文档内容
押新高考 11 题
圆 锥 曲 线 综 合
考点 4年考题 考情分析
2023年新高考Ⅰ卷第16题
2023年新高考Ⅱ卷第10题 圆锥曲线会以单选题、多选题、填空题、解答题 4类题型进
行考查，多选题难度一般或较难，纵观近几年的新高考试
圆锥曲线 2022年新高考Ⅰ卷第11题 题，分别在选填中考查双曲线的离心率、抛物线综合、椭圆
综合 2022年新高考Ⅰ卷第16题 中的周长及直线方程等知识点，相对难度较大，是高考冲刺
复习的重点复习内容。可以预测2024年新高考命题方向将
2022年新高考Ⅱ卷第10题 继续以具备难度性的圆锥曲线综合问题展开命题．
2022年新高考Ⅱ卷第16题
1．（2023·新高考Ⅰ卷高考真题第16题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．
点 在 上，点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
【答案】 /
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 关于 的表达式，
从而利用勾股定理求得 ，进而利用余弦定理得到 的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 ， ，将点 代入双曲线
得到关于 的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设 ，则 ，在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 .
方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 （舍去），故 .故答案为： .
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定
理得到关于 的齐次方程，从而得解.
2．（2023·新高考Ⅱ卷高考真题第10题）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【分析】
先求得焦点坐标，从而求得 ，根据弦长公式求得 ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，
由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
3．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第11题）已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，过
点 的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可
判断C、D.
【详解】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A错误；，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.
故选：BCD
4．（2022·新高考Ⅰ卷高考真题第16题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为
， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 ，根据离心率得到直线 的斜
率，进而利用直线的垂直关系得到直线 的斜率，写出直线 的方程： ，代入椭圆方程，整理化简得到： ，利用弦长公式求得 ，得 ，根据
对称性将 的周长转化为 的周长，利用椭圆的定义得到周长为 .
【详解】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为
，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于
D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程：
，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，
利用椭圆的定义得到 周长为
.
故答案为：13.5．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第10题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线
与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的
方程，联立抛物线求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判
断C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则
，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.
6．（2022·新高考Ⅱ卷高考真题第16题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
【答案】
【分析】令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，设直线 ，
， ，求出 、 的坐标，再根据 求出 、 ，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，
设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，
再根据 求出 、 ，即可得解；
解：令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，
所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点 既为线段 的中点又是线段MN的中点，
设 ， ，设直线 ， ， ，
则 ， ， ，因为 ，所以
联立直线AB与椭圆方程得 消掉y得
其中 ，
∴AB中点E的横坐标 ,又 ，∴
∵ ， ，∴ ,又 ，解得m=2
所以直线 ，即1. 弦长公式，直线与圆交于A，B两点，设 ， ，有：
则
或：
2. 椭圆焦点三角形主要结论
在ΔPF F 中,记 ∠F PF =θ, 椭圆定义可知:
1 2 1 2
(1). |PF |+|PF |=2a,|F F |=2c.
1 2 1 2
(2) . 焦点三角形的周长为 L=2a+2c.
2b2
(3) |PF ∥PF |= .
1 2 1+cosθ
1 θ
(4). 焦点三角形的而积为: S= |PF ∥PF |sinθ=b2tan .
2 1 2 2
3. 双曲线焦点三角形主要结论
如图, F 、F 是双曲线的焦点, 设 P为双曲线上任意一点, 记 ∠F PF =θ, 则 △PF F 的面积
1 2 1 2 1 2
b2
S=
θ
tan
2
4. 椭圆焦点弦三角形面积公式
x2 y2
（1） F 、F 为椭圆 C: + =1(a>b>0) 的左、右焦点，过 F 倾斜角为 θ 的直线 l 与椭圆 C
1 2 a2 b2 2
交于 A、B 两点，则焦点弦三角形 △F AB 的面积:
1
2cpsinθ b2
S = ，其中，p=
△P 1 AB 1−e2cos2θ a
（2） F 、F 为椭圆的左、右焦点，过 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，且 |AB|=m ，
1 2 2
则焦点弦三角形 △F AB 的面积:
1
S =b√(2a−m)m
△F AB
1
5. 双曲线焦点弦三角形面积公式x2 y2
（1）设直线 l 过焦点 F 且交双曲线 − =1(a>0,b>0) 于 A、B 两点，直线 l 倾斜角为 θ ，
2 a2 b2
b2
双曲线的半通径为 p= ，则双曲线同支焦点弦三角形的面积
a
2cpsinθ
S =
△P 1 AB 1−e2cos2θ
x2 y2
（2） F 、F 为双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点，过 F 的直线 l 与双曲线 C 右支
1 2 a2 b2 2
交于 A、B 两点，且 |AB|=m ，则焦点弦三角形 △F AB 的面积:
1
S =b√(2a+m)m
△F AB
1
x2 y2
（3） F 、F 为双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的左、右焦点，过 F 的直线 l 与双曲线 C 右
1 2 a2 b2 2
支、左支分别交于 A、B 两点，且 |AB|=m ，则焦点弦三角形 △F AB 的面积:
1
S =b√(m−2a)m
△F AB
1
6. 抛物线焦点弦三角形面积公式
设直线 l 过焦点 F 且与抛物线 y2=2px(p>0) 交于 A、B 两点，直线 l 倾斜角为 θ ，则焦点弦三
角形 △OAB 的面积为
p2
S =
△OAB 2sinθ
7. 椭圆中的阿基米德三角形
x2 y2
设 椭 圆 C: + =1(a>b>0)的 弦 为
a2 b2
AB, 过A，B两点做椭圆切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
a2
性质 1: 弦 AB 绕着定点 P(m,0) 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x= 上.
m其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k =k +k .
PQ AQ BQ
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
8. 双曲线中的阿基米德三角形
x2 y2
设 双 曲 线 C: − =1(a,b>0) 的 弦 为
a2 b2
AB,过A，B两点做双曲线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则有:
a2
性质 1: 弦 AB 绕者定点 P(m,0) 转动时, 则其所对顶点 Q 落在直线 x= 上.
m
其中, 当 P 点为左 (右) 焦点时, Q 点位于左 (右) 准线上.
性质 2: 直线 AQ,PQ,BQ 的斜率成等差数列, 即 k =k +k .
PQ AQ BQ
性质 3: 当 P 点为焦点时, PQ⊥AB.
9. 抛物线中的阿基米德三角形
抛物线的弦为 AB,过A，B两点做抛物线切线，交于Q点，称△ABQ 为阿基米德三角形, 则
有:
（1）阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴
（2）若阿基米德三角形的底边即弦 AB 过抛物线内的定点 C, 则另一顶点 Q 的轨迹为一条直线
（3）若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点 (若直线 l 方程
(c bp)
为: ax+by+c=0, 则定点的坐标为 C ,− .
a a
a3
（4）底边为 a 的阿基米德三角形的面积最大值为 .
8p
（5）若阿基米德三角形的底边过焦点, 顶点 Q 的轨迹为准线, 且阿基米德三角形的面积最小值为 p2
（6）在阿基米德三角形中, ∠QFA=∠QFB
（7）|AF|⋅|BF|=|QF| 2 .
（8）抛物线上任取一点 I (不与 A,B 重合), 过 I 作抛物线切线交 QA,QB 于 S,T,连接 AI,BI, 则
△ABI 的面积是 △QST 面积的 2 倍1．（2024·浙江·一模）设 是抛物线弧 上的一动点，点 是 的焦点， ，则
（ ）
A．
B．若 ，则点 的坐标为
C． 的最小值为
D．满足 面积为 的点 有2个
【答案】AB
【分析】
对于A，直接由抛物线方程即可判断；对于B，直接由焦半径先求得点 横坐标，代入抛物线方程验算其
纵坐标即可判断；对于C，由B选项启发，观察图象，令 即可举出反例；对于D，由点到直线距
离公式将原问题转换为方程的 或 的正根的个数和即可判断.
【详解】
对于A，抛物线弧 的焦点为 ，故A正确；
对于B，若 ，解得 ，所以 ，即点 的坐标为 ，故B正确；
对于C，取 ，则 ，因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，故C错误；
对于D，直线 的斜率为 ，所以它的方程为 ，
点 到它的距离为 ，
注意到 ，若 面积为 ，
则 ，又 ，
所以 或 ，解得 或 ，
所以满足 面积为 的点 有3个，故D错误.
故选：AB.
2．（2024·重庆·一模）已知抛物线 的焦点为 为坐标原点，其准线与 轴交于点 ，经过点
的直线 与抛物线交于不同两点 ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．存在
C．不存在以 为直径且经过焦点 的圆
D．当 的面积为 时，直线 的倾斜角为 或
【答案】AD
【分析】
设直线 的方程为 ，将其与抛物线方程联立，得到韦达定理式，将其整体代入即可判断ACD，
求解直线与抛物线相切时的情况即可判断B.【详解】对A，由题意得 ，准线方程为 ，则 ，
显然当直线 的斜率为0，即直线 的方程为 ，此时不合题意，
设直线 的方程为 ，
联立抛物线方程 ，得 ， ，解得 或 ，
， ， ， ，则 ， ，则 ，
， ，
则 ，A正确；
对B，当直线 与抛物线相切时， 最大，则 ，解得 ，
根据抛物线对称性取 分析：
此时直线方程为 ，此时直线斜率为1，则 ，因此不存在 ，B错误；
对C，假设存在以 为直径且经过焦点 的圆，则 ，
，则 ，
即 ， ,
即 ，即 ， ，满足 或 ，
即存在以 为直径且经过焦点 的圆，C错误；
对D， ， ，
此时直线斜率为 ，则直线 的倾斜角为 或 ，故D正确.
故选：AD.3．（2024·安徽合肥·一模）已知椭圆 的左､右顶点分别为 ，左焦点为 为 上异于
的一点，过点 且垂直于 轴的直线与 的另一个交点为 ，交 轴于点 ，则（ ）
A．存在点 ，使
B．
C． 的最小值为
D． 周长的最大值为8
【答案】BCD
【分析】对于A，判断 与 的大小即 即可；对于B,设 ，
， ，利用坐标分别求出等式左右验证即可；对于C，求出 ，利用二次函数求最值
即可；对于D，利用椭圆的定义，转化求 的最大值，即可.
【详解】
对于A,设椭圆的上顶点为 ，则直角三角形 中， ，则 ，故A错误；
对于B，设 ，则 ， ，且 ，即 ，又 ,
则 ，
又 ，故 ，则B正确；
对于C， ，
， ，
则当 时， 取最小值为 ，故C正确；
对于D，设椭圆的右焦点为 ,
的周长为： ,
当且仅当 三点共线时，等号成立，故D正确，
故选：BCD.
4．（2024·浙江·模拟预测）曲线的法线定义：过曲线上的点，且垂直于该点处切线的直线即为该点处的法
线.已知点 是抛物线 上的点， 是 的焦点，点 处的切线 与 轴交于点 ，点 处的
法线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，与 交于另一点 ，点 是 的中点，则以下结论正确的是
（ ）A．点 的坐标是
B． 的方程是
C．
D．过点 的 的法线（包括 ）共有两条
【答案】BCD
【分析】利用导数求出切线斜率，进而确定切线方程判断A，利用法线的定义判断B，利用两点间距离公
式判断C，分类讨论判断D即可.
【详解】
对A，将点 代入 ，得 ，则 ，当 时，
故 的方程为 ，令 ，则 点 的坐标是 ，故A错误；
对B， 的方程为 ，整理得 ，故B正确；
对C，易得 与 轴的交点 的坐标为 ，与 轴的交点 的坐标为 ，
联立 ，解得 或 .
与 的另一个交点 的坐标为 ，
则 ，故C正确；
对D，易得点 的坐标为 ，设点 为抛物线上一点，
当 是原点时， 处的法线为 轴，显然不过点 ，当点 不是原点时，则 处的法线方程为 ，
将点 代入得， ，
又 ，则 ，
故 或 过点 的 的法线（包括 ）共有两条，故D正确.
故选：BCD
5．（2024·辽宁·一模）在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，
点 在抛物线 的准线上，则以下命题正确的是（ ）
A． 的最小值是2
B．
C．当点 的纵坐标为4时，存在点 ，使得
D．若 是等边三角形，则点 的横坐标是3
【答案】ABD
【分析】A选项，求出 及准线方程，由抛物线定义得到 ，当 与点 重合时，
取的最小值，当 与点 重合时， 取得最小值，得到答案；B选项，在A选项基础
上得到 ；C选项，求出 ，假设存在点 ，使得 ，则点 为直线 与准线
的交点，求出直线 的方程，得到 ，求出 ；D选项，得到 ，由抛
物线定义得到点 与点 重合，由等边三角形的性质结合 得到 ，从而求出点 的横坐标.
【详解】A选项，由题意得 ，准线方程为 ，设准线与 轴交点为 ，
过点 作 ⊥抛物线 的准线，垂足为 ，
由抛物线定义可知， ，
则 ，故当 与点 重合时， 取的最小值，
显然，当 与点 重合时， 取得最小值，最小值为 ，
故 的最小值为2，A正确；
B选项，由A选项知 ，当点 与点 重合时，等号成立，故B正确；
C选项，当点 的纵坐标为4时，令 中的 得， ，
故 ，假设存在点 ，使得 ，
则点 为直线 与准线 的交点，
直线 的方程为 ，即 ，
中，令 得 ，故点 ，
此时 ，此时 ，C错误；
D选项，若 是等边三角形，则 ，因为 ，所以 ，即点 与点 重合，
则 ⊥ 轴，则 ，
又 ，则 ，所以 ，
故点 的横坐标是 ，D正确；
故选：ABD
6．（2024·辽宁·一模）已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，倾斜角为 的直线 过点 且
与 交于 ， 两点，若 的面积为 ，则 （ ）
A．
B．
C．以 为直径的圆与 轴仅有 个交点
D． 或
【答案】AC
【分析】
设直线 ， ， ，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，由
求出 ，即可判断A，再由弦长公式求出 即可判断B，利用抛物线的几何意义判断C，求出 、 ，由 即可判断D.
【详解】依题意 ，设直线 ， ， ，
由 ，整理得 ，则 ，
所以 ， ，所以 ，
解得 ，所以 ，又 ，解得 ，
所以 ，又 ，所以 ，故A正确；
因为 ，故B错误；
因为 ，又线段 的中点到 轴的距离为 ，
所以以 为直径的圆与 轴相切，即仅有 个交点，故C正确；
因为 ，若 ，则 ，解得 或 ；
若 ，则 ，解得 或 ；
即 、 或 、 ，
所以 或 ，故D错误.
故选：AC7．（2024·黑龙江吉林·二模）已知抛物线C： ，焦点为F，直线 与抛物线C交于A，B两点，
过A，B两点作抛物线准线的垂线，垂足分别为P，Q，且M为 的中点，则（ ）
A． B．
C．梯形 的面积是16 D． 到 轴距离为3.
【答案】BD
【分析】
先判断得直线 经过点 ，再联立直线与抛物线方程，得到 ，进而得到 ，从而判断
AD，利用两点求斜率与直线垂直时斜率之积为 可判断B，分别求得 ，结合梯形的面积
公式可判断C.
【详解】对于A，由题意得 ，则直线 经过点 ，
联立 ，消去 ，得 ，
设 ，则 ，则 ，所以 ，故A错误；
对于B，由题意得 ，
所以 ，所以 ，故B正确；
对于C，由题意可得 ，
，
所以梯形 的面积是 ，故C错误；
对于D，因为 ，所以 到 轴距离为3，故D正确.
故选：BD.
8．（2024·山西临汾·一模）设 是坐标原点，抛物线 的焦点为 ，点 ， 是抛物线 上两点，
且 .过点 作直线 的垂线交准线于点 ，则（ ）
A．过点 恰有2条直线与抛物线有且仅有一个公共点
B． 的最小值为2
C． 的最小值为
D．直线 恒过焦点
【答案】BC
【分析】根据抛物线的性质判断A选项；根据 得到 ，然后利用点斜式写直线 的方
程即可得到定点，即可判断D选项；利用韦达定理和弦长公式得到 ，然后利用二次函数的性质求最小
值，即可判断C选项；根据题意得到点 的轨迹，然后求最小值，即可判断B选项.【详解】
由抛物线的性质可知，过点 会有3条直线与抛物线有且仅有一个公共点，其中2条直线与抛物线相切，1
条斜率为零的直线与抛物线相交，故A错；
设 ， ，因为 ，所以 ，解得 ，
若 ，则 或 ，此时 ,
当 时，
直线 的方程为 ，
所以直线 恒过定点 ，故D错；
设直线 ： ，联立 得 ， ，
则 ， ，
，
所以当 时， 最小，最小为 ，故C正确；
因为 ，所以直线 为 ，
联立 得 ，则 ，即 为准线上的动点，
所以当点 为 时， 最小，为2，故B正确.
故选：BC.9．（2024·广东湛江·一模）已知抛物线C： 的焦点为F，过点 的直线l与抛物线C交于A，B
两点，设直线l的斜率为k，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．若以线段AB为直径的圆过点F，则
C．若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则
D．若以线段AB为直径的圆与x轴相切，则该圆必与抛物线C的准线相切
【答案】ABC
【分析】联立直线l与抛物线消去x得y2﹣4my+4＝0，由 可判断A；利用韦达定理和FA⊥FB列式可解
得m2＝2，再用弦长公式可得弦长可判断B；若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则
解出 ，再用弦长公式可得弦长可判断C；由 ，可得
无解可判断D.
【详解】设 ，直线 的方程为 ， ， 的中点为 ，
由 消去 并整理得： ，得 ，
由题意， ，所以 ，即 ，
所以 ，则 ，故A正确；
以线段 为直径的圆过点 ，所以 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
，解得 满足题意.由 ，得 ，所以B正确；
若以线段AB为直径的圆与y轴相切，则 ，
又 ，所以 ，
解得： ，所以 ，故C正确；
若以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，则 ，即 ，
又 ，所以 无解，所以D错误.
故选：ABC.
10．（2024·湖南长沙·一模）某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳
最近的点）与太阳中心的距离为 ，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为 ，并且近日点、
远日点及太阳中心在同一条直线上，则（ ）
A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为
C．轨道的短轴长为 D．当 越大时，轨道越扁
【答案】BC
【分析】根据条件得到 ， ，再对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】由题知 ，解得 ， ，对于选项A，因为轨道的焦距为 ，所以选项A错误，
对于选项B，因为离心率为 ，所以选项B正确，
对于选项C，因为轨道的短轴长为 ，所以选项C正确，
对于选项D，因为 ，则 越大时，离心率越小，则轨道越圆，所以选项D错
误，
故选：BC.
11．（2024·湖南常德·三模）过点 的直线 交抛物线 于 两点，线段 的中点为
，抛物线的焦点为 ，下列说法正确的是（ ）
A．以 为直径的圆过坐标原点
B．
C．若直线 的斜率存在，则斜率为
D．若 ，则
【答案】ABC
【分析】设 ， ， ，将抛物线方程与直线方程联立，利用韦达定理求出
，进而得到 ，代入各选项求解即可.
【详解】由题意可知直线 斜率不为 ，设 ， ， ，
联立 得 ，则 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，以 为直径的圆过坐标原点，A说法正确；
，B说法正确；
因为 为线段 中点，所以 ，
若直线 的斜率存在，则 ，
直线 的斜率 ，C说法正确；
若 ，则 ，由抛物线的定义可得 ，D说法错误；
故选：ABC
12．（2024·山东济南·一模）已知椭圆 ： 的两个焦点分别为 ， ， 是C上任意一点，
则（ ）
A． 的离心率为 B． 的周长为12
C． 的最小值为3 D． 的最大值为16
【答案】BD
【分析】首先分析题意，利用椭圆性质进行逐个求解，直接求出离心率判断A，利益椭圆的定义求出焦点
三角形周长判断B，举反例判断C，利用基本不等式求最大值判断D即可.
【详解】由椭圆 得
则 所以 ，故A错误;
易知 的周长为 故B正确；
当 在椭圆长轴的一个端点时， 取得最小值，最小值为 ，故C错误；
由基本不等式得 ，当且仅当 时取等，则 取得最大值16，故D正确.
故选：BD.
13．（2024·福建·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，准线交x轴于点D，过F的直线交C于
A，B两点，AF的中点M在y轴上的射影为点N， ，则（ ）
A． B．∠ADB是锐角
C． 是锐角三角形 D．四边形DFMN是菱形
【答案】ABD
【分析】设出点 ， ，由题意分析可知三角形 为正三角形，联立方程组，解出点的
坐标，逐项判断即可.
【详解】由抛物线 ，可知 ， ，
设点 ， ，则 ，所以 ，而 ，
所以 ，所以 ，所以三角形 为正三角形，
所以 ，又 轴，
所以 ， ，则 ，
所以 ， ， ，所以直线的方程为： ，
联立方程 ，可得 ，所以 ，则 ，
所以 ，所以 ，故A正确；
， 且 ， ，所以四边形DFMN是菱形，故D正确；
由于以 为直径的圆与准线相切，点 在圆外，所以∠ADB是锐角，故B正确；， ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 为钝角，所以 是钝角三角形，故C错误.
故选：ABD.
14．（2024·浙江金华·模拟预测）已知抛物线E： 的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C
的直线l与抛物线E交于A，B两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．若BF为 的中线，则
B．若BF为 的角平分线，则
C．存在直线l，使得
D．对于任意直线l，都有
【答案】ABD
【分析】
首先设直线 的方程，并联立抛物线，根据韦达定理，再根据各项描述，抛物线的定义，即可判断选项.
【详解】设题意，设 ，不妨令 ， 都在第一象限， ， ，
联立 ，则 ，且 ，即 ，
所以 ， ，则 ， ，如上图所示，
A.若 为 的中线，则 ，所以 ，所以 ，故 ，
所以 ，则 ，则 ，故A正确；
B.若 为 的角平分线，则 ，
作 垂直准线 于 ，则 且 ，
所以 ，即 ，则 ，
将 代入整理，得 ，则 ，
所以 ，故B正确；
C.若 ，即 ，即 为等腰直角三角形，
此时 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，则此时 为同一点，不合题设，故C错误；
D. ，而 ，
结合 ，可得 ，即 恒成立，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据抛物线的几何关系，转化为坐标运算.
15．（2024·江苏宿迁·一模）已知正方体 的棱长为 分别为棱 的点，
且 ，若点 为正方体内部（含边界）点，满足：
为实数，则下列说法正确的是（ ）
A．点 的轨迹为菱形 及其内部B．当 时，点 的轨迹长度为
C． 最小值为
D．当 时，直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
【答案】ABD
【分析】由空间向量基本定理，共线定理和线面角的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，因为 ，由空间向量基本定理可知，
所以 在菱形 内，A正确；
对于B，取 上一点 ，使得 ，连接 ， ，
易证四边形 和四边形 是平行四边形，所以 ，
所以四边形 是平行四边形，所以 ，
当 时， ,
所以 ，即 ，
在线段 上， 的轨迹长度为线段 的长，即为 ，B正确；
对于C，由 知， 在菱形 内，
所以 的最小值即为点 到平面 的距离，
以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
可得
设平面 的法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
所以 到平面 的距离为： ，故C错误；
对于D，当 时， ,
分别取 的中点 ，连接 ， 在线段 上，
，所以 ，可得 ，
平面 的法向量为 ， ，
设 与面 所成角为 ，
所以 ，
设 ，因为 ，则 ，
则 代入化简可得 ，当 时，直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ，D正确．
故选：ABD．
【点睛】方法点睛：对于立体几何的综合问题的解答方法：
（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，
解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨
迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关
定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是
否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
16．（2024·江苏宿迁·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 为抛物线 上两点下
列说法正确的是（ ）
A．若直线 过点 ，则 面积的最小值为2
B．若直线 过点 ，则点 在以线段 为直径的圆外
C．若直线 过点 ，则以线段 为直径的圆与直线 相切
D．过 两点分别作抛物线 的切线，若两切线的交点在直线 上，则直线 过点
【答案】AC
【分析】设出 的方程为 ，代入抛物线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得 中点
的横坐标和中点到准线的距离，以及面积表达式，可判断AC；设出 的方程为 ，代入抛物线
的方程由 可判断B；设直线 的方程为 ，由导数的几何意义写出切线方程求出交点P
坐标，结合韦达定理即可判断D．
【详解】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，设 ，对AC选项：设 的方程为 ，代入抛物线 ，可得 ，
易知 ， ， ，
故 ,
当 等号成立，故A正确；
而 ，
则弦长 ，
设 的中点为 ， 到准线的距离为 ，
所以以 为直径的圆与准线相切，故C正确；
对B选项：又设 的方程为 ，代入抛物线 可得 ，
易知 ， ， ，
，
则点 在以线段 为直径的圆上，B错误；
对D选项：不妨设 在第一象限， 在第四象限，则 ，
则点 处切线斜率
， ，则点 处切线斜率 ，
则点 处切线方程为 ，
同理点 处切线方程为 ，
联立两直线求得交点横坐标为 ，故 ，设直线 的方程为 ，代入抛物线 可得 ，
则 ，故 （负值舍去），即直线 的方程为 ，
则直线 过点 ，故D错误.
故选：AC.
17．（2024·重庆·一模）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 、 是抛物线上两个不同的点，
为线段 的中点，则（ ）
A．若 ，则 到准线距离的最小值为
B．若 ，且 ，则 到准线的距离为
C．若 ，且 ，则 到准线的距离为
D．若 过焦点 ， ， 为直线 左侧抛物线上一点，则 面积的最大值为
E．若 ，则 到直线 距离的最大值为
【答案】ACDE
【分析】对于选项A，由 可以判断，对于选项BC，设
、 ，由条件求出 的值即可；对于选项D，首先求出直线 的方程，然后过点 的
直线平行于 且与抛物线相切时，点 到直线 的距离 最大，此时 的面积最大，然后算出答案
即可，对于选项E，由条件求出直线 恒过定点 即可判断.
【详解】选项A，记抛物线的准线为 ，
当 不过点 时，根据三角形三边关系可得 ，
当 过点 时， ，
设点 、 、 到直线 的距离分别为 、 、 ，所以 ，故选项A正确；
选项BC，设 、 ，则 ， ，
由 可知， ，即 ，
整理得 ，
又 ，所以 ，
所以 到准线的距离为 ，故选项B错误C正确；
选项D，因为 过焦点 ， ，所以 ，
则 ．
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
，所以 ，
所以 ，可得 ．
根据图形的对称性，不妨设 ，因为 为直线 左侧抛物线上一点，由图象易知当过点 的直线平行于 且与抛物线相切时，点 到直线 的距离 最大，此时， 的
面积最大．
令 ，易知此时点 在抛物线上方，其对应的函数解析式为 ，
则 ，解得 ，则 ，
所以点 到直线 的距离 ，
此时 ，故选项D正确；
选项E，令 、 ，
因为 ，所以 ，即 ．
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
，所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即直线 恒过定点 ，
易知当 时，点 到直线 的距离最大，最大值为 ，故选项E正确；故选：ACDE.
【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用：
（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，
由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行
转化，即化折线为直线解决最值问题.
18．（2024·山西晋城·一模）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为
的右支上一点，分别以线段 ， 为直径作圆 ，圆 ，线段 与圆 相交于点 ，其中 为坐
标原点，则（ ）
A．
B．
C．点 为圆 和圆 的另一个交点
D．圆 与圆 有一条公切线的倾斜角为
【答案】BCD
【分析】
由中点中位线性质判断AB；由圆与圆关系及切线性质求得 判断CD.
【详解】
的方程可化为 ，可得 ， ， ．
由 为 的中点， 为 的中点，得 ，A错误．
由 为 的中点， 为 的中点，得 ，
则 ，B正确．设点 为圆 和圆 的另一个交点，连接 ，由 轴，
可得 ， 为 的中位线，则直线 平分线段 ，
则点 必在 轴上，可得点 的坐标为 ，C正确．
如图，若 为圆 与圆 的一条公切线， ， 为切点，
连接 ， ，过点 作 ，垂足为 ．
由 ， ，
得 ，
可得 ，由 轴，且 ，可得公切线 的倾斜角为 ，D正确．
故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：本题考查双曲线与圆的综合应用，利用圆与圆位置关系求解D是关键.
19．（2024·山西运城·一模）抛物线 的焦点为 ， 、 是抛物线上的两
个动点， 是线段 的中点，过 作 准线的垂线，垂足为 ，则（ ）
A．若 ，则直线 的斜率为 或
B．若 ，则C．若 和 不平行，则
D．若 ，则 的最大值为
【答案】ABD
【分析】设直线 的方程为 ，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出 的
值，可判断A选项；利用抛物线的焦点弦公式可判断B选项；利用三角形三边关系可判断C选项；利用余
弦定理、基本不等式可判断D选项.
【详解】易知抛物线 的焦点为 ，
对于A选项，若直线 与 轴垂直，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意，
因为 ，则 在直线 上，设直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，
由韦达定理可得 ， ，
因为 ，即 ，可得 ，即 ，
所以， ，可得 ， ，解得 ，
此时，直线 的斜率为 ，A对；
对于B选项，当 时，则 在直线 上， ，
则 ，B对；
对于C选项，当 和 不平行时，则 、 、 三点不共线，
所以， ，C错；对于D选项，设 ， ，
当 时， ，
由C选项可得 ，
所以，
，
即 ，当且仅当 时，等号成立，故 的最大值为 ，D对.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
20．（2024·广东广州·二模）双曲线具有如下性质：双曲线在任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的
夹角.设 为坐标原点，双曲线 的左右焦点分别为 ，右顶点 到一条渐近线的距
离为2，右支上一动点 处的切线记为 ，则（ ）A．双曲线 的渐近线方程为
B．双曲线 的离心率为
C．当 轴时，
D．过点 作 ，垂足为
【答案】ACD
【分析】由题意求出b的值，即可求得双曲线渐近线方程，判断A；根据离心率定义，求出离心率，判断
B；利用双曲线定义可判断C；由题意结合角平分线性质推出 ，K为 的中点，进而结合三角
形中位线以及双曲线定义求得 ，判断D.
【详解】对于A，由双曲线 可知 ，右顶点 ，
其渐近线方程为 ，右顶点 到一条渐近线的距离为2，
不妨取渐近线 ，则 ，解得 ，
故双曲线 的渐近线方程为 ，A正确；
对于B，由于 ，
故双曲线 的离心率为 ，B错误；
对于C， ，当 轴时，将 代入 中，
得 ，即得 ，由于P在双曲线右支上，故 ，C正确；
对于D，连接 并延长交 的延长线于E，
由题意知， 为 的角平分线，结合 ，
可知 ，K为 的中点，而O为 的中点，
故 ，D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了双曲线知识的综合应用，解答的关键是选项D的判断，解答时要结合题中
所给性质，利用角平分线性质推出K为 的中点，即可结合双曲线定义求得答案.
21．（2024·河北·一模）已知 ， 是双曲线C： 的左、右焦点， ，
为C右支上一点， ， 的内切圆的圆心为 ，半径为r，直线PE与x轴交
于点 ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．D．若 的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为
【答案】ACD
【分析】利用切线性质，判断A，利用内切圆的半径表示三角形的面积，即可判断B，利用角平分线定理
和焦半径公式，结合判断C，根据几何关系，转化为关于 的齐次方程，即可判断D.
【详解】A.如图，作 ， ， ，
根据切线长定理， ， ， ，
又 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，故A正确；
B.因为 ， ，
所以 ，解得： ， ，
所以 ，故B错误；
C.由内切圆的性质可知， 为角平分线，则 ，
即 ，整理为 ，即 ，
所以 ，由A选项的证明可知， ，即 ，故C正确；
D.若 的内切圆与 轴相切，则 ，则由选项AB知， ，即 ，
则 ，即 ， 或 （舍），
所以双曲线C的离心率为 ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用切线长的性质，结合双曲线的定义，判断 .
22．（2024·广东江门·一模）已知曲线 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 随着 增大而减小
B．曲线 的横坐标取值范围为
C．曲线 与直线 相交，且交点在第二象限
D． 是曲线 上任意一点，则 的取值范围为
【答案】AD
【分析】首先对 、 分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A、B，由双曲线的渐近
线与 的关系判断C，由点到直线的距离公式得到 ，即点 到直线 的
距离的 倍，求出直线 与曲线 相切时 的值，再由两平行线将的距
离公式求出 的最大值，即可判断D.
【详解】因为曲线 ，
当 ， 时 ，则曲线 为椭圆 的一部分；
当 ， 时 ，则曲线 为双曲线 的一部分，
且双曲线的渐近线为 ；当 ， 时 ，则曲线 为双曲线 的一部分，
且双曲线的渐近线为 ；
可得曲线的图形如下所示：
由图可知 随着 增大而减小，故A正确；
曲线 的横坐标取值范围为 ，故B错误；
因为 ，所以曲线 与直线 相交，且交点在第四象限，故C错误；
因为 ，即点 到直线 的距离的 倍，
当直线 与曲线 相切时，
由 ，消去 整理得 ，
则 ，解得 （舍去）或 ，
又 与 的距离 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 ，故D正确；
故选：AD
【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出曲线 的图形，D选项的关键是转化为点到直线的距离.23．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，左，右焦点分别为 ， ，
过 且倾斜角为 的直线与椭圆C交于A，B两点（点A在第一象限），P是椭圆C上任意一点，则
（ ）
A．a，b满足 B． 的最大值为
C．存在点P，使得 D．
【答案】ABD
【分析】A选项，根据离心率得到 ；B选项，设 ， ，故 ，计算
出 ；C选项，由椭圆定义及余弦定理，基本不等式得到点P在短轴端点时，
最大，且此时 ，故C错；D选项，法一：设出直线方程 ，联立椭圆方程，求
出 ，得到结论；法二：利用椭圆的第二定义进行求解.
【详解】A选项，因为C的离心率 ，所以 ， ，解得 ，故A对；
B选项，由题意得 ，设 ，则 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
则 ，
故B对；
C选项，设 ， ， ， ，则
，
当且仅当 时，等号成立，
由于 在 上单调递减，
当点P在短轴端点时， 最大，且此时 ，
故此时 ，故C错；
D选项，法一：直线方程为 ，即 ，
与椭圆方程 联立得 ，
因为 ，所以 ，
，故 ，故D对.
法二：据椭圆第二定义易知： ，
其中 ，
即 ，解得 ，同理可得 .
所以 成立，故D对.
故选：ABD
【点睛】结论点睛： 为椭圆上任意一点， 为椭圆的焦点，则 最大当且仅当 为短轴顶点；
为椭圆上任意一点， 为椭圆的长轴顶点，则 最大当且仅当 为短轴顶点；
为椭圆上任意一点， 为椭圆的焦点，若 ，则椭圆的离心率的取值范围是 .
24．（2024·山东菏泽·一模）如图，过点 的直线 交抛物线 于A，B两点，
连接 、 ，并延长，分别交直线 于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ）
A． B．以 为直径的圆与直线 相切
C． D．
【答案】ACD
【分析】
设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断
方法即可求解.【详解】
对于A，令 ，
联立 ，消 可得 ，
则 ， ，
，
则
故 ，
同理 ，故A正确；
对于C，设 与 轴交于 ， ，
则 ， ，故C正确；
对于D，
则
，而 ，
所以 ，故D正确；
对于B， 中点 ，即
则 到直线 的距离 ，
以 为直径的圆的半径 ，
所以 ，
当 时相切，当 时不相切，故B错误.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线
与圆的位置关系的判断即可.
25．（2024·山东临沂·一模）已知圆 ，抛物线 的焦点为 ， 为 上一
点（ ）
A．存在点 ，使 为等边三角形
B．若 为 上一点，则 最小值为1
C．若 ，则直线 与圆 相切
D．若以 为直径的圆与圆 相外切，则
【答案】AC
【分析】选项A， 为等边三角形需保证 ，设定点 坐标用两点间距离公式检验
即可；选项B，设定点 ，将 转化为 表示，求最小值即可；选项C，由 求
得点 坐标，求得直线 所在的直线方程，利用点到直线的距离公式检验即可；选项D，设定点 ，以 为直径的圆与 相外切，需保证 ，建立关于 的方程，求之即可.
【详解】由已知圆 的方程化为 ，
得其圆心 ，半径 ，
由于抛物线方程为 ，其焦点为
对于选项A，若 为等边三角形，当且仅当 ；
若点 到点 的距离为 ，
由抛物线的定义可知 ，即 ，
代入抛物线方程可得 ， ，故A正确；
对于选项B，因为点 在抛物线上， 为 上一点，
，
由于 为 上，设 ，且 ，
则 ，
当且仅当 时，原式取得最小值， 的最小值 ，故B不正确；
对于选项C，设 ，且 ，
若 ，即 ，得 ，
解得 ，所以此时 ，
不妨取 ， ，
此时直线 的方程为： ，即 ，则圆心 到该直线的距离为 ，
所以此时直线 与圆 相切，同理可证明 的情形也成立，故C正确；
对于选项D，设 的中点为 ，若以 为直径的圆与 相外切时，
只需保证 ，
设 ，且 ， ，得 ，
得方程： （*），
其中 ，反解得： 代入上式，
化简可得： ，
显然 ，故D不正确.
故选：AC.
【点睛】客观题圆锥曲线的综合性问题，多数考查数形结合思想，要善于借助圆锥曲线的定义转化条件和
问题.
26．（2024·福建漳州·模拟预测）已知直线 经过抛物线 的焦点，且与 交于A，B两点，
以线段 为直径的 与 的准线相切于点 ，则（ ）A．直线 的方程为 B．点 的坐标为
C． 的周长为 D．直线 与 相切
【答案】AC
【分析】A选项，根据题意得到抛物线方程，设出直线 的方程 ，联立抛物线方程，得到两根
之和，两根之积，根据 列出方程，求出 ，得到直线方程；B选项，求出点 的纵坐标为
，从而代入 求出横坐标，得到B正确；C选项，由焦点弦公式得到 ，求出 的
半径和周长；D选项，利用圆心到直线距离公式和半径相比，得到答案.
【详解】A选项，依题意，抛物线 的准线方程为 ，即 ，所以 ，
即抛物线 的方程为 ，则抛物线 的焦点为 .
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 消去 整理得 恒成立，
则 ，
则 ， ，
又因为线段 为 的直径， 与 的准线相切于点 ，
所以
，
整理得 ，
即 ，即 ，解得 ，所以直线 的方程为 ，所以A正确；
B选项，因为 垂直于准线，且 ，所以点 的纵坐标为 ，
代入直线 的方程 ，即 ，解得 ，
可得点 ，所以B错误；
C选项，根据抛物线的定义可得 ，所以 的半径为 ，
所以 的周长为 ，所以C选项正确；
D选项，圆心 到直线 的距离为 ，
所以直线 与 相交，不相切，所以D错误.
故选：AC.
【点睛】结论点睛：抛物线的相关结论，
（1） 中，过焦点 的直线与抛物线交于 两点，则以 为直径的圆与 轴相切，以
为直径的圆与准线相切；
（2） 中，过焦点 的直线与抛物线交于 两点，则以 为直径的圆与 轴相切，以
为直径的圆与准线相切.
27．（2024·福建漳州·一模）已知双曲线 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，
直线 ： 与双曲线 的右支相交于A， 两点（点A在第一象限），若 ，则
（ ）
A．双曲线的离心率为 B．C． D．
【答案】AB
【分析】设 ，根据题意结合双曲线的定义可得 ， ， ，利用余弦
定理结合 ， ，进而可得结果.
【详解】由题意可知： ，
因为直线 ： ，
可知直线 过右焦点 ，斜率 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，可得 ，
设 ，
由 ，可得 ， ， ，故B正确；
在 中，可知 ，
由余弦定理可得： ，
即 ，解得 或 （舍去），可得双曲线的离心率为 ， ，故A正确，D错误；
在 中，可知 ，
由余弦定理 ，
即 ，解得 ，故C错误；
故选：AB.
【点睛】
方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率（离心率范围）的求法，求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，
关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．
2.焦点三角形的作用，在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾
股定理结合起来．
28．（2024·河北·模拟预测）已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，过点 且
倾斜角为 的直线 顺次交两条渐近线和 的右支于 ，且 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．离心率为
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】对于A项，联立直线 方程与直线 方程、直线 方程可求得点 、点 坐标，由
，可知 为 中点，结合中点坐标公式可得 的值，进而可求得离心率，对于B项，计算的值即可，对于C项，联立直线 方程与双曲线方程可求得点 坐标，由点 、点 、点 纵
坐标可知 、 为线段 的三等分点，结合三角形面积公式判断即可，对于D项，由
求解即可.
【详解】如图所示，
由题意知， ，直线 方程为 ，直线 方程为 ，
设直线 方程为 ，
，即 ，
，即 ，
对于A项，因为 ，所以 为 中点，
所以 ，整理得 ，
所以离心率 ，故A项错误；
对于B项，由A项知，直线 方程为 ，即 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，故B项正确；
对于C项，过 作 垂足为 ，过 作 垂足为 ，过 作 垂足为 ，如图所
示，
由A项知， ，所以双曲线方程为 ， ， ，
，则 ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 、 为线段 的三等分点，即 ，
设 到直线 距离为 ，则 ， ，
所以 ，故C项正确；
对于D项，如图所示，
由A项知， ，所以 ，故D项错误.故选：BC.
29．（2024·浙江金华·模拟预测）已知椭圆 为原点，过第一象限内椭圆外一点 作椭
圆的两条切线，切点分别为A，B．记直线 的斜率分别为 ，若 ，则
（ ）
A． 为定值 B． 为定值
C． 的最大值为2 D． 的最小值为4
【答案】AD
【分析】设直线 的方程为 ，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由 得到方程，
求出 ，证明椭圆 在 处的切线方程为 ，从而得到椭
圆在点 和 的切线方程，得到切点弦方程 为 ，对照系数结合 得
到 的轨迹方程，A选项，计算出 ， ，求出 ；B选项，在A选项基础上
进行求解；C选项，得到双曲线的渐近线，C错误；D选项，先得到 ，设 ，则 ，
联立双曲线方程，由根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】由于 ，故 不关于 轴对称且 的横纵坐标不为0，
所以直线 方程斜率一定存在，
设直线 的方程为 ，联立 得，
，
设 ，则 ，故
，
其中 ，
故 ，即 ，
所以 ，解得 ，
下面证明椭圆 在 处的切线方程为 ，理由如下：
当 时，故切线的斜率存在，设切线方程为 ，
代入椭圆方程得： ，
由 ，化简得：
，
所以 ，
把 代入 ，得： ，
于是 ，
则椭圆的切线斜率为 ，切线方程为 ，
整理得到 ，
其中 ，故 ，即 ，
当 时，此时 或 ，当 时，切线方程为 ，满足 ，
当 时，切线方程为 ，满足 ，
综上：椭圆 在 处的切线方程为 ；
故椭圆在点 的切线方程为 ，
同理可得，椭圆在点 的切线方程为 ，
由于点 为 与 的交点，
故 ， ，
所以直线 为 ，
因为直线 的方程为 ，对照系数可得
，
又 ，故 ，整理得 ，
又 在第一象限，
故点 的轨迹为双曲线 位于第一象限的部分，
A选项， ，同理可得 ，
则 ，A正确；B选项，
，
其中
又 ，
故 ，不为定值，
故 不是定值，B错误；
C选项，由于 ， ， ，故双曲线的一条渐近线为 ，
设 ，则 ，故 无最大值，
D选项，由于 ， ， ，故 ，
设 ，则 ，则两式联立得 ，
由 得， ，
检验，当 时， ，又 ，
解得 ，满足要求.
故 的最小值为4，D正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：过圆 上一点 的切线方程为：
，
过圆 外一点 的切点弦方程为： .
过椭圆 上一点 的切线方程为 ，
过椭圆 外一点 的切点弦方程为 ;
过双曲线 上一点 的切线方程为 ,
过双曲线 外一点 的切点弦方程为 ,
30．（2024·江苏·一模）已知抛物线E： 的焦点为F，过F的直线 交E于点 ， ，
E在B处的切线为 ，过A作与 平行的直线 ，交E于另一点 ，记 与y轴的交点为D，则
（ ）
A． B．
C． D． 面积的最小值为16【答案】ACD
【分析】
A选项，求出焦点坐标与准线方程，设直线 的方程为 ，联立抛物线方程，得到两根之积，从而
求出 ；B 选项，求导，得到切线方程，联立抛物线方程，得到 ；C 选项，求出
， ，结合焦半径公式求出 ，C正确；D选项，作出辅助线，结合B选项，
得到 ，表达出 ，利用基本不等式求出最小值，从而得到 面积最小值.
【详解】
A选项，由题意得 ，准线方程为 ，
直线 的斜率存在，故设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ， ，故 ，A正确；
B选项， ，直线 的斜率为 ，故直线 的方程为 ，
即 ，联立 ，得 ，故 ，
所以B错误；
C选项，由直线 的方程 ，令 得 ，
又 ，所以 ，
故 ，故 ，
又由焦半径公式得 ，所以C正确；
D选项，不妨设 ，过B向 作平行于y轴的直线交 于M，根据B选项知， ，
故 ，
根据直线 的方程 ，
当 时， ，
故 ，
故 ，
故
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的面积最小值为16，D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值或范围．
