文档内容
第18讲 圆锥曲线中的极点极线问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线极点极线的定义
2.理解、掌握圆锥曲线的极点极线问题及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习
知识讲解
1. 极点极线的定义
如图,
设 P 是不在圆雉曲线上的一点, 过 P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H, 连接 EH,FG
交于 N, 连接 EG,FH交于 M, 则直线 MN 为点 P 对应的极线. 若 P 为圆雉曲线上的点, 则过 P点的切线即为极线.
同理, PM 为点 N 对应的极线, PN 为点 M 所对应的极线. 因而将 △MNP 称为自极三点形. 设直线
MN 交圆锥曲线于点 A,B 两点, 则 PA, PB 恰为圆锥曲线的两条切线.
2. 其他定义
对于圆锥曲线 C:Ax2+Bxy+C y2+Dx+Ey+F=0, 已知点 P(x ,y ) (非中心) 及直线
0 0
x y+ y x x+x y + y
l:Ax x+ B⋅ 0 0 +C y y+D⋅ 0+E⋅ 0 +F=0, 则称点 P(x ,y ) 是直线 l 关于圆
0 2 0 2 2 0 0
锥曲线 C 的极点, 直线 l称为点 P 关于圆锥曲线 C 的极线。
配极原则: 共线点的极线必共点, 共点线的极点必共点。
3. 替换原则
x y+ y x x+x y+ y
x x→x2, 0 0 →xy,y y→y2, 0→x, 0→y.
0 2 0 2 2
4. 极点极线的几何意义 (以椭圆为例)
x2 y2 x x y y
已知椭圆方程: + =1, 设点 P(x ,y ) 的极线 l: 0 + 0 =1.
a2 b2 0 0 a2 b2
(1) 当点 P(x ,y ) 在椭圆上时, 极线 l 是以点 P 为切点的切线。(极点在极线上)
0 0
(2) 当点 P 在椭圆外时, 极线 l 与椭圆相交, 且为由 P 点向椭圆所引切线的切点弦所在直线。
(3) 当点 P 在椭圆内时, 极线 l 与椭圆相离, 极线 l 为经过点 P 的弦在两端点处的切线交点的轨迹, 且
极线 l 与以点 P 为中点的弦所在的直线平行。特别地:
x2 y2 x x y y
(1) 对于椭圆 + =1, 与点 P(x ,y ) 对应的极线方程为 0 + 0 =1;
a2 b2 0 0 a2 b2
x2 y2 x x y y
(2) 对于双曲线 − =1, 与点 P(x ,y ) 对应的极线方程为 0 − 0 =1;
a2 b2 0 0 a2 b2
(3) 对于抛物线 y2=2px, 与点 P(x ,y ) 对应的极线方程为 y y=p(x +x)
0 0 0 0
考点一、 极点极线初步学习
1．（2024·全国·一模）如图，已知椭圆 的短轴长为 ，焦点与双曲线 的焦点重合.点 ，
斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点.
(1)求常数 的取值范围，并求椭圆 的方程.
(2)(本题可以使用解析几何的方法，也可以利用下面材料所给的结论进行解答)
极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述
的.对于椭圆 ，极点P(x ,y )（不是原点）对应的极线为 ，且若极点 在 轴
0 0
上，则过点 作椭圆的割线交 于点 ，则对于 上任意一点 ，均有 （当斜率均存在
时）.已知点 是直线 上的一点，且点 的横坐标为2.连接 交 轴于点 .连接 分别交椭圆 于
两点.
①设直线 、 分别交 轴于点 、点 ，证明：点 为 、 的中点；
②证明直线： 恒过定点，并求出定点的坐标.2．（22-23高二上·贵州贵阳·期末）阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G： ，则称点P( ， )和直线
l： 是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，
以 替换 ，以 替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P( ， )对应的极线方程.特别地，对
于椭圆 ，与点P( ， )对应的极线方程为 ；对于双曲线 ，与点P( ，
)对应的极线方程为 ；对于抛物线 ，与点P( ， )对应的极线方程为
.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.
结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C： 经过点P(4，0)，离心率是 ，求椭圆C的方程并写出与点P对应的
极线方程；
(2)已知Q是直线l： 上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，
是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当 时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
1．（23-24高二下·广东深圳·期中）阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线 ：
，则称点 和直线 ： 是圆锥
曲线 的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以 替换 ，以 替换 ；以 替换 ，
以 替换 ，即可得到 对应的极线方程.特别地，对于椭圆 ，与点 对应的
极线方程为 ；对于双曲线 ，与点 对应的极线方程为 ；对于抛
物线 ，与点 对应的极线方程为 .即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极
线是一一对应的关系.（二）极点与极线的基本性质､定理：①当 在圆锥曲线 上时，其极线 是曲线 在
点 处的切线；②当 在 外时，其极线 是从点 向曲线 所引两条切线的切点所在的直线（即切点弦所在直线）；③当 在 内时，其极线 是曲线 过点 的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料
回答下面的问题：已知椭圆 ： .
(1)点 是直线 ： 上的一个动点，过点 向椭圆 引两条切线，切点分别为 ， ，是否
存在定点 恒在直线 上，若存在，当 时，求直线 的方程；若不存在，请说明理由.
(2)点 在圆 上，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求 面积的最大值.
2．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为上顶点，
离心率 为 ，直线 与圆 相切.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)椭圆方程 ，平面上有一点 . 定义直线方程 是椭圆 在
点 处的极线.
① 若 在椭圆 上，证明: 椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线;
② 若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ，割线交椭圆 于 两点，
过点 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 . 证明: 三点共线.
考点 二 、 极点极线在圆锥曲线中的应用
1．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
2．（北京·高考真题）已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 和点
都在椭圆 上，直线 交 轴于点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程，并求点 的坐标（用 ， 表示）；
（Ⅱ）设 为原点，点 与点 关于 轴对称，直线 交 轴于点 ．问： 轴上是否存在点 ，使得？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由．
3．（全国·高考真题）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为
.
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
4．（全国·统考高考真题）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，
，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆 的离心率为 ，左、右顶点分别为
A、B，左、右焦点分别为 ．过右焦点 的直线l交椭圆于点M、N，且 的周长为16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM、BN的斜率分别为 ，证明： 为定值．
2．（2023·辽宁·二模）已知椭圆 的离心率为 ，直线 ，左焦点F到直线l的距
离为 ．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 与椭圆 相交于A，B两点．C，D是椭圆T上异于A，B的任意两点，且直线AC，
BC，AD，BD的斜率都存在．直线AC，BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．设直线AC，BC的斜
率为 ， ．
①求 的值；
②求直线MN的斜率．
3．（2023·湖北·三模）已知 分别为椭圆 的左、右焦点，点
是椭圆C上一点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 是椭圆C上且处于第一象限的动点，直线 与椭圆C分别相交于 两点，直线
，相交于点N，试求 的最大值．
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆 过 和 两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线 上运动时，直线 ， 分别
交椭圆于两点P和Q.
（i）证明：点B在以 为直径的圆内；
（ii）求四边形 面积的最大值.
5．（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）如图，椭圆 ： 的左右焦点分别为 、 ，设
P(x ,y )是第一象限内椭圆 上的一点， 、 的延长线分别交椭圆 于点 ，
0 0(1)若 轴，求 的面积；
(2)若 ，求点 的坐标；
(3)求 的最小值.
x2 y2
1．（23-24高二上·山东日照·期中）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 ， ，上、下
a2 b2
顶点分别为 ， ，且四边形 是面积为8的正方形．
(1)求C的标准方程；
(2)M，N为C上且在x轴上方的两点， ， 与 的交点为P，试问 是否为定值？若
是，求出该定值；若不是，请说明理由．
2．（23-24高二上·湖北武汉·期中）如图所示，椭圆 的上顶点和右顶点分别是
和 ，离心率 ， ， 是椭圆上的两个动点，且 .(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形 面积的最大值；
(3)试判断直线 与 的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.
3．（2024·云南·模拟预测）抛物线 的图象经过点 ，焦点为 ，过点 且倾斜角
为 的直线 与抛物线 交于点 ， ，如图．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)当 时，求弦|AB|的长；
(3)已知点 ，直线 ， 分别与抛物线 交于点 ， ．证明：直线 过定点．
4．（23-24高二下·四川成都·期末）已知椭圆 的左、右焦点别为 ， ，离心率为
，过点 的动直线l交E于A，B两点，点A在x轴上方，且l不与x轴垂直， 的周长为 ，
直线 与E交于另一点C，直线 与E交于另一点D，点P为椭圆E的下顶点，如图．
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点．
5．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知椭圆 ，右焦点为 且离心率为 ，直线 ，椭圆 的左右顶点分别为 为 上任意一点，且不在 轴上， 与椭圆 的另一个交
点为 与椭圆C的另一个交点为 .
(1)直线 和直线 的斜率分别记为 ，求证： 为定值；
(2)求证：直线 过定点.
6．（22-23高三上·四川绵阳·阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的右顶
点为 ，离心率为 ，P是直线 上任一点，过点 且与PM垂直的直线交椭圆于A，B两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线PA，PM，PB的斜率分别为 ， ， ，问：是否存在常数 ，使得 ？若存在，求
出 的值；若不存在，说明理由．
7．（2023高三·全国·专题练习）已知圆心为H的圆 和定点 ，B是圆上任意一点，
线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
(1)求C的方程．
(2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求 的取值范围
8．（23-24高二上·湖北·期中）已知椭圆C的方程为 ，其离心率为 ， ， 为椭圆的左右焦点，过 作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点， 的周长为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点D．
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
②求 面积的最大值．
9．（23-24高三上·江苏镇江·期末）已知椭圆 的右焦点 ，离心率为 ，过 作
两条互相垂直的弦 ，设 的中点分别为 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线 必过定点，并求出此定点坐标；
(3)若弦 的斜率均存在，求 面积的最大值．
10．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，过点C(0,1)的椭圆 的离心率为 ，椭圆
与 轴交于点 ，过点 的直线 与椭圆交于另一点 ，并与 轴交于点 ，直线 与直线
交于点 ；
(1)当直线 过椭圆右焦点时，求 点的坐标；
(2)当点 异于点 时，求证： 为定值．1．（2021·全国·统考高考真题）（多选）已知直线 与圆 ，点 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
2．（北京·高考真题）已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点 作直线l与抛物线C交于不同的两点
M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
3．（四川·高考真题）椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于
C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
（Ⅰ）当|CD|= 时，求直线l的方程；
（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证： 为定值．
4．（北京·高考真题）已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线 与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直
线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
5．（全国·高考真题）在直角坐标系 中，曲线C：y= 与直线 交与M,N两点，
（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.
6．（北京·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 .斜率为 的直线 与
椭圆 有两个不同的交点 、 .（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）若 ，求 的最大值；
（Ⅲ）设 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 ，直线 与椭圆 的另一个交点为 .若 、
和点 共线，求 .
7．（北京·统考高考真题）已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
8．（四川·高考真题）如图，椭圆E： 的离心率是 ，过点P（0,1）的动直线 与椭
圆相交于A，B两点，当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆E截得的线段长为 .
（1）求椭圆E的方程；
（2）在平面直角坐标系 中，是否存在与点P不同的定点Q，使得 恒成立？若存在，求出点
Q的坐标；若不存在，请说明理由.
9．（江西·高考真题）如图，椭圆 经过点P（1， ），离心率e= ，直线l的方程
为x=4.
（1）求椭圆C的方程；
（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为 .问：是否存在常数λ，使得 ？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
