文档内容
§8.8 直线与圆锥曲线的位置关系
考试要求 1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长
公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题．
知识梳理
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与
圆锥曲线相交⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相切⇔Δ 0；直线与圆锥曲线相离⇔Δ 0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
2．弦长公式
已知A(x，y)，B(x，y)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
1 1 2 2
则|AB|＝
＝|x－x|
1 2
＝___________________
或|AB|＝|y－y|
1 2
＝ .
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交．( )
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切．( )
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点．( )
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦．( )
教材改编题
1．直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1有且只有一个交点，则k的值是( )
A. B．－
C．± D．±
2．已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是( )
A．2 B．4 C．8 D．16
3．已知点A，B是双曲线C：－＝1上的两点，线段AB的中点是M(3,2)，则直线AB的斜率
为( )
A. B. C. D.题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
例1 (1)若直线mx＋ny＝9和圆x2＋y2＝9没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交
点有( )
A．1个 B．至多1个
C．2个 D．0个
(2)(多选)已知直线y＝x与双曲线－＝1(a>0，b>0)无公共点，则双曲线的离心率可能为(
)
A．1 B. C. D.
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近
线平行．
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合)．
跟踪训练1 (1)(2023·梅州模拟)抛物线C：y2＝4x的准线为l，l与x轴交于点A，过点A作
抛物线的一条切线，切点为B，则△OAB的面积为( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，经过双曲线C的右焦点F，且倾斜角为60°的直线l与
双曲线右支有两个交点，则双曲线离心率的取值范围为________．
题型二 弦长问题
例2 (2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率
为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点
共线的充要条件是|MN|＝.
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思维升华 (1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用弦长公式求．
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x＋x＋p.
1 2
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率．
跟踪训练2 已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦
点F 的距离为1.
1
(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆的右顶点为B，过F 的直线l与椭圆C交于点M，N，且S ＝，求直线l的方程．
1 △BMN
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题型三 中点弦问题
例3 (2023·衡水模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为，
1 2
短轴顶点分别为M，N，四边形MF NF 的面积为32.
1 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．
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思维升华 (1)解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
①根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，
由根与系数的关系及中点坐标公式求解．
②点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x ，y)，B(x ，y)，将这两点坐标
1 1 2 2
分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦 AB的中点和直线AB斜率有
关的式子，可以大大减少计算量．
(2)点差法常用结论
已知A(x ，y )，B(x ，y )为圆锥曲线E上的两点，AB的中点为C(x ，y )，直线AB的斜率
1 1 2 2 0 0
为k.
若E的方程为＋＝1(a>b>0)，
则k＝－·；
若E的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则k＝·；
若E的方程为y2＝2px(p>0)，则k＝.
跟踪训练3 (1)(2022·石家庄模拟)已知倾斜角为的直线与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，相
交于A，B两点，M(1,3)是弦AB的中点，则双曲线的渐近线方程为________．
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x
－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为( )
A．(1，－1) B．(2,0)
C. D．(1,1)
