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专题5.19 分式方程的增根、无解问题（培优篇）（专项练
习）
一、单选题
1．分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A．0和3 B．1
C．1和﹣2 D．3
2．若关于x的分式方程 的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
3．关于x的分式方程 的解是负数，则m的取值范围是
A．m＞﹣1 B．m＞﹣1且m≠0
C．m≥﹣1 D．m≥﹣1且m≠0
4．关于x的分式方程 的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组
有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A． B． C． D．
5．若数a使关于x的不等式组 ，有且仅有三个整数解，且使关于y的分
式方程 =1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（ ）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣186．关于x的分式方程 解为非负数，关于x的不等式组 至少
有四个整数解，则满足条件的所有整数a的积为（ ）
A．3 B．2 C．6 D．0
7．若关于 的一元一次不等式组 的解集恰好有3个负整数解，且关于
的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数 的和为（ ）
A．6 B．9 C． D．2
8．若整数a使得关于x的分式方程 有正整数解，且使关于y的不等式组
至少有4个整数解，那么符合条件的所有整数a的和为（ ）．
A．13 B．9 C．3 D．10
9．若关于x的不等式组 有且仅有3个整数解，且关于y的分式方程
＝﹣2的解是整数，则所有满足条件的整数m的值之和是（ ）
A．5 B．6 C．9 D．10
10．若关于x的不等式组 无解，且关于y的分式方程 有非负整
数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）A．8 B．10 C．16 D．18
11．若整数a使关于x的分式方程 有非负整数解，且使关于y的不等式组
无解，则所有满足条件的a的和为（ ）
A．6 B．2 C． D．
12．若整数 使得关于 的方程 的解为整数，且关于 的不等式组
有偶数解且至多有3个偶数解，则所有符合条件的整数 的和为（ ）
A．– 12 B．– 9 C．12 D．15
13．若关于 的分式方程 的解为非负数，且 关于 的一次函数
的图 象不经过第二象限，则满足条件的所有整数 的和为（ ）
A． B． C． D．
14．已知关于 的分式方程 的解为正数，关于 的不等式组
无解，则所有满足条件的整数 的和是( )
A． B． C． D．
二、填空题
15．若关于x的分式方程 有增根，则m的值为_______．
16．关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值范围是___________．
17．若关于x的分式方程 的解为负数，则k的取值范围为_________．18．若关于 的分式方程 有增根，则 =___ ．
19．若关于 的方程 的解是正数，则 的取值范围为_____________．
20．关于 的分式方程 的解为正实数，则 的取值范围是________．
21．若数a使关于x的分式方程 的解为非负数，且使关于y的不等式组
的解集为 ，则符合条件的所有整数a的积为_____________
22．已知x=1是分式方程 的根，则实数k=__________
23．若关于x的一元一次不等式组 恰有3个整数解，且使关于 的分式
方程 有正整数解，则所有满足条件的整数 的值之和是_______．
24．若数a使关于x的不等式组 有且仅有四个整数解，且使关于y的分式
方程 =2有非负数解，则满足条件的整数a的值是_____．
25．若关于x的分式方程 的解为正数，那么字母a的取值范围是 ______ ．
26．若数 使关于 的不等式组 有且只有四个整数解，且使关于 的方程的解为非负数，则符合条件的所有整数 的和为_______．
三、解答题
27．已知，关于 的分式方程 .
（1）当 ， 时，求分式方程的解；
（2）当 时，求 为何值时分式方程 无解：
（3）若 ，且 、 为正整数，当分式方程 的解为整数时，求 的值.
28．阅读后解决问题：
在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x的分式方程
的解为正数，那么a的取值范围是什么？
经过交流后，形成下面两种不同的答案：
小明说：解这个关于x的分式方程，得到方程的解为x=a﹣2．
因为解是正数，可得a﹣2＞0，所以a＞2．
小强说：本题还要必须a≠3，所以a取值范围是a＞2且a≠3．
（1）小明与小强谁说的对，为什么？
（2）关于x的方程 有整数解，求整数m的值．参考答案
1．D
【解析】
【分析】
方程两边同时乘以（x-1）（x+2），分式方程化为整式方程，根据分式方程有增根，得出
x-1=0，x+2=0，可得方程的增根，然后代入计算即可．
【详解】
分式方程两边同时乘以（x-1）（x+2），原方程可化为x（x+2）-（x-1）（x+2）=m，
整理得，m=x+2，
∵分式方程 有增根，
∴x-1=0或x+2=0，
∴x=1或x=-2．
当x=1时，m=1+2=3；
当x=-2时，m=-2+2=0，
当m=3时，原方程即为 ，解得x=1
原方程有增根，符合题意；
当m=0时，方程即为 ，即 x (x 1)=0
− −
此方程无解
∴原分式方程无解
∴m=0不符合题意
即m的值是3
故选：D
【点拨】本题考查了分式方程的增根，增根就是使最简公分母为0的未知数的值，确定增
根后，把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．C
【解析】
【详解】
试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，解得：x= ，
由题意得： ≥0且 ≠2，解得：a≥1且a≠4，
考点：分式方程的解
3．B
【解析】
【详解】
解：方程两边同乘（x+1），得m=﹣x﹣1解得x=﹣1﹣m，
∵x＜0，且x+1≠0，∴﹣1﹣m＜0，且﹣1﹣m+1≠0．
解得m＞﹣1，且m≠0．
故选B．
4．B
【解析】
【分析】
先将分式方程化为整式方程，得到它的解为 ,由它的解为正数，同时结合该分式方
程有解即分母不为0，得到 且 ，再由该一元一次不等式组有解，又可以得
到 ，综合以上结论即可求出a的取值范围，即可得到其整数解，从而解决问题．
【详解】
解： ,
两边同时乘以（ )，
,
,
由于该分式方程的解为正数，
∴ ，其中 ;
∴ ，且 ；
∵关于y的元一次不等式组 有解，由①得： ;
由②得： ;
∴ ，
∴
综上可得： ,且 ;
∴满足条件的所有整数a为： ；
∴它们的和为 ；
故选B．
【点拨】本题涉及到含字母参数的分式方程和含字母参数的一元一次不等式组等内容，考
查了解分式方程和解一元一次不等式组等相关知识，要求学生能根据题干中的条件得到字
母参数a的限制不等式，求出a的取值范围进而求解，本题对学生的分析能力有一定要求，
属于较难的计算问题．
5．B
【解析】
【分析】
根据不等式的解集，可得a的范围，根据方程的解，可得a的值，根据有理数的加法，可
得答案．
【详解】
，
解①得x≥-3，
解②得x≤ ，
不等式组的解集是-3≤x≤ ．
∵仅有三个整数解，
∴-1≤ ＜0
∴-8≤a＜-3，=1，
3y-a-12=y-2．
∴y= ，
∵y≠2，
∴a≠-6，
又y= 有整数解，
∴a=-8或-4，
所有满足条件的整数a的值之和是-8-4=-12，
故选B．
【点拨】本题考查了分式方程的解，利用不等式的解集及方程的解得出a的值是解题关键．
6．B
【解析】
【分析】
由分式方程的解可得 且 ， ，再由不等式组的解集可得 ，则可求
满足条件的 的整数有1，2，即可求解．
【详解】
解：解分式方程 得 ，
，且 ，
且 ， ，
解不等式组 得 ，
不等式至少有四个整数解，
，
解得 ，
满足条件的 的整数有1，2，满足条件的所有整数 的积为2，
故选：B．
【点拨】本题考查含参分式方程的解、含参一元一次不等式组的解，熟练掌握一元一次不
等式组的解法，分式方程的解法，注意增根的情况是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】
解一元一次不等式组求得解集，根据题意可求得a的取值范围，解分式方程得方程的解，
根据分式方程的解为非负整数即可确定所有的a值，从而可求得其和．
【详解】
解不等式①得： ；解不等式②得：
由题意知不等式组的解集为：
∵ 恰好有三个负整数解
∴
解得：
解分式方程 得：
∵分式方程有非负整数解
∴a+1是4的非负整数倍
∵
∴
∴a+1=0或4或8
即 或3或7，
即综上： 或7，
则
故选：A
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识，是方程与不等式的综合，
根据不等式组有3个非负整数解，从而得出关于a的不等式是本题的难点与关键．
8．B
【解析】
【分析】
解不等式组和分式方程得出关于y的范围及x的值，根据不等式组有解和分式方程的解为
正整数解得出a的范围，继而可得整数a的个数．
【详解】
解：解不等式组
由①得：y<11，
由②得：y≥2a-5，
∵不等式组至少有4个整数解，即y=10，9，8，7；
∴2a-5≤7，
解得：a≤6．
解关于x的分式方程 ，
得：x= ，
∵分式方程有正整数解，
∴a-2是8的约数，且 ≠4， ≠0，a≠2，
解得：a=3或6或10，
所以所有满足条件的整数a的值为3，6．
那么符合条件的所有整数a的和为9．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于a的范围是解题的关键．
9．A
【解析】
【分析】
先解不等式组，根据不等式组有3个整数解可以确定m的取值范围，再解分式方程，根据
分式方程的解是整数在取值范围内找到符合条件整数m，再根据增根排除掉使分母为0的
根，从而可得答案．
【详解】
解：
解不等式①得 ，
解不等式②得 ,
∵不等式组仅有三个整数解，
∴ ，即 ，
所以，m的整数值为2、3、4、5
解 ＝﹣2，
方程两边乘以 得：
移项合并同类项得 ，
∵方程的解是整数，
∴整数 或 或 ，
∵ 时方程有增根，
∴ ，
∴ 或 ，满足条件的整数m的值之和是5．
故选：A．
【点拨】本题考查一元一次不等式组的解集，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组
的解集，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．10．C
【解析】
【分析】
先由不等式组无解，求解 ，再求解分式方程的解 ，由方程的解为非负整数，
求解 且 ，再逐一确定 的值，从而可得答案．
【详解】
解：
由①得： ，
∴ ，
由②得： ，
∴ ，
∵关于x的不等式组 无解，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵关于y的分式方程 有非负整数解，
∴ ，
∴ ，
∵ 为整数，
∴ 或 或 或 或 ．
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查的由不等式组无解求解字母系数的范围，分式方程的非负整数解，熟练
掌握解不等式组的方法和解分式方程是解题关键，解题时要注意分式方程的解得到y≠2这
一隐含条件．
11．C
【解析】
【分析】
求出分式方程的解和不等式组的解集，在结合题意即可求出a的具体值，相加即可．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ．
，解得： ．
要使 无解，即 ．
又∵ 有非负整数解，
∴当x=0时， ；当x=1时， ；
当x=2时，分母为0，无意义，故x≠2；
当x=3时， ；
当x=4时， ；
当x=5时， ；
当x=6时， ，此时不符题意．
综上，a的值可以为-6、-4、0、2、4．
故满足条件的a的和为-6-4+0+2+4=-4．
故选：C．
【点拨】本题考查解分式方程和一元一次不等式组．根据分式方程和一元一次不等式组求
出a的具体值是解答本题的关键．
12．A
【解析】
【分析】
根据不等式组有偶数解且至多有3个偶数解，分3种情况进行讨论，然后结合方程
的解为整数，确定a取：-4、-3、-2、-1，即可求解．
【详解】
解：
解得：
解得：
当y有1个偶数解时：
解得： ，a取：-10、-9、-8、-7；当y有2个偶数解时：
解得： ，a取：-4、-3、-2、-1；
当y有3个偶数解时：
解得： ，a取：2、3、4、5；
∵ 为整数，∴a为奇数
∴a取-9、-7、-3、-1、3、5
则所有符合条件的整数 的和为：-12．
故选：A．
【点拨】此题主要考查利用分式方程和一元一次不等式组的特殊解，求参数值，解题的关
键是正确理解一元一次不等式组的解集．
13．C
【解析】
【分析】
利用分式方程的解的情况得到a的一个取值范围，再根据一次函数的图象情况得到a 的另
一个取值范围，最后结合两个取值范围得到a的解集，即可解题.
【详解】
解分式方程 ，得到 ，因为解为非负数，所以有 且 ，
解得a≤6且a≠2；
又 关于 的一次函数 的图 象不经过第二象限，故a-1＞0,且a-5≤0，可
得到1＜a≤5；
故a的取值范围为：1＜a≤5且a≠2，故a可取的整数解为3、4、5，故整数和为12，故选C
【点拨】本题主要考查分式方程和一次函数的基本性质，能够解出a 的取值范围是本题解
题关键.
14．B
【解析】
【分析】先解分式方程，根据解为正数得到a的取值范围；然后解不等式，得到： ，根
据不等式无解得到： ≥ ，也可得到a的一个取值范围；最终得到a的取值范围，确
定满足a的整数的和.
【详解】
解分式方程：
解得：
且 解得a≠1，
∵分式方程的解为正数，∴
解得：
解不等式：
解得：
∵不等式无解
∴ ≥
解得： ≤4
∴ ＜ ≤4
∴满足 的整数有：－1、0、1、2、3、4，
又∵a≠1
∴a的和为8.
故选：B
【点拨】本题考查根据不等式的解求参数的值，解题关键是先将不等式和方程中的参数视
为常数进行正常求解，在求解得到结果后，再根据解得情况分析参数.
15．1
【解析】【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简
公分母 ，得到 ，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【详解】
解：方程两边都乘 ，得
∵原方程有增根，
∴最简公分母 ，
解得 ，
当 时，
故m的值是1，
故答案为1
【点拨】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0
确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
16． 且 .
【解析】
【分析】
方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．
【详解】
方程两边同乘以x-1，得，m-3=x-1，
解得x=m-2，
∵分式方程 的解为正数，
∴x=m-2＞0且x-1≠0，
即m-2＞0且m-2-1≠0，
∴m＞2且m≠3，
故答案为m＞2且m≠3．
17．k＜3且k≠1
【解析】
【分析】
【详解】
去分母得：k﹣1=2x+2，解得：x= ，由分式方程的解为负数，得到 ＜0，且x+1≠0，即 ≠﹣1，
解得：k＜3且k≠1，
故答案为k＜3且k≠1
18．1
【解析】
【详解】
根据解分式方程的步骤得: ，解得: ，
关于x的分式方程 有增根，
则 或 （无解）,
解得a=1，
故答案为1.
19．m＞-7且m≠-3
【解析】
【分析】
先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可．
【详解】
解：由 ，得： 且x≠2，
∵关于 的方程 的解是正数，
∴ 且 ，解得：m＞-7且m≠-3，
故答案是：m＞-7且m≠-3．
【点拨】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，求出方程的解是解题的关键．
20． 且
【解析】
【分析】
利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：
方程两边同乘（x-2）得，1+2x-4=k-1，
解得
，
，且
故答案为： 且
【点拨】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步
骤、分式方程无解的判断方法是解题的关键．
21．40
【解析】
【分析】
根据分式方程的解为正数即可得出a 5且a≠3，根据不等式组的解集为 ，即可得出
a>0，找出00.
∴0
