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专题 17 圆锥曲线（解答题）6 种常见考法归类
知识 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点01圆锥曲线的面积问题 1.面积问题：近 5 年高频出现，
2025·全国二卷2025·北京2024·新课标Ⅰ卷 常结合圆锥曲线的方程、直线与
2023·全国甲卷 2023·天津2022·新高考全国Ⅰ卷 曲线的位置关系，通过联立方程
2022·天津2021·全国乙卷 求出交点坐标，再利用面积公式
（如三角形面积公式、分割法求
考点02圆锥曲线的斜率问题
面积等）进行计算，重点考查学
2024·北京 2022·北京 2022·全国甲卷
生对代数运算与几何图形结合的
2021·新高考全国Ⅰ卷2021·北京 2021·全国乙卷
处理能力。
考点03圆锥曲线的证明问题
2.斜率问题：多次在各地高考试卷
2025·天津2024·全国甲卷 2023·北京
中出现，往往涉及直线的斜率公
2023·新课标Ⅰ卷2022·新高考全国Ⅱ卷
式、韦达定理的应用，需通过分
考点04圆锥曲线的最值问题
析直线与圆锥曲线的位置关系，
2025·全国一卷 2025·上海2024·天津2024·上海
建立斜率之间的联系，考查学生
2023·上海2022·上海 2022·浙江 2021·浙江
的逻辑推理和运算变形能力。
考点05圆锥曲线的定点、定值和定直线问题 3.证明问题：是命题的重要方向，
2023·全国乙卷 2023·新课标Ⅱ卷
要求证明线段相等、角相等、直
知识1 圆锥曲 2022·全国乙卷 线平行或垂直等几何关系，需要
线的综合 学生将几何条件转化为代数表达
（5年5考） 式，通过代数运算进行推导证
明，强调对数学思维严谨性的考
查。
4.最值问题：在多地试卷中频繁出
现，涉及距离、面积、斜率、截
距等的最值求解。这类问题常与
函数思想、不等式思想结合，通
考点06圆锥曲线与其他知识的综合 过建立目标函数，利用二次函数
2021·全国甲卷 2024·新课标Ⅱ卷 最值、基本不等式、导数等方法
求解，考查学生转化与化归的数
学思想。
5.定点、定值和定直线问题：是命
题的经典题型。此类问题需要学
生在变化的过程中寻找不变的
量，通常通过设参数、联立方
程，消去参数得到定点坐标、定
值或定直线方程，体现了从特殊到一般的思维方法，注重对学生
抽象思维能力的考查。
考点01圆锥曲线的面积问题
1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知 和 为椭圆 上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知直线 与抛物线 交于 两点，且
．
(1)求 ；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点， ，求 面积的最小值．
3．（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，且 与圆
上点的距离的最小值为 ．
（1）求 ；
（2）若点 在 上， 是 的两条切线， 是切点，求 面积的最大值．
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，长轴长为4．
(1)求C的方程；
(2)过点 的直线l与C交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为 ，求 ．
5．（2022·天津·高考真题）椭圆 的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足
．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的方程．
6．（2023·天津·高考真题）已知椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知
．(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形 面积
的二倍，求直线 的方程．
7．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知点 在双曲线 上，直线l交C于P，
Q两点，直线 的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若 ，求 的面积．
8．（2025·北京·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆E上的点到两焦点的距
离之和为4.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设O为坐标原点，点 在椭圆E上，直线 与直线 ， 分别交
于点A，B．设 与 的面积分别为 ，比较 与 的大小．
考点02圆锥曲线的斜率问题
9．（2024·北京·高考真题）已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边
形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点 和
的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
10．（2022·北京·高考真题）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，
当 时，求k的值．
11．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
12．（2021·北京·高考真题）已知椭圆 一个顶点 ，以椭圆 的四个顶点为
顶点的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线
交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
13．（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
14．（2022·全国甲卷·高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于
M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
考点03圆锥曲线的证明问题
15．（2025·天津·高考真题）已知椭圆 的左焦点为F，右顶点为A，P为 上一点，
且直线 的斜率为 ， 的面积为 ，离心率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分 .
16．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线
方程为 ．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．
过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
17．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆 的右焦点为 ，点 在 上，且轴．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明：
轴．
18．（2023·北京·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、下顶
点，B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．
19．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，
记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
考点04圆锥曲线的最值问题
20．（2025·全国一卷·高考真题）设椭圆 的离心率为 ，下顶点为A，右顶点为
B， ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足 ．
（i）设 ，求点 的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点， 是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线 的斜率的3倍，求 的最大值．
21．（2024·上海·高考真题）已知双曲线 ，左、右顶点分别为 ，过点 的
直线交双曲线 于 两点.
(1)若 的离心率为2，求 .
(2)若 为等腰三角形，且点 在第一象限，求点 的坐标.
(3)连接 （ 为坐标原点）并延长交 于点 ，若 ，求 的最大值.
22．（2022·上海·高考真题）设有椭圆方程 ，直线 ， 下端点为A，M在l上，左、右焦点分别为 .
(1) ，AM的中点在x轴上，求点M的坐标；
(2)直线l与y轴交于B，直线AM经过右焦点 ，在 中有一内角余弦值为 ，求b；
(3)在椭圆 上存在一点P到l距离为d，使 ，随a的变化，求d的最小值.
23．（2025·上海·高考真题）已知椭圆 ， ，A是 的右顶点．
(1)若 的焦点 ，求离心率e；
(2)若 ，且 上存在一点P，满足 ，求m；
(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与 交于C、D两点， 为钝角，求a的取值范围．
24．（2024·天津·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ．左顶点为 ，下顶点为 是
线段 的中点（O为原点）， 的面积为 ．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点C的动直线与椭圆相交于 两点．在 轴上是否存在点 ，使得 恒成立．若存在，求
出点 纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
25．（2023·上海·高考真题）曲线 ，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a．
(1)若A到准线距离为3，求a；
(2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在 上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离；
(3)直线 ，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足
“对于任意P都有 ”，求a的取值范围．
26．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
27．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F是抛物线 的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交
点，且 ，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线 ，x轴依次交于点P，
Q，R，N，且 ，求直线l在x轴上截距的范围.
考点05圆锥曲线的定点、定值和定直线问题
28．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．29．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
30．（2022·全国乙卷·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
考点06圆锥曲线与其他知识的综合
31．（2021·全国甲卷·高考真题）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，
Q两点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，并
说明理由．
32．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数，
．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令
为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
