文档内容
第 32 节 圆锥曲线中的定点定值问题
基本技能要落实
考点一 直线过定点问题
【例1】(2022·兰州一模)设M点为圆C：x2＋y2＝4上的动点，点M在x轴上的投影为
N.动点P满足2PN＝MN，动点P的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)设E的左顶点为D，若直线l：y＝kx＋m与曲线E交于A，B两点(A，B不是左、右
顶点)，且满足|DA＋DB|＝|DA－DB|，求证：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.
【方法技巧】
圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与
参数何时没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
【跟踪训练】
1.已知点P是椭圆C：＋＝1(a>b>0)上一点，F ，F 分别是椭圆的左、右焦点，|PF |＋|
1 2 1
PF |＝4.
2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l不经过P点且与椭圆C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率之和
为1，问：直线l是否过定点？证明你的结论.
考点二 其他曲线过定点问题
【例2】已知椭圆C ：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是双曲线C ：－y2＝1的左、右
1 2
焦点，且C 与C 相交于点.
1 2
(1)求椭圆C 的标准方程；
1
(2)设直线l：y＝kx－与椭圆C 交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点？
1
若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.
【方法技巧】
1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如
直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.
2.以曲线上的点为参数，设点P(x ，y )，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x ，y )＝0消
1 1 1 1
参.
【跟踪训练】1.(2022·湖南三湘名校联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b≥1)的离心率为，其上焦点到直线
bx＋2ay－＝0的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P的直线l交椭圆C于A，B两点.试探究以线段AB为直径的圆是否过定点.若过，
求出定点坐标；若不过，请说明理由.
考点三 长度或距离为定值
【例3】(2020·北京卷)已知椭圆C：＋＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点
P，Q，求的值.
【方法技巧】
1.定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如
直线的水平位置、竖直位置，即k＝0或k不存在时.
2.以曲线上的点为参数，设点P(x ，y )，利用点在曲线f(x，y)＝0上，即f(x ，y )＝0消
1 1 1 1
参.
【跟踪训练】
1.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C ：2x2－y2＝1.设椭圆C ：4x2＋y2＝1.若M，
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N分别是C ，C 上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值.
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考点四 斜率或其表达式为定值
【例4】(2022·西安调研)已知点Q是圆M：(x＋)2＋y2＝36上的动点，点N(，0)，若线
段QN的垂直平分线交MQ于点P.
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若A是轨迹E的左顶点，过点D(－3，8)的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：
直线AB，AC的斜率之和为定值.
【跟踪训练】
1.(2022·大同模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶
点分别为A，B，已知|AB|＝4，且点在椭圆上，其中e是椭圆的离心率.
(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上异于A，B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线AP，BP于点M，
N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值.
考点五 几何图形面积为定值
【例5】(2021·昆明诊断)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为e，点(1，e)在椭圆E上，
点A(a，0)，B(0，b)，△AOB的面积为，O为坐标原点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若直线l交椭圆E于M，N两点，直线OM的斜率为k ，直线ON的斜率为k ，且
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k k ＝－，证明：△OMN的面积是定值，并求此定值.
1 2
【方法技巧】
探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形
面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形
的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的
关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可.
【跟踪训练】
1.已知点F(0，2)，过点P(0，－2)且与y轴垂直的直线为l ，l ⊥x轴，交l 于点N，直
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线l垂直平分FN，交l 于点M.
2
(1)求点M的轨迹方程；
(2)记点M的轨迹为曲线E，直线AB与曲线E交于不同两点A(x ，y )，B(x ，y )，且x
1 1 2 2 2
－1＝x ＋m2(m为常数)，直线l′与AB平行，且与曲线E相切，切点为C，试问△ABC
1
的面积是否为定值.若为定值，求出△ABC的面积；若不是定值，说明理由.
达标检测要扎实
1．给定椭圆C： ，称圆心在原点O、半径是 的圆为椭圆C的“准
圆”．已知椭圆C的一个焦点为 ，其短轴的一个端点到点F的距离为 ．
(1)求椭圆C及其“准圆”的方程；
(2)若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的相异两点，且 轴，
求 的取值范围；
(3)在椭圆C的“准圆”上任取一点 ，过点P作两条直线 ， ，使得 ， 与椭圆C都只有一个公共点，且 ， 分别与椭圆的“准圆”交于M，N两点．证明：直线MN过原点O．
2．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率 ， 为椭圆上一
动点， 面积的最大值为2.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ， 分别是椭圆 长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 交椭圆于点 ，
为坐标原点.证明： 为定值.
3．已知椭圆 ，上顶点和右顶点分别是 、 ，椭圆上有两个动点 、 ，
且 ，如图所示，已知 ，且焦距为 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求四边形 面积的最大值；
(3)若 点在第二象限，求证：直线 与直线 的斜率之积为定值，并求直线 与直线 的交
点 的轨迹方程．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ，点M满足 ．记M的
轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点P为x轴上的动点，经过 且不垂直于坐标轴的直线l与C交于A，B两点，且 ，证明： 为定值．
5．动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离之比是常数 ，记动点
的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设 是曲线 上的一动点，由原点 向圆 引两条切线，分别交曲线
于点 ，若直线 的斜率均存在，并分别记为 ，试问 是否为定值？若是，
求出该值；若不是，请说明理由.
.
6．已知 与 外切，与 内切.
(1)求点 的轨迹方程；
(2)若 是点 的轨迹上的两点， 为坐标原点，直线 的斜率分别为 ，直线 的斜
率存在， 的面积为 ，证明： 为定值.
7．已知椭圆C： 的焦点是 、 ，且由椭圆上顶点、右焦点和原点
组成的三角形面积为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ， 、 是椭圆C上关于 轴对称的任意两个不同的点，连接 交椭圆C于另一点
E，证明：直线 与 轴相交于定点.
8．已知 是圆 上的动点， 是线段 上一点， ，且
(1)求点 的轨迹 的方程(2)过 的直线 分别与轨迹 交于点 和点 ，且 ，若 分别为
的中点，求证：直线NH过定点
9．已知P为曲线C上一点，M，N为圆 与x轴的两个交点，直线PM，PN的斜率之积为
．
(1)求C的轨迹方程；
(2)若一动圆的圆心Q在曲线C上运动，半径为 ．过原点O作动圆Q的两条切线，分别交椭圆
于E、F两点，当直线OE，OF的斜率存在时， 是否为定值？请证明你的结论．
10．已知椭圆 的左右顶点是双曲线 的顶点，且椭圆 的上顶
点到双曲线 的渐近线距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线 相交于A、B两点，若直线
FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐
标；若不存在这样的定点，请说明理由．
