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专题 5.1 将军饮马
1．如图，高速公路的同一侧有 ， 两城镇，它们到高速公路所在直线 的距离分别
为 ， ， ．要在高速公路上 ， 之间建一个出口 ，使 ，
两城镇到 的距离之和最小，则这个最短距离为
A． B．10 C．12 D．
【解答】解：如图所示：作 点关于直线 的对称点 ，再连接 ，交直线 于点
则此时 最小，过点 作 延长线于点 ，
， ， ，
，则 ，
在 △ 中，
，
则 的最小值为： ．
故选： ．
2．如图，在锐角 中， ， ， ，直线 交边 于点
，点 、 分别在线段 、 上运动，则 的最小值是 2 ．【解答】解：如图，作点 关于 的对称点 ，
， ，
点 在 上运动，
连接 ，则 ，
，
当 时， 最短，
，
即 的最小值是2．
故答案为：2．
3．如图， ， 为 内一点， 上有点 ， 上有点 ，当
的周长取最小值时， 的度数为A． B． C． D．
【解答】解：如图，分别作 关于 、 的对称点 、 ，然后连接两个对称点即可
得到 、 两点
即为所求的三角形，
根据对称性知道：
， ，
还根据对称性知道： ， ，
而 ，
，
，
．
故选： ．
4．如图，直线 ，点 ， 在直线 上，射线 交直线 于点 ， 于点 ，
交射线 于点 ， ， ， 为射线 上一动点， 从 点出发沿
射线 方向运动，速度为 ，设点 运动时间为 ， 为直线 上一定点，连接 ，
．
（1）当 时， 有最小值，求 的值；
（2）当 为（1）中的取值）时，探究 、 与 的关系，并说明理
由；
（3）当 为（1）中的取值）时，直接写出 、 与 的关系．【解答】解：（1）在 中， ，
当点 与 重合时，此时 最小，
，
， ，
，
．
故 时， 值最小；
（2）如图，当 即 时，点 在 上，过点 作 ，
，
，
， ，
，
，
．
（3）当 即 时，点 在 上，过点 作 ，如图：又 ，
，
， ，
，
又 ，
，
即当 时， ．
当 时，同法可得 ．
综上所述， 时， 或 ．
5．如图，在 中， ， ．点 在 边上，且 ，射线
于点 ，点 是射线 上一动点，点 是线段 上一动点．
（Ⅰ）线段 是否存在最小值？ 是 （用“是”或“否”填空）
（Ⅱ）如果线段 存在最小值，请直接写出 的长；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：如图，作点 关于直线 的对称点 ，过 作 于 ，交
于 ，此时， 的值最小，
， ，
，
，
， ，
，
．
故答案为：是．6．如图，牧童在 处放牛，其家在 处， 、 到河岸 的距离分别为 、 ，且
，若 到河岸 的中点的距离为 ．牧童从 处把牛牵到河边饮水后再回
家，牧童回家所走的最短路程为
A． B． C． D．
【解答】解：作出 关于 的对称点 ，连接 与 相交于 ，
则牧童从 处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 的长，
，
，
， 为 的中点，
， ，
△ ，
，
由于 到河岸 的中点的距离为500米，
到 的距离为500米，
米．故选： ．
7．如图， 为 的角平分线， ， ，点 ， 分别为射线 ，
上的动点，则 的最小值是
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：过点 作 交于 点，交 于点 ，过点 作 交于 点，
为 的角平分线，
，
，此时 的值最小，
， ，
，
故选： ．
8．如图，在 中， ， 是 的平分线．若 ， 分别是 和 上的
动点，且 的面积为24，则 的最小值是
A． B．4 C． D．5【解答】解：过点 作 交于 ，交 于 点，过点 作 交于 点，
是 的平分线，
，
，
当 、 、 三点共线时， 的值最小，
， 的面积为24，
，
的最小值为4.8，
故选： ．
9．如图，四边形 中， ， ，在 ， 上分别找一点
， ，使 的周长最小时，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：作 点关于 的对称点 ，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于
，交 于 ，连接 、 ，
，
， ，
的周长 ，此时 的周长有最小值，， ，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
10．如图，钝角三角形 的面积是20，最长边 ， 平分 ，点 ，
分别是 ， 上的动点，则 的最小值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：作 点关于 的对称点 ，过 作 交 于 点，交 于 点，
，
，此时 的值最小，
平分 ，
，
边上的高与 相等，
的面积是20， ，
边上的高是4，
，
的值最小为4，
故选： ．
11．如图， 为 内一定点， ， 分别是射线 ， 上的点，当 的周长
最小时， ，则 ．
【解答】解：作 点关于 的对称点 ，作 点关于 的对称点 ，连接 交 于
点 ，交 于点 ，连接 、 、 、 ，
， ，
的周长 ，此时 的周长有最小值，
由对称性可知 ， ， ，
，
，
，
， ，，
故答案为： ．
12．如图， ，点 是 内的定点且 ，若点 、 分别是射线
上异于点 的动点，则 周长的最小值是 ．
【解答】解：作 点分别关于 、 的对称点 、 ，连接 分别交 、 于 、
，如图，
则 ， ， ， ， ，
，
，
此时 周长最小，
作 于 ，则 ，
，
，
．
周长的最小值是 ，故答案为： ．
13．如图， ， ， 分别是射线 ， 上的动点， 平分 ，且
，则 的周长的最小值为 7 ．
【解答】解：作 点关于 的对称点 ，作 点关于 的对称点 ，连接 ， 与
、 的交点即为所求点 、 ，
的周长 ，此时 的周长最小，
点 与点 关于 对称，
，
点 与点 关于 对称，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
的周长的最小值为7，
故答案为7．14．如图，点 、 在直线 同侧，请你在直线 上画出一点 ，使得 的值最小，
画出图形并证明．
【解答】解：如图所示，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，交直线 于点 ，连
接 ，
则 ，
，
的值最小等于线段 的长，
15．如图，若 ， 为 内一定点，点 在 上，点 在 上，当
的周长取最小值时， 的度数为
A． B． C． D．【解答】解：作点 关于 的对称点 ，点 关于 的对称点 ，连接 交 于
， 与 ，
， ，
此时 的长即为 的周长的最小值，
，
，
，
， ，
，
故选： ．
16．如图，在锐角三角形 中， ， 的面积为8， 平分 ．若 、
分别是 、 上的动点，则 的最小值是
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：过点 作 于点 ，作点 关于直线 的对称点 ，连接
平分 ， ， 关于 对称，点 在 上， ，
，
当点 ， ， 共线，且与 重合时， 的最小值．
三角形 的面积为8， ，
，
．
即 的最小值为4．
故选： ．
17．如图， 为 内一定点， 、 分别是射线 、 上一点，当 周长最
小时，若 ，则 ．
【解答】解：作 关于 ， 的对称点 ， ．连接 ， ．则当 ， 是
与 ， 的 交 点 时 ， 的 周 长 最 短 ， 连 接 、 ，
关于 对称，
， ， ，同理， ， ，
， ，
△ 是等腰三角形．
，
，
，
故答案为：
18．如图，在平面直角坐标系中， 的各顶点坐标分别为 ， ， ．
（1）画出 关于 轴对称的图形△ ；
（2）直接写出点 ， ， 的坐标；
（3）请在图中的 轴上找一点 ，使 的值最小，并直接写出点 的坐标．
【解答】解：（1）如图，△ 即为所求；
（2）点 ， ， ；（3）如图，点 即为所求，点 的坐标 ．
19．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，格点三角形（顶点是网格线
的交点的三角形） 的顶点 ， 的坐标分别为 ， ．
（1）请作出 关于 轴对称的△ ；
（2）在 轴上找一点 ，使 最小．（保留作图痕迹，在图中标出点
【解答】解：（1）如图，△ 即为所求作．
（2）如图，点 即为所求作．20．如图，在所给网格图中每小格均为边长是1的正方形． 的顶点均在格点上，请
完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出 关于直线 对称的△ ；
（2）在 上画出点 ，使 最小；
（3）在 上画出点 ，使 最大．
【解答】解：（1）如图，△ 即为所求；
（2）如图，点 即为所求；
（3）如图，点 即为所求．
