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§8.6 双曲线
考试要求 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它们的简单几何性质.2.通过
圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想．
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F，F 的距离的差的绝对值等于常数(小于|FF|)的点的轨迹．
1 2 1 2
(2)符号表示：||MF |－|MF ||＝2a(常数)(0<2a<|FF|)．
1 2 1 2
(3)焦点：两个定点F，F.
1 2
(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|FF|.
1 2
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 F ( － c ,0) ， F ( c ,0) F (0 ，－ c ) ， F (0 ， c )
1 2 1 2
焦距 | F F | ＝ 2 c
1 2
范围 x ≤ － a 或 x ≥ a ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性质 顶点 A ( － a ,0) ， A ( a ,0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
实轴：线段AA ，长： 2 a ；虚轴：线段BB ，长： 2 b ，
1 2 1 2
轴
实半轴长：a，虚半轴长：b
离心率 e＝∈ (1 ，＋ ∞ )
渐近线 y＝±x y＝±x
a，b，c的关系 c2＝ a 2 ＋ b 2 (c>a>0，c>b>0)
微思考
1．平面内与两定点F ，F 的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？
1 2
为什么？
提示 不一定．当2a＝|FF|时，动点的轨迹是两条射线；
1 2
当2a>|FF|时，动点的轨迹不存在；
1 2
当2a＝0时，动点的轨迹是线段FF 的中垂线．
1 22．已知双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如何求其他具有共同渐近线的双曲线方程？
提示 可设方程为－＝λ(λ≠0)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(2)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是±＝0.( √ )
(3)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
(4)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e，e，则＋＝1.( √ )
1 2
题组二 教材改编
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为
( )
A. B．5 C. D．2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay
＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3．(2021·阜阳模拟)已知双曲线－＝1的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )
A．2 B. C．3 D.
答案 A
解析 双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x过第一象限，所以点在渐近线y＝x上，可得＝×，
所以＝，
所以e＝＝＝＝＝2.
4．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
答案 －＝1
解析 设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为－＝1.
题组三 易错自纠
5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错
误的是( )
A．若C为椭圆，则13或t<1C．曲线C可能是圆
D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则13，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变
形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；
若20时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
2．过双曲线C：－＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C
的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程
为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 A
解析 因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因
此双曲线的标准方程为－＝1.
3．已知双曲线 E与双曲线－＝1共渐近线且经过点 P(2,3)，则双曲线 E的标准方程为
________，顶点坐标为________．
答案 －＝1 (0,6)，(0，－6)
解析 根据题意，设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，又由双曲线经过点P(2,3)，得－＝
λ，即λ＝－4，所以双曲线的方程为－＝－4，其标准方程为－＝1，顶点坐标为(0,6)，(0，
－6)．4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，点P(2，)在双曲线上，且|
1 2
PF|，|FF|，|PF|成等差数列，则该双曲线的标准方程为________．
1 1 2 2
答案 x2－y2＝1
解析 ∵|PF|，|FF|，|PF|成等差数列，
1 1 2 2
∴|PF|＋|PF|＝4c.
1 2
∵点P位于第一象限，∴|PF|－|PF|＝2a，
1 2
∴|PF|＝2c＋a，|PF|＝2c－a，
1 2
∴cos ∠PFF＝＝，又点P(2，)在双曲线上，
2 1
∴sin ∠PFF ＝，∴2＋＝1，化简得(c－2a)2＋3＝(2c－a)2，即c2－a2＝b2＝1，又－＝1，∴a2
2 1
＝1，∴双曲线的标准方程为x2－y2＝1.
思维升华 求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求
出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，
即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根
据条件求λ的值．
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 渐近线和离心率
例2 (1)(2020·广州模拟)设F ，F 是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线
1 2
C右支上一点，若|PF|＋|PF|＝4a，且∠FPF＝60°，则双曲线C的渐近线方程是( )
1 2 1 2
A.x±y＝0 B．2x±y＝0
C.x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案 C
解析 ∵F ，F 是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，∴由双曲线的定义可得|PF|
1 2 1
－|PF|＝2a，又知|PF|＋|PF|＝4a，∴|PF|＝3a，|PF|＝a.在△PFF 中，由余弦定理的推论
2 1 2 1 2 1 2
可得cos 60°＝，即＝，∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴＝，∴双曲线C的
渐近线方程为y＝±x，即x±2y＝0，故选C.
(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的
渐近线方程是____________．
答案 y＝±x
解析 因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，
所以9－＝1，得b＝，
所以该双曲线的渐近线方程是y＝±x.(3)设双曲线 C：－＝1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为 α，且 cos α＝，则 C 的离心率为
________．
答案
解析 ∵a>b>0，∴渐近线y＝x的斜率小于1，
∵两条渐近线的夹角为α，cos α＝.
∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，
∴＝，∴＝，∴e2＝，∴e＝.
命题点2 双曲线的几何性质的综合应用
例3 (1)(2020·长沙雅礼中学模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，
1 2
在双曲线上存在点P满足2|PF1＋PF2|≤|F1F2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是( )
A．(1,2] B．[2，＋∞)
C．(1，] D．[，＋∞)
答案 B
解析 当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP，因为OP为△PFF 的边FF 上的中线，
1 2 1 2
所以PO＝(PF1＋PF2)；当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式．因为双曲线上存
在点P满足2|PF1＋PF2|≤|F1F2|，所以4|PO|≤2c，由|PO|≥a，可知4a≤2c，则e≥2，选B.
(2)(2020·潍坊模拟)已知F ，F 是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 的直线l与双
1 2 1
曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF|＝2a，∠FAF＝，则 等于( )
1 1 2
A．1 B. C. D.
答案 B
解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF|－|AF|＝2a.
2 1
又|AF|＝2a，所以|AF|＝4a，因为∠FAF＝π，
1 2 1 2
所以 ＝|AF|·|AF|·sin ∠FAF＝×2a×4a×＝2a2.
1 2 1 2
由双曲线定义可知|BF|－|BF|＝2a，
1 2
所以|BF|＝2a＋|BF|，又知|BF|＝2a＋|BA|，
1 2 1
所以|BA|＝|BF|，又∠FAF＝π，
2 1 2
所以△BAF 为等边三角形，边长为4a，
2所以 ＝|AB|2＝×(4a)2＝4a2，
所以 ＝＝.故选B.
思维升华 (1)求双曲线的渐近线或离心率的方法
①求出a，b，c直接求离心率，写渐近线方程．
②列出a，b，c的各次方程(或不等式)，然后解方程或不等式．
(2)双曲线性质的综合应用要充分注意与平面几何知识的联系，善于发现条件中的相等或不
等关系．
跟踪训练2 (1)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条
渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D.
答案 D
解析 由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.
将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，
所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.
由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，
故双曲线的离心率e＝＝＝.
(2)设双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与
双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
答案
解析 a2＝9，b2＝16，故c＝5.
∴A(3,0)，F(5,0)，不妨设直线BF的方程为y＝(x－5)，
代入双曲线方程解得B.
∴S ＝|AF|·|y |＝×2×＝.
△AFB B
课时精练
1．已知双曲线－＝1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C．x2－＝1 D.－＝1
答案 D
解析 由题意，得2＝，解得m＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.2．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，)
C．(0,3) D．(0，)
答案 A
解析 ∵方程－＝1表示双曲线，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的
直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B．x2－＝1 C.－y2＝1 D．x2－y2＝1
答案 D
解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，
∴直线l的斜率k＝＝－b＝－，解得a＝1.
l
又∵·(－b)＝－1，∴b＝a＝1，
∴双曲线C的方程为x2－y2＝1.
4．已知F ，F 为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF|＝2|PF|，则cos
1 2 1 2
∠FPF 等于( )
1 2
A. B. C. D.
答案 C
解析 由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义知，|PF|－|PF|＝2a＝2，又|PF|＝2|
1 2 1
PF|，
2
∴|PF|＝4，|PF|＝2，
1 2
在△PFF 中，|FF|＝2c＝4，由余弦定理，得
1 2 1 2
cos ∠FPF＝＝.
1 2
5．(2019·全国Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|
OP|＝|OF|，则△OPF的面积为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由F是双曲线－＝1的一个焦点，
知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.
不妨设点P在第一象限，P(x，y)，x>0，y>0，
0 0 0 0
则解得所以P，
所以S ＝|OF|·y＝×3×＝.
△OPF 06．(2021·山南模拟)已知A，B，C是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的三个点，AB经过原点O，
AC经过右焦点F，若BF⊥AC且2|AF|＝|CF|，则该双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设左焦点为F′，|AF|＝m，连接AF′，CF′，BF′，
则|FC|＝2m，|AF′|＝2a＋m，|CF′|＝2a＋2m，|FF′|＝2c.
因为BF⊥AC，且AB经过原点O，
所以四边形FAF′B为矩形．
在Rt△AF′C中，|AF′|2＋|AC|2＝|F′C|2，
代入得(2a＋m)2＋(3m)2＝(2a＋2m)2，
化简得m＝，
所以在Rt△AF′F中，|AF′|2＋|AF|2＝|F′F|2，
代入得2＋2＝2，
化简得＝，即e＝.
7．(多选)(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±x
D．若m＝0，n>0，则C是两条直线
答案 ACD
解析 对于A，当m>n>0时，有>>0，方程化为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正
确．
对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝，表示半径为的圆，故B错误．
对于C，当m>0，n<0时，方程化为－＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x；当m<0，n>0时，方程化为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，其中
a＝，b＝，渐近线方程为y＝±x，故C正确．
对于D，当m＝0，n>0时，方程化为y＝±，表示两条平行于x轴的直线，故D正确．
8．(多选)已知F ，F 分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一
1 2
点，且以线段FF 为直径的圆经过点P，则( )
1 2
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以FF 为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
1 2
C．点P的横坐标为±1
D．△PFF 的面积为
1 2
答案 ACD
解析 等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
由双曲线的方程可知|FF|＝2，
1 2
所以以FF 为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；
1 2
点P(x，y)在圆x2＋y2＝2上，
0 0
不妨设点P(x，y)在直线y＝x上，
0 0
所以由解得|x|＝1，
0
则点P的横坐标为±1，故C正确；
由上述分析可得△PFF 的面积为×2×1＝，故D正确．
1 2
故选ACD.
9．(2020·北京)已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近
线的距离是________．
答案 (3,0)
解析 由－＝1，得c2＝a2＋b2＝9，
解得c＝3，焦点在x轴上，
所以双曲线C的右焦点坐标为(3,0)．
双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
即x－y＝0，
所以焦点(3,0)到渐近线的距离为d＝＝.
10．(2021·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F ，F 的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐
1 2
近线与直线l：x－2y＝0互相垂直，点P在双曲线C上，且|PF|－|PF|＝3，则双曲线C的
1 2
焦距为________．
答案 3
解析 双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，
一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF|－|PF|＝3，
1 2
可得a＝，b＝3，即有c＝＝＝，
即焦距为2c＝3.
11.如图，F 和F 分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF|
1 2 1
为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△FAB是等边三角形，则双曲线的离心率为
2
________．
答案 ＋1
解析 设|FF|＝2c，连接AF(图略)，
1 2 1
∵△FAB是等边三角形，且FF 是⊙O的直径，
2 1 2
∴∠AFF＝30°，∠FAF＝90°，
2 1 1 2
∴|AF|＝c，|AF|＝c,2a＝c－c，
1 2
∴e＝＝＝＋1.
12．(2021·广安邻水实验中学模拟)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F ，F ，O为
1 2
原点，若以FF 为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且|FP|＝|OP|，则C的渐近线方
1 2 1
程为________．
答案 y＝±x
解析 根据双曲线C：－＝1的左、右焦点为F ，F ，O为原点，以FF 为直径的圆与C的
1 2 1 2
渐近线的一个交点为P，如图所示，
则|FO|＝|OP|＝c，|FP|＝|OP|＝c，
1 1
所以在△POF 中，由余弦定理可得cos∠POF ＝＝＝－.
1 1
所以∠POF ＝，则∠POF ＝，
1 2
所以tan∠POF ＝tan ＝，
2
则渐近线方程为y＝±x.13．(多选)(2021·百师联盟模拟)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点在圆O：x2＋y2＝13上，
圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于点M，N，点E(0，a)满足EO＋EM＋EN
＝0(其中O为坐标原点)，则( )
A．双曲线C的一条渐近线方程为3x－2y＝0
B．双曲线C的离心率为
C．|OE|＝1
D．△OMN的面积为6
答案 ABD
解析 如图，设双曲线C的焦距为2c＝2，MN与y轴交于点P，由题意可知|OM|＝c＝，则
P(0，b)，由EO＋EM＋EN＝0得点E为△OMN的重心，可得|OE|＝|OP|，即a＝b，＝＝，
所以a＝2，b＝3，e＝.
双曲线C的渐近线方程为3x±2y＝0，|OE|＝2，M的坐标为(2,3)，S ＝6，
△OMN
故选ABD.
14.(2020·临川一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A ，A 是左、右顶点，F是右焦点，
1 2
B是虚轴的上顶点．若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点P(i＝1,2)，使得PiA1·PiA2＝
i
0，则双曲线离心率的取值范围是________．
答案
解析 设c为半焦距，则F(c,0)，又B(0，b)，
所以BF：bx＋cy－bc＝0，
以AA 为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，
1 2
因为PiA1·PiA2＝0，i＝1,2，
所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，
所以即
故解得0)个单位长度，
1 1
得到离心率为e 的双曲线C ，则( )
2 2
A．对任意的a，b，e>e
1 2
B．当a>b时，e>e；当ab时，ee
1 2 1 2
答案 D
解析 依题意，e＝＝，
1
e＝＝.
2
因为－＝＝，
由于m>0，a>0，b>0，
所以当a>b时，0<<1,0<<1，<，2<2，所以e1，>1，>，
所以2>2，所以e>e.
1 2
所以当a>b时，ee.
1 2 1 2
16．(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，
A(0,6)，当△APF的周长最小时，点P的坐标为________．
答案 (－2,2)
解析 如图，令E为双曲线的左焦点，
由双曲线C的方程可知a2＝1，b2＝8，
∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，
∴c＝3，
∴左焦点E(－3,0)，
右焦点F(3,0)，
∵|AF|＝＝15，
∴当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小．
由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，
∴|PF|＝|PE|＋2，又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成
立，
∴△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.
直线AE的方程为y＝2x＋6，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x
＝－2，
由x＝－2，得y＝2(负值已舍)，
∴点P的坐标为(－2,2)．
