人数，且大绳组3人一组，小绳组2人一
组，
∵12是偶数，2的倍数也是偶数，
又∵偶数＋偶数＝偶数，
∴大绳组人数必须为偶数，
即大绳组有0组、两组或四组三种分组情况，
故选：C．
【点拨】本题主要考查排列与组合和自然数奇偶性知识，根据偶数＋偶数＝偶数来确定大
绳组的组数是解题的关键．
9．A
【分析】根据所设未知数，利用等量关系“买2架航拍无人机和3个编程机器人所需费用
相同，”与“购买4个航拍无人机和7个编程机器人共需3480元，”可得方程组
．解：已知设购买1架航拍无人机需x元，购买1个编程机器人需y元，
根据2架航拍无人机费用=3个编程机器人所需费用，可列方程为：2x=3y，
根据4个航拍无人机费用+7个编程机器人费用=3480元，可列方程为4x+7y=3480，
联立方程得方程组为 ，
故选择：A．
【点拨】本题考查列方程组解应用题，掌握列方程组的方法，抓住等量关系2架航拍无人
机费用=3个编程机器人费用， 4个航拍无人机费用+7个编程机器人费用=3480元，列方程
组是解题关键．
10．B
【分析】首先把（-2，0）分别代入一次函数y=3x+p和y=x+q中，可求出p，q的值，则求
出两个函数的解析式；然后求出B、C两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出
△ABC的面积．
解：一次函数y=3x+p和y=x+q的图象都经过点A（-2，0），
把（-2，0）代入解析式得-6+p=0，-2+q=0，
解得p=6，q=2，
则函数的解析式是y=3x+6，y=x+2，
这两个函数与y轴的交点是B（0，6），C（0，2）．
因而CB=4，
因而△ABC的面积是 ×2×4=4．
故选：B．
【点拨】本题考查了函数解析式与图象的关系．函数的图象上的点满足函数解析式，反之，
满足解析式的点一定在函数的图象上．
11．C
【分析】首先把 代入直线 ，求出a的值，从而得到P点坐标，再把点P代
入直线 得出 ，代入方程即可求解．
解： 直线 经过点 ，
，解得 ，
，
把点P代入直线 ，
，即 ，
方程 ，（ ）
，
，
．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，解题关键是求出P点坐标．
12．B
【分析】依据点的坐标的概念，关于原点对称的点的特征，一次函数与二元一次方程组的
关系以及不同象限内点的坐标特征，即可得到正确结论．
解：（1）到y轴的距离是2的点的横坐标是 2，该选项错误，不符合题意；
（2）点（﹣2，3）与点（2，﹣3）关于原点对称，该选项错误，不符合题意；
（3）直线：y＝2x﹣5和y＝﹣x＋1，它们的交点坐标（2，﹣1）就是方程组 的
解 ，正确，符合题意；
（4）第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数，正确，符合题意．
综上，正确的有（3）（4），共2个，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了点的坐标的概念，关于坐标轴对称的点的特征以及不同象限内点
的坐标特征，解题时注意：关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反
数．关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
13．C
【分析】利用已知得出2y＋z＝kx① ，2x＋y＝kz② ，2z＋x＝ky③，进而求出3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），再利用提取公因式法分解因式进而求出即可．
解：：解：∵ ，
∴ ，
∴①＋②＋③得：
3（x＋y＋z）＝k（x＋y＋z），
3（x＋y＋z）−k（x＋y＋z）＝0，
3（x＋y＋z）（3−k）＝0，
因为x＋y＋z不等于0，
所以3−k＝0，
即k＝3．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了三元一次方程组、比例的性质，正确将已知变形得出3（x＋y＋
z）＝k（x＋y＋z）是解题关键．
14．D
【分析】设分别购买学习用品x、y、z，根据题意列出方程组求解即可．
解：设分别购买学习用品x、y、z，根据题意可得：
（①－②）×2得： ③
①÷2得： ④
④－③得：
方案一：
方案二：
方案三：
故选：D．
【点拨】本题考查三元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确解读题意，设出未知数，
根据题意正确列出方程组．15．A
【分析】方程①乘以3得到方程③，方程②乘以2得到方程④，③-④即可得答案．
解：
①×3得： ③，
②×2得： ④，
③-④得： =-3，
故选：A．
【点拨】本题考查三元一次方程组，把两个方程正确变形是解题关键．
16．D
【分析】由两点坐标易求直线解析式，当x＝0时y的值就是不挂物体时弹簧的长度．
解：设直线解析式为y＝kx＋b，由图象可知，直线过（5，12.5），（20，20）两点，
代入得 ，
解之得： ，
即y＝0.5x＋10，当x＝0时，y＝10，
即不挂物体时，弹簧的长度为10．
故选：D．
【点拨】此题是一次函数的简单应用，重点考查用两点式求直线解析式．
17．C
【分析】解析式化为y=a（x-2）-x+3，即可求得．
解：∵y=ax-x+3-2a= a（x-2）-x+3，
∴当x=2时，y=1，
∴直线y=(a−1)x+3−2a都经过平面内一个定点（2，1）；
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标特征适合解析式是解
题的关键．18．C
【分析】先利用待定系数法求出一次函数 的解析式，再求出x=-1时y的值，进而
可得出结论．
解： 由图可知，一次函数 的图象与坐标轴的交点分别为(0,1)，(2,0)，
，
解得 ，
一次函数的解析式为 ，
当x=-1时，y= ，
当 时， ．
故选：C．
【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，熟知一次函数的
增减性及一次函数图象上点的坐标特点是解答此题的关键．
19． 或
【分析】根据二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次
数都是1．
解：若方程组 是关于x，y的二元一次方程组，
则c＋3＝0，a−2＝1，b＋3＝1，
解得c＝−3，a＝3，b＝−2．
所以代数式a＋b＋c的值是−2．
或c＋3＝0，a−2＝0，b＋3＝1，
解得c＝−3，a＝2，b＝−2．
所以代数式a＋b＋c的值是−3．
综上所述，代数式a＋b＋c的值是−2或−3．
故答案为：−2或−3．【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解．
20．＝﹣2 ＝2
【分析】根据一元一次方程的定义可得m2﹣4＝0且m+2＝0，且m+1≠0，即可得m的值；
根据二元一次方程的定义可得m2﹣4＝0且m+2≠0，m+1≠0，解可得m的值．
解：∵关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5，是一元一次方程，
∴m2﹣4＝0且m+2＝0，且m+1≠0，
解得：m＝﹣2；
∵关于x的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5，是二元一次方程，
∴m2﹣4＝0且m+2≠0，m+1≠0，
解得：m＝2．
故答案为：＝﹣2；＝2．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程和一元一次方程的定义，关键是掌握一元一次方程
的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方
程叫做二元一次方程．
21．28，118．
【分析】设第x块限速标志牌与第y个摄像头离入口距离相等（x，y均为大于1的整数），
根据二者离入口的距离相等，即可得出关于x，y的二元一次方程，进而可得出x=
，结合x，y均为整数即可得出x，y的值，再将x的值代入[5（x-1）+3]中即可求出结论．
解：设第x块限速标志牌与第y个摄像头离入口距离相等（x，y均为大于1的整数），
依题意，得：5（x-1）+3=18（y-1）+10，
∴x= ．
∵x，y均为整数，
∴（18y-6）为5的倍数，
∴18y的个位数字为1或6，
∴y的个位数字为2或7．
当y=2时，x=6，此时5（x-1）+3=28；
当y=7时，x=24，此时5（x-1）+3=118<200；当y=12时，x=42，此时5（x-1）+3=208>200，舍去；
当y=17时，x=60，此时5（x-1）+3=298＞200，舍去．
故答案为：28，118．
【点拨】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题
的关键．
22．x=5.3，y=0.3
【分析】通过观察两个方程组之间的关系，可得到 ，即可求解．
解： 方程组 的解是 ，
中， ，
解得 ，
方程组的解为 ，
故答案为：x=5.3，y=0.3．
【点拨】本题考查二元一次方程组的解，要比较两个方程组的结构相似处，得出
是解题的关键．
23．5 2
【分析】首先根据题意把 代入ax﹣by＝7中得a+b＝7，把 代入ax﹣by＝1中
得：a﹣2b＝1，组成方程组可解得a，b的值．
解：把 代入ax﹣by＝7中得：
a+b＝7 ①，把 代入ax﹣by＝1中得：
a﹣2b＝1 ②，
把①②组成方程组得： ，
解得： ，
故答案为：5，2．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的解，关键是正确把握二元一次方程的解的定义．
24．
【分析】根据第二个方程得到 ，代入 中，得到 ，当
时即可得解；
解：由 得 ，
代入 得 ，
整理得： ，
当 时，即 时， 无解，
∴当 时，原方程组无解．
故答案是 ．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确理解无解的情况是解题的关键．
25．
【分析】设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可得出关于x，y的二元一次方程组，此
题得解．
解：设醇酒为x斗，行酒为y斗，根据题意，可列方程组得：，
解得 ；
故答案为： ； ．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确
列出二元一次方程组是解题的关键．
26．30
【分析】可设选物理的人数有 人，则选生物的人数有 人，选数学的人数有
人，选化学的人数有 人，根据选生物与数学的人数之和是物理与化学的人数之和的5倍；
选化学与数学的人数之和比选物理与生物的人数之和多24人；可得方程组求得 ，
再根据整数的性质求得 ，进一步求得喜欢数学共有的人数．
解：设选物理的人数有 人，则选生物的人数有 人，选数学的人数有 人，选
化学的人数有 人，依题意有
，
②变形为： ③，
① ③得 ，
， 均为正整数，
或 或 或 或 或 ，
当 时， 为整数，
，
喜欢数学共有 （人）．
故答案为：30．
【点拨】本题考查了应用类问题，二元一次方程的正整数解、二元一次方程组等知识点，题目难度较大，根据方程组得到二元一次方程，是解决本题的关键．
27．60
【分析】设该物品售价为x元，共y人一起买该物品，根据题意即可得出关于x，y的二元
一次方程组，解之即可得出结论．
解：设该物品售价为x元，共y人一起买该物品，
依题意，得： ，
解得： ．
故答案为：60．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
28． 或
【分析】分别用m表示出点A和点B的纵坐标，用点A的纵坐标减去点B的纵坐标或用点
B的纵坐标减去点A的纵坐标得到以m为未知数的方程，求解即可．
解：∵点A是一次函数 图象上的动点，且点A的横坐标为 ，
∴
∵AC⊥x轴与C，
∴
∴
∵
∴
解得， 或
故答案为 或
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据A点横坐标和点的坐标特征求得
A、B点纵坐标是解题的关键．
29．②④
【分析】根据题意求解交点问题，列出方程组解方程组，求得交点坐标对比，逐项判断即可
解： ，
线段 为：
①一次函数 与线段 的交点即为：
的解，
解得： （舍去， ）
线段 无交点，
故此说法不正确
②一次函数 ，当
当 或者 都与 有交点时
即 或者
解得 或者
即交点为点 或者点
一次函数 ，当 与线段 有公共点
故说法②正确；
③当 时
解得：
即点 ，
，设则
解得：
（舍去， ）
所以无交点
故当 ，一次函数 的图象与线段 无公共点
故说法③不正确；
④当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点
当 或者 时
或者
解得： 或者
即交点为点 或者点
当 时，一次函数 的图象与线段 有公共点
故说法④正确
综上所述：说法②④正确
故答案为②④
【点拨】本题考查了一次函数图像的性质，一次函数交点问题，本质是解方程组求交点，
理解题意解方程组是解题的关键．
30．1.4
【分析】利用待定系数法求得两个函数解析式，联立求解即可．
解：设 对应的函数解析式为 ，
将 和 代入得： ，解得 ，即 ；设 对应的函数解析式为 ，
将 和 代入得： ，解得 ，即 ；
联立 得 ，
∴甲出发1.4小时与乙相遇．
故答案为：1.4．
【点拨】本题考查一次函数的应用，主要考查利用待定系数法求一次函数解析式和一次函
数与二元一次方程组的关系．能正确求得函数解析式是解题关键．
31．9：5：3
【分析】先用②-①，得出 ，再把将 代入①，得出 ，然后代入 中
计算即可得出答案．
解： ，
②-①，得： ，则 ，
将 代入①得： ，则 ；
因此 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了解三元一次方程组，利用加减消元或代入消元法把三元一次方程转化
为二元一次方程是解题的关键．
32． ．
【分析】设报甲项目的有x人，报乙项目的有y人，报丙项目的有z人，根据题意即可得出
关于x，y，z的三元一次方程组，然后进一步化简即可得出答案；
解：设报甲项目的有x人，报乙项目的有y人，报丙项目的有z人，
依题意得：由①得：
将③代入②得：
化简得：
∴x：y=1：2．
故答案为：1：2．
【点拨】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是
解题的关键．
33．
【分析】利用加减消元法计算即可．
解：
①+②+③得， ，
则 ，
故答案为：9．
【点拨】本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法解方程组是解题的关键．
34．
【分析】首先利用待定系数法求得直线AA 的解析式，然后分别求得B，B，B...的坐标，
1 2 1 2 3
可以得到规律：B(2n-1，2n-1)，据此即可求解.
n
解： B 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(3，2)，..正方形 边长为1，正方形
1 2
边长为2，
A 的坐标是(0，1)，A 的坐标是 (1，2)，代入 得： ，
1 2
解得： ，则直线AA 的解析式是： ，
1 2
AB= 1，点B 的坐标为(3，2)，
1 1 2
点A 的坐标为(3，4)，
3
AC = A B = BC = 4，
3 2 3 3 3 3
点B 的坐标为(7，4)，
3
B 的纵坐标是：1=20，B 的横坐标是：1 =21 -1，
1 1
B 的纵坐标是：2=21，B 的横坐标是：3 =22-1，
2 2
B 的纵坐标是：4=22，B 的横坐标是7 =23-1，
3 3
B 的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n -1，
n
则B：( 2n -1 ，2n-1)，
n
故答案为：( 2n -1 ，2n-1)
【点拨】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律． 此题难度较大，注
意正确得到点的坐标的规律是解题的关键.
35．3
【分析】根据两直线平行，则函数解析式的一次项系数相同，即可确定k的值．
解： 一次函数的图象 与直线 平行，
，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了两条直线平行问题，关键是掌握两直线平行则k值相同．
36．
【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点C，此时CA+CB最短为A'B，
求出直线A'B的解析式y=2x-5，直线与x轴的交点即为C点．
解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点C，
∴CA+CB=CA'+BC=A'B，此时CA+CB最短，
∵A（2，1），B（4，3），
∴A'（2，-1），设直线A'B的解析式y=kx+b，
则有 ，
解得 ，
∴y=2x-5，
令y=0，x= ，
∴C（ ，0），
故答案为（ ，0）
【点拨】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，应用了待定系
数法求一次函数解析式和通过求直线与x轴的交点求点C的坐标是解题的关键．
37．（1） ；（2）
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
解：（1） ，
将②代入①得： ，
解得： ，把 代入②得： ，
则方程组的解为 ；
（2）方程组整理得： ，
① ②得： ，
解得： ，
把 代入①得： ，
则方程组的解为 ．
【点拨】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法
与加减消元法．
38．
【分析】观察方程组的特点，把 看作一个整体，得到 ，将之代入②，进行
消元，得到 ，解得 ，进一步解得 ，从而得解．
解： 由①得 ③，
把③代入②得 ，解得 ，
把 代入③，得 ，解得 ，
故原方程组的解为 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的特殊解法：整体代入法.解方程（组）要根据方程组的特点灵活运用选择合适的解法．
39．（1） ；（2） ．
【分析】（1）由①＋②，②＋③分别消去z组成关于x、y二元一次方程组求解；
（2）①＋2×②消去y组成关于x、z二元一次方程组求解；
解：（1） ，
2×②得，x−2z＝−3④，
③、④组成方程组得： ，
解得 ，代入②得y＝ ，
所以原方程组的解为 ；
，
①+②得，5x＋2y＝16④，
②+③得，3x＋4y＝18⑤
④、⑤组成方程组得： ，
解得： ，代入③得z=1，∴方程组的解为：
【点拨】此题考查三元一次方程组的解法，代入消元法和加减消元法是常用的方法，加减
消元法是比较简洁的方法
40．（1）每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享
单车；（2）n的值为1或4或7．
【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆
共享单车，根据“1名熟练工人和3名新工人每天共安装36辆共享单车；2名熟练工人每
天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二
元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设抽调m名熟练工人，由工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于m，n的二
元一次方程，再根据m，n均为正整数且 ，即可求出n的值．
解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享
单车，
根据题意得： ，
解得： ．
答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．
（2）根据题意得：30×（8n+12m）×（1﹣3%）＝5820，
整理得：n＝25﹣ m，
∵m，n均为正整数，且 ，
∴ ， ， ．
∴n的值为1或4或7．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次
方程．41．（1）2月1日每套防护服的价格为60元，每盒N95口罩的价格为50元；（2）20
【分析】（1）设2月1日每套防护服的价格为x元，每盒N95口罩的价格为y元，由题意：
若售出5套防护服和6盒N95口罩，销售额为600元；若售出10套防护服和3盒N95口罩，
销售额为750元．列出方程组，解方程组即可；
（2）根据总价=单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出答案．
解：（1）设2月1日每套防护服的价格为x元，每盒N95口罩的价格为y元，
由题意得： ，
解得： ，
答：2月1日每套防护服的价格为60元，每盒N95口罩的价格为50元；
（2）依题意，得：60（1+4m%）×（200-50）+（50+ m）×300×（1-20%）
=60×200+50×300+5520，
解得：m=20，
答：m的值为20．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次
方程．
42．（1）白纸有100吨，作业本有90吨；（2）69520元
【分析】（1）设白纸有 吨，作业本有 吨，根据共支出公路运费4200元，铁路运费
26280元．列出二元一次方程组，解之即可；
（2）由销售款 （白纸的购进款与运输费的和），进行计算即可．
解：（1）设白纸有 吨，作业本有 吨，由题意，得
，
整理得： ，
解得 ．
答：白纸有100吨，作业本有90吨；（2） （元）．
答：这批作业本的销售款比白纸的购进款与运输费的和多69520元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元
一次方程组．
43．（1）28；（2）
【分析】（1）根据直线解析式求得A、B、C、D的坐标，然后根据四边形ABCD的面积
=△ABC的面积+△ACD的面积求得即可；
（2）解析式联立成方程组，解方程组求得P的坐标，根据S =S -S 即可求得．
△PAD △PBD △ABD
解：（1）当x=0时，y＝﹣2x+4=4；当y=0时，﹣2x+4=0，x=2，
∴A（2，0），B（0，4）；
∴OA＝2，OB＝4；
当x=0时， =-3；当y=0时， ，x=-6，
∴C（﹣6，0），D（0，﹣3）；
∴OC＝6，OD＝3，
∴AC＝2+6＝8，
∴S ＝ AC×OB+ AC×OD
四边形ABCD
＝ ×8×（4+3）＝28；
（2）根据题意可知： ，
解这个方程组得： ，
∴P（ ， ），
∴S ＝S ﹣S
△PAD △PBD △ABD
＝ ×7× + ×7×2＝ ．
【点拨】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点，两条直线相交问题，三角形的面积，
求得交点坐标是解题的关键．
44．（1）（-1，0）、（1，0）、（2，3）；（2）①t=1或3；②（0，-3）或（4，9）
【分析】（1）根据一次函数与x轴的交点纵坐标为0即可求出AB坐标，联立两个一次函
数即可求出C点坐标；
（2）①设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），则PQ=|t+1-3t+3|=2，即可求解；
②在y轴负半轴取点M使NM=NK，过点M作直线m∥AC交l 于点Q，则点Q为所求点，
2
进而求解；当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），进而求解．
解：（1）对于直线l：y=3x-3①，
2
令y=3x-3=0，解得x=1，故点B（1，0），
对于l：y=x+1，同理可得：点A（-1，0），
1
则 ，解得 ，
故点C的坐标为（2，3），
故答案为：（-1，0）、（1，0）、（2，3）；
（2）①点P在直线l 上，则设点P（t，t+1），同理点Q（t，3t-3），
1
则PQ=|t+1-3t+3|=2，
解得t=1或3；
②当点Q在x轴下方时，如下图，设直线l 交y轴于点K，过点B作直线n∥AC交y轴于点N，
1
在y轴负半轴取点M使NM=2NK，过点M作直线m∥AC交l 于点Q，则点Q为所求点，
2
理由：∵M、Q在直线m上，且m∥AC，
∴S =S ，
△MAC △QAC
同理S =S ，
△NAC △BAC
∵MN=2KN，则m、l 之间的距离等于2倍n、l 之间的距离，
1 1
∴S =2S ，
△AQC △ABC
由直线l 的表达式知点K（0，1），
1
设直线n的表达式为y=x+b，将点B的坐标代入上式并解得b=-1，
∴ N（0，-1），
∵NK=1-（-1）=2，
∴MN=NK=2，
∴M（0，-3），
在直线m的表达式为y=x-3②，
联立①② 解得 ，
∴Q（0，-3）；
②当点M在x轴上方时，同理可得点M（0，5），
同理可得，过点M且平行于AC的直线表达式为y=x+5③，联立①③ 解得 ，
∴ Q的坐标为（4，9）；
综上，点Q的坐标为（0，-3）或（4，9）．
【点拨】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行线的性质、绝对值的
应用、面积的计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
45．（1）y=2x－4；（2）交点坐标是（1，－2），面积是
【分析】（1）根据两直线平行， 值相等，即可求得 的值，进而求得函数解析式；
（2）联立两直线解析式，即可求得交点的坐标，分别令 ，即可求得两直线与坐标轴
的交点坐标，进而根据三角形面积公式求得三角形面积．
解：(1) 一次函数y=(m+1)x+2m-6的图象与直线y=2x－3平行，
∴
∴函数的解析式为
(2)如图，
设两直线的交点为 ， 与 轴的交点为 ， 与 轴的交点为 ，
依题意，联立解得
（1，－2）；
由 ，当 时， ，
由 ，当 时， ，
∴ ．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，求得两直
线交点坐标是解题的关键．
