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专题5.34 二元一次方程组应用题分类专题（专项练习）
类型一、年龄问题
1．师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁
了，问老师和学生现在各几岁？
2．一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
3．小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，
爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？
类型二、数字问题
4．小明和小亮用两个正整数做加法游戏．小明在一个加数前面多写了一个1，得到的和为
137；小亮在另一个加数的后面多写了一个1，得到的和为227．求原来的两个加数分别是
多少？
5．小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数字是一个两位数；1h后，看到里
程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过1h，看到里程碑
上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个0的三位数．这3块里程碑上的数
各是多少？
6．阅读材料并完成题目：（材料一）我们可以将任意两位数记为 （其中a，b分别表示该数的十位数字和个位数
字，且 ），显然 ．
（材料二）若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字0，组成一个新的
三位数，我们称这个三位数为N的“惟勤数”，如36的“惟勤数”为306若将一个两位正
整数N减5后得到一个新数，我称这个新数为N的“惟真数”，如36的“惟真数”为
31．
（1）76的“惟勤数”是_________，“惟真数”是_________；
（2）求证：对任意一个两位正整数 ，其“惟勤数”与“惟真数”之差能被5整除；
（3）有一个两位数 ，其“惟勤数”与“惟真数”之和为439，其“惟真数”的各位数字
之和为10，请通过列方程求这个两位数．
类型三、和差倍分问题
6．某单位组织了200人到甲、乙两地旅游，到甲地的人数比到乙地的人数的2倍少10人．
到两地参加旅游的人数各是多少？
8．某公司准备安装完成5820辆的共享单车投入市场．由于抽调不出足够的熟练工人，公
司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和3名新工人每天共安装36辆共
享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．
（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
（2）若公司原有熟练工 人，现招聘 名新工人（ ），使得最后能刚好一个月（30
天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占3%，求 的值．9．某环卫公司通过政府采购的方式计划购进一批A，B两种型号的新能源汽车，据了解，
3辆A型汽车和4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车和2辆B型汽车的进价共
计120万元．
（1）求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元；
（2）该公司计划恰好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购
买），并使得购进的B种型号的新能源汽车数量多于A种型号的新能源汽车数量，请试写
出该公司的采购方案．
类型四、古代问题
10．我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，
直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2
头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提
出以下两个问题：
（1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？
（2）若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请
问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
11．《孙子算经》是中国古代的数学著作，成书大约一千五百年前．卷中举例说明筹算分
数算法和筹算开平方法，其中“物不知数”的问题．在西方的数学史里被称为“中国的剩
余定理”．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈
绳量之，不足一尺，问木长几何？”大致意思是“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5
尺，将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，向木条长多少尺？”
12．我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．”其译文是：“5头牛、2只羊，共值19两银子；2头牛、5只羊，共值16
两银子．”
（1）求1头牛、1只羊共值多少两银子？
以下是小慧同学的解答（请你补充完整）：
解：设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，根据题意，可列出方程组：
①+②，得______________，
∴ ______________．
小慧仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数式的值，这种
解题思想就是我们通常所说的“整体思想”．
（2）运用“整体思想”尝试解决以下问题；
对于实数x，y，定义新运算； ，其中a，b是常数．
已知 ，求 的值．
类型五、分配问题
13．为了支持贫困地区发展，某企业需运输一批扶贫物资．据调查得知，2辆大货车与4
辆小货车一次可以运输1000箱物资；5辆大货车与2辆小货车一次可以运输1300箱物资．
（1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱物资？
（2）该企业计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆
小货车一次需费用300元，若一次运输物资不少于2200箱，且总费用小于5600元，请你
列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需总费用最少，最少总费用是多少？
14．某工厂准备用图甲所示的 型正方形板材和 型长方形板材，制作成图乙所示的竖式
和横式两种无盖箱子．（1）若现有 型板材150张， 型板材300张，为节约成本，需将板材全部用完，且不能
切割板材，则可制作竖式和横式两种无盖箱子各多少个？
（2）若该工厂准备用不超过24000元资金去购买 、 两种型号板材，制作竖式、横式箱
子共100个．已知 型板材每张20元， 型板材每张60元，问最多可以制作竖式箱子多
少个？
15．今年3月，德宏瑞丽受疫情影响，采取了“封城措施”．封城期间，某公司安排大、
小货车共20辆，分别从A、B两地运送320吨物资到德宏瑞丽，支援瑞丽抗击疫情，每辆
大货车装25吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资，已知这两
种货车的运费如下表：
目的地
A地（元/辆） B地（元/辆）
车型
大货车 900 1000
小货车 500 700
要安排上述装好物资的20辆货车中的10辆从A地出发，其余从B地出发．
（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？
（2）设从A地出发的大货车有 辆（大货车不少于5辆），这20辆货车的总运费为 元，
求总运费 的最小值．
类型六、销售利润问题
16．小明去某超市为班级购买一些普通洗手液和免洗洗手液．已知购买1瓶普通洗手液和
1瓶免洗洗手液要花费30元， 买3瓶普通洗手液和2瓶免洗洗手液要花费70元．
（1）求两种洗手液的单价．（2）小明现有200元钱，通过计算说明小明能否买到10瓶普通洗手液和6瓶免洗洗手液？
（3）一段时间后，由于该超市促销，所有商品一律打八折销售，所以小明班级计划用不超
过1000元的费用再购买两种洗手液共100瓶，求最多能购买多少瓶免洗洗手液？
17．“海上生明月，天涯共此时”，中秋节是我国的传统佳节，这一天，阖家团圆，同赏
明月，共品月饼．8月份，某副食超市销售“稻香村”和“嘉华”两个品牌的月饼一共240
个，每个“稻香村”月饼的售价为12元，每个“嘉华”月饼的售价为10元，这两种月饼
的销售额之和为2700元．
（1）8月份卖出“稻香村”月饼、“嘉华”月饼各多少个？
（2）9月份，月饼大量上市，受此影响，该副食超市“稻香村”月饼的售价比8月份降低
了 %，销售量在八月份的基础上增加了4a%；“嘉华”月饼的售价比8月份降低了
a%，销售量在八月份的基础上增加了10a%，结果这两种月饼的总销售额比8月份增加了
%，求a的值．
18．小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及
消费金额如下表：
类别 购买A商品数量 购买B商品数量
消费金额（元）
次数 （件） （件）
第一次 4 5 320
第二次 2 6 300
第三次 5 7 258
解答下列问题：
（1）第 次购买有折扣；
（2）求A、B两种商品的原价；
（3）若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；（4）小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不
超过200元，求至少购买A商品多少件．
类型七、工程问题
19．某建筑公司有甲、乙两位师傅建造养鸡场，建造时按养鸡场的建造面积收费．已知甲
师傅建造2m2的费用与乙师傅建造3m2的费用总和为440元，甲师傅建造3m2的费用与乙师
傅建造2m2的费用总和为460元．
（1）分别求出甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用；
（2）若乙师傅计划用总长度为24米的材料建造两个一侧靠墙且位置相邻的矩形养鸡场
（如图），已知墙的长为9米，则养鸡场的宽AB为多少时，建造费用最多？最多为多少元？
20．某高速铁路一路段正在建设中，甲、乙两个工程队计划参与其中一项工程建设，甲队
单独施工30天，恰好完成了该项工程的 ，若这时乙队加入，则两队还需同时施工15天，
才能完成该项工程．（请用方程或不等式的知识解决以下问题）
（1）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（2）若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少还需施工多少天才能完成
该项工程？（请用方程或不等式知识解答以下问题）
21．综合与探究
列方程组解应用问题要先审题、找相等关系，再设未知数、列方程，最后解方程、写出答
案．设未知数时可采用“直接设法”与“间接设法”．
甲、乙两名同学在做下面应用题：“嫩江是齐齐哈尔的母亲河，为加强河坝的防洪能力，
现有一段长为180米的河坝加固任务由 、 两个工程队先后接力完成． 工程队每天加固河道12米， 工程队每天加固河道8米，共用时20天．求 、 两工程队分别加固河道
多少米？”请你根据所给题目，解决下列问题：
（1）如果甲同学采用直接设法：
可设 表示__________________， 表示__________________，
那么依题意可列方程组： ，解得
如果乙同学采用间接设法：
可设 表示__________________， 表示__________________，
那么依题意可列方程组： ，解得
（2）请你直接写出 、 两工程队分别加固河道多少米？
类型八、行程问题
22．某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟
到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地
间的距离．
23．列二元一次方程组解应用题：
①、小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了
16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200
米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？
②、在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，预从商场购进一批免洗手消
毒液和84消毒液．如果购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元．
（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？
（2）若商场有两种促销方案：方案一，所有购买商品均打九折；方案二，购买5瓶免洗手
消毒液送2瓶84消毒液，学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校
选用哪种方案更节约钱？节约多少钱？
24．当前，新冠肺炎疫情仍在全球蔓延，国内疫情也呈现多地散发、部分聚集态势，接种
新冠疫苗是构筑全民免疫的有力屏障，重庆市八月启动 岁学生新冠病毒疫苗接种工
作，小南和小开计划在父母陪同下前往医院接种新冠疫苗，小南从 小区匀速步行前往
医院接种，同时，小开留观结束从 医院返回 小区，两人之间的距离 （m）与步行时
间 （min）的关系如图所示．
（1） 小区和 医院的距离为 m，小南和小开出发 min后相遇；
（2）若小南的步行速度比小开的步行速度快；求小南和小开步行的速度各是多少？
（3）计算出点 对应的步行时间 和两人之间的距离 ，并解释点 的实际意义．
类型九、方案问题
25．哈尔滨地铁“三号线”正在进行修建，现有大量的残土需要运输．某车队有载重量为
8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次可以运输110吨残土．
（1）求该车队有载重量8吨、10吨的卡车各多少辆？
（2）随着工程的进展，该车队需要一次运输残土不低于166吨，为了完成任务，该车队准
备新购进这两种卡车共6辆，则最多购进载重量为8吨的卡车多少辆？26．习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”某企业扶贫小组准备在春节前夕慰
问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据
调查得知， 辆大货车与 辆小货车一次可以满载运输 件； 辆大货车与 辆小货车一
次可以满载运输 件．
（1）求 辆大货车和 辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
（2）计划租用两种货车共 辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用 元，每辆小货
车一次需费用 元．若运输物资不少于 件，且总费用不超过 元．请你计算该扶
贫小组共有几种运输方案？
27．一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，
众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货车向武汉运送爱心物资，两次满载的运
输情况如表：
甲种货车 乙种货车 总量
（辆） （辆） （吨）
第一次 2 1 10
第二次 1 2 11
（1）甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨?
（2）现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，
问有哪几种租车方案?
（3）在（2）的条件下，若1辆甲种货车需租金100元/次，1辆乙种货车需租金120元/次．
请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费．
类型十、表格或图示信息问题
28．东东在完成一项“社会调查”作业时，调查了城市送餐员的收入情况，他了解到劳务
公司为了鼓励送餐员的工作积极性，实行“月总收入 基本工资（固定）＋计单奖金”的
方法计算薪资，并获得如下信息：营业员 小李 小杨
月送餐单数/单 285 260
月总收入/元 3370 3320
送餐每单奖金为a元，送餐员月基本工资为b元．
（1）求a、b的值；
（2）若月送餐单数超过300单时，超过部分每单奖金增加1元，假设月送餐单数为x单，
月总收入为y元，请写出y与x之间的函数关系式，并求出送餐员小李计划月总收入不低于
4000元时，小李每月至少要送餐多少单？
29．丰都是旅游文化名城，庙会期间有爵士舞和和民族舞两个文娱节目，两节目组主要演
员和次要演员每天的费用分别相同．从节省资金和保证节目效果两个角度，现两个节目组
有方案如下表：
总费用
主要演员（人） 次要演员（人）
（元/天）
爵士舞
民族舞
（1）方案中主要演员和次要演员每天的费用分别多少元？
（2）在（1）问的结论下，现爵士舞和民族舞分别表演若干天，已知两节目组主要演员费
用共为 元，次要演员费用共为 元，问两节目各表演多少天？
30．“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规
格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销
售情况如表：
A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总利润（元）
第一周 10 12 2240第二周 20 15 3400
（1）求a，b的值；
（2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，
且不超过A型车销售量的1.5倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最
大，最大利润是多少元？
类型十一、几何问题
31．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的小长方形，所标尺寸如图所示，
请你利用方程组的思想方法解决以下问题：
（1）求小长方形的长和宽；
（2）求出图中阴影部分面积．
32．如图等腰三角形 中， ， 为腰 上的中线，且 将这个等腰三角形
周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．33．已知△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则△ABD的面积 △ACD的面积．
（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）如图2，若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，求四边形ADOE的面积可
以用如下方法：连接AO，由AD＝DB得：S ＝S ，同理：S ＝S ，设S ＝
△ADO △BDO △CEO △AEO △ADO
x，S ＝y，则S ＝x，S ＝y由题意得：S ＝ S ＝30，S ＝ S ＝30，
△CEO △BDO △AEO △ABE △ABC △ADC △ABC
可列方程组为： ，解得 ，通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为
．
（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AE＝1：2，请你计算四边形ADOE的面积，并说明理
由．
类型十二、开放型问题
34．已知关于x，y的方程组
(1)请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；
(2)若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
(3)无论实数m取何值时，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，求出这个解．
(4)若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值．35．小红用110根长短相同的小木棍按照如图所示的方式,连续摆正方形或六边形,要求相邻
的图形只有一条公共边.
(1)小红首先用 根小木棍摆出了 个小正方形,请你用等式表示 之间的关系： ；
(2)小红用剩下的小木棍摆出了一些六边形,且没有木棍剩余.已知他摆出的正方形比六边形
多4个,请你求出摆放的正方形和六边形各多少个?
(3)小红重新用50根小木棍,摆出了 排,共 个小正方形.其中每排至少含有1个小正方形,每
排含有的小正方形的个数可以不同.请你用等式表示 之间的关系,并写出所有 可能的取
值.
36．由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次
可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个
问题的解答过程．
类型十三、其他问题
37．已知等式 对于一切有理数 都成立，求A，B的值．
38．某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大楼共有4道门，其中2
道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启1
道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4
分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？39．雅礼中学打算购买三角梅、水仙装点学校道路，负责人小李去花卉基地调查发现：购
买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要13元．
（1）求三角梅、水仙的单价各是多少元？
（2）购买三角梅、水仙共200盆，且购买的三角梅不少于60盆，但不多于80盆：
①设购买三角梅a盆，总费用为W元，求W与a的关系式；
②当总费用最少时，应选择哪一种购买方案？最少费用为多少元？
参考答案
1．老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁
【分析】设老师的年龄是 x岁，学生的年龄是y岁，根据老师和学生年龄差不变来列方程
组解答．
解：设老师的年龄是x岁，学生的年龄是y岁，由题意得：根据题意列方程组得：
，
解得 ．
答：老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，抓住题目的关键，
老师和学生年龄差不变．
2．妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16
岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的
二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，
依题意，得： ，
解得： ．
答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．
3．小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁．
【分析】设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120-x-y）岁，根据
“爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年
龄之差”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120–x–y）岁，
根据题意得， ，
解得 ，
∴120–x–y=66．
答：小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
4．16，21
【分析】一个加数前面多写了一个1，实际上这个加数增加100，后面多写一个1，实际就
是这个加数扩大了10倍后加上1．两个等量关系为：100+一个加数+另一个加数=137；一
个加数+10×（另一个加数）+1=227．
解：设一个加数为x，另一个加数为y．根据题意 ，
解得： ，
答：原来两个加数分别是16，21．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是弄清在后面或前面多写一
个1的不同意义．
5．16，61，106．
【分析】设小亮第一次看到的两位数，十位数为x，个位数为y，则1h后，看到里程碑上
的两位数个位数为x，十位数为y，再过lh，看到里程碑上的数，百位数为x，十位数字为
0，个位数为y，从而表示出这个三个里程碑上的数，再根据是匀速行驶，由每个小时的行
程相等，列出方程，便可解答．
解：设小亮第一次看到的两位数，十位数为x，个位数为y，
则1h后，看到里程碑上的两位数个位数为x，十位数为y，
再过lh，看到里程碑上的数，百位数为x，十位数字为0，个位数为y，
∴第一个里程碑上的数为（10x+y），
第二个里程碑上的数为（10y+x），
第三个里程碑上的数为（100x+y），
∵小亮是匀速行驶， ∴第1h行驶的路程=第2h行驶的路程，
∴（10y+x）-（10x+y）=（100x+y）-（10y+x），
化简得，y-x=11x-y， ∴y=6x，
∵x，y都为整数，且1≤x≤9，1≤y≤9，
∴x=1，y=6，
∴这3块里程碑上的数各是16，61，106．
答：这3块里程碑上的数各是16，61，106．
【点拨】本题考查的是二元一次方程的应用，考查了求不定方程的解，考查了数学在生活
中的运用，及二元一次方程的正整数解．正确理解题意并列出方程是解题的关键．
6．（1）706，71；（2）见解析；（3）42
【分析】（1）根据“惟勤数”和“惟真数”的定义可得结果；
（2）分别算出这个两位正整数的“惟勤数”和“惟真数”，再相减即可证明；（3）首先得到55x+y=222，分5≤y≤9和0≤y≤4两种情况分别列方程组，根据结果进行取舍．
解：（1）76的“惟勤数”是706，“惟真数”是71；
（2）两位正整数 ，其“惟勤数”是100a+b，“惟真数”是10a+b-5，
∴100a+b-（10a+b-5）=100a+b-10a-b+5=90a+5=5（18a+1），
∴“惟勤数”与“惟真数”之差能被5整除；
（3）由题意可得：100x+y+10x+y-5=439，
则55x+y=222，
当5≤y≤9时，x+y-5=10，即x+y=15，
解 得： ；
当0≤y≤4时，x-1+y+10-5=10，x+y=6，
解 得： ；
∴这个两位数为42．
【点拨】本题考查了新定义在数字问题中的应用，二元一次方程组的应用，读懂定义并正
确列式，是解题的关键．
7．甲地参加旅游的人数为130人，乙地参加旅游的人数为70人
【分析】设到甲地x人，到乙地y人，再根据到甲地与到乙地的人数和为 人，到甲地的
人数等于到乙地的人数的 倍减去 人，列方程组，再解方程组可得答案.
解：设到甲地x人，到乙地y人，
则 ，
解得 .
答：甲地参加旅游的人数为130人，乙地参加旅游的人数为70人.
【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，正确理解题意，确定相等关系是解题的关
键.
8．（1）每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车；（2）n的值为1或4或7．
【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆
共享单车，根据“1名熟练工人和3名新工人每天共安装36辆共享单车；2名熟练工人每
天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二
元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设抽调m名熟练工人，由工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于m，n的二
元一次方程，再根据m，n均为正整数且 ，即可求出n的值．
解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享
单车，
根据题意得： ，
解得： ．
答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．
（2）根据题意得：30×（8n+12m）×（1﹣3%）＝5820，
整理得：n＝25﹣ m，
∵m，n均为正整数，且 ，
∴ ， ， ．
∴n的值为1或4或7．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次
方程．
9．（1）A型汽车进价为25万元/辆，B型汽车进价为10万元/辆；（2）该公司有两种购买
方案，方案1：购进A型汽车2辆，B型汽车15辆；方案2：购进A型汽车4辆，B型汽车
10辆
【分析】（1）设 型汽车进价为 万元 辆， 型汽车进价为 万元 辆，根据“3辆 型
汽车和4辆 型汽车的进价共计115万元；4辆 型汽车和2辆 型汽车的进价共计120万
元”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进 型汽车 辆，则购进 型汽车 辆，根据购进的 种型号的新能源汽
车数量多于 种型号的新能源汽车数量，即可得出关于 的一元一次不等式，解之即可得
出 的取值范围，再结合 、 均为正整数，即可得出各购买方案．
解：（1）设 型汽车进价为 万元 辆， 型汽车进价为 万元 辆，
依题意得： ，
解得： ．
答： 型汽车进价为25万元 辆， 型汽车进价为10万元 辆．
（2）设购进 型汽车 辆，则购进 型汽车 辆，
依题意得： ，
解得： ．
又 、 均为正整数，
或 ．
当 时， ；
当 时， ．
该公司有两种购买方案，
方案1：购进 型汽车2辆， 型汽车15辆；
方案2：购进 型汽车4辆， 型汽车10辆．
【点拨】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式．
10．（1）每头牛3两银子，每头羊2两银子；（2）共有三种购买方法：方案一：购买2
头牛，7头羊；方案二：购买4头牛，4头羊；方案三：购买6头牛，1头羊
【分析】（1）设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“5头牛、2只羊，值19两
银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买a头牛，b只羊，利用总价＝单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，
结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案．
解：（1）设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题意，得
解得
答：每头牛3两银子，每头羊2两银子．（含设）
（2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意，得
∵a、b均为正整数
∴该方程的解为 或 或
所以共有三种购买方法：
方案一：购买2头牛，7头羊；
方案二：购买4头牛，4头羊；
方案三：购买6头牛，1头羊．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、数学常识以及二元一次方程的应用，解题的
关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出
二元一次方程．
11．木条长6.5尺．
【分析】设绳子长x尺，木条长y尺，根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，
将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可
得出结论．
解：设绳子长x尺，木条长y尺，
依题意得： ，解得： ．
答：木条长6.5尺．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元
一次方程组是解题的关键．
12．（1）见解析；（2）0
【分析】（1）将两式相加，再把结果两边同时除以7，可得结果；
（2）根据 和 得到 ，②×2-①可得： ，从而可得
的结果．
解：（1）设1头牛值x两银子，1只羊值y两银子，根据题意，可列出方程组：
，
①+②，得 ，
∴ 5，
∴1头牛、1只羊共值5两银子；
（2）∵ ，
且 ，
∴ ，即 ，
②×2-①可得： ，
∴ = =0．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，理解整体思想的运
用．
13．（1）1辆大货车一次可运输200箱物资，1辆小货车一次可运输150箱物资；（2）方
案①：大货车用8辆，小货车用4辆，方案②：大货车用9辆，小货车用3辆；方案①所
需费用最少，最少费用是5200元
【分析】（1）设1辆大货车一次可运输x箱物资，1辆小货车一次可运输y箱物资，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可．
（2）设该企业用大货车a辆，则小货车用 辆，根据题意即可列出关于a的一元一
次不等式组，求出a的解集．再结合题意a必须为整数，即得出a的具体值．在分类讨论，
即可得出答案．
解：（1）设1辆大货车一次可运输x箱物资，1辆小货车一次可运输y箱物资，
根据题意，得： ，
解得： ．
因此，1辆大货车一次可运输200箱物资，1辆小货车一次可运输150箱物资．
（2）设该企业用大货车a辆，则小货车用 辆，
根据题意，得： ，
解得： ．
因为a为正整数，所以 或 ，共有两种运输方案，
即方案①：大货车用8辆，小货车用4辆，
所需费用为 （元）；
方案②：大货车用9辆，小货车用3辆，
所需费用为 （元）．
因此，方案①所需费用最少，最少费用是5200元．
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用．根据题意找出等量
关系或数量关系是解答本题的关键．
14．（1）可制作竖式无盖箱子30个，横式无盖箱子60个；（2）最多可以制作竖式箱子
50个
【分析】（1）设可制作竖式无盖箱子 个，横式无盖箱子 个，根据“有 型板材150张，
型板材300张，为节约成本，需将板材全部用完，且不能切割板材，”列出方程组，即
可求解；
（2）设制作竖式无盖箱子 个，则制作横式无盖箱子 个，根据“ 型板材每张20元， 型板材每张60元，”和“用不超过24000元资金去购买 、 两种型号板材，”
列出不等式，即可求解．
解：（1）设可制作竖式无盖箱子 个，横式无盖箱子 个，依题意得：
，
解得 ，
答：可制作竖式无盖箱子30个，横式无盖箱子60个；
（2）设制作竖式无盖箱子 个，则制作横式无盖箱子 个，依题意得：
，
解得 ．
答：最多可以制作竖式箱子50个．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，明确题意，准确得到
数量关系是解题的关键．
15．（1）大货车有8辆，小货车有12辆；（2）总运费最小值为14900元
【分析】（1）设大货车有 辆、小货车有 辆，根据“大、小货车共20辆，分别从A、B
两地运送320吨物资”，列出方程组，解方程组即可求出答案；
（2）先确定调往各地的车辆数，根据题意列出函数关系式即可，再根据车辆数不能为负数，
且大货车不少于5辆，列出不等式组，求得x的取值范围，最后再利用函数的性质，求得
最小运费．
解：（1）设大货车有 辆、小货车有 辆，根据题意列方程组得：
解得：
答：大货车有8辆，小货车有12辆．
（2）设从A地出发的大货车有x辆，则从A地出发的小货车有 辆，
从B地出发的大货车有 辆，
从B地出发的小货车有 辆，
由题意得，
化简得， ，
∵车辆数不为负数，且A地出发的大货车不少于5辆，
∴
∴ ，
∵一次函数y＝100x+14400中， ，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝5时，y有最小值，此时最小运费y＝100×5+14400＝14900元，
答：总运费最小值为14900元．
【点拨】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应
用，同时还考查了一次函数的性质，掌握相关知识点是解题的关键．
16．（1）一瓶普通洗手液10元，一瓶免洗洗手液20元；（2）买不到；（3）25瓶
【分析】（1）设一瓶普通洗手液x元,一瓶免洗洗手液y元，根据题意列二元一次方程组，
解方程组即可解决问题；
（2）根据（1）的结论计算10瓶普通洗手液和6瓶免洗洗手液的售价与200比较即可求得
答案；
（3）设购买m瓶免洗洗手液，则购买普通洗手液（100﹣m）瓶，列出一元一次不等式，
解不等式即可求得答案．
解：（1）设一瓶普通洗手液x元,一瓶免洗洗手液y元，依题意得：解得：
答：一瓶普通洗手液10元,一瓶免洗洗手液20元.
（2）因为10x+6y=10 >200
所以200元买不到10瓶普通洗手液和6瓶免洗洗手液.
（3）设购买m瓶免洗洗手液，则购买普通洗手液（100﹣m）瓶．
依题意得：20 0.8m+10 0.8（100﹣m）≤1000，
解得：m≤25
答：最多购买25瓶免洗洗手液．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意列出方程
组和不等式是解题的关键．
17．（1）8月份卖出“稻香村”月饼150个、“嘉华”月饼90个；（2）a的值为10
【分析】（1）设卖出“稻香村”月饼x个，卖出“嘉华”月饼y个，根据两个品牌的月饼
一共240个，总价＝单价×数量，即可得出二元一次方程组求解；
（2）根据总价＝单价×数量，即可得出关于a的一元二次方程，求解即可．
解：（1）设卖出“稻香村”月饼x个，卖出“嘉华”月饼y个，
依题意，得： ，
解得： ．
答：8月份卖出“稻香村”月饼150个、“嘉华”月饼90个．
（2）依题意：12（1− a%）×150（1＋4a%）＋10（1－a%）×90（1＋10a%）＝2700（1
＋ a%），
整理，得： ，
解得：a＝10，a＝0（不合题意，舍去），
1 2
答：a的值为10．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准
等量关系．18．（1）三 （2）A：30元/件，B：40元/件 （3）6 （4）7件
【分析】（1）由第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第三次
购物有折扣；
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据总价=单价×数量结合前两
次购物的数量及总价，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设折扣数为z，根据总价=单价×数量，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得
出结论；
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据总价=单价×数量结合消费金额
不超过200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论．
解：（1）观察表格数据，可知：第三次购买的A、B两种商品均比头两次多，总价反而少，
∴第三次购买有折扣．
故答案为三．
（2）设A商品的原价为x元/件，B商品的原价为y元/件，根据题意得：
解得： ．
答：A商品的原价为30元/件，B商品的原价为40元/件．
（3）设折扣数为z，根据题意得：
5×30 7×40 258
解得：z=6．
答：折扣数为6．
（4）设购买A商品m件，则购买B商品（10﹣m）件，根据题意得：
30 m+40 （10﹣m）≤200
解得：m ．
∵m为整数，∴m的最小值为7．
答：至少购买A商品7件．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）观察三次购物的数量及总价，找出哪次购物有折扣；（2）找
准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；
（4）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
19．（1）甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用分别为100元和80元；（2）养鸡场的宽
AB为5米时，建造费用最多；最多为3600元．
【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可；
（2）首先确定AB的取值范围，然后列二次函数求最值即可．
解：（1）设甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用分别为x元和y元，
根据题意得： ，
解得：
答：甲、乙两位师傅建造1m2养鸡场的费用分别为100元和80元；
（2）设AB为z米，面积为S，则BC＝（24﹣3z）米，
∵墙长为9米，
∴24﹣3z≤9，
解得：z≥5，
根据题意得：S＝z（24﹣3z）＝﹣3（z﹣4）2+48，
∵a＝﹣3＜0，对称轴为z＝4，
∴当z＞4时S随着z的增大而减小，
∴当z＝5时面积最大为45m2，
费用为45×80＝3600元，
∴养鸡场的宽AB为5米时，建造费用最多；最多为3600元．
【点拨】本题考查了二次函数的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是从实际问题
中抽象出二次函数模型，列出函数解析式．
20．（1）30天；（2）18天
【分析】（1）设乙队单独施工，需要 天才能完成该项工程，根据题意列分式方程求解即
可；
（2）设甲队施工 天，乙队施工 天完成该项工程，列出二元一次方程和一元一次不等式，
求解即可．解：（1）设乙队单独施工，需要 天才能完成该项工程，
因为甲队单独施工30天完成该项工程的 ，所以甲队单独施工90天完成该项全部工程，
则
解得，
经检验， 为原方程的根且符合题意．
答：乙队单独施工，需要30天才能完成该项工程．
（2）设甲队施工 天，乙队施工 天完成该项工程．
则
由①，得 ③，
将③代入②，得 ，解得 ．
答：若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天，则乙队至少施工18天才能完成该项工
程．
【点拨】此题考查了分式方程的应用，二元一次方程和一元一次不等式的应用，理解题意
找到等量关系或不等式关系，列出相应的方程和不等式是解题的关键．
21．（1） 工程队加固河道的长度， 工程队加固河道的长度， ，
； 工程队加固河道的天数， 工程队加固河道的天数， ，
；（2） 工程队加固河道的长度为60米， 工程队加固河道的长度为120米．
【分析】（1）设 表示A工程队加固河道的长度， 表示B工程队加固河道的长度；设
表示 工程队加固河道的天数， 表示 工程队加固河道的天数，然后根据等量关系列出
方程求解即可；
（2）根据（1）中计算的结果，得到答案即可.解：（1）设 表示A工程队加固河道的长度， 表示B工程队加固河道的长度
那么依题意可列方程组： ，
解得
设 表示A工程队加固河道的天数， 表示 工程队加固河道的天数，
那么依题意可列方程组： ，
解得
（2）A工程队加固河道的长度为60米， 工程队加固河道的长度为120米．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量
关系列方程组求解.
22．140千米
【分析】：设规定的时间为x小时，甲、乙两地的距离为y千米，根据以50千米/小时的速
度行驶，会迟到24分钟；以70千米/小时的速度行驶，可提前24分钟到达乙地，列方程组
求解．
解：设规定的时间为x小时，甲乙两地间的距离为y千米. 则由题意可得：
解得
答：甲乙两地间的距离为140千米.
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
23．①小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟；②（1）每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒
液的价格分别是15元、8元；（2）学校选用方案二更节约钱，节约122元【分析】①设小颖上坡用了 分钟，下坡用了 分钟，根据“小颖家离学校1880米，且去
学校共用了16分钟”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论．
②（1）根据购买40瓶免洗手消毒液和90瓶84消毒液，共需花费1320元，如果购买60瓶
免洗手消毒液和120瓶84消毒液，共需花费1860元，可以列出相应的二元一次方程组，
从而可以求出每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元；
（2）根据题意，可以求出方案一和方案二的花费情况，然后比较大小并作差即可解答本题．
解：①设小颖上坡用了 分钟，下坡用了 分钟，
依题意得： ，
解得： ．
答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟．
②（1）设每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是 元、 元，
，
解得 ，
即每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是15元、8元；
（2）方案一的花费为： （元 ，
方案二的花费为： （元 ，
（元 ， ，
答：学校选用方案二更节约钱，节约122元．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元
一次方程组．
24．（1）2025， ；（2）小南的步行速度为 m/min，小开的步行速度为60 m/min；
（3） 点 表示两人除法27min时，小南到达 医院，两人此时相距 米．
【分析】（1）根据函数图像直接可得出答案；
（2）设小南的速度为 ，小开的速度为 ，根据函数图像可得关于 的方程组，解方程
组即可得出结果；
（3）设点 的坐标为 ，根据题意可得方程，解方程即可得出 的值，进而解释 点的
实际意义．解：（1）由函数图像可得 小区和 医院的距离为2025m，当 时，他们相遇，即
故答案为： ；
（2）设小南的速度为 m/min，小开的速度为 m/min，两人15分钟相遇，则可得，
，
小南的步行速度比小开的步行速度快，
则小开在相遇后走的路程为小南相遇前走的路程，
则
解得
答：小南的步行速度为 m/min，小开的步行速度为60 m/min．
（3）设点 的坐标为 ，则可得方程
解得 ，
1620，
．
点 表示两人除法27min时，小南到达 医院，两人此时相距 米．
【点拨】本题考查了函数图像问题，行程问题，二元一次方程组的应用，理解点C的意义
是解题的关键．
25．（1）车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；（2）最多购进载重量为
8吨的卡车为2辆．
【分析】（1）根据车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输
110吨沙石”分别得出等式组成方程组，求出即可；
（2）利用车队需要一次运输残土166吨以上”得出不等式，解不等式求出最多购进载重量
为8吨的卡车辆数即可．
解：（1）设车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有x辆、y辆，
根据题意得：，
解得：
．
答：车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；
（2）设载重量为8吨的卡车购进 辆，
依题意得： ，
解得 ，
∵ ＞0且为整数，
∴最多购进载重量为8吨的卡车为2辆．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及不等式的应用，根据已知得出正确的
不等式关系是解题关键．
26．（1）1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资；
（2）该扶贫小组共有3种运输方案
【分析】（1）设1辆大货车一次满载运输x件物资，1辆小货车一次满载运输y件物资，
根据“2辆大货车与4辆小货车一次可以满载运输700件；1辆大货车与5辆小货车一次可
以满载运输650件”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用m辆大货车，则租用（10-m）辆小货车，根据“运输物资不少于1300件，且
总费用不超过46000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值
范围，再结合m为整数，即可得出运输方案的个数．
解：（1）设1辆大货车一次满载运输x件物资，1辆小货车一次满载运输y件物资，
依题意得： ，
解得： ，
答：1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资．
（2）设租用m辆大货车，则租用（10-m）辆小货车，
依题意得： ，解得：6≤m≤8．
又∵m为整数，
∴m可以为6，7，8，
∴该扶贫小组共有3种运输方案．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式组．
27．（1）甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨；（2）共有3种租车方案，
方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车；
方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车；（3）费用最少的租车方案为：租用1辆甲种
货车，7辆乙种货车，最少租车费为940元．
【分析】（1）根据题意，设甲种货车每辆能装货 吨，乙种货车每辆能装货 吨，然后列
出方程组，解方程组即可；
（2）根据题意，设租用甲种货车 辆，乙种货车 辆，得到 ，即可得到租车的
方案；
（3）分别求出每个方案的费用，然后进行比较，即可得到答案．
解：（1）设甲种货车每辆能装货 吨，乙种货车每辆能装货 吨，
依题意得： ，
解得： ．
答：甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨．
（2）设租用甲种货车 辆，乙种货车 辆，
依题意得： ，
∴ ．
又∵ ， 均为非负整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；
方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车；
方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车．
（3）方案1所需租车费为100×9+120×1=1020（元）；
方案2所需租车费为100×5+120×4=980（元）；
方案3所需租车费为100×1+120×7=940（元）．
∵ ，
∴费用最少的租车方案为：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车，最少租车费为940元．
【点拨】考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的应用，体现了数学
建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并
利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法
为建立方程，利用不等式或者一次函数性质确定方案．
28．（1） ， ；（2）500单
【分析】（1）根据月工资 基本工资 奖金工资，列二元一次方程组即可解出a、b的值，
（2）根据分段函数分别求出函数关系式，第一段，送单300单及以内，第二段，送单在
300单以上，故可求解．
解：（1）由题意得： ，解得， ， ，
答： ， ．
（2）①当 时， ，
② 时， ，
与x的函数关系式为： ，
，
，
当 时， ，
因此每月至少要送500单，
答：月总收入不低于4000元时，每月至少要送餐500单．
【点拨】考查二元一次方程组的应用、求一次函数的关系式以及一元一次不等式的应用等知识，根据自变量的不同的取值范围，求出适合不同的函数关系式，在函数中经常用到．
29．（1）主要演员和次要演员每天的费用分别200元，100元；（2）爵士舞表演2天，民
族舞表演3天
【分析】（1）设主要演员和次要演员每天的费用分别x元，y元，根据表格中的总费用列
出方程组，解之即可；
（2）设爵士舞表演a天，民族舞表演b天，根据主要演员费用共为 元，次要演员费
用共为 元列出方程组，解之即可．
解：（1）设主要演员和次要演员每天的费用分别x元，y元，
由题意可得： ，
解得： ，
∴主要演员和次要演员每天的费用分别200元，100元；
（2）设爵士舞表演a天，民族舞表演b天，
由题意可得： ，
解得： ，
∴爵士舞表演2天，民族舞表演3天．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，
列出方程组．
30．（1）a的值为80，b的值为120；（2）售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三
周利润最大，最大利润是2600元
【分析】（1）根据前两周两种自行车的销售数量及销售总利润，即可得出关于a，b的二
元一次方程组，解之即可得出a，b的值；
（2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆，根据“B
型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍”，即可得出关于x的一
元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可得出各销售方案，再利
用总利润＝每辆的利润×销售数量，可分别求出各方案获得的总利润，比较后可得出：该专卖店售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元．
解：（1）依题意得： ，
解得： ，
答：a的值为80，b的值为120；
（2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆，
依题意得： ，
解得：10≤x＜12.5，
∵x为整数，
∴x可以为10，11，12．
当x＝10时，25﹣x＝15，此时利润＝10×80＋15×120＝2600（元）；
当x＝11时，25﹣x＝14，此时利润＝11×80＋14×120＝2560（元）；
当x＝12时，25﹣x＝13，此时利润＝12×80＋13×120＝2520（元）．
∵2600＞2560＞2520，
∴该专卖店售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元．
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，明确题意，
准确得到数量关系是解题的关键．
31．（1）小长方形的长为8 cm，宽为2 cm．（2）44cm2
【分析】（1）设小长方形的长为x cm，宽为y cm，根据题意列二元一次方程组，进而解
方程组解决问题；
（2）根据（1）的结论，根据阴影部分面积等于大长方形的面积减去6个小长方形的面积
即可求得
解：（1）解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，由题意得;
解得： ．答：小长方形的长为8cm，宽为2 cm．
（2）由题意可得：
=44（ ）
所以阴影部分面积为44 ．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出二元一次方程组是解题的关键．
32．腰长为10，底边长为1
【分析】根据题意分类讨论，当 时，当 时，根据两部分周长的和与差列
出方程组，解方程组即可解决问题．
解： ， 为腰 上的中线，
依题意，
①当 时，则 ,
解得
②当 时，则 ,
解得
而 不能构成三角形，故此情形不存在，
，即等腰三角形的腰长为10，底边长为1．
【点拨】本题考查了三角形的中线，等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．
33．（1）＝；（2） ，20；（3）S ＝13．理由见解析．
四边形ADOE
【分析】（1）利用三角形的面积公式计算即可得出结论；
（2）利用题干所给解答方法解答即可；
（3）连接AO，利用（2）中的方法，设S ＝x，S ＝y，则S ＝x，S ＝2y，利
△ADO △CEO △BDO △AEO
用已知条件列出方程组，解方程组即可得出结论．
解：（1）如图1，过A作AH⊥BC于H，
∵AD是△ABC的BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴ ， ，
∴S ＝S ，
△ABD △ACD
故答案为：＝；
（2）解方程组得 ，
∴S ＝S ＝10，
△AOD △BOD
∴S ＝S +S ＝10+10＝20，
四边形ADOB △AOD △AOE
故答案为： ，20；
（3）如图3，连接AO，∵AD：DB＝1：3，
∴S ＝ S ，
△ADO △BDO
∵CE：AE＝1：2，
∴S ＝ S ，
△CEO △AEO
设S ＝x，S ＝y，则S ＝3x，S ＝2y，
△ADO △CEO △BDO △AEO
由题意得：S ＝ S ＝40，S ＝ S ＝15，
△ABE △ABC △ADC △ABC
可列方程组为： ，
解得： ，
∴S ＝S +S ＝x+2 y＝13．
四边形ADOE △ADO △AEO
【点拨】本题是一道四边形的综合题，主要考查了三角形的面积公式，等底同高的三角形
面积相等，高相同的三角形的面积比等于底的比，二元一次方程组的解法．本题是阅读型
题目，准确理解题干中的方法并正确应用是解题的关键．
34．（1） ， （2）m= （3） （4）
【分析】（1）先对方程变形为x=6-2y，然后可带入数值求解；
（2）把已知的x+y=0和方程x+2y-6=0组合成方程组，求解方程组的解，然后代入方程
x-2y+mx+5=0即可求m的值；
（3）方程整理后，根据无论m如何变化，二元一次方程组总有一个固定的解，列出方程
组，解方程组即可；
（4）先把m当做已知求出x、y的值，然后再根据整数解进行判断即可.解：（1）
（2） 解得
把 代入 ，解得m=
（3）
（4）
①+②得：
解得 ，
∵x恰为整数，m也为整数，
∴2+m=1或2+m=-1,
解得
35．（1） ；（2）正方形有16个，六边形有12个；（3） ， ，
或
【分析】(1)摆1个正方形需要4根小木棍，摆2个正方形需要7根小木棍，摆3个正方形
需要10根小木棍…每多一个正方形就多3根小木棍，则摆p个正方形需要4+3(p-1)=3p+1
根小木棍，由此求得答案即可；
(2)设连续摆放了六边形x个， 正方形y个，则连续摆放正方形共用小木棍(3y+1)根，六方
形共用小木棍(5x+1)根，由题意列出方程组解决问题即可；
(3)由(1)可知每排用的小木棍数比这排小正方形个数的3倍多1根，由此可得s、t间的关系，
再根据s、t均为正整数进行讨论即可求得所有可能的取值.解：(1)摆1个正方形需要4根小木棍，4=4+3×(1-1)，
摆2个正方形需要7根小木棍，4=4+3×(2-1)，
摆3个正方形需要10根小木棍，10=4+3×(3-1)，
……，
摆p个正方形需要m=4+3×(p-1)=3p+1根木棍，
故答案为： ；
(2)设六边形有 个，正方形有y个，
则 ，
解得 ，
所以正方形有16个，六边形有12个；
(3)据题意， ，
据题意， ，且 均为整数，
因此 可能的取值为：
， ， 或 .
【点拨】本题考查二元一次方程组的实际运用，找出连续摆放正方形共用小木棍的根数，
六方形共用小木棍的根数是解决问题的关键．
36．问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)，答案：6.5吨.
【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，本题中的等量关系是
“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨”和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨”，
列方程组求解即可．
解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?( 本题的答案不唯一)
设1辆大车一次运货x吨，1辆小车一次运货y吨．
根据题意,得 ，
解得 .则x+y=4+2.5=6.5(吨).
答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．
37．
【分析】本题根据关键语“等式（2A-7B）x+（3A-8B）=8x+10对一切实数x都成立”，只
要让等式两边x的系数和常数分别相等即可列出方程组求解．
解：由题意可得：
解得： ．
答：A、B的值分别为 ， ．
【点拨】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列
出方程组，再求解．
38．平均每分钟1道正门可通过120名学生，l道侧门可通过80名学生
【分析】设平均每分钟1道正门可通过x名学生，1道侧门可通过y名学生，根据题意列出
二元一次方程组，解方程组即可求得的答案．
解：设平均每分钟1道正门可通过x名学生，1道侧门可通过y名学生．
由题意，得 ，
解得 ．
答：平均每分钟1道正门可通过120名学生，l道侧门可通过80名学生．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
39．（1）三角梅、水仙的的单价分别为4元、5元；（2）①W＝－a+1000（60≤a≤80）；
②当购买三角梅80盆、水仙120盆时，总花费最少，最少费用为920元．
【分析】（1）根据购买1盆三角梅和2盆水仙需要14元，购买2盆三角梅和1盆水仙需要
13元，可以列出相应的二元一次方程组，解方程组即可得到三角梅、水仙的单价各为多少元；
（2）①根据题意，可以写出W与a的关系式；
②根据①中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到使总花费最少的够花方案，并求出
最少费用．
解：（1）设三角梅、水仙的单价分别为x元、y元，
根据题意得： ，
解得 ，
答：三角梅、水仙的的单价分别为4元、5元；
（2）①由题意可得，W＝4a+5（200－a），
即W与a的关系式是W＝－a+1000（60≤a≤80）；
②∵W＝－a+1000，
∴W随a的增大而减小，
∵60≤a≤80，
∴当a＝80时，W取得最小值，
此时W＝920，200－a＝200－80＝120，
答：当购买三角梅80盆、水仙120盆时，总花费最少，最少费用为920元．
【点拨】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，
列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质解答．
